Calcul des intégrales

# Calcul des intégrales ## Introduction Le calcul intégral constitue l'un des piliers de l'analyse mathématique. Introduit historiquement par les travaux de Leibniz et Newton au XVIIe siècle, il permet de résoudre des problèmes fondamentaux : calcul d'aires, de volumes, de valeurs moyennes, mais aussi la résolution d'équations différentielles. Dans ce chapitre, nous établissons la théorie de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, ses propriétés algébriques et géométriques, ainsi que les techniques de calcul qui en découlent. Ce savoir est indispensable pour la poursuite d'études scientifiques et trouve de nombreuses applications dans les sciences de la vie (modélisation de populations, calcul de doses médicamenteuses, analyse de flux biologiques). --- ## I. Présentation : définition, notation et exemples ### I.1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ avec $a < b$. On considère une subdivision régulière de $[a, b]$ en $n$ intervalles de longueur $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$. Pour chaque $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, on choisit un point $x_k^*$ dans l'intervalle $[x_{k-1}, x_k]$. > **Définition (intégrale définie)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est la limite des sommes de Riemann : > $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \cdot \Delta x$$ > Cette limite existe et est indépendante du choix des points $x_k^*$ lorsque $f$ est continue sur $[a, b]$. ### I.2. Notation et vocabulaire Dans la notation $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : - Le symbole $\int$ est appelé signe intégrale ; - $a$ est la borne inférieure et $b$ la borne supérieure ; - $f(x)$ est l'intégrande ; - $dx$ indique la variable d'intégration ; - Le résultat est un nombre réel, appelé valeur de l'intégrale. > **À retenir** : L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est un nombre réel. La variable $x$ est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$. ### I.3. Convention pour les bornes Si $a > b$, on pose par convention : $$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$ Si $a = b$, on a : $$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$ ### I.4. Lien avec les primitives > **Théorème fondamental de l'analyse** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$ (c'est-à-dire $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in [a, b]$). Alors : > $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ > On note également : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$. ### I.5. Exemples fondamentaux **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$. Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$. Donc : $$\int_1^3 2x\,dx = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$. Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$. Donc : $$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$$ **Exemple 3** : Calculer $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$. Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln x$. Donc : $$\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$ **Exemple 4** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$. Une primitive de $e^x$ est $e^x$ elle-même. Donc : $$\int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$$ **Exemple 5** : Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$. Une primitive est $F(x) = x^3 - x^2 + x$. Donc : $$\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = 6$$ ### I.6. Interprétation géométrique Lorsque $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ représente l'aire de la région du plan délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$. ```onbuch-plot {"title":"Aire sous la courbe de f(x) = x^2 sur [0,2]","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^2","points":[[0,0],[0.1,0.01],[0.2,0.04],[0.3,0.09],[0.4,0.16],[0.5,0.25],[0.6,0.36],[0.7,0.49],[0.8,0.64],[0.9,0.81],[1,1],[1.1,1.21],[1.2,1.44],[1.3,1.69],[1.4,1.96],[1.5,2.25],[1.6,2.56],[1.7,2.89],[1.8,3.24],[1.9,3.61],[2,4]]}]} ``` L'aire hachurée sous la parabole $y = x^2$ entre $x = 0$ et $x = 2$ vaut : $$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 \text{ unités d'aire}$$ --- ## II. Propriétés de l'intégrale ### II.1. Linéarité > **Propriété (linéarité)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors : > $$\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$ > $$\int_a^b \lambda f(x)\,dx = \lambda \int_a^b f(x)\,dx$$ **Démonstration** : Soient $F$ et $G$ des primitives respectives de $f$ et $g$ sur $[a, b]$. La fonction $F + G$ est une primitive de $f + g$ car $(F + G)' = F' + G' = f + g$. Donc : $$\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = (F + G)(b) - (F + G)(a) = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a)) = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$ De même, $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$, d'où : $$\int_a^b \lambda f(x)\,dx = \lambda F(b) - \lambda F(a) = \lambda (F(b) - F(a)) = \lambda \int_a^b f(x)\,dx$$ **Exemple** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 (3e^x + 2x)\,dx$. $$\int_0^1 (3e^x + 2x)\,dx = 3\int_0^1 e^x\,dx + 2\int_0^1 x\,dx = 3(e - 1) + 2\left(\dfrac{1}{2} - 0\right) = 3e - 3 + 1 = 3e - 2$$ ### II.2. Positivité > **Propriété (positivité)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$, alors : > $$\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$$ **Démonstration** : Considérons une subdivision régulière $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ et les sommes de Riemann $S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \cdot \Delta x$. Puisque $f(x_k^*) \geq 0$ et $\Delta x > 0$, chaque terme est positif, donc $S_n \geq 0$. Par passage à la limite, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$. **Corollaire (croissance de l'intégrale)** : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ et si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$, alors : $$\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$$ **Démonstration** : On applique la positivité à la fonction $g - f \geq 0$ : $$\int_a^b (g(x) - f(x))\,dx \geq 0 \iff \int_a^b g(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \geq 0$$ **Exemple** : Montrer que $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx \leq \int_0^1 x\,dx$. Sur $[0, 1]$, on a $x^2 \leq x$ (car $x^2 - x = x(x-1) \leq 0$). Par croissance de l'intégrale : $$\int_0^1 x^2\,dx \leq \int_0^1 x\,dx$$ Vérification : $\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{2}$, ce qui est bien vrai. ### II.3. Relation de Chasles > **Propriété (relation de Chasles)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a, b, c \in I$. Alors : > $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$ **Démonstration** : Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors : $$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$$ **Exemple** : Calculer $\displaystyle\int_0^2 |x - 1|\,dx$ en utilisant la relation de Chasles. La fonction $|x - 1|$ est définie par : $$|x - 1| = \begin{cases} 1 - x & \text{si } x \leq 1 \\ x - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ En coupant l'intervalle en $c = 1$ : $$\int_0^2 |x - 1|\,dx = \int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^2 (x - 1)\,dx$$ Calculons chaque intégrale : $$\int_0^1 (1 - x)\,dx = \left[x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) - 0 = \dfrac{1}{2}$$ $$\int_1^2 (x - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_1^2 = \left(2 - 2\right) - \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$$ Donc : $$\int_0^2 |x - 1|\,dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$$ --- ## III. Inégalité de la moyenne et valeur moyenne ### III.1. Inégalité de la moyenne > **Théorème (inégalité de la moyenne)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$, alors : > $$m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a)$$ **Démonstration** : Par croissance de l'intégrale, puisque $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a, b]$ : $$\int_a^b m\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b M\,dx$$ Or $\displaystyle\int_a^b m\,dx = m(b - a)$ et $\displaystyle\int_a^b M\,dx = M(b - a)$ (car les fonctions constantes $m$ et $M$ ont pour primitives $mx$ et $Mx$). D'où le résultat. **Cas particulier important** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, elle y est bornée (théorème des bornes atteintes). En particulier, si $f$ est positive, on peut prendre $m = 0$ et $M = \max_{x \in [a,b]} f(x)$. **Exemple** : Encadrer $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$. Sur $[0, 1]$, on a $0 \leq x^2 \leq 1$, donc $-1 \leq -x^2 \leq 0$, et par croissance de l'exponentielle : $$e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq e^0 = 1$$ L'inégalité de la moyenne donne : $$e^{-1}(1 - 0) \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1(1 - 0)$$ $$\dfrac{1}{e} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1$$ ### III.2. Valeur moyenne d'une fonction > **Définition (valeur moyenne)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le nombre réel : > $$\overline{f} = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$ **Interprétation géométrique** : La valeur moyenne $\overline{f}$ est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ ayant la même aire que la région sous la courbe de $f$. ```onbuch-plot {"title":"Valeur moyenne de f(x) = sin(x) sur [0, pi]","type":"line","series":[{"label":"f(x) = sin(x)","points":[[0,0],[0.1,0.0998],[0.2,0.1987],[0.3,0.2955],[0.4,0.3894],[0.5,0.4794],[0.6,0.5646],[0.7,0.6442],[0.8,0.7174],[0.9,0.7833],[1,0.8415],[1.1,0.8912],[1.2,0.932],[1.3,0.9636],[1.4,0.9854],[1.5,0.9975],[1.6,0.9996],[1.7,0.9917],[1.8,0.9738],[1.9,0.9463],[2,0.9093],[2.1,0.8632],[2.2,0.8085],[2.3,0.7457],[2.4,0.6755],[2.5,0.5985],[2.6,0.5155],[2.7,0.4274],[2.8,0.335],[2.9,0.2392],[3,0.1411],[3.1,0.0416],[3.14,0]]}]} ``` **Exemple** : Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0, \pi]$. $$\overline{f} = \dfrac{1}{\pi - 0}\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \dfrac{1}{\pi}\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = \dfrac{1}{\pi}(-\cos(\pi) + \cos(0)) = \dfrac{1}{\pi}(1 + 1) = \dfrac{2}{\pi}$$ La valeur moyenne de $\sin x$ sur $[0, \pi]$ est donc $\dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}637$. ### III.3. Théorème de la moyenne > **Théorème (de la moyenne)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, il existe au moins un point $c \in [a, b]$ tel que : > $$f(c) = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$ > Autrement dit, la valeur moyenne est atteinte par la fonction en au moins un point de l'intervalle. **Démonstration** : Puisque $f$ est continue sur le segment $[a, b]$, elle atteint ses bornes : il existe $x_m, x_M \in [a, b]$ tels que $m = f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M) = M$ pour tout $x \in [a, b]$. L'inégalité de la moyenne donne : $$m \leq \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \leq M$$ Le nombre $\overline{f} = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ est donc compris entre $m$ et $M$. Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$ continue, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \overline{f}$. **Exemple** : Pour $f(x) = x^2$ sur $[0, 2]$, la valeur moyenne est $\overline{f} = \dfrac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$. On cherche $c \in [0, 2]$ tel que $c^2 = \dfrac{4}{3}$, donc $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155 \in [0, 2]$. Le théorème est vérifié. --- ## IV. Méthodes de calcul des intégrales ### IV.1. Lecture directe d'une primitive La méthode la plus directe consiste à reconnaître une primitive connue. Le tableau suivant regroupe les primitives usuelles : | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Intervalle de validité | |---|---|---| | $x^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n \geq 0$ ; $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\vert x\vert $ | $]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$ | | $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\arcsin x$ | $]-1, 1[$ | | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x$ | $]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi[$ | | $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln\vert u(x)\vert $ | où $u$ ne s'annule pas | | $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ | $e^{u(x)}$ | $\mathbb{R}$ | | $u'(x) \cdot (u(x))^n$ | $\dfrac{(u(x))^{n+1}}{n+1}$ | selon $u$ | > **À retenir** : Pour calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ par lecture directe, on identifie une primitive $F$ de $f$ à l'aide du tableau des primitives usuelles, puis on applique la formule $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$. On reconnaît la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$. Une primitive est $\ln(x^2 + 1)$. Donc : $$\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$. On reconnaît la forme $\dfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot e^{x^2} = \dfrac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2$. Une primitive est $\dfrac{1}{2}e^{x^2}$. Donc : $$\int_0^1 xe^{x^2}\,dx = \left[\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}(e - 1)$$ **Exemple 3** : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx$. On reconnaît $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$. Une primitive est $\ln|\sin x|$. Sur $[0, \pi/4]$, $\sin x > 0$, donc : $$\int_0^{\pi/4} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx = \left[\ln(\sin x)\right]_0^{\pi/4} = \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - \ln(0)$$ Attention : $\ln(0)$ n'est pas défini. En réalité, cette intégrale est impropre en $0$. On la traitera comme limite : $$\int_0^{\pi/4} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln(\sin x)\right]_{\varepsilon}^{\pi/4} = \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - \lim_{\varepsilon \to 0^+} \ln(\sin \varepsilon) = -\infty$$ L'intégrale diverge. Cet exemple illustre l'importance de vérifier la continuité de l'intégrande sur l'intervalle d'intégration. ### IV.2. Intégration par parties > **Théorème (intégration par parties)** : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a, b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a, b]$. Alors : > $$\int_a^b u(x) v'(x)\,dx = \left[u(x) v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\,dx$$ **Démonstration** : La fonction $u \cdot v$ est dérivable sur $[a, b]$ et $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Donc $uv' = (uv)' - u'v$. En intégrant de $a$ à $b$ : $$\int_a^b uv'\,dx = \int_a^b (uv)'\,dx - \int_a^b u'v\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'v\,dx$$ **Stratégie de choix de $u$ et $v'$** : On choisit $u$ comme la fonction qui se simplifie par dérivation (polynôme, logarithme, arcsin, arctan) et $v'$ comme la fonction dont on connaît facilement une primitive (exponentielle, sinus, cosinus, polynôme). **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$. On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$. Alors $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$. Par intégration par parties : $$\int_0^1 xe^x\,dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = (1 \cdot e - 0 \cdot e^0) - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$. On écrit $\ln x = 1 \cdot \ln x$. On pose $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = 1$. Alors $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = x$. Par intégration par parties : $$\int_1^e \ln x\,dx = \left[x \ln x\right]_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x}\,dx = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1$$ **Exemple 3** : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} x \sin x\,dx$. On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = \sin x$. Alors $u'(x) = 1$ et $v(x) = -\cos x$. Par intégration par parties : $$\int_0^{\pi} x \sin x\,dx = \left[-x \cos x\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos x)\,dx = (-\pi \cos \pi + 0) + \int_0^{\pi} \cos x\,dx$$ $$= (-\pi \cdot (-1)) + \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \pi + (0 - 0) = \pi$$ **Exemple 4 (double intégration par parties)** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx$. Première intégration par parties avec $u(x) = x^2$, $v'(x) = e^x$ : $$\int_0^1 x^2 e^x\,dx = \left[x^2 e^x\right]_0^1 - \int_0^1 2x e^x\,dx = e - 2\int_0^1 xe^x\,dx$$ On a déjà calculé $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx = 1$ (exemple 1). Donc : $$\int_0^1 x^2 e^x\,dx = e - 2 \cdot 1 = e - 2$$ **Exemple 5 (intégrale cyclique)** : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\,dx$. On pose $u(x) = e^x$ et $v'(x) = \sin x$. Alors $u'(x) = e^x$ et $v(x) = -\cos x$ : $$I = \left[-e^x \cos x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} e^x (-\cos x)\,dx = (0 - (-1)) + \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\,dx = 1 + J$$ où $J = \displaystyle\int_0^{\pi/2} e^x \cos x\,dx$. On intègre $J$ par parties avec $u(x) = e^x$, $v'(x) = \cos x$, donc $u'(x) = e^x$, $v(x) = \sin x$ : $$J = \left[e^x \sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\,dx = e^{\pi/2} - I$$ En substituant : $I = 1 + e^{\pi/2} - I$, donc $2I = 1 + e^{\pi/2}$, d'où : $$I = \dfrac{1 + e^{\pi/2}}{2}$$ ### IV.3. Changement de variable affine > **Théorème (changement de variable affine)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ avec $\alpha \neq 0$. On pose $u = \alpha x + \beta$. Alors : > $$\int_a^b f(\alpha x + \beta)\,dx = \dfrac{1}{\alpha}\int_{\alpha a + \beta}^{\alpha b + \beta} f(u)\,du$$ **Démonstration** : Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. La fonction $G(x) = \dfrac{1}{\alpha}F(\alpha x + \beta)$ est une primitive de $f(\alpha x + \beta)$ car : $$G'(x) = \dfrac{1}{\alpha} \cdot \alpha \cdot F'(\alpha x + \beta) = f(\alpha x + \beta)$$ Donc : $$\int_a^b f(\alpha x + \beta)\,dx = G(b) - G(a) = \dfrac{1}{\alpha}(F(\alpha b + \beta) - F(\alpha a + \beta)) = \dfrac{1}{\alpha}\int_{\alpha a + \beta}^{\alpha b + \beta} f(u)\,du$$ **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^{2x + 1}\,dx$. Avec $\alpha = 2$, $\beta = 1$, $u = 2x + 1$ : $$\int_0^1 e^{2x+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{2 \cdot 0 + 1}^{2 \cdot 1 + 1} e^u\,du = \dfrac{1}{2}\int_1^3 e^u\,du = \dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^3 = \dfrac{e^3 - e}{2}$$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{2x + 1}\,dx$. Avec $\alpha = 2$, $\beta = 1$, $u = 2x + 1$ : $$\int_0^2 \dfrac{dx}{2x + 1} = \dfrac{1}{2}\int_1^5 \dfrac{du}{u} = \dfrac{1}{2}\left[\ln u\right]_1^5 = \dfrac{\ln 5}{2}$$ **Exemple 3** : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(3x)\,dx$. Avec $\alpha = 3$, $\beta = 0$, $u = 3x$ : $$\int_0^{\pi/2} \cos(3x)\,dx = \dfrac{1}{3}\int_0^{3\pi/2} \cos u\,du = \dfrac{1}{3}\left[\sin u\right]_0^{3\pi/2} = \dfrac{1}{3}(\sin(3\pi/2) - \sin 0) = \dfrac{-1}{3}$$ **Exemple 4** : Calculer $\displaystyle\int_{-1}^2 (2x - 3)^4\,dx$. Avec $\alpha = 2$, $\beta = -3$, $u = 2x - 3$ : $$\int_{-1}^2 (2x - 3)^4\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{-5}^{1} u^4\,du = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{u^5}{5}\right]_{-5}^{1} = \dfrac{1}{10}(1 - (-5)^5) = \dfrac{1}{10}(1 + 3125) = \dfrac{3126}{10} = 312{,}6$$ **Exemple 5 (application en sciences de la vie)** : La concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) après injection est modélisée par $C(t) = 50e^{-0{,}2t}$ pour $t \geq 0$ (en heures). Calculer l'exposition totale au médicament (aire sous la courbe) entre $t = 0$ et $t = 5$ heures. $$\text{Exposition} = \int_0^5 50e^{-0{,}2t}\,dt$$ Avec $\alpha = -0{,}2$, $\beta = 0$, $u = -0{,}2t$ : $$\int_0^5 50e^{-0{,}2t}\,dt = 50 \cdot \dfrac{1}{-0{,}2}\int_0^{-1} e^u\,du = -250\left[e^u\right]_0^{-1} = -250(e^{-1} - 1) = 250(1 - e^{-1}) \approx 158 \text{ mg}\cdot\text{h/L}$$ --- ## V. Applications : calculs d'aires et de volumes ### V.1. Aire sous une courbe > **Propriété** : Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$. L'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ est : > $$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx \text{ unités d'aire}$$ **Exemple** : Calculer l'aire sous la courbe de $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ entre $x = 1$ et $x = 3$. $$\mathcal{A} = \int_1^3 \dfrac{1}{x^2}\,dx = \int_1^3 x^{-2}\,dx = \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^3 = -\dfrac{1}{3} - (-1) = \dfrac{2}{3} \text{ u.a.}$$ ### V.2. Aire entre deux courbes > **Propriété** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ telles que $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$. L'aire de la région comprise entre les deux courbes, l'axe des abscisses étant exclu, est : > $$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx \text{ unités d'aire}$$ **Démonstration** : L'aire entre les deux courbes est la différence entre l'aire sous $f$ et l'aire sous $g$ : $$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$$ **Exemple** : Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur l'intervalle où $f \leq g$. Les courbes se coupent lorsque $x^2 = x$, soit $x(x - 1) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$. Sur $[0, 1]$, on a $x^2 \leq x$ (car $x^2 - x = x(x-1) \leq 0$). L'aire est donc : $$\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \text{ u.a.}$$ ```onbuch-plot {"title":"Aire entre f(x)=x^2 et g(x)=x sur [0,1]","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^2","points":[[0,0],[0.05,0.0025],[0.1,0.01],[0.15,0.0225],[0.2,0.04],[0.25,0.0625],[0.3,0.09],[0.35,0.1225],[0.4,0.16],[0.45,0.2025],[0.5,0.25],[0.55,0.3025],[0.6,0.36],[0.65,0.4225],[0.7,0.49],[0.75,0.5625],[0.8,0.64],[0.85,0.7225],[0.9,0.81],[0.95,0.9025],[1,1]]},{"label":"g(x) = x","points":[[0,0],[0.05,0.05],[0.1,0.1],[0.15,0.15],[0.2,0.2],[0.25,0.25],[0.3,0.3],[0.35,0.35],[0.4,0.4],[0.45,0.45],[0.5,0.5],[0.55,0.55],[0.6,0.6],[0.65,0.65],[0.7,0.7],[0.75,0.75],[0.8,0.8],[0.85,0.85],[0.9,0.9],[0.95,0.95],[1,1]]}]} ``` ### V.3. Aire avec changement de signe Lorsque $f$ change de signe sur $[a, b]$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ mesure l'aire algébrique (positive au-dessus de l'axe, négative en dessous). Pour obtenir l'aire géométrique totale, on intègre $|f(x)|$. > **Propriété** : L'aire géométrique de la région délimitée par la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[a, b]$ est : > $$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx$$ **Exemple** : Calculer l'aire totale délimitée par $f(x) = x^2 - 1$ et l'axe des abscisses sur $[-2, 2]$. La fonction s'annule en $x = -1$ et $x = 1$. Sur $[-2, -1]$, $f \geq 0$ ; sur $[-1, 1]$, $f \leq 0$ ; sur $[1, 2]$, $f \geq 0$. Par la relation de Chasles : $$\mathcal{A} = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\,dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx$$ Calculons chaque intégrale : $$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{-1} = \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 2\right) = \dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$$ $$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) - \left(-1 + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$$ $$\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$$ Donc : $$\mathcal{A} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4 \text{ u.a.}$$ ### V.4. Calcul de volumes #### V.4.1. Volume d'un solide de révolution > **Théorème (volume de révolution)** : Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$. Le volume du solide obtenu par rotation de la région sous la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses est : > $$V = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx$$ **Démonstration** : On découpe le solide en tranches d'épaisseur $dx$ perpendiculaires à l'axe des abscisses. Chaque tranche est approximativement un cylindre de rayon $f(x)$ et de hauteur $dx$, donc de volume $dV = \pi (f(x))^2\,dx$. En sommant et en passant à la limite, on obtient la formule. **Exemple 1 (volume d'une sphère)** : Calculer le volume de la sphère de rayon $R$. La sphère de rayon $R$ est obtenue par rotation du demi-cercle $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ autour de l'axe des abscisses, pour $x \in [-R, R]$. $$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi \left[R^2 x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[\left(R^3 - \dfrac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \dfrac{R^3}{3}\right)\right] = \pi\left(\dfrac{2R^3}{3} + \dfrac{2R^3}{3}\right) = \dfrac{4\pi R^3}{3}$$ On retrouve la formule classique du volume de la sphère. **Exemple 2** : Calculer le volume du solide engendré par rotation de la courbe $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 4]$ autour de l'axe des abscisses. $$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \text{ u.v.}$$ #### V.4.2. Volume par tranches > **Propriété** : Si un solide est tel que pour tout $x \in [a, b]$, la section par le plan perpendiculaire à l'axe des abscisses au point $x$ a une aire $S(x)$ (fonction continue), alors le volume du solide est : > $$V = \int_a^b S(x)\,dx$$ **Exemple** : Un solide a des sections perpendiculaires à l'axe des abscisses qui sont des carrés de côté $2\sqrt{x}$ pour $x \in [0, 1]$. Calculer son volume. L'aire de la section au point $x$ est $S(x) = (2\sqrt{x})^2 = 4x$. Donc : $$V = \int_0^1 4x\,dx = 4\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2 \text{ u.v.}$$ ### V.5. Application en sciences de la vie **Exemple (débit cardiaque)** : Le débit sanguin (en L/min) à travers une valve cardiaque est modélisé par $D(t) = 5 + 3\sin(2\pi t)$ où $t$ est en minutes. Calculer le volume de sang pompé entre $t = 0$ et $t = 0{,}5$ min. $$V = \int_0^{0{,}5} (5 + 3\sin(2\pi t))\,dt = \left[5t - \dfrac{3}{2\pi}\cos(2\pi t)\right]_0^{0{,}5}$$ $$= \left(5 \cdot 0{,}5 - \dfrac{3}{2\pi}\cos(\pi)\right) - \left(0 - \dfrac{3}{2\pi}\cos(0)\right) = \left(2{,}5 + \dfrac{3}{2\pi}\right) - \left(-\dfrac{3}{2\pi}\right) = 2{,}5 + \dfrac{3}{\pi} \approx 3{,}455 \text{ L}$$ --- ## VI. Valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles ### VI.1. Principe de la méthode Lorsqu'on ne peut pas calculer explicitement une primitive (par exemple pour $f(x) = e^{-x^2}$), on utilise des méthodes numériques d'approximation. > **Définition (méthode des rectangles à gauche)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. On subdivise $[a, b]$ en $n$ intervalles égaux de longueur $h = \dfrac{b - a}{n}$, avec les points $x_k = a + kh$ pour $k = 0, 1, \ldots, n$. La méthode des rectangles à gauche consiste à approcher l'intégrale par : > $$I_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) = h(f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}))$$ > **Définition (méthode des rectangles à droite)** : La méthode des rectangles à droite consiste à approcher l'intégrale par : > $$J_n = h \sum_{k=1}^{n} f(x_k) = h(f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n))$$ > **Définition (méthode du point milieu)** : La méthode du point milieu utilise les centres des intervalles : > $$M_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\dfrac{x_k + x_{k+1}}{2}\right)$$ ### VI.2. Convergence et majoration de l'erreur > **Théorème (convergence)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors : > $$\lim_{n \to +\infty} I_n = \lim_{n \to +\infty} J_n = \lim_{n \to +\infty} M_n = \int_a^b f(x)\,dx$$ > **Théorème (majoration de l'erreur)** : Si $f$ est dérivable sur $[a, b]$ et si $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$, alors : > $$\left|\int_a^b f(x)\,dx - I_n\right| \leq \dfrac{M(b - a)^2}{2n}$$ > La même majoration vaut pour $J_n$. Si $f$ est deux fois dérivable et $|f''(x)| \leq M_2$, alors pour la méthode du point milieu : > $$\left|\int_a^b f(x)\,dx - M_n\right| \leq \dfrac{M_2(b - a)^3}{24n^2}$$ **Démonstration (esquisse)** : Sur chaque intervalle $[x_k, x_{k+1}]$, l'erreur de la méthode des rectangles à gauche est : $$E_k = \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx - h f(x_k) = \int_{x_k}^{x_{k+1}} (f(x) - f(x_k))\,dx$$ Par l'inégalité des accroissements finis, $|f(x) - f(x_k)| \leq M|x - x_k| \leq Mh$ pour $x \in [x_k, x_{k+1}]$. Donc $|E_k| \leq Mh \cdot h = Mh^2$. En sommant sur les $n$ intervalles : $$|E| \leq nMh^2 = n \cdot M \cdot \dfrac{(b-a)^2}{n^2} = \dfrac{M(b-a)^2}{n}$$ ### VI.3. Exemple numérique détaillé **Exemple** : Approcher $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ par la méthode des rectangles avec $n = 4$, $n = 10$ et $n = 100$. La fonction $f(x) = e^{-x^2}$ n'admet pas de primitive élémentaire. On utilise la méthode numérique. **Pour $n = 4$** : $h = \dfrac{1 - 0}{4} = 0{,}25$. Les points sont $x_0 = 0$, $x_1 = 0{,}25$, $x_2 = 0{,}5$, $x_3 = 0{,}75$, $x_4 = 1$. Méthode des rectangles à gauche : $$I_4 = 0{,}25 \times (f(0) + f(0{,}25) + f(0{,}5) + f(0{,}75))$$ $$= 0{,}25 \times (e^0 + e^{-0{,}0625} + e^{-0{,}25} + e^{-0{,}5625})$$ $$= 0{,}25 \times (1 + 0{,}9394 + 0{,}7788 + 0{,}5698) = 0{,}25 \times 3{,}288 = 0{,}822$$ Méthode des rectangles à droite : $$J_4 = 0{,}25 \times (f(0{,}25) + f(0{,}5) + f(0{,}75) + f(1))$$ $$= 0{,}25 \times (0{,}9394 + 0{,}7788 + 0{,}5698 + 0{,}3679) = 0{,}25 \times 2{,}6559 = 0{,}664$$ La valeur exacte est comprise entre $I_4$ et $J_4$ (car $f$ est décroissante sur $[0, 1]$) : $$0{,}664 \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 0{,}822$$ La moyenne des deux donne une meilleure approximation : $\dfrac{0{,}822 + 0{,}664}{2} = 0{,}743$. **Pour $n = 10$** : $h = 0{,}1$. Les points sont $x_k = 0{,}1k$ pour $k = 0, \ldots, 10$. Rectangles à gauche : $$I_{10} = 0{,}1 \sum_{k=0}^{9} e^{-(0{,}1k)^2} = 0{,}1(e^0 + e^{-0{,}01} + e^{-0{,}04} + e^{-0{,}09} + e^{-0{,}16} + e^{-0{,}25} + e^{-0{,}36} + e^{-0{,}49} + e^{-0{,}64} + e^{-0{,}81})$$ $$= 0{,}1(1 + 0{,}9900 + 0{,}9608 + 0{,}9139 + 0{,}8521 + 0{,}7788 + 0{,}6977 + 0{,}6126 + 0{,}5273 + 0{,}4449) = 0{,}1 \times 7{,}7781 = 0{,}7778$$ Rectangles à droite : $$J_{10} = 0{,}1 \sum_{k=1}^{10} e^{-(0{,}1k)^2} = 0{,}1(0{,}9900 + 0{,}9608 + 0{,}9139 + 0{,}8521 + 0{,}7788 + 0{,}6977 + 0{,}6126 + 0{,}5273 + 0{,}4449 + 0{,}3679) = 0{,}1 \times 7{,}146 = 0{,}7146$$ Donc : $$0{,}7146 \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 0{,}7778$$ **Pour $n = 100$** : $h = 0{,}01$. Le calcul donne approximativement $I_{100} \approx 0{,}7471$ et $J_{100} \approx 0{,}7471$. La valeur exacte est $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0{,}7468$ (valeur connue par d'autres méthodes). **Majoration de l'erreur** : Pour $f(x) = e^{-x^2}$, on a $f'(x) = -2xe^{-x^2}$. Sur $[0, 1]$, $|f'(x)| = 2xe^{-x^2} \leq 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ (en fait le maximum est atteint en $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et vaut $\sqrt{2}e^{-1/2} \approx 0{,}858$). Avec $M = 2$ : $$\left|\int_0^1 e^{-x^2}\,dx - I_n\right| \leq \dfrac{2 \cdot 1^2}{2n} = \dfrac{1}{n}$$ Pour $n = 100$, l'erreur est au plus $0{,}01$, ce qui est cohérent avec les valeurs obtenues. ### VI.4. Algorithme de calcul Pour implémenter la méthode des rectangles en langage naturel : 1. Entrer $a$, $b$, $n$ et la fonction $f$ ; 2. Calculer $h = \dfrac{b - a}{n}$ ; 3. Initialiser $S = 0$ ; 4. Pour $k$ de $0$ à $n-1$ : $S \leftarrow S + f(a + kh)$ ; 5. Afficher $I_n = h \times S$. **Exemple (Baccalauréat blanc, Cameroun)** : On considère $f(x) = \ln(1 + x)$ sur $[0, 1]$. 1. Calculer $\displaystyle\int_0^1 \ln(1 + x)\,dx$ par intégration par parties. On pose $u(x) = \ln(1+x)$ et $v'(x) = 1$. Alors $u'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ et $v(x) = x$ : $$\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \left[x\ln(1+x)\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x}{1+x}\,dx = \ln 2 - \int_0^1 \dfrac{x}{1+x}\,dx$$ Or $\dfrac{x}{1+x} = 1 - \dfrac{1}{1+x}$, donc : $$\int_0^1 \dfrac{x}{1+x}\,dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right)\,dx = \left[x - \ln(1+x)\right]_0^1 = 1 - \ln 2$$ Finalement : $$\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2\ln 2 - 1 \approx 0{,}3863$$ 2. Approcher cette intégrale par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 5$. $h = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$. Les points sont $x_k = 0{,}2k$ pour $k = 0, \ldots, 4$. $$I_5 = 0{,}2 \times (\ln(1) + \ln(1{,}2) + \ln(1{,}4) + \ln(1{,}6) + \ln(1{,}8))$$ $$= 0{,}2 \times (0 + 0{,}1823 + 0{,}3365 + 0{,}4700 + 0{,}5878) = 0{,}2 \times 1{,}5766 = 0{,}3153$$ L'erreur est $|0{,}3863 - 0{,}3153| = 0{,}071$. 3. Avec $n = 10$ : $h = 0{,}1$. $$I_{10} = 0{,}1 \times \sum_{k=0}^{9} \ln(1 + 0{,}1k) = 0{,}1 \times (\ln 1 + \ln 1{,}1 + \ln 1{,}2 + \ldots + \ln 1{,}9)$$ $$= 0{,}1 \times (0 + 0{,}0953 + 0{,}1823 + 0{,}2624 + 0{,}3365 + 0{,}4055 + 0{,}4700 + 0{,}5306 + 0{,}5878 + 0{,}6419) = 0{,}1 \times 3{,}5123 = 0{,}3512$$ L'erreur est $|0{,}3863 - 0{,}3512| = 0{,}0351$, soit environ la moitié de l'erreur avec $n = 5$, ce qui est cohérent avec la majoration $\dfrac{M}{2n}$. --- ## Conclusion Le calcul intégral est un outil fondamental de l'analyse mathématique. Dans ce chapitre, nous avons établi : 1. La définition rigoureuse de l'intégrale comme limite de sommes de Riemann, et son lien avec les primitives via le théorème fondamental de l'analyse ; 2. Les propriétés essentielles : linéarité, positivité, relation de Chasles, qui permettent de manipuler les intégrales efficacement ; 3. L'inégalité de la moyenne et la notion de valeur moyenne, qui donnent des encadrements et des interprétations physiques ; 4. Les méthodes de calcul : lecture directe de primitives, intégration par parties, changement de variable affine ; 5. Les applications géométriques : calcul d'aires planes et de volumes de révolution ; 6. L'approximation numérique par la méthode des rectangles, indispensable lorsque les primitives ne sont pas exprimables simplement. Ces notions sont au programme officiel du MINESEC pour les séries D et sont régulièrement évaluées au Baccalauréat camerounais, tant dans les exercices de calcul que dans les problèmes de synthèse. La maîtrise du calcul intégral ouvre la voie à l'étude des équations différentielles, des probabilités continues et de nombreuses applications en sciences de la vie et de la terre.