Fonctions exponentielles

# Fiche de cours : Fonctions exponentielles ## Introduction Les fonctions exponentielles constituent l'un des piliers de l'analyse mathématique. Elles apparaissent dans de nombreux domaines : croissance démographique, désintégration radioactive, intérêts composés, refroidissement d'un corps, etc. Ce chapitre, destiné aux séries littéraires, vise à vous donner les outils nécessaires pour comprendre, manipuler et appliquer la fonction exponentielle de base $e$. Nous étudierons sa définition, ses propriétés algébriques, la résolution d'équations et d'inéquations, les limites usuelles, ainsi que le calcul de dérivées et de primitives. --- ## I. Définition, ensemble de définition, propriétés algébriques ### 1. Définition de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est la fonction notée $\exp$ (ou $x \mapsto e^x$) définie sur $\mathbb{R}$ par : > **Définition clé :** La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$. On la note $f(x) = e^x$ ou $f(x) = \exp(x)$. Cette définition est fondamentale : elle signifie que la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée. ### 2. Ensemble de définition > **À retenir :** La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ tout entier. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $e^x > 0$. Ainsi, l'ensemble de définition de $e^x$ est $\mathbb{R}$ et son ensemble image (ou ensemble des valeurs) est $]0; +\infty[$. ### 3. Propriétés algébriques Pour tous réels $a$ et $b$, on a les propriétés fondamentales suivantes : > **Propriétés algébriques (à retenir) :** > - $e^{a+b} = e^a \times e^b$ > - $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ > - $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ > - $(e^a)^n = e^{na}$ pour tout entier relatif $n$ > - $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$ **Démonstration de $e^{a+b} = e^a \times e^b$ :** Soit $a$ un réel fixé. Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{e^{a+x}}{e^x}$. Calculons sa dérivée. Posons $u(x) = e^{a+x}$ et $v(x) = e^x$. Alors $u'(x) = e^{a+x}$ (car la dérivée de $e^{a+x}$ est elle-même) et $v'(x) = e^x$. $$g'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{e^{a+x} \cdot e^x - e^{a+x} \cdot e^x}{(e^x)^2} = 0$$ La fonction $g$ est donc constante. Or $g(0) = \dfrac{e^{a+0}}{e^0} = \dfrac{e^a}{1} = e^a$. Donc pour tout $x$, $g(x) = e^a$, c'est-à-dire $\dfrac{e^{a+x}}{e^x} = e^a$, d'où $e^{a+x} = e^a \times e^x$. En posant $x = b$, on obtient $e^{a+b} = e^a \times e^b$. **Exemple numérique :** $e^{2+3} = e^5 \approx 148,41$ et $e^2 \times e^3 \approx 7,39 \times 20,09 \approx 148,41$. On vérifie bien l'égalité. ### 4. Relation avec le logarithme népérien La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$. Cela signifie que pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : > **À retenir :** $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ et $\ln(e^y) = y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. --- ## II. Équations du type $\ln x = y$ ou $e^x = y$ ### 1. Équation du type $e^x = y$ Soit $y$ un réel. Résoudre l'équation $e^x = y$ d'inconnue $x \in \mathbb{R}$. - Si $y \leq 0$ : l'équation n'a **aucune solution** car $e^x > 0$ pour tout $x$. - Si $y > 0$ : l'équation admet une **unique solution** $x = \ln y$. > **À retenir :** Pour tout $y > 0$, l'équation $e^x = y$ admet pour unique solution $x = \ln y$. **Exemple 1 :** Résoudre $e^x = 5$. Solution : $5 > 0$, donc $x = \ln 5 \approx 1,609$. **Exemple 2 :** Résoudre $e^x = -3$. Solution : $-3 < 0$, donc l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. **Exemple 3 :** Résoudre $e^x = 1$. Solution : $x = \ln 1 = 0$. ### 2. Équation du type $\ln x = y$ Soit $y$ un réel. Résoudre l'équation $\ln x = y$ d'inconnue $x$. L'équation n'a de sens que si $x > 0$ (domaine de définition de $\ln$). Pour tout $y \in \mathbb{R}$, l'équation admet une unique solution $x = e^y$. > **À retenir :** Pour tout $y \in \mathbb{R}$, l'équation $\ln x = y$ admet pour unique solution $x = e^y$. **Exemple 4 :** Résoudre $\ln x = 2$. Solution : $x = e^2 \approx 7,389$. **Exemple 5 :** Résoudre $\ln x = -1$. Solution : $x = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0,368$. **Exemple 6 :** Résoudre $\ln x = 0$. Solution : $x = e^0 = 1$. ### 3. Équations plus complexes **Exemple 7 :** Résoudre $e^{2x} = 7$. On pose $X = e^x$. Alors $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$. L'équation devient $X^2 = 7$, donc $X = \sqrt{7}$ (car $X = e^x > 0$, on écarte $X = -\sqrt{7}$). Ainsi $e^x = \sqrt{7}$, d'où $x = \ln(\sqrt{7}) = \dfrac{1}{2}\ln 7$. **Exemple 8 :** Résoudre $\ln(2x+1) = 3$. Condition : $2x+1 > 0$, soit $x > -\dfrac{1}{2}$. On a $\ln(2x+1) = 3 \iff 2x+1 = e^3 \iff 2x = e^3 - 1 \iff x = \dfrac{e^3 - 1}{2}$. Vérification : $x = \dfrac{e^3 - 1}{2} \approx \dfrac{20,09 - 1}{2} = 9,54 > -\dfrac{1}{2}$. La condition est satisfaite. La solution est $x = \dfrac{e^3 - 1}{2}$. --- ## III. Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire $e^x$ ### 1. Principe de l'inconnue auxiliaire Lorsqu'une équation, une inéquation ou un système contient des expressions en $e^x$ et $e^{2x}$ (ou $e^{nx}$), on peut poser $X = e^x$ (avec $X > 0$) pour se ramener à une équation, inéquation ou un système polynomial en $X$, plus simple à résoudre. > **À retenir :** La méthode de l'inconnue auxiliaire consiste à poser $X = e^x$ (avec $X > 0$) pour transformer une équation exponentielle en équation polynomiale. ### 2. Équations **Exemple 9 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$. Posons $X = e^x$ (avec $X > 0$). Alors $e^{2x} = X^2$. L'équation devient : $$X^2 - 5X + 6 = 0$$ Calculons le discriminant : $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. Les racines sont $X_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $X_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Les deux racines sont strictement positives, donc on revient à $x$ : - $e^x = 2 \iff x = \ln 2$ - $e^x = 3 \iff x = \ln 3$ L'ensemble des solutions est $S = \{\ln 2; \ln 3\}$. **Exemple 10 :** Résoudre $e^{2x} + 3e^x - 4 = 0$. Posons $X = e^x > 0$. L'équation devient $X^2 + 3X - 4 = 0$. $\Delta = 9 + 16 = 25$. Racines : $X_1 = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4$ (rejetée car négative) et $X_2 = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1$. Donc $e^x = 1 \iff x = 0$. L'ensemble des solutions est $S = \{0\}$. ### 3. Inéquations **Rappel :** La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Donc pour tous réels $a$ et $b$ : $$e^a < e^b \iff a < b$$ **Exemple 11 :** Résoudre l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 < 0$. Posons $X = e^x > 0$. L'inéquation devient $X^2 - 3X + 2 < 0$. Factorisons : $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$. Étudions le signe de $(X-1)(X-2)$ pour $X > 0$ : - Pour $0 < X < 1$ : $(X-1) < 0$ et $(X-2) < 0$, donc le produit est positif. - Pour $1 < X < 2$ : $(X-1) > 0$ et $(X-2) < 0$, donc le produit est négatif. - Pour $X > 2$ : $(X-1) > 0$ et $(X-2) > 0$, donc le produit est positif. L'inéquation $X^2 - 3X + 2 < 0$ est vérifiée pour $1 < X < 2$. Revenons à $x$ : $1 < e^x < 2 \iff \ln 1 < x < \ln 2 \iff 0 < x < \ln 2$. L'ensemble des solutions est $S = ]0; \ln 2[$. **Exemple 12 :** Résoudre l'inéquation $e^x - 4 > 0$. $e^x > 4 \iff x > \ln 4$. L'ensemble des solutions est $S = ]\ln 4; +\infty[$. ### 4. Systèmes **Exemple 13 :** Résoudre le système suivant d'inconnues réelles $x$ et $y$ : $$\begin{cases} e^x \times e^y = e^3 \\ e^{2x} = e^{y+1} \end{cases}$$ **Première équation :** $e^x \times e^y = e^3 \iff e^{x+y} = e^3 \iff x + y = 3$ (car la fonction exponentielle est injective). **Deuxième équation :** $e^{2x} = e^{y+1} \iff 2x = y + 1$. On obtient le système linéaire : $$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ Additionnons les deux équations : $3x = 4$, donc $x = \dfrac{4}{3}$. Puis $y = 3 - x = 3 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{3}$. La solution est $S = \left\{\left(\dfrac{4}{3}; \dfrac{5}{3}\right)\right\}$. **Exemple 14 :** Résoudre le système : $$\begin{cases} e^x + e^y = 5 \\ e^{x+y} = 6 \end{cases}$$ Posons $X = e^x > 0$ et $Y = e^y > 0$. Le système devient : $$\begin{cases} X + Y = 5 \\ XY = 6 \end{cases}$$ $X$ et $Y$ sont les racines de l'équation $t^2 - 5t + 6 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$. Racines : $t_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2$ et $t_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3$. Donc $(X; Y) = (2; 3)$ ou $(X; Y) = (3; 2)$. - Si $X = 2$ et $Y = 3$ : $e^x = 2 \iff x = \ln 2$ et $e^y = 3 \iff y = \ln 3$. - Si $X = 3$ et $Y = 2$ : $x = \ln 3$ et $y = \ln 2$. L'ensemble des solutions est $S = \{(\ln 2; \ln 3); (\ln 3; \ln 2)\}$. --- ## IV. Limites usuelles ### 1. Limites fondamentales > **À retenir (limites usuelles) :** > - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ > - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ > - $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ > - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ > - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$ **Interprétation :** La fonction exponentielle croît plus vite que toute fonction polynomiale en $+\infty$. En $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$ et l'emporte sur la croissance de $x$. ### 2. Limites de fonctions composées Pour une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$ : - Si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} e^{u(x)} = +\infty$. - Si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} e^{u(x)} = 0$. - Si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = L \in \mathbb{R}$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L$. **Exemple 15 :** Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-2x+1}$. On a $-2x+1 \to -\infty$ quand $x \to +\infty$. Donc $e^{-2x+1} \to 0$. $$\lim_{x \to +\infty} e^{-2x+1} = 0$$ **Exemple 16 :** Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{3x+2}$. On a $3x+2 \to -\infty$ quand $x \to -\infty$. Donc $e^{3x+2} \to 0$. $$\lim_{x \to -\infty} e^{3x+2} = 0$$ **Exemple 17 :** Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} e^{x^2 - 1}$. On a $x^2 - 1 \to 3$ quand $x \to 2$. Donc $e^{x^2-1} \to e^3$. $$\lim_{x \to 2} e^{x^2 - 1} = e^3$$ **Exemple 18 :** Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}}{x}$. Posons $X = 2x$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$. Alors $\dfrac{e^{2x}}{x} = \dfrac{e^X}{X/2} = 2 \cdot \dfrac{e^X}{X}$. Or $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}}{x} = +\infty$. **Exemple 19 :** Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x}$. Posons $X = 3x$. Quand $x \to 0$, $X \to 0$. Alors $\dfrac{e^{3x} - 1}{x} = \dfrac{e^X - 1}{X/3} = 3 \cdot \dfrac{e^X - 1}{X}$. Or $\displaystyle\lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \times 1 = 3$. ### 3. Courbe représentative de la fonction exponentielle La fonction $f(x) = e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $f(0) = 1$, $f(1) = e \approx 2,718$. Sa courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses. La droite d'équation $y = 0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale en $-\infty$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de la fonction f(x) = e^x", "type":"line", "series":[{"label":"f(x) = e^x", "points":[[-5,0.0067],[-4.5,0.0111],[-4,0.0183],[-3.5,0.0302],[-3,0.0498],[-2.5,0.0821],[-2,0.1353],[-1.5,0.2231],[-1,0.3679],[-0.5,0.6065],[0,1],[0.5,1.6487],[1,2.7183],[1.5,4.4817],[2,7.3891],[2.5,12.1825],[3,20.0855],[3.5,33.1155],[4,54.5982],[4.5,90.0171],[5,148.4132]]}]} ``` --- ## V. Dérivée de $e^u$ ### 1. Théorème fondamental > **À retenir :** Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : > $$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$ **Cas particulier :** Si $u(x) = x$, alors $f(x) = e^x$ et $f'(x) = 1 \cdot e^x = e^x$. On retrouve la propriété de base. **Démonstration :** La démonstration repose sur le théorème de dérivation des fonctions composées. Si $f(x) = e^{u(x)}$, on peut écrire $f = \exp \circ u$. La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $I$, donc $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = u'(x) \times \exp'(u(x)) = u'(x) \times e^{u(x)}$. ### 2. Exemples de calcul de dérivées **Exemple 20 :** Soit $f(x) = e^{3x}$. Calculer $f'(x)$. Ici $u(x) = 3x$, donc $u'(x) = 3$. Ainsi $f'(x) = 3e^{3x}$. **Exemple 21 :** Soit $f(x) = e^{-2x+1}$. Calculer $f'(x)$. $u(x) = -2x+1$, $u'(x) = -2$. Donc $f'(x) = -2e^{-2x+1}$. **Exemple 22 :** Soit $f(x) = e^{x^2}$. Calculer $f'(x)$. $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$. Donc $f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$. **Exemple 23 :** Soit $f(x) = e^{\sin x}$. Calculer $f'(x)$. $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$. Donc $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$. **Exemple 24 :** Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ pour $x \neq 0$. Calculer $f'(x)$. On utilise la formule de dérivation d'un quotient : $f = \dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = e^x$ ($u'(x) = e^x$) et $v(x) = x$ ($v'(x) = 1$). $$f'(x) = \dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$$ **Exemple 25 :** Soit $f(x) = x \cdot e^x$. Calculer $f'(x)$. On utilise la formule du produit : $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$. ### 3. Sens de variation Puisque $e^{u(x)} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$ est celui de $u'(x)$. > **À retenir :** La fonction $f(x) = e^{u(x)}$ a le même sens de variation que la fonction $u$ sur l'intervalle considéré. **Exemple 26 :** Étudier les variations de $f(x) = e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. $u(x) = -x$, $u'(x) = -1 < 0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. **Exemple 27 :** Étudier les variations de $f(x) = e^{x^2 - 2x}$ sur $\mathbb{R}$. $u(x) = x^2 - 2x$, $u'(x) = 2x - 2 = 2(x-1)$. $u'(x) = 0 \iff x = 1$. $u'(x) < 0$ pour $x < 1$ et $u'(x) > 0$ pour $x > 1$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1]$ et croissante sur $[1; +\infty[$. Le minimum est atteint en $x = 1$ et vaut $f(1) = e^{1-2} = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$. --- ## VI. Primitive de $x \mapsto e^{ax+b}$ ### 1. Théorème > **À retenir :** Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$. Les primitives de la fonction $f(x) = e^{ax+b}$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions : > $$F(x) = \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C$$ > où $C$ est une constante réelle quelconque. **Vérification :** Dérivons $F(x) = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}$. On a $u(x) = ax+b$, $u'(x) = a$. Donc $F'(x) = \dfrac{1}{a} \times a \times e^{ax+b} = e^{ax+b} = f(x)$. La fonction $F$ est bien une primitive de $f$. **Cas particulier :** Si $a = 1$ et $b = 0$, une primitive de $e^x$ est $e^x$ (car la dérivée de $e^x$ est $e^x$). ### 2. Exemples **Exemple 28 :** Trouver une primitive de $f(x) = e^{3x}$. $f(x) = e^{3x+0}$, donc $a = 3$, $b = 0$. Une primitive est $F(x) = \dfrac{1}{3} e^{3x}$. Vérification : $F'(x) = \dfrac{1}{3} \times 3 \times e^{3x} = e^{3x}$. Correct. **Exemple 29 :** Trouver une primitive de $f(x) = e^{-2x+1}$. $a = -2$, $b = 1$. Une primitive est $F(x) = \dfrac{1}{-2} e^{-2x+1} = -\dfrac{1}{2} e^{-2x+1}$. Vérification : $F'(x) = -\dfrac{1}{2} \times (-2) \times e^{-2x+1} = e^{-2x+1}$. Correct. **Exemple 30 :** Trouver la primitive $F$ de $f(x) = e^{5x-3}$ telle que $F(0) = 2$. Les primitives de $f$ sont $F(x) = \dfrac{1}{5} e^{5x-3} + C$. $F(0) = \dfrac{1}{5} e^{-3} + C = 2$, donc $C = 2 - \dfrac{e^{-3}}{5}$. La primitive cherchée est $F(x) = \dfrac{1}{5} e^{5x-3} + 2 - \dfrac{e^{-3}}{5}$. **Exemple 31 :** Trouver une primitive de $f(x) = e^{x/2}$. On écrit $f(x) = e^{\frac{1}{2}x + 0}$, donc $a = \dfrac{1}{2}$, $b = 0$. Une primitive est $F(x) = \dfrac{1}{1/2} e^{x/2} = 2e^{x/2}$. Vérification : $F'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2} \times e^{x/2} = e^{x/2}$. Correct. --- ## VII. Calcul de limites, dérivées et primitives de fonctions du type $e^{ax+b}$ ### 1. Synthèse des méthodes Pour une fonction du type $f(x) = e^{ax+b}$ avec $a \neq 0$ : - **Limite en $+\infty$ :** Si $a > 0$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{ax+b} = +\infty$. Si $a < 0$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{ax+b} = 0$. - **Limite en $-\infty$ :** Si $a > 0$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{ax+b} = 0$. Si $a < 0$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{ax+b} = +\infty$. - **Dérivée :** $f'(x) = a \cdot e^{ax+b}$. - **Primitive :** $F(x) = \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C$. ### 2. Exemples complets **Exemple 32 :** Soit $f(x) = e^{2x-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. 1. **Limites :** - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{2x-1} = +\infty$ (car $2x-1 \to +\infty$). - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{2x-1} = 0$ (car $2x-1 \to -\infty$). 2. **Dérivée :** $f'(x) = 2e^{2x-1}$. 3. **Primitive :** $F(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x-1} + C$. **Exemple 33 :** Soit $f(x) = e^{-3x+2}$ définie sur $\mathbb{R}$. 1. **Limites :** - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-3x+2} = 0$ (car $-3x+2 \to -\infty$). - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-3x+2} = +\infty$ (car $-3x+2 \to +\infty$). 2. **Dérivée :** $f'(x) = -3e^{-3x+2}$. 3. **Primitive :** $F(x) = -\dfrac{1}{3} e^{-3x+2} + C$. **Exemple 34 :** Soit $f(x) = e^{\frac{x}{2} + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$. On écrit $f(x) = e^{\frac{1}{2}x + 1}$, donc $a = \dfrac{1}{2}$. 1. **Limites :** - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x}{2}+1} = +\infty$. - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x}{2}+1} = 0$. 2. **Dérivée :** $f'(x) = \dfrac{1}{2} e^{\frac{x}{2}+1}$. 3. **Primitive :** $F(x) = 2e^{\frac{x}{2}+1} + C$. **Exemple 35 :** Étude complète de la fonction $f(x) = e^{-x+1}$. 1. **Ensemble de définition :** $\mathbb{R}$. 2. **Limites :** - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x+1} = 0$ (asymptote horizontale $y = 0$ en $+\infty$). - $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x+1} = +\infty$. 3. **Dérivée :** $f'(x) = -e^{-x+1}$. Comme $e^{-x+1} > 0$, on a $f'(x) < 0$ pour tout $x$. La fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 4. **Tableau de variation :** | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|-----------|-----------| | $f'(x)$ | | $-$ | | | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $0$ | 5. **Valeurs particulières :** $f(0) = e^{1} = e \approx 2,718$ ; $f(1) = e^{0} = 1$ ; $f(2) = e^{-1} \approx 0,368$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = e^{-x+1}", "type":"line", "series":[{"label":"f(x) = e^{-x+1}", "points":[[-3,54.5982],[-2.5,33.1155],[-2,20.0855],[-1.5,12.1825],[-1,7.3891],[-0.5,4.4817],[0,2.7183],[0.5,1.6487],[1,1],[1.5,0.6065],[2,0.3679],[2.5,0.2231],[3,0.1353],[3.5,0.0821],[4,0.0498],[4.5,0.0302],[5,0.0183],[5.5,0.0111],[6,0.0067],[6.5,0.0041],[7,0.0025]]}]} ``` **Exemple 36 :** Problème de synthèse. Soit $f(x) = (2x+1)e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$. 1. **Limites en $+\infty$ :** $f(x) = (2x+1)e^{-x} = \dfrac{2x+1}{e^x} = \dfrac{2x}{e^x} + \dfrac{1}{e^x}$. Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0$ (croissance comparée) et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. 2. **Limite en $-\infty$ :** $f(x) = (2x+1)e^{-x}$. Quand $x \to -\infty$, $2x+1 \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$. C'est une forme indéterminée du type $-\infty \times +\infty$. On écrit $f(x) = 2x e^{-x} + e^{-x}$. Posons $X = -x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$. Alors $2x e^{-x} = -2X e^X \to -\infty$ (car $X e^X \to +\infty$). Et $e^{-x} = e^X \to +\infty$. Donc $f(x) \to -\infty$. $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ 3. **Dérivée :** $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ avec $u(x) = 2x+1$ ($u'(x) = 2$) et $v(x) = e^{-x}$ ($v'(x) = -e^{-x}$). $$f'(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x+1) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2 - 2x - 1) = e^{-x}(1 - 2x)$$ 4. **Signe de la dérivée :** $e^{-x} > 0$ pour tout $x$. Donc le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - 2x$. $1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$. - Pour $x < \dfrac{1}{2}$ : $1 - 2x > 0$, donc $f'(x) > 0$, $f$ est croissante. - Pour $x > \dfrac{1}{2}$ : $1 - 2x < 0$, donc $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. 5. **Maximum :** $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(2 \times \dfrac{1}{2} + 1\right) e^{-1/2} = 2e^{-1/2} = \dfrac{2}{\sqrt{e}} \approx 1,213$. 6. **Tableau de variation :** | $x$ | $-\infty$ | | $\frac{1}{2}$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|-----------|---------------|-----------|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $\frac{2}{\sqrt{e}}$ | $\searrow$ | $0$ | 7. **Primitive :** Cherchons une primitive de $f(x) = (2x+1)e^{-x}$. On remarque que $f(x) = 2x e^{-x} + e^{-x}$. Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$. Pour $2x e^{-x}$, cherchons une primitive de la forme $F_1(x) = (ax+b)e^{-x}$. Alors $F_1'(x) = a e^{-x} - (ax+b)e^{-x} = (-ax + a - b)e^{-x}$. On veut $F_1'(x) = 2x e^{-x}$, donc $-ax + a - b = 2x$, ce qui donne $-a = 2$ (soit $a = -2$) et $a - b = 0$ (soit $b = a = -2$). Donc $F_1(x) = (-2x - 2)e^{-x}$ est une primitive de $2x e^{-x}$. Une primitive de $f$ est $F(x) = (-2x-2)e^{-x} - e^{-x} = (-2x-3)e^{-x}$. Vérification : $F'(x) = -2e^{-x} - (-2x-3)e^{-x} = (-2 + 2x + 3)e^{-x} = (2x+1)e^{-x} = f(x)$. Correct. --- ## Conclusion La fonction exponentielle $e^x$ est un outil mathématique essentiel. Nous avons vu qu'elle est définie sur $\mathbb{R}$, strictement positive, strictement croissante, et qu'elle vérifie des propriétés algébriques remarquables ($e^{a+b} = e^a \times e^b$, etc.). La résolution d'équations et d'inéquations faisant intervenir $e^x$ repose sur la fonction réciproque $\ln$ et sur la méthode de l'inconnue auxiliaire. Les limites usuelles permettent de comprendre le comportement asymptotique de la fonction. Enfin, la dérivation et l'intégration des fonctions du type $e^{ax+b}$ suivent des règles simples : $f'(x) = a e^{ax+b}$ et une primitive est $\dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C$. Ces notions sont fondamentales pour la suite des études, notamment en économie (croissance exponentielle), en sciences sociales (modèles de population) et dans de nombreux problèmes concrets. La maîtrise de ce chapitre est indispensable pour réussir l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat camerounais.