Courbes représentatives

# Fiche de cours : Courbes représentatives ## Introduction L'étude des courbes représentatives constitue un outil fondamental de l'analyse mathématique. Elle permet de visualiser le comportement d'une fonction, d'en déduire ses propriétés (variations, extremums, symétries) et de comprendre son évolution à l'infini. Dans ce chapitre, nous apprendrons à tracer une courbe, à identifier ses éventuels axes ou centres de symétrie, et à déterminer ses asymptotes. Ces compétences sont essentielles pour l'étude complète d'une fonction et pour la résolution de problèmes concrets. --- ## I. Courbe d'une fonction, centre et axe de symétrie ### I.1. Courbe représentative d'une fonction > **Définition :** Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points $M(x; y)$ du plan tels que $y = f(x)$ pour tout $x \in I$. On a donc : > $$\mathcal{C}_f = \left\{ M(x; f(x)) \mid x \in I \right\}$$ La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$. Chaque point de la courbe a une abscisse $x$ et une ordonnée $y = f(x)$. **Exemple :** Pour la fonction $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est une parabole. Les points $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$ appartiennent à cette courbe. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x²","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x²","points":[[-4,16],[-3.5,12.25],[-3,9],[-2.5,6.25],[-2,4],[-1.5,2.25],[-1,1],[-0.5,0.25],[0,0],[0.5,0.25],[1,1],[1.5,2.25],[2,4],[2.5,6.25],[3,9],[3.5,12.25],[4,16]]}]} ``` ### I.2. Axe de symétrie d'une courbe > **Définition :** On dit que la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ si, pour tout point $M(x; y)$ de $\mathcal{C}_f$, son symétrique $M'(x'; y')$ par rapport à cette droite appartient aussi à $\mathcal{C}_f$. Le symétrique de $M(x; y)$ par rapport à la droite $x = a$ est $M'(2a - x; y)$. **Propriété fondamentale :** > **Propriété :** La droite $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si pour tout $x$ du domaine de définition de $f$ (tel que $2a - x$ appartienne aussi à ce domaine), on a : > $$f(2a - x) = f(x)$$ **Cas particulier :** Si $a = 0$, la droite $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est un axe de symétrie si et seulement si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$. La fonction $f$ est alors dite **paire**. **Exemple :** Considérons $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Vérifions que la droite $x = 2$ est un axe de symétrie. Calculons $f(4 - x)$ : $$f(4 - x) = (4 - x)^2 - 4(4 - x) + 3 = 16 - 8x + x^2 - 16 + 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 = f(x)$$ On a bien $f(4 - x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La droite $x = 2$ est donc un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x² - 4x + 3 avec axe x = 2","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x² - 4x + 3","points":[[-1,8],[-0.5,5.25],[0,3],[0.5,1.25],[1,0],[1.5,-0.75],[2,-1],[2.5,-0.75],[3,0],[3.5,1.25],[4,3],[4.5,5.25],[5,8],[5.5,11.25],[6,15],[6.5,19.25],[7,24]]}]} ``` ### I.3. Centre de symétrie d'une courbe > **Définition :** On dit que le point $A(a; b)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ si, pour tout point $M(x; y)$ de $\mathcal{C}_f$, son symétrique $M'(x'; y')$ par rapport à $A$ appartient aussi à $\mathcal{C}_f$. Le symétrique de $M(x; y)$ par rapport à $A(a; b)$ est $M'(2a - x; 2b - y)$. **Propriété fondamentale :** > **Propriété :** Le point $A(a; b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si pour tout $x$ du domaine de définition de $f$ (tel que $2a - x$ appartienne aussi à ce domaine), on a : > $$f(2a - x) = 2b - f(x)$$ **Cas particulier :** Si $a = 0$ et $b = 0$, l'origine $O(0; 0)$ est un centre de symétrie si et seulement si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$. La fonction $f$ est alors dite **impaire**. **Exemple :** Considérons $f(x) = x^3 - 3x$. Vérifions que le point $A(0; 0)$ est un centre de symétrie. Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$$ On a bien $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La fonction est impaire, donc l'origine $O(0; 0)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x³ - 3x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x³ - 3x","points":[[-3,-18],[-2.7,-10.683],[-2.4,-6.624],[-2.1,-3.561],[-1.8,-1.032],[-1.5,1.125],[-1.2,2.172],[-0.9,1.971],[-0.6,1.584],[-0.3,1.173],[0,0],[0.3,-1.173],[0.6,-1.584],[0.9,-1.971],[1.2,-2.172],[1.5,-1.125],[1.8,1.032],[2.1,3.561],[2.4,6.624],[2.7,10.683],[3,18]]}]} ``` **Exemple complet :** Considérons $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Montrons que le point $A(2; 2)$ est un centre de symétrie. Pour tout $x \neq 2$ et $x \neq 2$ (donc $4 - x \neq 2$), calculons $f(4 - x)$ : $$f(4 - x) = \frac{2(4 - x) - 1}{(4 - x) - 2} = \frac{8 - 2x - 1}{2 - x} = \frac{7 - 2x}{2 - x}$$ Calculons $4 - f(x)$ : $$4 - f(x) = 4 - \frac{2x - 1}{x - 2} = \frac{4(x - 2) - (2x - 1)}{x - 2} = \frac{4x - 8 - 2x + 1}{x - 2} = \frac{2x - 7}{x - 2}$$ Or $\dfrac{7 - 2x}{2 - x} = \dfrac{-(2x - 7)}{-(x - 2)} = \dfrac{2x - 7}{x - 2}$. Donc $f(4 - x) = 4 - f(x)$. Le point $A(2; 2)$ est bien un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. --- ## II. Conjecture d'un axe ou centre de symétrie à partir d'une courbe ### II.1. Méthode de conjecture graphique Lorsqu'on dispose de la courbe d'une fonction, on peut **conjecturer** l'existence d'un axe ou d'un centre de symétrie par observation visuelle, puis **vérifier** cette conjecture par le calcul. > **Méthode :** Pour conjecturer un axe ou un centre de symétrie : > 1. **Observer** la courbe et chercher une droite verticale $x = a$ qui semble la partager en deux parties symétriques (miroir). > 2. **Observer** un point $A(a; b)$ qui semble être le "centre" de la courbe (la courbe semble invariante par demi-tour autour de ce point). > 3. **Vérifier** par le calcul en utilisant les propriétés du I. ### II.2. Exemple 1 : Conjecture d'un axe de symétrie **Énoncé :** On considère la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Tracer sa courbe, conjecturer un axe de symétrie, puis vérifier par le calcul. **Tracé et conjecture :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x² - 6x + 10","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x² - 6x + 10","points":[[0,10],[0.5,7.25],[1,5],[1.5,3.25],[2,2],[2.5,1.25],[3,1],[3.5,1.25],[4,2],[4.5,3.25],[5,5],[5.5,7.25],[6,10],[6.5,13.25],[7,17],[7.5,21.25],[8,26]]}]} ``` La courbe semble symétrique par rapport à la droite verticale $x = 3$. **Conjecture :** la droite $x = 3$ est un axe de symétrie. **Vérification :** Pour tout $x \in \mathbb{R}$, calculons $f(6 - x)$ : $$f(6 - x) = (6 - x)^2 - 6(6 - x) + 10 = 36 - 12x + x^2 - 36 + 6x + 10 = x^2 - 6x + 10 = f(x)$$ On a $f(6 - x) = f(x)$ pour tout $x$. La conjecture est vérifiée : la droite $x = 3$ est bien un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$. ### II.3. Exemple 2 : Conjecture d'un centre de symétrie **Énoncé :** On considère la fonction $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Tracer sa courbe, conjecturer un centre de symétrie, puis vérifier par le calcul. **Tracé et conjecture :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (3x+1)/(x-1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (3x+1)/(x-1)","points":[[-5,2.333],[-4,2.2],[-3,2],[-2,1.667],[-1,1],[-0.5,0.333],[0,-1],[0.5,-5],[1.5,11],[2,7],[2.5,5.667],[3,5],[3.5,4.6],[4,4.333],[4.5,4.143],[5,4],[5.5,3.889],[6,3.8],[6.5,3.727],[7,3.667]]}]} ``` La courbe semble symétrique par rapport au point $A(1; 3)$. **Conjecture :** le point $A(1; 3)$ est un centre de symétrie. **Vérification :** Pour tout $x \neq 1$ (et $2 - x \neq 1$, donc $x \neq 1$), calculons $f(2 - x)$ : $$f(2 - x) = \frac{3(2 - x) + 1}{(2 - x) - 1} = \frac{6 - 3x + 1}{1 - x} = \frac{7 - 3x}{1 - x}$$ Calculons $6 - f(x)$ : $$6 - f(x) = 6 - \frac{3x + 1}{x - 1} = \frac{6(x - 1) - (3x + 1)}{x - 1} = \frac{6x - 6 - 3x - 1}{x - 1} = \frac{3x - 7}{x - 1}$$ Or $\dfrac{7 - 3x}{1 - x} = \dfrac{-(3x - 7)}{-(x - 1)} = \dfrac{3x - 7}{x - 1}$. Donc $f(2 - x) = 6 - f(x)$. La conjecture est vérifiée : le point $A(1; 3)$ est bien un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. ### II.4. Exemple 3 : Fonction exponentielle et logarithme **Énoncé :** On considère la fonction $g(x) = e^x + e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$. Tracer sa courbe et conjecturer un axe de symétrie. **Tracé et conjecture :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = e^x + e^(-x)","type":"line","series":[{"label":"g(x) = e^x + e^(-x)","points":[[-3,20.086],[-2.7,15.244],[-2.4,11.595],[-2.1,8.858],[-1.8,6.805],[-1.5,5.282],[-1.2,4.161],[-0.9,3.345],[-0.6,2.761],[-0.3,2.352],[0,2],[0.3,2.352],[0.6,2.761],[0.9,3.345],[1.2,4.161],[1.5,5.282],[1.8,6.805],[2.1,8.858],[2.4,11.595],[2.7,15.244],[3,20.086]]}]} ``` La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($x = 0$). **Conjecture :** la droite $x = 0$ est un axe de symétrie. **Vérification :** Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$g(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^{x} = e^{x} + e^{-x} = g(x)$$ On a $g(-x) = g(x)$ pour tout $x$. La fonction $g$ est paire, donc la droite $x = 0$ est bien un axe de symétrie de $\mathcal{C}_g$. --- ## III. Asymptotes : conjecture puis justification ### III.1. Asymptote verticale > **Définition :** On dit que la droite d'équation $x = a$ est une **asymptote verticale** à la courbe $\mathcal{C}_f$ si : > $$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$ > (limite à gauche ou à droite de $a$). **Interprétation graphique :** Lorsque $x$ s'approche de $a$, la courbe se rapproche de la droite verticale $x = a$ sans jamais la toucher. **Conjecture :** On conjecture une asymptote verticale $x = a$ lorsque la fonction n'est pas définie en $a$ et que la courbe "monte" ou "descend" verticalement au voisinage de $a$. **Exemple :** Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. **Conjecture :** La fonction n'est pas définie en $x = 2$. La droite $x = 2$ semble être une asymptote verticale. **Justification :** $$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty \quad \text{car } x - 2 \to 0^+$$ $$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty \quad \text{car } x - 2 \to 0^-$$ La droite $x = 2$ est bien une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = 1/(x-2)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = 1/(x-2)","points":[[-4,-0.167],[-3,-0.2],[-2,-0.25],[-1,-0.333],[0,-0.5],[0.5,-0.667],[1,-1],[1.5,-2],[1.8,-5],[1.9,-10],[2.1,10],[2.2,5],[2.5,2],[3,1],[3.5,0.667],[4,0.5],[4.5,0.4],[5,0.333],[5.5,0.286],[6,0.25],[7,0.2],[8,0.167]]}]} ``` ### III.2. Asymptote horizontale > **Définition :** On dit que la droite d'équation $y = b$ est une **asymptote horizontale** à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$) si : > $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \quad \text{(respectivement } \lim_{x \to -\infty} f(x) = b\text{)}$$ **Interprétation graphique :** Lorsque $x$ tend vers l'infini, la courbe se rapproche de la droite horizontale $y = b$ sans jamais la toucher. **Conjecture :** On conjecture une asymptote horizontale $y = b$ lorsque la courbe semble se stabiliser autour d'une valeur $b$ lorsque $x$ devient très grand (positivement ou négativement). **Exemple :** Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. **Conjecture :** La courbe semble se rapprocher de la droite $y = 2$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$. **Justification :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$ De même, $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 3} = 2$. La droite $y = 2$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (2x+1)/(x-3)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (2x+1)/(x-3)","points":[[-8,1.364],[-7,1.3],[-6,1.222],[-5,1.125],[-4,1],[-3,0.833],[-2,0.6],[-1,0.25],[0,-0.333],[1,-1.5],[2,-5],[4,9],[5,5.5],[6,4.333],[7,3.75],[8,3.4],[9,3.167],[10,3],[11,2.875],[12,2.778],[13,2.7],[14,2.636],[15,2.583]]}]} ``` ### III.3. Asymptote oblique > **Définition :** On dit que la droite d'équation $y = ax + b$ (avec $a \neq 0$) est une **asymptote oblique** à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$) si : > $$\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (ax + b) \right] = 0 \quad \text{(respectivement } \lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) - (ax + b) \right] = 0\text{)}$$ **Interprétation graphique :** Lorsque $x$ tend vers l'infini, la courbe se rapproche de la droite $y = ax + b$ sans jamais la toucher. **Conjecture :** On conjecture une asymptote oblique lorsque la courbe semble se comporter comme une droite non horizontale pour de grandes valeurs de $x$. **Méthode de détermination :** Pour trouver l'asymptote oblique, on calcule : $$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{puis} \quad b = \lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - ax \right]$$ **Exemple :** Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. **Conjecture :** La courbe semble se rapprocher d'une droite oblique lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$. **Justification :** Effectuons la division euclidienne de $x^2 + 2x - 1$ par $x - 1$ : $$x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x + 3) + 2$$ Donc : $$f(x) = x + 3 + \frac{2}{x - 1}$$ Calculons la limite : $$\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (x + 3) \right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x - 1} = 0$$ De même, $\lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) - (x + 3) \right] = 0$. La droite $y = x + 3$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x²+2x-1)/(x-1) et asymptote y = x+3","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x²+2x-1)/(x-1)","points":[[-6,1.571],[-5,1.333],[-4,1.4],[-3,2],[-2,3],[-1,5],[0,1],[0.5,-2.5],[1.5,12.5],[2,7],[2.5,5.833],[3,5.5],[3.5,5.4],[4,5.333],[4.5,5.286],[5,5.25],[5.5,5.222],[6,5.2],[6.5,5.182],[7,5.167],[8,5.143],[9,5.125],[10,5.111]]},{"label":"y = x + 3","points":[[-6,-3],[-5,-2],[-4,-1],[-3,0],[-2,1],[-1,2],[0,3],[1,4],[2,5],[3,6],[4,7],[5,8],[6,9],[7,10],[8,11],[9,12],[10,13]]}]} ``` ### III.4. Cas des fonctions exponentielle et logarithme **Exemple avec la fonction exponentielle :** Soit $f(x) = e^{-x} + 2$ définie sur $\mathbb{R}$. **Conjecture :** La courbe semble se rapprocher de la droite $y = 2$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. **Justification :** $$\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \quad \text{donc} \quad \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x} + 2 \right) = 2$$ La droite $y = 2$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = e^(-x) + 2","type":"line","series":[{"label":"f(x) = e^(-x) + 2","points":[[-3,22.086],[-2.5,14.182],[-2,9.389],[-1.5,6.482],[-1,4.718],[-0.5,3.649],[0,3],[0.5,2.607],[1,2.368],[1.5,2.223],[2,2.135],[2.5,2.082],[3,2.05],[3.5,2.03],[4,2.018],[4.5,2.011],[5,2.007],[5.5,2.004],[6,2.002],[6.5,2.001],[7,2.001],[7.5,2.001],[8,2]]}]} ``` **Exemple avec la fonction logarithme :** Soit $g(x) = \ln(x) + 1$ définie sur $]0; +\infty[$. **Conjecture :** La courbe semble descendre verticalement lorsque $x$ s'approche de $0$ par valeurs positives. **Justification :** $$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \quad \text{donc} \quad \lim_{x \to 0^+} \left( \ln(x) + 1 \right) = -\infty$$ La droite $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_g$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = ln(x) + 1","type":"line","series":[{"label":"g(x) = ln(x) + 1","points":[[0.05,-1.996],[0.1,-1.303],[0.2,-0.609],[0.3,-0.204],[0.4,0.084],[0.5,0.307],[0.6,0.489],[0.7,0.643],[0.8,0.777],[0.9,0.895],[1,1],[1.2,1.182],[1.4,1.336],[1.6,1.47],[1.8,1.588],[2,1.693],[2.5,1.916],[3,2.099],[3.5,2.253],[4,2.386],[4.5,2.504],[5,2.609],[6,2.792],[7,2.946],[8,3.079]]}]} ``` ### III.5. Tableau récapitulatif des asymptotes > **À retenir :** > > | Type d'asymptote | Équation | Condition | Conjecture graphique | > |---|---|---|---| > | Verticale | $x = a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ | La courbe "monte" ou "descend" verticalement près de $x = a$ | > | Horizontale | $y = b$ | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ | La courbe se stabilise autour de $y = b$ à l'infini | > | Oblique | $y = ax + b$ | $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ | La courbe se comporte comme une droite non horizontale à l'infini | --- ## Conclusion L'étude des courbes représentatives permet de visualiser et de comprendre le comportement global d'une fonction. Les notions de symétrie (axe ou centre) et d'asymptotes (verticales, horizontales, obliques) sont essentielles pour : 1. **Tracer** une courbe avec précision en identifiant ses éléments caractéristiques. 2. **Conjecturer** des propriétés à partir de l'observation graphique, puis les **démontrer** par le calcul. 3. **Interpréter** le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine de définition. Ces outils sont systématiquement utilisés dans l'étude complète d'une fonction, exercice classique du Baccalauréat camerounais. La démarche générale consiste toujours à : conjecturer graphiquement, puis justifier analytiquement.