Dérivées des fonctions

# Dérivées des fonctions ## Introduction La notion de dérivée est l'un des outils fondamentaux de l'analyse mathématique. Elle permet d'étudier le comportement local d'une fonction, de déterminer ses variations, ses extremums, et de résoudre de nombreux problèmes concrets (optimisation, vitesse instantanée, coût marginal, etc.). Dans ce chapitre, nous allons d'abord établir le tableau des dérivées des fonctions usuelles, puis apprendre à dériver des fonctions composées, et enfin utiliser le signe de la dérivée pour déterminer le sens de variation d'une fonction. Ce chapitre est essentiel pour la résolution de problèmes en économie, en sciences sociales et dans les disciplines littéraires où l'analyse de données et de tendances est primordiale. --- ## I. Dérivées usuelles ### 1. Définition de la dérivée Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un point de $I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $x_0$. Cette limite, notée $f'(x_0)$, est appelée **nombre dérivé** de $f$ en $x_0$. > **À RETENIR** : Le nombre dérivé $f'(x_0)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. L'équation de la tangente au point $(x_0, f(x_0))$ est : > $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ ### 2. Tableau des dérivées des fonctions usuelles Le tableau suivant regroupe les dérivées des fonctions usuelles qu'il faut connaître parfaitement : | Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité | |:---:|:---:|:---:| | $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ | | $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ | | $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ | | $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $n x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0, +\infty[$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ | | $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ | | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $]0, +\infty[$ | > **À RETENIR** : Pour $n$ entier naturel non nul, la dérivée de $x^n$ est $n x^{n-1}$. Pour $n$ négatif, la formule reste valable sur le domaine de définition. Par exemple, $\left(\frac{1}{x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. ### 3. Opérations sur les dérivées Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ une constante réelle. > **À RETENIR** : Les règles de dérivation sont : > - $(u + v)' = u' + v'$ > - $(ku)' = k u'$ > - $(u \times v)' = u'v + uv'$ > - $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v(x) \neq 0$ sur $I$) > - $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ (avec $v(x) \neq 0$ sur $I$) ### 4. Exemples résolus **Exemple 1** : Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$. **Solution** : $$f'(x) = 3 \times 2x - 5 \times 1 + 0 = 6x - 5$$ **Exemple 2** : Calculer la dérivée de $g(x) = x^3 \cdot \sqrt{x}$ sur $]0, +\infty[$. **Solution** : On utilise la formule du produit. On pose $u = x^3$ et $v = \sqrt{x}$. Alors $u' = 3x^2$ et $v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $$g'(x) = u'v + uv' = 3x^2 \cdot \sqrt{x} + x^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3x^{5/2} + \frac{x^{5/2}}{2} = \frac{7}{2} x^{5/2}$$ **Exemple 3** : Calculer la dérivée de $h(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. **Solution** : On utilise la formule du quotient. On pose $u = 2x + 1$ et $v = x - 3$. Alors $u' = 2$ et $v' = 1$. $$h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$$ **Exemple 4** : Calculer la dérivée de $p(x) = 5e^x + 3\ln x - 2\sin x$ sur $]0, +\infty[$. **Solution** : $$p'(x) = 5e^x + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2\cos x = 5e^x + \frac{3}{x} - 2\cos x$$ --- ## II. Dérivées des fonctions composées ### 1. Théorème de dérivation des fonctions composées Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $u(I) \subset J$. Alors la fonction composée $f = g \circ u$ définie par $f(x) = g(u(x))$ est dérivable sur $I$ et : > **À RETENIR** : **Formule de dérivation des fonctions composées** : > $$(g \circ u)'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))$$ > Autrement dit : la dérivée de $g(u(x))$ est le produit de la dérivée de $u$ par la dérivée de $g$ évaluée en $u(x)$. ### 2. Cas particuliers importants Les cas suivants sont des applications directes de la formule de composition et doivent être mémorisés : > **À RETENIR** : Pour $u$ fonction dérivable et strictement positive sur $I$ : > - $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ > - $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (avec $u > 0$) > - $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ (avec $u \neq 0$) > - $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$ > - $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$ > - $(e^u)' = u' \cdot e^u$ > - $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ (avec $u > 0$) ### 3. Exemples résolus **Exemple 1** : Calculer la dérivée de $f(x) = (3x^2 + 2x - 1)^4$. **Solution** : On pose $u(x) = 3x^2 + 2x - 1$, donc $u'(x) = 6x + 2$. On a $f(x) = u(x)^4$, donc : $$f'(x) = 4 \cdot u'(x) \cdot u(x)^3 = 4(6x + 2)(3x^2 + 2x - 1)^3$$ **Exemple 2** : Calculer la dérivée de $g(x) = \sqrt{5x - 2}$ sur $\left]\frac{2}{5}, +\infty\right[$. **Solution** : On pose $u(x) = 5x - 2$, donc $u'(x) = 5$. On a $g(x) = \sqrt{u(x)}$, donc : $$g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{5}{2\sqrt{5x - 2}}$$ **Exemple 3** : Calculer la dérivée de $h(x) = e^{-2x + 1}$. **Solution** : On pose $u(x) = -2x + 1$, donc $u'(x) = -2$. On a $h(x) = e^{u(x)}$, donc : $$h'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = -2e^{-2x + 1}$$ **Exemple 4** : Calculer la dérivée de $k(x) = \ln(3x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On pose $u(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $u'(x) = 6x$. On a $k(x) = \ln(u(x))$, donc : $$k'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{6x}{3x^2 + 1}$$ **Exemple 5** : Calculer la dérivée de $m(x) = \sin(2x) + \cos(x^2)$. **Solution** : On dérive chaque terme séparément. Pour $\sin(2x)$ : on pose $u(x) = 2x$, $u'(x) = 2$, donc $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$. Pour $\cos(x^2)$ : on pose $v(x) = x^2$, $v'(x) = 2x$, donc $(\cos(x^2))' = -2x\sin(x^2)$. $$m'(x) = 2\cos(2x) - 2x\sin(x^2)$$ **Exemple 6** : Calculer la dérivée de $n(x) = \frac{1}{(2x - 1)^3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$. **Solution** : On pose $u(x) = 2x - 1$, donc $u'(x) = 2$. On a $n(x) = u(x)^{-3}$, donc : $$n'(x) = -3 \cdot u'(x) \cdot u(x)^{-4} = -3 \cdot 2 \cdot (2x - 1)^{-4} = \frac{-6}{(2x - 1)^4}$$ --- ## III. Dérivée et sens de variation d'une fonction ### 1. Théorème fondamental > **À RETENIR** : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. > - Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **strictement croissante** sur $I$. > - Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **strictement décroissante** sur $I$. > - Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **constante** sur $I$. **Remarque** : Si $f'(x) \geq 0$ (respectivement $f'(x) \leq 0$) sur $I$, alors $f$ est croissante (respectivement décroissante) au sens large sur $I$. ### 2. Extremums d'une fonction > **À RETENIR** : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$. > - Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe (de $+$ à $-$), alors $f$ admet un **maximum local** en $x_0$. > - Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe (de $-$ à $+$), alors $f$ admet un **minimum local** en $x_0$. > - Si $f'$ s'annule en $x_0$ sans changer de signe, alors $x_0$ est un point d'inflexion à tangente horizontale (pas d'extremum). ### 3. Méthode générale pour étudier les variations d'une fonction Pour étudier le sens de variation d'une fonction $f$ dérivable sur son domaine de définition $D_f$ : 1. Calculer $f'(x)$. 2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $D_f$ (factoriser si nécessaire, étudier le signe de chaque facteur). 3. Dresser le tableau de variations de $f$ en indiquant les valeurs aux bornes et aux points où $f'$ s'annule. ### 4. Exemples résolus **Exemple 1** : Étudier les variations de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : 1. Calcul de la dérivée : $f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. 2. Signe de $f'(x)$ : $f'(x) = 0 \iff x = 2$. Pour $x < 2$, $x - 2 < 0$ donc $f'(x) < 0$. Pour $x > 2$, $x - 2 > 0$ donc $f'(x) > 0$. 3. Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | 2 | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | | $f(x)$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$. Elle admet un minimum en $x = 2$ de valeur $-1$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x² - 4x + 3","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x² - 4x + 3","points":[[-1,8],[-0.5,5.25],[0,3],[0.5,1.25],[1,0],[1.5,-0.75],[2,-1],[2.5,-0.75],[3,0],[3.5,1.25],[4,3],[4.5,5.25],[5,8],[5.5,11.25],[6,15]]}]} ``` **Exemple 2** : Étudier les variations de $g(x) = \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$. **Solution** : 1. Calcul de la dérivée : $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$. 2. Signe de $g'(x)$ : $x^2 > 0$ pour tout $x \neq 0$, donc $-\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$. 3. Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $g'(x)$ | $-$ | $\Vert $ | $-$ | | $g(x)$ | $\searrow$ | $\Vert $ | $\searrow$ | La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 0[$ et strictement décroissante sur $]0, +\infty[$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = 1/x","type":"line","series":[{"label":"g(x) = 1/x (x<0)","points":[[-5,-0.2],[-4,-0.25],[-3,-0.333],[-2,-0.5],[-1.5,-0.667],[-1,-1],[-0.5,-2],[-0.25,-4],[-0.1,-10]]},{"label":"g(x) = 1/x (x>0)","points":[[0.1,10],[0.25,4],[0.5,2],[1,1],[1.5,0.667],[2,0.5],[3,0.333],[4,0.25],[5,0.2]]}]} ``` **Exemple 3** : Étudier les variations de $h(x) = e^x - x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : 1. Calcul de la dérivée : $h'(x) = e^x - 1$. 2. Signe de $h'(x)$ : $h'(x) = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$. Pour $x < 0$, $e^x < 1$ donc $h'(x) < 0$. Pour $x > 0$, $e^x > 1$ donc $h'(x) > 0$. 3. Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $h'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | | $h(x)$ | $\searrow$ | $1$ | $\nearrow$ | $h(0) = e^0 - 0 = 1$. La fonction $h$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$. Elle admet un minimum en $x = 0$ de valeur $1$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de h(x) = eˣ - x","type":"line","series":[{"label":"h(x) = eˣ - x","points":[[-3,3.05],[-2.5,2.58],[-2,2.14],[-1.5,1.72],[-1,1.37],[-0.5,1.11],[0,1],[0.5,1.15],[1,1.72],[1.5,2.98],[2,5.39],[2.5,9.68],[3,17.09],[3.5,29.62],[4,50.6]]}]} ``` **Exemple 4** : Étudier les variations de $k(x) = x \ln x$ sur $]0, +\infty[$. **Solution** : 1. Calcul de la dérivée : $k'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$. 2. Signe de $k'(x)$ : $k'(x) = 0 \iff \ln x + 1 = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e}$. Pour $0 < x < \frac{1}{e}$ : $\ln x < -1$ donc $k'(x) < 0$. Pour $x > \frac{1}{e}$ : $\ln x > -1$ donc $k'(x) > 0$. 3. Tableau de variations : | $x$ | $0$ | $\frac{1}{e}$ | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $k'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | | $k(x)$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{e}$ | $\nearrow$ | $k\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$. La fonction $k$ est décroissante sur $\left]0, \frac{1}{e}\right]$ et croissante sur $\left[\frac{1}{e}, +\infty\right[$. Elle admet un minimum en $x = \frac{1}{e}$ de valeur $-\frac{1}{e}$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de k(x) = x·ln(x)","type":"line","series":[{"label":"k(x) = x·ln(x)","points":[[0.05,-0.15],[0.1,-0.23],[0.15,-0.285],[0.2,-0.322],[0.25,-0.347],[0.3,-0.361],[0.35,-0.367],[0.4,-0.366],[0.5,-0.347],[0.6,-0.306],[0.8,-0.178],[1,0],[1.5,0.608],[2,1.386],[2.5,2.291],[3,3.296],[3.5,4.379],[4,5.545]]}]} ``` **Exemple 5** : Étudier les variations de $m(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : 1. Calcul de la dérivée : $m'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2 + 1)^2}$. 2. Signe de $m'(x)$ : le dénominateur $(x^2 + 1)^2 > 0$ pour tout $x$. Le signe dépend du numérateur $(1-x)(1+x)$. - $1 - x > 0 \iff x < 1$ - $1 + x > 0 \iff x > -1$ Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $1-x$ | $+$ | $+$ | 0 | $-$ | | $1+x$ | $-$ | 0 | $+$ | $+$ | | $m'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ | 3. Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $m'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ | | $m(x)$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{2}$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | $m(-1) = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$ et $m(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$. La fonction $m$ admet un minimum en $x = -1$ de valeur $-\frac{1}{2}$ et un maximum en $x = 1$ de valeur $\frac{1}{2}$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de m(x) = x/(x²+1)","type":"line","series":[{"label":"m(x) = x/(x²+1)","points":[[-5,-0.192],[-4,-0.235],[-3,-0.3],[-2,-0.4],[-1.5,-0.462],[-1,-0.5],[-0.5,-0.4],[0,0],[0.5,0.4],[1,0.5],[1.5,0.462],[2,0.4],[3,0.3],[4,0.235],[5,0.192]]}]} ``` ### 5. Problème concret : optimisation **Problème** : Une entreprise camerounaise produit et vend des articles. Le coût total de production de $x$ articles (en milliers de FCFA) est donné par $C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10$ pour $x \in [0, 8]$. Le prix de vente unitaire est de 12 milliers de FCFA. Déterminer la production qui maximise le bénéfice. **Solution** : 1. La recette totale est $R(x) = 12x$ (milliers de FCFA). 2. Le bénéfice est $B(x) = R(x) - C(x) = 12x - (x^3 - 6x^2 + 15x + 10) = -x^3 + 6x^2 - 3x - 10$. 3. Calcul de la dérivée : $B'(x) = -3x^2 + 12x - 3 = -3(x^2 - 4x + 1)$. 4. Résolution de $B'(x) = 0$ : $x^2 - 4x + 1 = 0$. Le discriminant est $\Delta = 16 - 4 = 12 = (2\sqrt{3})^2$. Les racines sont : $$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$$ 5. Signe de $B'(x)$ : $B'(x) = -3(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant est négatif, donc $B'(x) > 0$ pour $x \in (x_1, x_2)$ et $B'(x) < 0$ pour $x < x_1$ ou $x > x_2$. 6. Tableau de variations sur $[0, 8]$ : | $x$ | 0 | $2 - \sqrt{3}$ | $2 + \sqrt{3}$ | 8 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $B'(x)$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ | | $B(x)$ | $-10$ | $\searrow$ | min | $\nearrow$ | max | $\searrow$ | $B(0) = -10$, $B(2 - \sqrt{3}) \approx -10,39$, $B(2 + \sqrt{3}) \approx 7,39$, $B(8) = -512 + 384 - 24 - 10 = -162$. Le bénéfice maximal est atteint pour $x = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$ articles. Comme la production doit être un nombre entier, on compare $B(3)$ et $B(4)$ : - $B(3) = -27 + 54 - 9 - 10 = 8$ - $B(4) = -64 + 96 - 12 - 10 = 10$ Le bénéfice maximal est donc obtenu pour $x = 4$ articles, avec un bénéfice de 10 000 FCFA. --- ## Conclusion La dérivée est un outil puissant qui permet d'analyser le comportement des fonctions. Dans ce chapitre, nous avons appris à : - Calculer les dérivées des fonctions usuelles (puissances, racines, fonctions trigonométriques, exponentielle, logarithme) ; - Appliquer les règles de dérivation (somme, produit, quotient) ; - Dériver des fonctions composées à l'aide de la formule $(g \circ u)' = u' \cdot g'(u)$ ; - Utiliser le signe de la dérivée pour déterminer le sens de variation d'une fonction et identifier ses extremums. Ces compétences sont essentielles pour résoudre des problèmes d'optimisation rencontrés en économie (maximisation du profit, minimisation des coûts), en sciences sociales (analyse de tendances) et dans de nombreux autres domaines. La maîtrise de la dérivation est également un prérequis indispensable pour aborder le calcul intégral, qui fait l'objet d'un chapitre ultérieur.