Équations, inéquations et systèmes dans R

# Équations, inéquations et systèmes dans ℝ ## Introduction Ce chapitre, destiné aux séries littéraires, vise à consolider et étendre vos compétences en résolution d'équations et d'inéquations. Vous avez déjà étudié en classe de Première les équations et inéquations du second degré. Nous abordons maintenant les équations de degré 3, les équations avec changement de variable (inconnue auxiliaire), et les systèmes linéaires à deux et trois inconnues. Ces outils sont fondamentaux pour modéliser et résoudre des problèmes concrets issus de la vie courante, de l'économie ou des sciences sociales. --- ## I. Équations et inéquations de degré 3 dans ℝ ### I.1. Détermination d'une racine évidente **Définition :** Une racine (ou solution) d'une équation $P(x) = 0$ est une valeur $\alpha$ telle que $P(\alpha) = 0$. > **À retenir :** Pour une équation polynomiale de degré 3 de la forme $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ (avec $a \neq 0$), on cherche d'abord une **racine évidente** parmi les diviseurs du terme constant $d$ (ou son opposé). On teste les valeurs simples : $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, etc. **Méthode pratique :** On teste les valeurs entières simples. Si $P(\alpha) = 0$, alors $\alpha$ est une racine. **Exemple 1 :** Résoudre $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. Les diviseurs de 6 sont : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. - $P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Donc $x = 1$ est une racine évidente. ### I.2. Factorisation sous la forme $(x - \alpha)(ax^2 + bx + c)$ > **À retenir (Théorème de factorisation) :** Si $\alpha$ est une racine du polynôme $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, alors $P(x)$ se factorise sous la forme : > $$P(x) = (x - \alpha)(a x^2 + b' x + c')$$ > où $a$ est le coefficient dominant de $P$, et $b'$, $c'$ sont des réels à déterminer. **Méthode de détermination de $b'$ et $c'$ :** On développe $(x - \alpha)(a x^2 + b' x + c')$ et on identifie les coefficients avec ceux de $P(x)$. **Reprenons l'exemple 1 :** $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, avec $\alpha = 1$ et $a = 1$. On écrit : $$P(x) = (x - 1)(x^2 + b'x + c')$$ Développons : $$(x - 1)(x^2 + b'x + c') = x^3 + b'x^2 + c'x - x^2 - b'x - c' = x^3 + (b' - 1)x^2 + (c' - b')x - c'$$ Par identification avec $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ : - $b' - 1 = -2 \Rightarrow b' = -1$ - $-c' = 6 \Rightarrow c' = -6$ Vérifions : $c' - b' = -6 - (-1) = -5$. C'est correct. Donc : $$P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6)$$ ### I.3. Résolution complète de l'équation de degré 3 > **À retenir :** Pour résoudre $P(x) = 0$ où $P$ est de degré 3 : > 1. Chercher une racine évidente $\alpha$. > 2. Factoriser : $P(x) = (x - \alpha)(ax^2 + bx + c)$. > 3. Résoudre l'équation produit : $(x - \alpha)(ax^2 + bx + c) = 0$. > 4. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \{\alpha\} \cup \mathcal{S}_2$ où $\mathcal{S}_2$ est l'ensemble des solutions de l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$. **Reprenons l'exemple 1 :** $P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6) = 0$ - $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ - $x^2 - x - 6 = 0$. Discriminant : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 > 0$. - $x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ - $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ **Solution :** $\mathcal{S} = \{-2; 1; 3\}$ **Exemple 2 :** Résoudre $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = 0$. Testons les diviseurs de 3 : $\pm 1, \pm 3$. - $P(1) = 2 + 3 - 8 + 3 = 0$. Donc $x = 1$ est racine. Factorisation : $P(x) = (x - 1)(2x^2 + b'x + c')$ Développement : $(x - 1)(2x^2 + b'x + c') = 2x^3 + b'x^2 + c'x - 2x^2 - b'x - c' = 2x^3 + (b' - 2)x^2 + (c' - b')x - c'$ Identification avec $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ : - $b' - 2 = 3 \Rightarrow b' = 5$ - $-c' = 3 \Rightarrow c' = -3$ Vérification : $c' - b' = -3 - 5 = -8$. Correct. Donc $P(x) = (x - 1)(2x^2 + 5x - 3)$. Résolvons $2x^2 + 5x - 3 = 0$ : $\Delta = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49$. - $x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ - $x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ **Solution :** $\mathcal{S} = \{-3; \frac{1}{2}; 1\}$ ### I.4. Inéquations de degré 3 > **À retenir :** Pour résoudre une inéquation de degré 3 du type $P(x) \geq 0$ ou $P(x) \leq 0$ : > 1. Factoriser $P(x)$ sous la forme $(x - \alpha)(ax^2 + bx + c)$. > 2. Factoriser si possible le trinôme du second degré. > 3. Étudier le signe de chaque facteur dans un tableau de signes. > 4. Conclure selon le signe demandé. **Exemple 3 :** Résoudre $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \geq 0$. On a déjà factorisé : $P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$. Étudions le signe de chaque facteur : - $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ; $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ - $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ ; $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$ - $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ ; $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----|-----------| | $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | **Solution :** $\mathcal{S} = [-2; 1] \cup [3; +\infty[$ **Exemple 4 :** Résoudre $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 < 0$. On a : $P(x) = (x - 1)(2x^2 + 5x - 3) = (x - 1)(2x - 1)(x + 3)$. Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|---------------|-----|-----------| | $x + 3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $2x - 1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | **Solution :** $\mathcal{S} = ]-\infty; -3[ \cup ]\frac{1}{2}; 1[$ --- ## II. Équations et inéquations avec une inconnue auxiliaire ### II.1. Principe général > **À retenir :** Lorsqu'une équation ou inéquation contient une expression qui se répète, on pose une **inconnue auxiliaire** $X$ égale à cette expression. On résout d'abord l'équation (ou inéquation) en $X$, puis on revient à l'inconnue initiale. Les cas les plus fréquents sont : - Les équations bicarrées : $ax^4 + bx^2 + c = 0$ en posant $X = x^2$. - Les équations avec $x + \frac{1}{x}$ en posant $X = x + \frac{1}{x}$. - Les équations avec racines carrées : $\sqrt{x}$ en posant $X = \sqrt{x}$. ### II.2. Équations bicarrées **Définition :** Une équation bicarrée est une équation de la forme $ax^4 + bx^2 + c = 0$ avec $a \neq 0$. **Méthode :** On pose $X = x^2$ (avec $X \geq 0$). L'équation devient $aX^2 + bX + c = 0$. On résout cette équation du second degré, puis on revient à $x$ en utilisant $x = \pm\sqrt{X}$ pour chaque solution $X \geq 0$. **Exemple 5 :** Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Posons $X = x^2$. L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$. $\Delta = 25 - 16 = 9$. Solutions : $X_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$. Les deux solutions sont positives, donc : - $X = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ - $X = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ **Solution :** $\mathcal{S} = \{-2; -1; 1; 2\}$ **Exemple 6 :** Résoudre $x^4 + x^2 - 2 = 0$. Posons $X = x^2$. L'équation devient $X^2 + X - 2 = 0$. $\Delta = 1 + 8 = 9$. Solutions : $X_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ et $X_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$. $X_1 = -2 < 0$ : pas de solution réelle pour $x$. $X_2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{-1; 1\}$ ### II.3. Inéquations bicarrées **Exemple 7 :** Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 \leq 0$. Posons $X = x^2 \geq 0$. L'inéquation devient $X^2 - 5X + 4 \leq 0$. Les racines de $X^2 - 5X + 4$ sont $X = 1$ et $X = 4$. Le trinôme est négatif entre les racines (coefficient dominant positif). Donc $X \in [1; 4]$, avec $X \geq 0$ (déjà satisfait). Revenons à $x$ : $1 \leq x^2 \leq 4$. - $x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1$ ou $x \geq 1$ - $x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$ En intersectant : $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$. **Solution :** $\mathcal{S} = [-2; -1] \cup [1; 2]$ ### II.4. Autres types d'inconnues auxiliaires **Exemple 8 :** Résoudre $x + \sqrt{x} - 6 = 0$. Posons $X = \sqrt{x}$ avec $X \geq 0$. L'équation devient $X^2 + X - 6 = 0$. $\Delta = 1 + 24 = 25$. Solutions : $X_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ (rejetée car $X \geq 0$) et $X_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$. $X = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{4\}$ **Exemple 9 :** Résoudre $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$ pour $x \neq 0$. Posons $X = x + \frac{1}{x}$. L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. $\Delta = 9 - 8 = 1$. Solutions : $X_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$. - $X = 1 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de solution réelle. - $X = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{1\}$ --- ## III. Systèmes linéaires d'équations ### III.1. Systèmes linéaires dans ℝ² **Définition :** Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme : $$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$$ où $a, b, c, a', b', c'$ sont des réels. > **À retenir :** Trois méthodes de résolution sont disponibles : > 1. **Substitution** : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde. > 2. **Combinaisons linéaires** : multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue par addition/soustraction. > 3. **Déterminant** : utiliser la formule de Cramer. #### III.1.1. Méthode de substitution **Exemple 10 :** Résoudre $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \end{cases}$ De la première équation : $y = 7 - 2x$. Substituons dans la seconde : $x - 3(7 - 2x) = -7$ $x - 21 + 6x = -7$ $7x = 14$ $x = 2$ Puis $y = 7 - 2(2) = 3$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(2; 3)\}$ #### III.1.2. Méthode des combinaisons linéaires **Exemple 11 :** Résoudre $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$ Additionnons les deux équations pour éliminer $y$ : $(3x + 2y) + (5x - 2y) = 12 + 4$ $8x = 16$ $x = 2$ Remplaçons dans la première : $3(2) + 2y = 12 \Rightarrow 6 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(2; 3)\}$ #### III.1.3. Méthode du déterminant (formule de Cramer) > **À retenir :** Pour le système $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$, on définit : > - Le **déterminant principal** : $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b$ > - Le **déterminant en $x$** : $\Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b$ > - Le **déterminant en $y$** : $\Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - a'c$ > > Si $\Delta \neq 0$, l'unique solution est : > $$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad \text{et} \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$$ **Exemple 12 :** Résoudre $\begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$ $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times 1 - 4 \times (-3) = 2 + 12 = 14 \neq 0$ $\Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 8 \times 1 - 2 \times (-3) = 8 + 6 = 14$ $\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - 4 \times 8 = 4 - 32 = -28$ $x = \frac{14}{14} = 1$ et $y = \frac{-28}{14} = -2$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(1; -2)\}$ ### III.2. Systèmes linéaires dans ℝ³ **Définition :** Un système linéaire de trois équations à trois inconnues $x$, $y$, $z$ est de la forme : $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$ > **À retenir :** Les méthodes de résolution sont : > 1. **Substitution** : exprimer une inconnue en fonction des deux autres, puis réduire à un système de deux équations à deux inconnues. > 2. **Combinaisons linéaires** : éliminer successivement les inconnues. > 3. **Pivot de Gauss** : transformer le système en un système triangulaire équivalent. #### III.2.1. Méthode de substitution **Exemple 13 :** Résoudre $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ De la première équation : $z = 6 - x - y$. Substituons dans les deux autres : $2x - y + (6 - x - y) = 3 \Rightarrow x - 2y = -3$ (équation A) $x + 2y - (6 - x - y) = 2 \Rightarrow 2x + 3y = 8$ (équation B) Résolvons le système $\begin{cases} x - 2y = -3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$ De (A) : $x = 2y - 3$. Substituons dans (B) : $2(2y - 3) + 3y = 8 \Rightarrow 4y - 6 + 3y = 8 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$. $x = 2(2) - 3 = 1$. $z = 6 - 1 - 2 = 3$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(1; 2; 3)\}$ #### III.2.2. Méthode des combinaisons linéaires **Exemple 14 :** Résoudre $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ Éliminons $z$ entre la première et la deuxième : $(x + y + z) + (2x - y + z) = 6 + 3 \Rightarrow 3x + 2z = 9$ — non, cela ne simplifie pas bien. Essayons autrement. Additionnons la première et la troisième : $(x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 2 \Rightarrow 2x + 3y = 8$ (équation A) Soustrayons la deuxième de la première : $(x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3 \Rightarrow -x + 2y = 3$ (équation B) Résolvons $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}$ De (B) : $x = 2y - 3$. Substituons dans (A) : $2(2y - 3) + 3y = 8 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$. $x = 2(2) - 3 = 1$. De la première équation : $1 + 2 + z = 6 \Rightarrow z = 3$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(1; 2; 3)\}$ #### III.2.3. Méthode du pivot de Gauss > **À retenir :** Le **pivot de Gauss** consiste à : > 1. Choisir une équation "pivot" (celle avec le coefficient de $x$ non nul le plus simple). > 2. Éliminer $x$ des autres équations en leur soustrayant un multiple approprié de l'équation pivot. > 3. Répéter le processus avec les équations restantes pour éliminer $y$, obtenant un système triangulaire. > 4. Résoudre par remontée (substitution rétrograde). **Exemple 15 :** Résoudre $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ par la méthode du pivot. **Étape 1 :** L'équation pivot est la première ($x + y + z = 6$). Éliminons $x$ de la deuxième : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ $2x - y + z - 2(x + y + z) = 3 - 2(6)$ $-3y - z = -9$ (équation 2') Éliminons $x$ de la troisième : $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $x + 2y - z - (x + y + z) = 2 - 6$ $y - 2z = -4$ (équation 3') Le système devient : $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ -3y - z = -9 \\ y - 2z = -4 \end{cases}$$ **Étape 2 :** Prenons la deuxième équation comme pivot pour éliminer $y$ de la troisième. $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ $3(y - 2z) + (-3y - z) = 3(-4) + (-9)$ $-7z = -21$ $z = 3$ **Étape 3 :** Remontée : De la deuxième : $-3y - 3 = -9 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2$. De la première : $x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$. **Solution :** $\mathcal{S} = \{(1; 2; 3)\}$ **Exemple 16 :** Résoudre $\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - 2y + 3z = 4 \\ 3x + y + 2z = 7 \end{cases}$ **Étape 1 :** Prenons la deuxième équation comme pivot (coefficient de $x$ égal à 1). $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ : $2x + y - z - 2(x - 2y + 3z) = 1 - 2(4)$ $5y - 7z = -7$ (équation 1') $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2$ : $3x + y + 2z - 3(x - 2y + 3z) = 7 - 3(4)$ $7y - 7z = -5$ (équation 3') Le système devient : $$\begin{cases} x - 2y + 3z = 4 \\ 5y - 7z = -7 \\ 7y - 7z = -5 \end{cases}$$ **Étape 2 :** Éliminons $y$ de la troisième : $L_3 \leftarrow 5L_3 - 7L_2$ $5(7y - 7z) - 7(5y - 7z) = 5(-5) - 7(-7)$ $35y - 35z - 35y + 49z = -25 + 49$ $14z = 24$ $z = \frac{12}{7}$ **Étape 3 :** Remontée : De la deuxième : $5y - 7\left(\frac{12}{7}\right) = -7 \Rightarrow 5y - 12 = -7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$. De la première : $x - 2(1) + 3\left(\frac{12}{7}\right) = 4 \Rightarrow x - 2 + \frac{36}{7} = 4 \Rightarrow x = 4 + 2 - \frac{36}{7} = 6 - \frac{36}{7} = \frac{42 - 36}{7} = \frac{6}{7}$. **Solution :** $\mathcal{S} = \left\{\left(\frac{6}{7}; 1; \frac{12}{7}\right)\right\}$ --- ## IV. Problèmes se ramenant aux équations, inéquations et systèmes étudiés ### IV.1. Problème avec une équation de degré 3 **Exemple 17 :** Un réservoir d'eau a la forme d'un cube dont l'arête est augmentée de 2 mètres. Le volume du nouveau réservoir est de 216 m³. Quelle est la longueur de l'arête du cube initial ? Soit $x$ l'arête du cube initial (en mètres). Le nouveau cube a pour arête $x + 2$. Son volume est $(x + 2)^3 = 216$. Développons : $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 216$ $x^3 + 6x^2 + 12x - 208 = 0$ Cherchons une racine évidente. Diviseurs de 208 : $1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 52, 104, 208$. Testons $x = 4$ : $64 + 96 + 48 - 208 = 0$. Donc $x = 4$ est racine. Factorisons : $P(x) = (x - 4)(x^2 + 10x + 52)$. Le discriminant de $x^2 + 10x + 52$ est $\Delta = 100 - 208 = -108 < 0$. Pas de racine réelle. **Solution :** L'arête du cube initial mesure 4 mètres. ### IV.2. Problème avec une inconnue auxiliaire **Exemple 18 :** Un rectangle a une aire de 12 m². Si on augmente sa longueur de 1 m et sa largeur de 1 m, l'aire devient 20 m². Quelles sont les dimensions du rectangle ? Soient $L$ la longueur et $l$ la largeur. On a : $L \times l = 12$ et $(L + 1)(l + 1) = 20$. Développons la seconde : $Ll + L + l + 1 = 20 \Rightarrow 12 + L + l + 1 = 20 \Rightarrow L + l = 7$. On a donc le système : $\begin{cases} L + l = 7 \\ L \times l = 12 \end{cases}$ De la première : $l = 7 - L$. Substituons dans la seconde : $L(7 - L) = 12 \Rightarrow -L^2 + 7L - 12 = 0 \Rightarrow L^2 - 7L + 12 = 0$. $\Delta = 49 - 48 = 1$. Solutions : $L_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$ et $L_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$. Si $L = 3$, alors $l = 4$. Si $L = 4$, alors $l = 3$. Par convention, $L > l$, donc $L = 4$ et $l = 3$. **Solution :** La longueur est 4 m et la largeur est 3 m. ### IV.3. Problème avec un système linéaire dans ℝ² **Exemple 19 :** Une entreprise fabrique deux types de produits A et B. La production de 3 unités de A et 2 unités de B coûte 19000 FCFA. La production de 2 unités de A et 5 unités de B coûte 31000 FCFA. Quel est le coût de production d'une unité de chaque produit ? Soient $x$ le coût d'une unité de A et $y$ le coût d'une unité de B. $$\begin{cases} 3x + 2y = 19000 \\ 2x + 5y = 31000 \end{cases}$$ Utilisons la méthode des combinaisons linéaires. Multiplions la première par 5 et la seconde par 2 : $$\begin{cases} 15x + 10y = 95000 \\ 4x + 10y = 62000 \end{cases}$$ Soustrayons : $11x = 33000 \Rightarrow x = 3000$. Remplaçons dans la première : $3(3000) + 2y = 19000 \Rightarrow 9000 + 2y = 19000 \Rightarrow 2y = 10000 \Rightarrow y = 5000$. **Solution :** Une unité de A coûte 3000 FCFA et une unité de B coûte 5000 FCFA. ### IV.4. Problème avec un système linéaire dans ℝ³ **Exemple 20 :** Un commerçant vend trois articles P, Q, R. Le prix total de 2 articles P, 1 article Q et 3 articles R est 14500 FCFA. Le prix total de 1 article P, 3 articles Q et 2 articles R est 15500 FCFA. Le prix total de 3 articles P, 2 articles Q et 1 article R est 13500 FCFA. Déterminer le prix de chaque article. Soient $x$, $y$, $z$ les prix respectifs de P, Q, R. $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 14500 \\ x + 3y + 2z = 15500 \\ 3x + 2y + z = 13500 \end{cases}$$ Utilisons le pivot de Gauss. Prenons la deuxième équation comme pivot. $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ : $2x + y + 3z - 2(x + 3y + 2z) = 14500 - 2(15500)$ $-5y - z = -16500 \Rightarrow 5y + z = 16500$ (équation 1') $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2$ : $3x + 2y + z - 3(x + 3y + 2z) = 13500 - 3(15500)$ $-7y - 5z = -33000 \Rightarrow 7y + 5z = 33000$ (équation 3') Le système devient : $$\begin{cases} x + 3y + 2z = 15500 \\ 5y + z = 16500 \\ 7y + 5z = 33000 \end{cases}$$ Éliminons $y$ de la troisième : $L_3 \leftarrow 5L_3 - 7L_2$ $5(7y + 5z) - 7(5y + z) = 5(33000) - 7(16500)$ $35y + 25z - 35y - 7z = 165000 - 115500$ $18z = 49500$ $z = 2750$ Remontée : De la deuxième : $5y + 2750 = 16500 \Rightarrow 5y = 13750 \Rightarrow y = 2750$. De la première : $x + 3(2750) + 2(2750) = 15500 \Rightarrow x + 8250 + 5500 = 15500 \Rightarrow x = 1750$. **Solution :** P coûte 1750 FCFA, Q coûte 2750 FCFA, R coûte 2750 FCFA. ### IV.5. Problème avec une inéquation **Exemple 21 :** Une entreprise produit des articles. Le coût de production de $x$ articles est donné par $C(x) = x^3 - 6x^2 + 11x$ (en milliers de FCFA). L'entreprise réalise un bénéfice si le coût est inférieur à 6 milliers de FCFA. Pour quelles quantités produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? On cherche $x > 0$ tel que $x^3 - 6x^2 + 11x < 6$. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 < 0$ Cherchons une racine évidente de $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Donc $x = 1$ est racine. Factorisons : $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$. Tableau de signes : | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $+\infty$ | |-----|-----|-----|-----|-----|-----------| | $x - 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x - 2$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | On veut $P(x) < 0$ : $x \in ]0; 1[ \cup ]2; 3[$. **Solution :** L'entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre 0 et 1 article (exclus) ou entre 2 et 3 articles (exclus). En pratique, pour des quantités entières : 0 article (pas de production) ou 2 articles (strictement entre 2 et 3, donc seule la valeur entière 2 est possible si on exclut les bornes). En réalité, pour $x = 2$, $P(2) = 0$, donc le coût est exactement 6, pas de bénéfice. Donc aucune quantité entière ne convient si on exige un bénéfice strict. Si on accepte $P(x) \leq 0$, alors $x = 1$ ou $x = 2$ conviennent. --- ## Conclusion Ce chapitre vous a permis de maîtriser les techniques essentielles de résolution d'équations et d'inéquations de degré 3, l'utilisation de l'inconnue auxiliaire pour simplifier certaines équations, et la résolution de systèmes linéaires à deux et trois inconnues par différentes méthodes (substitution, combinaisons linéaires, déterminant, pivot de Gauss). Ces outils mathématiques sont indispensables pour modéliser et résoudre des problèmes concrets en économie, en gestion et dans les sciences sociales. La maîtrise de ces techniques vous sera également précieuse pour aborder sereinement les épreuves du Baccalauréat.