Probabilités

# Probabilités ## Introduction Les probabilités constituent un outil mathématique fondamental pour modéliser l'incertitude et quantifier le hasard. Dans la vie courante comme dans de nombreuses disciplines (économie, sciences sociales, biologie), on est souvent amené à évaluer les chances qu'un événement se produise. Ce chapitre introduit le vocabulaire spécifique des probabilités, puis les propriétés essentielles qui permettent de calculer des probabilités dans des situations variées, notamment dans le cadre de l'équiprobabilité. Ces notions sont au programme officiel du MINESEC pour les séries littéraires et constituent une base indispensable pour la compréhension des phénomènes aléatoires. --- ## I. Vocabulaire des événements ### I.1. Expérience aléatoire et univers Une **expérience aléatoire** est une expérience dont le résultat dépend du hasard et que l'on ne peut pas prévoir avec certitude. On note $\Omega$ l'ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience ; cet ensemble est appelé **univers des possibles** ou simplement **univers**. **Exemple 1 :** On lance un dé à six faces. L'expérience est aléatoire. L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. **Exemple 2 :** On lance une pièce de monnaie. L'univers est $\Omega = \{P, F\}$ où $P$ désigne « Pile » et $F$ désigne « Face ». **Exemple 3 :** On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. L'univers est l'ensemble des 32 cartes. ### I.2. Événement Un **événement** est une partie (un sous-ensemble) de l'univers $\Omega$. On dit qu'un événement est **réalisé** lorsque le résultat de l'expérience appartient à cette partie. **Exemple :** Dans le lancer d'un dé, l'événement $A$ = « obtenir un nombre pair » est $A = \{2, 4, 6\}$. Si le dé donne 4, l'événement $A$ est réalisé. ### I.3. Événements particuliers - **L'événement certain** : c'est l'événement qui se réalise toujours. C'est l'univers $\Omega$ tout entier. - **L'événement impossible** : c'est l'événement qui ne se réalise jamais. C'est l'ensemble vide, noté $\varnothing$. - **L'événement élémentaire** : c'est un événement qui ne contient qu'un seul résultat. Par exemple, $\{3\}$ dans le lancer d'un dé. ### I.4. Opérations sur les événements Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. **a) Événement contraire (ou complémentaire)** L'**événement contraire** de $A$, noté $\overline{A}$ (ou $A^c$), est l'ensemble des résultats de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. Il est réalisé lorsque $A$ ne l'est pas. $$\overline{A} = \{x \in \Omega \mid x \notin A\}$$ **Exemple :** Dans le lancer d'un dé, si $A = \{2, 4, 6\}$ (obtenir un nombre pair), alors $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ (obtenir un nombre impair). **b) Réunion de deux événements** La **réunion** de $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des résultats qui appartiennent à $A$ **ou** à $B$ (au moins à l'un des deux). Elle est réalisée lorsque au moins l'un des deux événements est réalisé. $$A \cup B = \{x \in \Omega \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$$ **c) Intersection de deux événements** L'**intersection** de $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des résultats qui appartiennent à $A$ **et** à $B$ simultanément. Elle est réalisée lorsque les deux événements sont réalisés en même temps. $$A \cap B = \{x \in \Omega \mid x \in A \text{ et } x \in B\}$$ **d) Événements incompatibles (ou disjoints)** Deux événements $A$ et $B$ sont dits **incompatibles** (ou disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à-dire lorsque leur intersection est vide : $$A \cap B = \varnothing$$ **Exemple :** Dans le lancer d'un dé, $A = \{1, 2\}$ et $B = \{5, 6\}$ sont incompatibles car $A \cap B = \varnothing$. > **À RETENIR :** Un événement est une partie de l'univers $\Omega$. L'événement contraire $\overline{A}$ contient tous les résultats qui ne sont pas dans $A$. La réunion $A \cup B$ correspond au « ou », l'intersection $A \cap B$ correspond au « et ». Deux événements sont incompatibles si $A \cap B = \varnothing$. --- ## II. Propriétés des probabilités ### II.1. Définition d'une probabilité Une **probabilité** est une fonction qui associe à chaque événement un nombre compris entre 0 et 1, mesurant la chance que cet événement se réalise. **Définition formelle :** Une probabilité $P$ sur un univers $\Omega$ est une application qui, à tout événement $A$, associe un nombre réel $P(A)$ tel que : 1. $0 \leq P(A) \leq 1$ pour tout événement $A$ ; 2. $P(\Omega) = 1$ (l'événement certain a pour probabilité 1) ; 3. $P(\varnothing) = 0$ (l'événement impossible a pour probabilité 0) ; 4. Si $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), alors : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ Cette dernière propriété s'étend à un nombre fini d'événements deux à deux incompatibles. ### II.2. Probabilité d'un événement La probabilité d'un événement $A$ se note $P(A)$. Elle représente la proportion de chances que l'événement $A$ se réalise lors de l'expérience aléatoire. **Interprétation :** Si on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation de $A$ se rapproche de $P(A)$. **Exemple :** On lance un dé équilibré. La probabilité d'obtenir 3 est $P(\{3\}) = \frac{1}{6}$. ### II.3. Équiprobabilité On dit qu'il y a **équiprobabilité** lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. C'est le cas lorsque l'expérience est « équilibrée » : dé non truqué, pièce non truquée, tirage au hasard, etc. **Propriété fondamentale :** Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule : $$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$ où $\text{card}(A)$ désigne le nombre d'éléments (de résultats) contenus dans $A$, et $\text{card}(\Omega)$ le nombre total de résultats possibles. > **À RETENIR :** En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$. Cette formule est la plus utilisée dans les exercices de probabilités au Baccalauréat. **Exemple 1 :** On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un roi ? - Nombre de cas possibles : $\text{card}(\Omega) = 32$. - Nombre de cas favorables : il y a 4 rois dans le jeu, donc $\text{card}(A) = 4$. - $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$. **Exemple 2 :** On lance deux dés équilibrés et on s'intéresse à la somme des faces obtenues. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ? - Nombre de cas possibles : $6 \times 6 = 36$. - Cas favorables : les couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, soit 6 cas. - $P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. **Exemple 3 :** Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? - Nombre de cas possibles : $5 + 3 + 2 = 10$. - Cas favorables : 3 boules bleues. - $P(\text{bleue}) = \frac{3}{10} = 0,3$. ### II.4. Probabilité d'un événement élémentaire en équiprobabilité Si l'univers $\Omega$ contient $n$ résultats équiprobables, alors chaque événement élémentaire $\{x_i\}$ a pour probabilité : $$P(\{x_i\}) = \frac{1}{n}$$ **Exemple :** Dans le lancer d'un dé équilibré, chaque face a une probabilité $\frac{1}{6}$. --- ## III. Événements contraires et réunion d'événements ### III.1. Probabilité de l'événement contraire **Propriété :** Pour tout événement $A$, la probabilité de son événement contraire $\overline{A}$ est : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$ **Démonstration :** Les événements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles ($A \cap \overline{A} = \varnothing$) et leur réunion est l'univers tout entier ($A \cup \overline{A} = \Omega$). Donc : $$P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1$$ d'où $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. > **À RETENIR :** $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Cette formule est très utile lorsque calculer $P(A)$ directement est difficile, mais que calculer $P(\overline{A})$ est plus simple. **Exemple 1 :** On lance un dé équilibré. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à 2 ». Alors $\overline{A}$ = « obtenir 1 ». On a $P(\overline{A}) = \frac{1}{6}$, donc $P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. **Exemple 2 :** Dans une classe de Terminale, 65 % des élèves ont réussi l'épreuve de mathématiques du premier trimestre. La probabilité qu'un élève choisi au hasard n'ait pas réussi est $1 - 0,65 = 0,35$. ### III.2. Probabilité de la réunion de deux événements **Propriété générale :** Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ **Démonstration :** En additionnant $P(A)$ et $P(B)$, on compte deux fois les éléments de $A \cap B$. Il faut donc les soustraire une fois pour obtenir la probabilité de la réunion. **Cas particulier :** Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), alors $P(A \cap B) = 0$ et : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ > **À RETENIR :** Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. **Exemple 1 :** On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit $A$ l'événement « tirer un roi » et $B$ l'événement « tirer un cœur ». - $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ (4 rois dans le jeu). - $P(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ (8 cœurs dans le jeu). - $A \cap B$ = « tirer le roi de cœur », donc $P(A \cap B) = \frac{1}{32}$. - $P(A \cup B) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{32} = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$. **Exemple 2 :** On lance un dé équilibré. Soit $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un nombre multiple de 3 ». - $A = \{2, 4, 6\}$, donc $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - $B = \{3, 6\}$, donc $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. - $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Vérification directe : $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$, donc $P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. La formule est bien vérifiée. **Exemple 3 :** Dans une entreprise, 40 % des employés sont des femmes, 30 % des employés ont plus de 40 ans, et 12 % des employés sont des femmes de plus de 40 ans. On choisit un employé au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ou une personne de plus de 40 ans ? Soit $F$ = « être une femme » et $T$ = « avoir plus de 40 ans ». - $P(F) = 0,40$ - $P(T) = 0,30$ - $P(F \cap T) = 0,12$ - $P(F \cup T) = 0,40 + 0,30 - 0,12 = 0,58$ La probabilité est de 0,58, soit 58 %. ### III.3. Application : calcul de probabilité par l'événement contraire Dans certains cas, il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire. **Exemple :** On lance trois pièces de monnaie équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une face « Pile » ? Soit $A$ = « obtenir au moins une fois Pile ». L'événement contraire $\overline{A}$ = « n'obtenir aucune fois Pile » = « obtenir trois fois Face ». - Nombre de cas possibles : $2^3 = 8$. - $\overline{A}$ ne contient qu'un seul résultat : $(F, F, F)$, donc $P(\overline{A}) = \frac{1}{8}$. - $P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. ### III.4. Tableau récapitulatif des propriétés | Propriété | Formule | |-----------|---------| | Probabilité d'un événement (équiprobabilité) | $P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ | | Événement certain | $P(\Omega) = 1$ | | Événement impossible | $P(\varnothing) = 0$ | | Événement contraire | $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ | | Réunion (cas général) | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ | | Réunion (événements incompatibles) | $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ | --- ## Conclusion Les probabilités permettent de quantifier le hasard et de modéliser des situations d'incertitude. Dans ce chapitre, nous avons introduit le vocabulaire fondamental : expérience aléatoire, univers, événement, événement contraire, réunion et intersection d'événements. Nous avons ensuite établi les propriétés essentielles des probabilités, notamment la formule de l'équiprobabilité $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$, la relation $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ pour l'événement contraire, et la formule de la réunion $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Ces outils sont largement suffisants pour résoudre la plupart des problèmes de probabilités rencontrés au Baccalauréat camerounais dans les séries littéraires. Ils constituent également une base solide pour aborder des notions plus avancées comme les probabilités conditionnelles ou les variables aléatoires. La maîtrise de ces formules et de leur utilisation dans des situations concrètes est essentielle pour réussir l'épreuve de mathématiques.