Fonctions exponentielles

# Fiche de cours : Fonctions exponentielles ## Introduction Les fonctions exponentielles constituent l'une des familles de fonctions les plus importantes de l'analyse mathématique. Elles apparaissent dans de nombreux domaines : croissance de populations, désintégration radioactive, refroidissement d'un corps, intérêts composés, etc. Au Cameroun, l'étude des fonctions exponentielles en classe de Terminale D est essentielle pour la réussite au Baccalauréat. Ce chapitre vise à faire découvrir la fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, à étudier ses propriétés algébriques et analytiques, à résoudre des équations et inéquations, à calculer des limites, à dériver et primitiver des expressions faisant intervenir $e^u$, et enfin à étudier des fonctions définies à l'aide de l'exponentielle. L'approche par compétences privilégiée par le MINESEC exige une maîtrise conceptuelle et technique de ces notions. --- ## I. Fonction exponentielle népérienne : présentation et propriétés ### I.1. Présentation de la fonction exponentielle La fonction exponentielle népérienne est la fonction notée $\exp$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $$\exp'(x) = \exp(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}, \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1.$$ On note également $\exp(x) = e^x$, où $e$ est le nombre d'Euler, défini comme $e = \exp(1) \approx 2,71828...$. > **Définition clé :** La fonction exponentielle népérienne est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f'(x) = f(x)$ pour tout $x$ réel et $f(0) = 1$. On la note $\exp(x) = e^x$. **Existence et unicité :** L'existence de cette fonction est admise en Terminale. L'unicité se démontre en considérant deux fonctions $f$ et $g$ vérifiant les conditions. On pose $h(x) = f(x) \cdot g(-x)$. Alors $h'(x) = f'(x)g(-x) - f(x)g'(-x) = f(x)g(-x) - f(x)g(-x) = 0$. Donc $h$ est constante, et $h(0) = f(0)g(0) = 1$. Ainsi $f(x)g(-x) = 1$, d'où $f(x) = \frac{1}{g(-x)}$. En particulier, pour $x=0$, on obtient $f(0) = g(0) = 1$. En remplaçant $x$ par $-x$ dans la relation, on obtient $f(-x)g(x) = 1$, donc $f(x) = g(x)$ pour tout $x$. L'unicité est démontrée. ### I.2. Propriétés algébriques fondamentales Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ : $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b, \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a}, \qquad (e^a)^n = e^{na}.$$ > **Propriété fondamentale (relation fonctionnelle) :** Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$. Cette propriété transforme une addition en multiplication, ce qui est caractéristique des fonctions exponentielles. **Démonstration de la relation fonctionnelle :** Soit $a$ un réel fixé. On définit la fonction $g(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a}$. Alors $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a} = g(x)$. De plus, $g(0) = \frac{e^a}{e^a} = 1$. Par unicité de la fonction exponentielle, $g(x) = e^x$ pour tout $x$. Donc $e^{a+x} = e^a \cdot e^x$. **Exemple numérique :** Calculer $e^{3} \cdot e^{-1}$. On a $e^3 \cdot e^{-1} = e^{3 + (-1)} = e^{2} \approx 7,389$. ### I.3. Propriétés analytiques - La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. - Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. - La courbe représentative de $\exp$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $-\infty$. > **Propriété clé :** Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. **Démonstration de la stricte croissance :** Puisque $\exp'(x) = \exp(x) > 0$ pour tout $x$, la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. **Démonstration de $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ :** On sait que $e^x > x$ pour tout $x \geq 0$ (ce résultat peut être démontré par l'étude de la fonction $h(x) = e^x - x$ qui a un minimum en $0$ valant $1$). Comme $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. **Démonstration de $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ :** On pose $X = -x$. Alors $x \to -\infty$ équivaut à $X \to +\infty$. On a $e^x = e^{-X} = \frac{1}{e^X}$. Comme $\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$, on en déduit $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. ### I.4. Tracé de la courbe de la fonction exponentielle ```onbuch-plot {"title":"Courbe de la fonction exponentielle f(x) = e^x", "type":"line", "series":[{"label":"f(x) = e^x", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,1],[0.5,1.6487],[1,2.7183],[1.5,4.4817],[2,7.3891],[2.5,12.1825],[3,20.0855],[3.5,33.1155],[4,54.5982],[4.5,90.0171],[5,148.4132]]}]} ``` --- ## II. Équations et inéquations dans lesquelles intervient exp ### II.1. Équations du type $e^u = e^v$ La fonction exponentielle étant strictement croissante, elle est injective. Par conséquent : $$e^u = e^v \iff u = v.$$ > **Propriété clé :** Pour tous réels $u$ et $v$, $e^u = e^v$ si et seulement si $u = v$. L'équation $e^u = k$ (avec $k > 0$) admet une unique solution : $u = \ln(k)$. **Exemple 1 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x+1} = e^{x-3}$. **Solution :** Puisque la fonction exponentielle est injective, on a : $$2x+1 = x-3 \iff 2x - x = -3 - 1 \iff x = -4.$$ L'ensemble des solutions est $S = \{-4\}$. **Exemple 2 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x^2 - 1} = 1$. **Solution :** On écrit $1 = e^0$. L'équation devient $e^{x^2 - 1} = e^0$, donc $x^2 - 1 = 0$, soit $x^2 = 1$. Les solutions sont $x = 1$ et $x = -1$. L'ensemble des solutions est $S = \{-1; 1\}$. **Exemple 3 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. **Solution :** On pose $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Les racines sont $X_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$. On revient à $x$ : $e^x = 1 \iff x = 0$ et $e^x = 2 \iff x = \ln(2)$. L'ensemble des solutions est $S = \{0; \ln(2)\}$. ### II.2. Inéquations du type $e^u < e^v$ ou $e^u > e^v$ La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pour tous réels $u$ et $v$ : $$e^u < e^v \iff u < v, \qquad e^u > e^v \iff u > v, \qquad e^u \leq e^v \iff u \leq v.$$ > **Propriété clé :** La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de comparer les exposants : $e^u < e^v \iff u < v$ et $e^u > e^v \iff u > v$. **Exemple 4 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{3x-2} > e^{x+4}$. **Solution :** Par stricte croissance, on a : $$3x - 2 > x + 4 \iff 3x - x > 4 + 2 \iff 2x > 6 \iff x > 3.$$ L'ensemble des solutions est $S = ]3; +\infty[$. **Exemple 5 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{x^2} \leq e^{2x}$. **Solution :** Par stricte croissance, $x^2 \leq 2x \iff x^2 - 2x \leq 0 \iff x(x-2) \leq 0$. Le tableau de signes de $x(x-2)$ donne : positif sur $]-\infty; 0[$, négatif sur $]0; 2[$, positif sur $]2; +\infty[$. Donc $x(x-2) \leq 0$ pour $x \in [0; 2]$. L'ensemble des solutions est $S = [0; 2]$. **Exemple 6 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^x + e^{-x} > 2$. **Solution :** On pose $X = e^x > 0$. L'inéquation devient $X + \frac{1}{X} > 2$, soit $X^2 + 1 > 2X$ (en multipliant par $X > 0$), donc $X^2 - 2X + 1 > 0$, c'est-à-dire $(X-1)^2 > 0$. Cette inégalité est vraie pour tout $X \neq 1$. Donc $e^x \neq 1$, soit $x \neq 0$. L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$. ### II.3. Équations et inéquations avec paramètre **Exemple 7 :** Discuter selon les valeurs du paramètre réel $m$ le nombre de solutions de l'équation $e^{2x} - 2e^x = m$. **Solution :** On pose $X = e^x > 0$. L'équation devient $X^2 - 2X = m$, soit $X^2 - 2X - m = 0$. Le discriminant est $\Delta = 4 + 4m = 4(1+m)$. - Si $m < -1$, alors $\Delta < 0$ : pas de solution réelle pour $X$, donc pas de solution pour $x$. - Si $m = -1$, alors $\Delta = 0$ : $X = 1$, donc $e^x = 1$, soit $x = 0$. Une solution. - Si $m > -1$, alors $\Delta > 0$ : deux racines $X_1 = 1 - \sqrt{1+m}$ et $X_2 = 1 + \sqrt{1+m}$. On doit avoir $X > 0$. $X_2 > 0$ toujours. $X_1 > 0 \iff 1 - \sqrt{1+m} > 0 \iff \sqrt{1+m} < 1 \iff 1+m < 1 \iff m < 0$. Donc : - Si $-1 < m < 0$ : deux solutions $x_1 = \ln(1 - \sqrt{1+m})$ et $x_2 = \ln(1 + \sqrt{1+m})$. - Si $m = 0$ : $X_1 = 0$ (exclu car $e^x > 0$) et $X_2 = 2$, donc une solution $x = \ln(2)$. - Si $m > 0$ : $X_1 < 0$ (exclu) et $X_2 > 0$, donc une solution $x = \ln(1 + \sqrt{1+m})$. --- ## III. Limites, dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$ ### III.1. Limites de référence Les limites fondamentales à connaître : $$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0.$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.$$ > **Limites de référence :** $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ (la fonction exponentielle croît plus vite que toute fonction puissance) et $\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$ (la fonction exponentielle décroît plus vite que toute fonction puissance ne croît). **Démonstration de $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ :** On sait que $e^x > \frac{x^2}{2}$ pour $x > 0$ (ceci se démontre par récurrence ou par étude de fonction). Alors $\frac{e^x}{x} > \frac{x}{2}$ pour $x > 0$. Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty$, par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$. **Démonstration de $\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$ :** On pose $X = -x$. Alors $x \to -\infty$ équivaut à $X \to +\infty$. On a $x \cdot e^x = -X \cdot e^{-X} = -\frac{X}{e^X}$. Or $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X} = +\infty$, donc $\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = 0$. Par conséquent, $\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$. **Démonstration de $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ :** Par définition de la dérivée, $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \exp'(0) = \exp(0) = 1$. ### III.2. Limites de fonctions composées Pour une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$ : - Si $\lim_{x \to a} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = +\infty$. - Si $\lim_{x \to a} u(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = 0$. - Si $\lim_{x \to a} u(x) = L \in \mathbb{R}$, alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L$. **Exemple 8 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 2x}$. **Solution :** On a $-x^2 + 2x = -x^2(1 - \frac{2}{x})$. Quand $x \to +\infty$, $-x^2 \to -\infty$ et $1 - \frac{2}{x} \to 1$, donc $-x^2 + 2x \to -\infty$. Par composition, $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 2x} = 0$. **Exemple 9 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x}$. **Solution :** On factorise par $e^x$ au numérateur et au dénominateur : $$\frac{e^x + x}{e^x - x} = \frac{e^x(1 + \frac{x}{e^x})}{e^x(1 - \frac{x}{e^x})} = \frac{1 + \frac{x}{e^x}}{1 - \frac{x}{e^x}}.$$ Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (d'après la limite de référence $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$). Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$. **Exemple 10 :** Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$. **Solution :** On pose $X = 3x$. Quand $x \to 0$, $X \to 0$. Alors $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^X - 1}{X}$. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot 1 = 3$. ### III.3. Dérivée de $e^u$ > **Théorème fondamental :** Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ : > $$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}.$$ **Démonstration :** La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction $u$ est dérivable sur $I$. Par le théorème de dérivation des fonctions composées, $f = \exp \circ u$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = u'(x) \cdot \exp'(u(x)) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$. **Exemple 11 :** Dériver la fonction $f(x) = e^{3x^2 - 2x + 1}$. **Solution :** On pose $u(x) = 3x^2 - 2x + 1$, donc $u'(x) = 6x - 2$. Alors $f'(x) = (6x - 2) \cdot e^{3x^2 - 2x + 1}$. **Exemple 12 :** Dériver la fonction $g(x) = e^{\sin(x)}$. **Solution :** On pose $u(x) = \sin(x)$, donc $u'(x) = \cos(x)$. Alors $g'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}$. **Exemple 13 :** Dériver la fonction $h(x) = \frac{e^x}{x}$ pour $x \neq 0$. **Solution :** On utilise la formule de dérivation d'un quotient : $h'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$. **Exemple 14 :** Dériver la fonction $k(x) = e^{\sqrt{x}}$ pour $x > 0$. **Solution :** On pose $u(x) = \sqrt{x}$, donc $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Alors $k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}}$. ### III.4. Primitives de $u'e^u$ > **Théorème fondamental :** Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$ admet pour primitives sur $I$ les fonctions $F(x) = e^{u(x)} + C$, où $C$ est une constante réelle. **Démonstration :** On vérifie que $F'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = f(x)$ d'après le théorème de dérivation de $e^u$. Donc $F$ est bien une primitive de $f$. Toute primitive diffère d'une constante. **Exemple 15 :** Déterminer une primitive de $f(x) = 2x \cdot e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$. **Solution :** On pose $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. Alors $f(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$. Une primitive est $F(x) = e^{x^2}$. **Exemple 16 :** Déterminer la primitive de $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$. **Solution :** On remarque que $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$. On pose $u(x) = e^x + 1$, donc $u'(x) = e^x$. Alors $g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u|$. Donc $G(x) = \ln(e^x + 1) + C$ (on peut enlever la valeur absolue car $e^x + 1 > 0$). On impose $G(0) = 0$ : $\ln(e^0 + 1) + C = \ln(2) + C = 0$, donc $C = -\ln(2)$. La primitive cherchée est $G(x) = \ln(e^x + 1) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e^x + 1}{2}\right)$. **Exemple 17 :** Calculer l'intégrale $I = \int_0^1 x \cdot e^{x^2} \, dx$. **Solution :** On pose $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$. Alors $x \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$. Une primitive est $\frac{1}{2} e^{x^2}$. Donc $I = \left[\frac{1}{2} e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} e^{1} - \frac{1}{2} e^{0} = \frac{e - 1}{2}$. **Exemple 18 :** Déterminer une primitive de $h(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ sur $]0; +\infty[$. **Solution :** On pose $u(x) = \sqrt{x}$, donc $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Alors $h(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}} = 2 u'(x) e^{u(x)}$. Une primitive est $H(x) = 2 e^{\sqrt{x}}$. --- ## IV. Étude de fonctions définies à l'aide de exp ### IV.1. Méthodologie générale Pour étudier une fonction $f$ définie à l'aide de l'exponentielle, on suit les étapes suivantes : 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$. 2. Étudier la parité ou la périodicité si possible. 3. Calculer la dérivée $f'(x)$. 4. Étudier le signe de $f'(x)$ (souvent le signe d'un polynôme ou d'une expression plus simple, car $e^{u(x)} > 0$). 5. Dresser le tableau de variations. 6. Calculer les limites aux bornes de $D_f$. 7. Rechercher les asymptotes éventuelles. 8. Tracer la courbe représentative. ### IV.2. Exemple 1 : Étude complète de $f(x) = x \cdot e^{-x}$ **1. Ensemble de définition :** $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ car $e^{-x}$ est définie pour tout $x$ réel. Donc $D_f = \mathbb{R}$. **2. Parité :** $f(-x) = -x \cdot e^{x} \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$. La fonction n'est ni paire ni impaire. **3. Dérivée :** $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-1) \cdot e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$. **4. Signe de la dérivée :** $e^{-x} > 0$ pour tout $x$. Donc le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. - $f'(x) > 0 \iff 1 - x > 0 \iff x < 1$. - $f'(x) = 0 \iff x = 1$. - $f'(x) < 0 \iff x > 1$. **5. Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^{-x}$. On pose $X = -x$, alors $X \to +\infty$ et $x \cdot e^{-x} = -X \cdot e^{X} \to -\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (d'après la limite de référence). L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$. **6. Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|------|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $e^{-1}$ | $\searrow$ | $0$ | Le maximum est $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,368$. **7. Tracé de la courbe :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x·e^(-x)", "type":"line", "series":[{"label":"f(x) = x·e^(-x)", "points":[[-5,-0.0337],[-4.5,-0.0500],[-4,-0.0733],[-3.5,-0.1057],[-3,-0.1494],[-2.5,-0.2052],[-2,-0.2707],[-1.5,-0.3347],[-1,-0.3679],[-0.5,-0.3033],[0,0],[0.5,0.3033],[1,0.3679],[1.5,0.3347],[2,0.2707],[2.5,0.2052],[3,0.1494],[3.5,0.1057],[4,0.0733],[4.5,0.0500],[5,0.0337]]}]} ``` ### IV.3. Exemple 2 : Étude complète de $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ **1. Ensemble de définition :** Le dénominateur $e^x + 1 > 0$ pour tout $x$ réel. Donc $D_g = \mathbb{R}$. **2. Parité :** $g(-x) = \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} = \frac{1/e^x}{1/e^x + 1} = \frac{1}{1 + e^x}$. On a $g(x) + g(-x) = \frac{e^x}{e^x + 1} + \frac{1}{e^x + 1} = \frac{e^x + 1}{e^x + 1} = 1$. La courbe est symétrique par rapport au point $(0; \frac{1}{2})$. **3. Dérivée :** $g'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$. **4. Signe de la dérivée :** $e^x > 0$ et $(e^x + 1)^2 > 0$, donc $g'(x) > 0$ pour tout $x$. La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. **5. Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{0}{0 + 1} = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x + 1}$. On factorise par $e^x$ : $\frac{e^x}{e^x(1 + e^{-x})} = \frac{1}{1 + e^{-x}}$. Comme $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$, on a $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$. **6. Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----------| | $g'(x)$ | | $+$ | | | $g(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | **7. Tracé de la courbe :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = e^x/(e^x + 1)", "type":"line", "series":[{"label":"g(x) = e^x/(e^x+1)", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,1],[0.5,1.6487],[1,2.7183],[1.5,4.4817],[2,7.3891],[2.5,12.1825],[3,20.0855],[3.5,33.1155],[4,54.5982],[4.5,90.0171],[5,148.4132]]}]} ``` *Remarque : le tracé ci-dessus est incorrect pour cette fonction. Voici le tracé correct :* ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = e^x/(e^x + 1)", "type":"line", "series":[{"label":"g(x) = e^x/(e^x+1)", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0110],[-4,0.0180],[-3.5,0.0293],[-3,0.0474],[-2.5,0.0759],[-2,0.1192],[-1.5,0.1824],[-1,0.2689],[-0.5,0.3775],[0,0.5],[0.5,0.6225],[1,0.7311],[1.5,0.8176],[2,0.8808],[2.5,0.9241],[3,0.9526],[3.5,0.9707],[4,0.9820],[4.5,0.9890],[5,0.9933]]}]} ``` ### IV.4. Exemple 3 : Étude complète de $h(x) = e^x - x - 1$ **1. Ensemble de définition :** $D_h = \mathbb{R}$. **2. Dérivée :** $h'(x) = e^x - 1$. **3. Signe de la dérivée :** $h'(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$. $h'(x) = 0 \iff x = 0$. $h'(x) < 0 \iff x < 0$. **4. Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x - x - 1) = 0 - (-\infty) - 1 = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x - x - 1) = +\infty$ car $e^x$ domine $x$. **5. Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|------|-----------| | $h'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $h(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | Le minimum est $h(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$. Donc $h(x) \geq 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^x \geq x + 1$ pour tout $x$ réel. Cette inégalité est fondamentale. > **Inégalité fondamentale :** Pour tout réel $x$, $e^x \geq x + 1$, avec égalité si et seulement si $x = 0$. **6. Tracé de la courbe :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de h(x) = e^x - x - 1", "type":"line", "series":[{"label":"h(x) = e^x - x - 1", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,1],[0.5,1.6487],[1,2.7183],[1.5,4.4817],[2,7.3891],[2.5,12.1825],[3,20.0855],[3.5,33.1155],[4,54.5982],[4.5,90.0171],[5,148.4132]]}]} ``` *Remarque : le tracé ci-dessus est incorrect. Voici le tracé correct :* ```onbuch-plot {"title":"Courbe de h(x) = e^x - x - 1", "type":"line", "series":[{"label":"h(x) = e^x - x - 1", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,0],[0.5,0.1487],[1,0.7183],[1.5,1.9817],[2,4.3891],[2.5,9.1825],[3,17.0855],[3.5,29.6155],[4,49.5982],[4.5,83.5171],[5,142.4132]]}]} ``` ### IV.5. Exemple 4 : Étude complète de $p(x) = (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$ **1. Ensemble de définition :** $D_p = \mathbb{R}$. **2. Dérivée :** $p'(x) = (2x - 2) \cdot e^x + (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x = (x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) \cdot e^x = x^2 \cdot e^x$. **3. Signe de la dérivée :** $x^2 \geq 0$ et $e^x > 0$, donc $p'(x) \geq 0$ pour tout $x$, avec $p'(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$. La fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ (avec un point d'inflexion en $0$). **4. Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$. On pose $X = -x$, alors $X \to +\infty$ et $(x^2 - 2x + 2) \cdot e^x = (X^2 + 2X + 2) \cdot e^{-X} = \frac{X^2 + 2X + 2}{e^X}$. Or $\lim_{X \to +\infty} \frac{X^2}{e^X} = 0$ (car $e^X$ domine $X^2$), donc $\lim_{x \to -\infty} p(x) = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} p(x) = +\infty$ car $e^x$ domine le polynôme. **5. Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----------| | $p'(x)$ | | $+$ (nul en 0) | | | $p(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | **6. Tracé de la courbe :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de p(x) = (x^2 - 2x + 2)·e^x", "type":"line", "series":[{"label":"p(x) = (x^2-2x+2)·e^x", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,2],[0.5,3.2974],[1,5.4366],[1.5,8.9634],[2,14.7781],[2.5,24.3650],[3,40.1711],[3.5,66.2310],[4,109.1963],[4.5,180.0342],[5,296.8264]]}]} ``` ### IV.6. Exemple 5 : Étude complète de $q(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$ **1. Ensemble de définition :** Le dénominateur $e^x + 1 > 0$ pour tout $x$, donc $D_q = \mathbb{R}$. **2. Parité :** $q(-x) = \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \frac{1/e^x - 1}{1/e^x + 1} = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} = -\frac{e^x - 1}{e^x + 1} = -q(x)$. La fonction est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. **3. Dérivée :** $q'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x \cdot e^x + e^x - e^x \cdot e^x + e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$. **4. Signe de la dérivée :** $2e^x > 0$ et $(e^x + 1)^2 > 0$, donc $q'(x) > 0$ pour tout $x$. La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. **5. Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} q(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. La droite $y = -1$ est asymptote horizontale en $-\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} q(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(1 - e^{-x})}{e^x(1 + e^{-x})} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$. **6. Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----------| | $q'(x)$ | | $+$ | | | $q(x)$ | $-1$ | $\nearrow$ | $1$ | **7. Tracé de la courbe :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de q(x) = (e^x - 1)/(e^x + 1)", "type":"line", "series":[{"label":"q(x) = (e^x-1)/(e^x+1)", "points":[[-5,-0.9866],[-4.5,-0.9778],[-4,-0.9640],[-3.5,-0.9414],[-3,-0.9051],[-2.5,-0.8483],[-2,-0.7616],[-1.5,-0.6351],[-1,-0.4621],[-0.5,-0.2449],[0,0],[0.5,0.2449],[1,0.4621],[1.5,0.6351],[2,0.7616],[2.5,0.8483],[3,0.9051],[3.5,0.9414],[4,0.9640],[4.5,0.9778],[5,0.9866]]}]} ``` --- ## Conclusion La fonction exponentielle népérienne est un outil fondamental de l'analyse mathématique. Sa propriété remarquable d'être sa propre dérivée en fait une fonction d'une importance capitale dans la modélisation de nombreux phénomènes naturels, économiques et physiques. Dans ce chapitre, nous avons étudié : 1. La présentation de la fonction exponentielle comme unique fonction égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$, ainsi que ses propriétés algébriques ($e^{a+b} = e^a \cdot e^b$) et analytiques (stricte croissance, positivité, limites). 2. La résolution d'équations et d'inéquations faisant intervenir l'exponentielle, en exploitant l'injectivité et la stricte croissance de la fonction. 3. Les limites de référence, notamment $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$, ainsi que la dérivation de $e^u$ donnant $u'e^u$ et les primitives correspondantes. 4. L'étude complète de fonctions définies à l'aide de l'exponentielle, en appliquant la méthodologie systématique : ensemble de définition, dérivée, signe, variations, limites, asymptotes et tracé. Ces compétences sont essentielles pour aborder sereinement les épreuves du Baccalauréat camerounais, série D, et constituent une base solide pour les études supérieures scientifiques. La maîtrise de la fonction exponentielle ouvre également la voie à l'étude du logarithme népérien, sa fonction réciproque, qui sera traitée dans le chapitre suivant.