Statistiques

# Statistiques ## Introduction Les statistiques occupent une place essentielle dans la vie moderne : sondages, études économiques, données sanitaires, résultats sportifs, etc. Elles permettent de collecter, organiser, représenter et interpréter des données numériques issues d'observations ou d'enquêtes. Dans ce chapitre, nous étudierons les représentations graphiques d'une série statistique, les caractéristiques de position (mode, médiane, moyenne, quartiles, déciles), puis l'étude des séries statistiques à deux caractères avec l'ajustement linéaire par la méthode de Mayer. Ces outils permettront de prendre des décisions éclairées à partir de données chiffrées, compétence essentielle pour le citoyen et le futur professionnel. --- ## I. Types de représentations graphiques d'une série statistique ### I.1. Généralités sur les séries statistiques Une **série statistique** est un ensemble de données $(x_i, n_i)$ où $x_i$ représente une valeur du caractère étudié et $n_i$ son effectif (ou sa fréquence). La somme des effectifs est l'effectif total $N = \sum_{i=1}^{p} n_i$. La **fréquence** d'une valeur $x_i$ est le rapport $f_i = \dfrac{n_i}{N}$. On a $\sum_{i=1}^{p} f_i = 1$. > **À retenir** : Une série statistique peut être représentée par un tableau où l'on distingue les valeurs du caractère, les effectifs et les fréquences. La fréquence s'exprime en fraction ou en pourcentage : $f_i(\%) = \dfrac{n_i}{N} \times 100$. ### I.2. Diagramme circulaire (ou diagramme à secteurs) Le **diagramme circulaire** est utilisé pour représenter une série statistique dont le caractère est qualitatif ou quantitatif discret. Chaque modalité est représentée par un secteur circulaire dont l'angle au centre est proportionnel à l'effectif (ou à la fréquence). L'angle au centre correspondant à la valeur $x_i$ est donné par : $$\alpha_i = \dfrac{n_i}{N} \times 360° = f_i \times 360°$$ **Exemple** : Répartition des élèves d'une classe de Terminale A4 selon la matière préférée. | Matière | Effectif | Fréquence (%) | Angle (°) | |---------|----------|---------------|-----------| | Mathématiques | 8 | 25 | 90 | | Français | 10 | 31,25 | 112,5 | | Histoire-Géo | 6 | 18,75 | 67,5 | | Anglais | 8 | 25 | 90 | | **Total** | **32** | **100** | **360** | Pour la première ligne : $\alpha = \dfrac{8}{32} \times 360 = 90°$. ### I.3. Diagramme à bandes (ou diagramme en bâtons) Le **diagramme à bandes** (ou en bâtons) convient aux séries statistiques à caractère quantitatif discret. On porte en abscisse les valeurs $x_i$ et en ordonnée les effectifs (ou fréquences). Chaque valeur est représentée par un segment vertical (bâton) dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. > **À retenir** : Le diagramme à bandes est adapté aux caractères quantitatifs discrets. La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la valeur correspondante. ### I.4. Histogramme L'**histogramme** est utilisé pour les séries statistiques à caractère quantitatif continu, regroupées en classes. Chaque classe $[a_i ; a_{i+1}[$ est représentée par un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. Si les classes ont des **amplitudes égales** $h = a_{i+1} - a_i$ (constante), alors la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif. La hauteur $h_i$ du rectangle correspondant à la classe $i$ est : $$h_i = \dfrac{n_i}{h}$$ où $n_i$ est l'effectif de la classe et $h$ l'amplitude commune. **Exemple** : Répartition des notes de 40 élèves d'une classe de Terminale A2. | Classes | Effectifs | |---------|-----------| | [0 ; 5[ | 4 | | [5 ; 10[ | 12 | | [10 ; 15[ | 16 | | [15 ; 20[ | 8 | L'amplitude commune est $h = 5$. Les hauteurs sont : $\dfrac{4}{5} = 0,8$ ; $\dfrac{12}{5} = 2,4$ ; $\dfrac{16}{5} = 3,2$ ; $\dfrac{8}{5} = 1,6$. ### I.5. Polygone des fréquences cumulées croissantes Le **polygone des fréquences cumulées croissantes** (FCC) est construit à partir du tableau des fréquences cumulées croissantes. Pour une série regroupée en classes d'égales amplitudes, on utilise les **bornes supérieures** des classes. Les **fréquences cumulées croissantes** sont définies par : $$F_i = f_1 + f_2 + \cdots + f_i = \sum_{k=1}^{i} f_k$$ Pour construire le polygone des FCC, on place les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée la fréquence cumulée correspondante, puis on relie ces points par des segments de droite. **Exemple** : Reprenons l'exemple précédent avec les fréquences. | Classes | Effectifs | Fréquences | FCC | |---------|-----------|------------|-----| | [0 ; 5[ | 4 | 0,10 | 0,10 | | [5 ; 10[ | 12 | 0,30 | 0,40 | | [10 ; 15[ | 16 | 0,40 | 0,80 | | [15 ; 20[ | 8 | 0,20 | 1,00 | Les points à placer sont : $(5; 0,10)$, $(10; 0,40)$, $(15; 0,80)$, $(20; 1,00)$. > **À retenir** : Le polygone des fréquences cumulées croissantes se construit en portant en abscisse les bornes supérieures des classes et en ordonnée les fréquences cumulées croissantes. Il permet de lire graphiquement la médiane et les quartiles. --- ## II. Caractéristiques de position Les caractéristiques de position sont des valeurs qui résument une série statistique en indiquant autour de quelles valeurs se concentrent les observations. ### II.1. Le mode Le **mode** (noté $M_o$) est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif (ou la plus grande fréquence). - Pour une série discrète : c'est la valeur $x_i$ dont l'effectif $n_i$ est maximal. - Pour une série regroupée en classes : on parle de **classe modale**, c'est la classe qui a le plus grand effectif. > **À retenir** : Le mode est la valeur (ou la classe) la plus fréquente de la série statistique. Une série peut avoir plusieurs modes (série plurimodale). **Exemple** : Série des notes : 8, 12, 12, 15, 12, 10, 8, 14. L'effectif de la note 12 est 3, c'est le plus grand. Donc $M_o = 12$. ### II.2. La médiane La **médiane** (notée $M_e$) est la valeur du caractère qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif : 50% des valeurs lui sont inférieures ou égales et 50% lui sont supérieures ou égales. **Cas d'une série discrète** : On ordonne les valeurs par ordre croissant. - Si $N$ est impair, $N = 2k+1$, la médiane est la valeur de rang $k+1$. - Si $N$ est pair, $N = 2k$, la médiane est la moyenne des valeurs de rang $k$ et $k+1$. **Cas d'une série regroupée en classes** : La médiane est déterminée graphiquement à l'aide du polygone des fréquences cumulées croissantes. On lit l'abscisse du point dont l'ordonnée est 0,5 (ou 50%). **Exemple** : Série ordonnée : 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18. $N = 7 = 2 \times 3 + 1$, la médiane est la valeur de rang 4 : $M_e = 10$. **Exemple avec classes** : Reprenons l'exemple des notes. Sur le polygone des FCC, on cherche l'abscisse correspondant à $F = 0,5$. Entre les points $(10; 0,40)$ et $(15; 0,80)$, par interpolation linéaire : $$\dfrac{M_e - 10}{15 - 10} = \dfrac{0,5 - 0,40}{0,80 - 0,40} \Rightarrow \dfrac{M_e - 10}{5} = \dfrac{0,10}{0,40} = 0,25$$ $$M_e - 10 = 1,25 \Rightarrow M_e = 11,25$$ ### II.3. La moyenne arithmétique La **moyenne arithmétique** (notée $\bar{x}$) d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total. Pour une série discrète de valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_p$ avec les effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_p$ : $$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N} = \dfrac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N} = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i$$ Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son **centre** $c_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ : $$\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{p} n_i c_i}{N}$$ > **À retenir** : La moyenne arithmétique est le centre de gravité de la série statistique. Pour une série en classes, on utilise les centres de classes comme valeurs représentatives. **Exemple** : Notes : 8, 12, 12, 15, 12, 10, 8, 14. $$\bar{x} = \dfrac{8 + 12 + 12 + 15 + 12 + 10 + 8 + 14}{8} = \dfrac{91}{8} = 11,375$$ **Exemple avec classes** : | Classes | Centre $c_i$ | Effectif $n_i$ | $n_i \times c_i$ | |---------|--------------|----------------|------------------| | [0 ; 5[ | 2,5 | 4 | 10 | | [5 ; 10[ | 7,5 | 12 | 90 | | [10 ; 15[ | 12,5 | 16 | 200 | | [15 ; 20[ | 17,5 | 8 | 140 | | **Total** | | **40** | **440** | $$\bar{x} = \dfrac{440}{40} = 11$$ ### II.4. Les quartiles Les **quartiles** partagent la série ordonnée en quatre parties égales. - Le **premier quartile** $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs lui soient inférieures ou égales. - Le **deuxième quartile** $Q_2$ est la médiane (50%). - Le **troisième quartile** $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des valeurs lui soient inférieures ou égales. **Détermination pratique** : On ordonne la série. - $Q_1$ est la valeur de rang $\dfrac{N}{4}$ si $N$ est multiple de 4, sinon la valeur de rang $\left\lfloor \dfrac{N}{4} \right\rfloor + 1$ (partie entière + 1). - $Q_3$ est la valeur de rang $\dfrac{3N}{4}$ si $3N$ est multiple de 4, sinon la valeur de rang $\left\lfloor \dfrac{3N}{4} \right\rfloor + 1$. **Exemple** : Série ordonnée de 12 valeurs : 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 20. $N = 12$, $\dfrac{N}{4} = 3$, donc $Q_1$ est la valeur de rang 3 : $Q_1 = 5$. $\dfrac{3N}{4} = 9$, donc $Q_3$ est la valeur de rang 9 : $Q_3 = 14$. ### II.5. Les déciles Les **déciles** partagent la série ordonnée en dix parties égales. Le premier décile $D_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 10% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le neuvième décile $D_9$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 90% des valeurs lui soient inférieures ou égales. **Détermination pratique** : $D_1$ est la valeur de rang $\dfrac{N}{10}$ (arrondi à l'entier supérieur si nécessaire), $D_9$ est la valeur de rang $\dfrac{9N}{10}$ (arrondi à l'entier supérieur si nécessaire). > **À retenir** : Les quartiles et déciles sont des caractéristiques de position qui permettent de préciser la répartition des valeurs autour de la médiane. L'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de la moitié centrale de la série. **Exemple** : Reprenons la série précédente de 12 valeurs. $N = 12$, $\dfrac{N}{10} = 1,2$, on arrondit à 2, donc $D_1$ est la valeur de rang 2 : $D_1 = 3$. $\dfrac{9N}{10} = 10,8$, on arrondit à 11, donc $D_9$ est la valeur de rang 11 : $D_9 = 17$. --- ## III. Série statistique à deux caractères : ajustement linéaire par la méthode de Mayer ### III.1. Nuage de points et point moyen Une **série statistique à deux caractères** est un ensemble de couples $(x_i, y_i)$ où $x$ et $y$ sont deux caractères observés sur les mêmes individus. On note $N$ le nombre de couples. Le **nuage de points** est la représentation graphique de ces couples dans un repère orthogonal. Chaque couple $(x_i, y_i)$ est représenté par un point $M_i(x_i, y_i)$. Le **point moyen** du nuage, noté $G(\bar{x}, \bar{y})$, a pour coordonnées les moyennes des deux caractères : $$\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \quad \text{et} \quad \bar{y} = \dfrac{\sum_{i=1}^{N} y_i}{N}$$ > **À retenir** : Le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$ est le centre de gravité du nuage de points. Toute droite d'ajustement "raisonnable" doit passer par ce point. **Exemple** : On étudie la relation entre le nombre d'heures de révision ($x$) et la note obtenue ($y$) pour 6 élèves. | Élève | $x_i$ (heures) | $y_i$ (note) | |-------|----------------|--------------| | 1 | 2 | 8 | | 2 | 3 | 10 | | 3 | 5 | 12 | | 4 | 6 | 14 | | 5 | 8 | 16 | | 6 | 10 | 18 | $$\bar{x} = \dfrac{2+3+5+6+8+10}{6} = \dfrac{34}{6} \approx 5,67$$ $$\bar{y} = \dfrac{8+10+12+14+16+18}{6} = \dfrac{78}{6} = 13$$ Le point moyen est $G(5,67; 13)$. ### III.2. Ajustement linéaire par la méthode de Mayer L'**ajustement linéaire** consiste à trouver une droite qui représente au mieux le nuage de points, c'est-à-dire une relation de la forme $y = ax + b$. La **méthode de Mayer** (ou méthode des points extrêmes) consiste à : 1. **Partager** la série en deux groupes de même effectif (ou d'effectifs les plus proches possible) après avoir ordonné les couples selon les valeurs croissantes de $x$. 2. **Calculer** le point moyen de chaque groupe : $G_1(\bar{x}_1, \bar{y}_1)$ pour le premier groupe et $G_2(\bar{x}_2, \bar{y}_2)$ pour le second. 3. **La droite d'ajustement** est la droite $(G_1G_2)$ passant par ces deux points moyens. L'équation de la droite $(G_1G_2)$ est $y = ax + b$ où : $$a = \dfrac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1}$$ et $b$ se détermine en utilisant le fait que $G_1$ appartient à la droite : $b = \bar{y}_1 - a\bar{x}_1$. > **À retenir** : La méthode de Mayer consiste à partager la série en deux groupes, à calculer le point moyen de chaque groupe, puis à tracer la droite passant par ces deux points moyens. Cette droite est la droite d'ajustement. **Exemple** : Reprenons l'exemple précédent. On ordonne les couples selon $x$ croissant (déjà fait). On partage en deux groupes de 3 : - Groupe 1 : (2, 8), (3, 10), (5, 12) - Groupe 2 : (6, 14), (8, 16), (10, 18) Point moyen du groupe 1 : $$\bar{x}_1 = \dfrac{2+3+5}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 \quad ; \quad \bar{y}_1 = \dfrac{8+10+12}{3} = 10$$ Point moyen du groupe 2 : $$\bar{x}_2 = \dfrac{6+8+10}{3} = 8 \quad ; \quad \bar{y}_2 = \dfrac{14+16+18}{3} = 16$$ Coefficient directeur : $$a = \dfrac{16 - 10}{8 - 3,33} = \dfrac{6}{4,67} \approx 1,2857$$ Ordonnée à l'origine : $$b = \bar{y}_1 - a\bar{x}_1 = 10 - 1,2857 \times 3,33 \approx 10 - 4,2857 = 5,7143$$ La droite d'ajustement a pour équation : $y = 1,2857x + 5,7143$. ### III.3. Utilisation de la droite d'ajustement pour des prévisions La droite d'ajustement permet de faire des **prévisions** : - **Interpolation** : estimer une valeur de $y$ pour une valeur de $x$ située à l'intérieur de l'intervalle des valeurs observées. - **Extrapolation** : estimer une valeur de $y$ pour une valeur de $x$ située à l'extérieur de l'intervalle des valeurs observées. > **À retenir** : Pour estimer $y$ connaissant $x$, on remplace $x$ par sa valeur dans l'équation de la droite d'ajustement : $y = ax + b$. L'extrapolation au-delà du domaine observé doit être utilisée avec prudence. **Exemple** : Avec la droite $y = 1,2857x + 5,7143$ : - Pour $x = 7$ heures (interpolation) : $y = 1,2857 \times 7 + 5,7143 = 9 + 5,7143 = 14,71 \approx 15$. - Pour $x = 12$ heures (extrapolation) : $y = 1,2857 \times 12 + 5,7143 = 15,43 + 5,7143 = 21,14 \approx 21$. ### III.4. Représentation graphique du nuage et de la droite d'ajustement ```onbuch-plot {"title":"Nuage de points et droite d'ajustement de Mayer","type":"line","series":[{"label":"Droite y = 1,2857x + 5,7143","points":[[0,5.7143],[1,7],[2,8.2857],[3,9.5714],[4,10.8571],[5,12.1429],[6,13.4286],[7,14.7143],[8,16],[9,17.2857],[10,18.5714],[11,19.8571],[12,21.1429]]}]} ``` ### III.5. Interprétation d'un diagramme (médiane, quartiles, déciles) L'étude d'une série statistique à deux caractères peut également passer par l'analyse de diagrammes spécifiques comme le **diagramme en boîte** (ou boîte à moustaches) qui résume la distribution d'un caractère à l'aide de la médiane, des quartiles et des valeurs extrêmes. La **boîte à moustaches** est construite ainsi : - La boîte s'étend de $Q_1$ à $Q_3$. - Un trait vertical à l'intérieur de la boîte indique la médiane $M_e$. - Les "moustaches" relient $Q_1$ à la valeur minimale et $Q_3$ à la valeur maximale. Ce diagramme permet de visualiser rapidement la dispersion et la symétrie de la série. **Interprétation** : - Si la médiane est proche du centre de la boîte, la distribution est à peu près symétrique. - Si la médiane est proche de $Q_1$, la distribution est étalée vers les grandes valeurs. - L'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de la moitié centrale. > **À retenir** : La boîte à moustaches est un outil de synthèse graphique qui permet de comparer visuellement plusieurs séries statistiques entre elles. Elle met en évidence la position de la médiane, l'étendue de la moitié centrale (entre $Q_1$ et $Q_3$) et les valeurs extrêmes. **Exemple** : Considérons la série des notes suivantes : 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19. $N = 12$. $Q_1$ est la valeur de rang 3 : $Q_1 = 8$. $M_e$ est la moyenne des valeurs de rang 6 et 7 : $M_e = \dfrac{11+12}{2} = 11,5$. $Q_3$ est la valeur de rang 9 : $Q_3 = 15$. La boîte s'étend de 8 à 15, la médiane est à 11,5, les moustaches vont de 4 à 19. --- ## Conclusion Les statistiques fournissent des outils puissants pour analyser des données et prendre des décisions. Les représentations graphiques (diagramme circulaire, diagramme à bandes, histogramme, polygone des fréquences cumulées) permettent de visualiser rapidement la structure d'une série. Les caractéristiques de position (mode, médiane, moyenne, quartiles, déciles) résument numériquement l'information essentielle. Enfin, l'étude des séries à deux caractères, avec le nuage de points, le point moyen et l'ajustement linéaire par la méthode de Mayer, permet de mettre en évidence des relations entre deux variables et d'effectuer des prévisions. Ces compétences sont directement réinvestissables dans de nombreux domaines : économie, sciences sociales, gestion, etc.