Géométrie analytique du plan

# Géométrie analytique du plan ## Introduction La géométrie analytique, fondée par René Descartes, établit un pont entre l'algèbre et la géométrie en représentant les objets géométriques par des équations. Dans ce chapitre, nous étudions les outils fondamentaux permettant de caractériser analytiquement les droites et les cercles du plan. Nous aborderons successivement la distance d'un point à une droite, l'équation normale d'une droite, les équations paramétriques d'un cercle et l'équation cartésienne de la tangente à un cercle en un point donné. Ces notions sont essentielles pour la résolution de problèmes de géométrie plane et constituent des outils puissants pour l'étude des configurations géométriques. --- ## I. Distance d'un point à une droite ### I.1. Projection orthogonale et distance Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan et $A$ un point quelconque. La **distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$**, notée $d(A, \mathcal{D})$, est la plus petite distance entre $A$ et un point de $\mathcal{D}$. Cette distance est réalisée par le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{D}$. > **Définition clé :** La distance d'un point $A$ à une droite $\mathcal{D}$ est la longueur du segment $[AH]$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$. On note $d(A, \mathcal{D}) = AH$. ### I.2. Formule de la distance d'un point à une droite Considérons une droite $\mathcal{D}$ d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$, où $(a, b) \neq (0, 0)$, et un point $A(x_A, y_A)$. > **Propriété fondamentale :** La distance du point $A(x_A, y_A)$ à la droite $\mathcal{D} : ax + by + c = 0$ est donnée par : > $$d(A, \mathcal{D}) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ **Démonstration :** Soit $H(x_H, y_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$. Le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $\mathcal{D}$, donc colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ de $\mathcal{D}$. Il existe donc un réel $k$ tel que : $$\overrightarrow{AH} = k \cdot \vec{n} = (ka, kb)$$ Ainsi : $$x_H = x_A + ka \quad \text{et} \quad y_H = y_A + kb$$ Puisque $H \in \mathcal{D}$, on a : $$a(x_A + ka) + b(y_A + kb) + c = 0$$ $$ax_A + by_A + c + k(a^2 + b^2) = 0$$ D'où : $$k = -\frac{ax_A + by_A + c}{a^2 + b^2}$$ La distance cherchée est : $$AH = |k| \cdot \|\vec{n}\| = \frac{|ax_A + by_A + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ Ce qui achève la démonstration. ### I.3. Exemple numérique résolu **Énoncé :** Calculer la distance du point $A(3, -2)$ à la droite $\mathcal{D} : 2x - 3y + 5 = 0$. **Solution :** Ici, $a = 2$, $b = -3$, $c = 5$, $x_A = 3$, $y_A = -2$. $$d(A, \mathcal{D}) = \frac{|2 \times 3 + (-3) \times (-2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{17}{\sqrt{13}}$$ On peut rationaliser : $$d(A, \mathcal{D}) = \frac{17\sqrt{13}}{13}$$ **Vérification géométrique :** Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{D}$ est obtenu en résolvant le système formé par l'équation de $\mathcal{D}$ et la condition $\overrightarrow{AH} \parallel \vec{n}(2, -3)$. $$\begin{cases} 2x_H - 3y_H + 5 = 0 \\ x_H = 3 + 2k \\ y_H = -2 - 3k \end{cases}$$ En substituant : $2(3 + 2k) - 3(-2 - 3k) + 5 = 0$, soit $6 + 4k + 6 + 9k + 5 = 0$, d'où $17 + 13k = 0$ et $k = -\frac{17}{13}$. Ainsi $H\left(3 - \frac{34}{13}, -2 + \frac{51}{13}\right) = H\left(\frac{5}{13}, \frac{25}{13}\right)$. $$AH = \sqrt{\left(3 - \frac{5}{13}\right)^2 + \left(-2 - \frac{25}{13}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{34}{13}\right)^2 + \left(-\frac{51}{13}\right)^2} = \frac{\sqrt{1156 + 2601}}{13} = \frac{\sqrt{3757}}{13} = \frac{17\sqrt{13}}{13}$$ La vérification confirme le résultat. ### I.4. Application : aire d'un triangle La distance d'un point à une droite permet de calculer l'aire d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets. > **Propriété :** L'aire du triangle $ABC$ est donnée par : > $$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d(A, (BC))$$ **Exemple :** Soient $A(1, 2)$, $B(-1, 0)$, $C(3, -1)$. Calculons l'aire du triangle $ABC$. La droite $(BC)$ a pour équation : $y - 0 = \frac{-1 - 0}{3 - (-1)}(x + 1)$, soit $y = -\frac{1}{4}(x + 1)$, ou encore $x + 4y + 1 = 0$. $$d(A, (BC)) = \frac{|1 + 4 \times 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|1 + 8 + 1|}{\sqrt{17}} = \frac{10}{\sqrt{17}}$$ $$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ $$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times \frac{10}{\sqrt{17}} = 5$$ L'aire du triangle $ABC$ est de 5 unités d'aire. --- ## II. Équation normale d'une droite (vecteur normal) ### II.1. Définition du vecteur normal > **Définition clé :** On appelle **vecteur normal** à une droite $\mathcal{D}$ tout vecteur $\vec{n}$ non nul orthogonal à un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. Autrement dit, $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ pour tout vecteur directeur $\vec{u}$ de $\mathcal{D}$. ### II.2. Équation cartésienne et vecteur normal > **Propriété fondamentale :** Une droite $\mathcal{D}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$ si et seulement si le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$. **Démonstration :** Soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $A(x_A, y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$. Un point $M(x, y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}$, c'est-à-dire : $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$$ $$a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$$ $$ax + by - (ax_A + by_A) = 0$$ En posant $c = -(ax_A + by_A)$, on obtient l'équation $ax + by + c = 0$. Réciproquement, si $\mathcal{D}$ a pour équation $ax + by + c = 0$, alors pour deux points $M_1(x_1, y_1)$ et $M_2(x_2, y_2)$ de $\mathcal{D}$ : $$a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0$$ ce qui signifie que $\vec{n}(a, b) \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = 0$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{D}$. ### II.3. Équation normale réduite > **Définition :** L'**équation normale** d'une droite $\mathcal{D}$ est l'équation cartésienne obtenue en divisant l'équation $ax + by + c = 0$ par $\sqrt{a^2 + b^2}$ : > $$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}y + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$$ > On note $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ et $\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, où $\alpha$ est l'angle que fait la normale avec l'axe des abscisses. L'équation normale s'écrit alors : > $$x\cos\alpha + y\sin\alpha - p = 0$$ > où $p = -\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ est la distance algébrique de l'origine à la droite. **Remarque :** Dans l'équation normale, le coefficient de $x$ est $\cos\alpha$ et celui de $y$ est $\sin\alpha$, avec $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. ### II.4. Détermination d'une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur normal **Méthode :** Pour déterminer l'équation cartésienne d'une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A, y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ : 1. L'équation est de la forme $ax + by + c = 0$. 2. On détermine $c$ en utilisant le fait que $A \in \mathcal{D}$ : $c = -(ax_A + by_A)$. **Exemple :** Déterminer l'équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(2, -1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3, 4)$. L'équation est de la forme $3x + 4y + c = 0$. Comme $A \in \mathcal{D}$ : $$3 \times 2 + 4 \times (-1) + c = 0 \Rightarrow 6 - 4 + c = 0 \Rightarrow c = -2$$ L'équation de $\mathcal{D}$ est donc : $3x + 4y - 2 = 0$. **Équation normale :** $$\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - \frac{2}{5} = 0$$ où $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. ### II.5. Lien entre vecteur normal et vecteur directeur > **Propriété :** Si $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à une droite $\mathcal{D}$, alors un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(-b, a)$ (ou $\vec{u}(b, -a)$). **Vérification :** $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ab = 0$. **Exemple :** Pour la droite $\mathcal{D} : 2x - 5y + 3 = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(2, -5)$ et un vecteur directeur est $\vec{u}(5, 2)$. ### II.6. Position relative de deux droites Soient deux droites $\mathcal{D}_1 : a_1x + b_1y + c_1 = 0$ et $\mathcal{D}_2 : a_2x + b_2y + c_2 = 0$. > **Propriété :** > - $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont **parallèles** si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$. > - $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont **perpendiculaires** si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est-à-dire $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$. **Exemple :** Les droites $\mathcal{D}_1 : 2x + 3y - 1 = 0$ et $\mathcal{D}_2 : 4x + 6y + 5 = 0$ sont parallèles car $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$. Les droites $\mathcal{D}_1 : 2x + 3y - 1 = 0$ et $\mathcal{D}_3 : 3x - 2y + 4 = 0$ sont perpendiculaires car $2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 - 6 = 0$. --- ## III. Équations paramétriques d'un cercle du plan ### III.1. Définition du cercle > **Définition clé :** Le **cercle** de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R > 0$ est l'ensemble des points $M(x, y)$ du plan tels que $\Omega M = R$. ### III.2. Équation cartésienne d'un cercle > **Propriété fondamentale :** Le cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ a pour équation cartésienne : > $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$ **Démonstration :** Un point $M(x, y)$ appartient au cercle si et seulement si $\Omega M = R$, c'est-à-dire : $$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$$ En élevant au carré (les deux membres étant positifs) : $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$ ### III.3. Équations paramétriques d'un cercle > **Propriété :** Le cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ admet la représentation paramétrique suivante : > $$\begin{cases} x = x_0 + R\cos\theta \\ y = y_0 + R\sin\theta \end{cases}, \quad \theta \in [0, 2\pi[$$ > où $\theta$ est le paramètre (angle polaire du point $M$ par rapport au centre $\Omega$). **Démonstration :** Pour tout $\theta \in [0, 2\pi[$, le point $M(x_0 + R\cos\theta, y_0 + R\sin\theta)$ vérifie : $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta = R^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = R^2$$ Donc $M$ appartient au cercle. Réciproquement, pour tout point $M$ du cercle, il existe un angle $\theta$ tel que $x - x_0 = R\cos\theta$ et $y - y_0 = R\sin\theta$ (propriété du cercle trigonométrique). ### III.4. Passage d'une équation cartésienne à une forme paramétrique **Méthode :** Pour obtenir les équations paramétriques d'un cercle à partir de son équation cartésienne $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ : 1. Mettre l'équation sous forme canonique en complétant les carrés. 2. Identifier le centre $\Omega(x_0, y_0)$ et le rayon $R$. 3. Écrire les équations paramétriques. **Exemple :** Soit le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. Complétons les carrés : $$x^2 - 4x + y^2 + 6y - 3 = 0$$ $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 - 3 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$ Le centre est $\Omega(2, -3)$ et le rayon $R = 4$. Les équations paramétriques sont : $$\begin{cases} x = 2 + 4\cos\theta \\ y = -3 + 4\sin\theta \end{cases}, \quad \theta \in [0, 2\pi[$$ ### III.5. Condition pour qu'une équation du second degré représente un cercle > **Propriété :** L'équation $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ représente un cercle si et seulement si $a^2 + b^2 - 4c > 0$. Dans ce cas, le centre est $\Omega\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ et le rayon est $R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$. **Démonstration :** En complétant les carrés : $$x^2 + y^2 + ax + by + c = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{4} + c = 0$$ $$\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2 - 4c}{4}$$ Pour que ce soit un cercle, il faut que le membre de droite soit strictement positif, d'où la condition $a^2 + b^2 - 4c > 0$. ### III.6. Exemple numérique complet **Énoncé :** Déterminer le centre, le rayon et les équations paramétriques du cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$. **Solution :** Complétons les carrés : $$x^2 - 6x + y^2 + 2y - 6 = 0$$ $$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) - 9 - 1 - 6 = 0$$ $$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$$ Le centre est $\Omega(3, -1)$ et le rayon $R = 4$. Les équations paramétriques sont : $$\begin{cases} x = 3 + 4\cos\theta \\ y = -1 + 4\sin\theta \end{cases}, \quad \theta \in [0, 2\pi[$$ **Vérification :** Pour $\theta = 0$ : $M(7, -1)$, point du cercle. Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ : $M(3, 3)$, point du cercle. Pour $\theta = \pi$ : $M(-1, -1)$, point du cercle. Tous ces points vérifient $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$. ### III.7. Représentation graphique du cercle ```onbuch-plot {"title":"Cercle de centre (3,-1) et de rayon 4","type":"line","series":[{"label":"Cercle C","points":[[7,-1],[6.99,-0.03],[6.96,0.94],[6.9,1.9],[6.81,2.84],[6.69,3.75],[6.54,4.63],[6.36,5.46],[6.15,6.24],[5.91,6.97],[5.64,7.63],[5.34,8.23],[5.01,8.76],[4.66,9.22],[4.28,9.6],[3.88,9.91],[3.46,10.14],[3.02,10.29],[2.57,10.36],[2.11,10.35],[1.65,10.26],[1.19,10.09],[0.74,9.85],[0.31,9.54],[-0.11,9.16],[-0.5,8.72],[-0.86,8.22],[-1.18,7.67],[-1.46,7.08],[-1.7,6.45],[-1.89,5.79],[-2.03,5.11],[-2.12,4.41],[-2.16,3.7],[-2.15,2.99],[-2.09,2.28],[-1.98,1.59],[-1.82,0.92],[-1.62,0.28],[-1.37,-0.33],[-1.08,-0.9],[-0.75,-1.43],[-0.39,-1.9],[-0.0,-2.32],[0.41,-2.68],[0.84,-2.98],[1.29,-3.21],[1.75,-3.38],[2.22,-3.48],[2.7,-3.51],[3.18,-3.47],[3.65,-3.37],[4.11,-3.2],[4.55,-2.97],[4.96,-2.68],[5.34,-2.34],[5.68,-1.95],[5.98,-1.52],[6.24,-1.06],[6.45,-0.57],[6.61,-0.07],[6.72,0.44],[6.78,0.95],[6.79,1.46],[6.75,1.96],[6.66,2.45],[6.52,2.92],[6.34,3.37],[6.11,3.79],[5.84,4.18],[5.53,4.53],[5.19,4.84],[4.81,5.11],[4.41,5.33],[3.98,5.5],[3.54,5.62],[3.08,5.69],[2.61,5.71],[2.14,5.68],[1.67,5.6],[1.21,5.47],[0.77,5.29],[0.35,5.07],[-0.05,4.8],[-0.42,4.49],[-0.76,4.14],[-1.07,3.76],[-1.33,3.35],[-1.55,2.91],[-1.72,2.46],[-1.85,1.99],[-1.93,1.51],[-1.96,1.03],[-1.95,0.55],[-1.89,0.08],[-1.79,-0.38],[-1.64,-0.82],[-1.45,-1.24],[-1.22,-1.63],[-0.96,-1.98],[-0.66,-2.3],[-0.33,-2.57],[0.02,-2.8],[0.39,-2.98],[0.78,-3.11],[1.18,-3.19],[1.58,-3.22],[1.99,-3.2],[2.39,-3.13],[2.79,-3.01],[3.17,-2.85],[3.53,-2.64],[3.87,-2.39],[4.18,-2.1],[4.46,-1.78],[4.7,-1.43],[4.91,-1.05],[5.07,-0.65],[5.19,-0.24],[5.27,0.18],[5.3,0.6],[5.29,1.02],[5.23,1.43],[5.13,1.83],[4.98,2.21],[4.79,2.57],[4.56,2.9],[4.29,3.2],[3.99,3.46],[3.65,3.69],[3.29,3.87],[2.9,4.01],[2.5,4.1],[2.08,4.15],[1.66,4.15],[1.23,4.1],[0.81,4.01],[0.39,3.87],[-0.01,3.69],[-0.4,3.47],[-0.76,3.21],[-1.09,2.91],[-1.39,2.58],[-1.65,2.22],[-1.87,1.84],[-2.05,1.43],[-2.18,1.01],[-2.27,0.58],[-2.31,0.14],[-2.31,-0.3],[-2.26,-0.73],[-2.17,-1.15],[-2.04,-1.55],[-1.87,-1.93],[-1.66,-2.28],[-1.41,-2.6],[-1.13,-2.88],[-0.82,-3.13],[-0.48,-3.33],[-0.12,-3.49],[0.25,-3.6],[0.63,-3.67],[1.02,-3.69],[1.41,-3.67],[1.79,-3.6],[2.17,-3.48],[2.53,-3.32],[2.87,-3.12],[3.18,-2.88],[3.47,-2.6],[3.72,-2.29],[3.94,-1.95],[4.12,-1.59],[4.26,-1.21],[4.36,-0.81],[4.42,-0.41],[4.44,0.0],[4.42,0.41],[4.36,0.81],[4.26,1.21],[4.12,1.59],[3.94,1.95],[3.72,2.29],[3.47,2.6],[3.18,2.88],[2.87,3.12],[2.53,3.32],[2.17,3.48],[1.79,3.6],[1.41,3.67],[1.02,3.69],[0.63,3.67],[0.25,3.6],[-0.12,3.49],[-0.48,3.33],[-0.82,3.13],[-1.13,2.88],[-1.41,2.6],[-1.66,2.28],[-1.87,1.93],[-2.04,1.55],[-2.17,1.15],[-2.26,0.73],[-2.31,0.3],[-2.31,-0.14],[-2.27,-0.58],[-2.18,-1.01],[-2.05,-1.43],[-1.87,-1.84],[-1.65,-2.22],[-1.39,-2.58],[-1.09,-2.91],[-0.76,-3.21],[-0.4,-3.47],[-0.01,-3.69],[0.39,-3.87],[0.81,-4.01],[1.23,-4.1],[1.66,-4.15],[2.08,-4.15],[2.5,-4.1],[2.9,-4.01],[3.29,-3.87],[3.65,-3.69],[3.99,-3.46],[4.29,-3.2],[4.56,-2.9],[4.79,-2.57],[4.98,-2.21],[5.13,-1.83],[5.23,-1.43],[5.29,-1.02],[5.3,-0.6],[5.27,-0.18],[5.19,0.24],[5.07,0.65],[4.91,1.05],[4.7,1.43],[4.46,1.78],[4.18,2.1],[3.87,2.39],[3.53,2.64],[3.17,2.85],[2.79,3.01],[2.39,3.13],[1.99,3.2],[1.58,3.22],[1.18,3.19],[0.78,3.11],[0.39,2.98],[0.02,2.8],[-0.33,2.57],[-0.66,2.3],[-0.96,1.98],[-1.22,1.63],[-1.45,1.24],[-1.64,0.82],[-1.79,0.38],[-1.89,-0.08],[-1.95,-0.55],[-1.96,-1.03],[-1.93,-1.51],[-1.85,-1.99],[-1.72,-2.46],[-1.55,-2.91],[-1.33,-3.35],[-1.07,-3.76],[-0.76,-4.14],[-0.42,-4.49],[-0.05,-4.8],[0.35,-5.07],[0.77,-5.29],[1.21,-5.47],[1.67,-5.6],[2.14,-5.68],[2.61,-5.71],[3.08,-5.69],[3.54,-5.62],[3.98,-5.5],[4.41,-5.33],[4.81,-5.11],[5.19,-4.84],[5.53,-4.53],[5.84,-4.18],[6.11,-3.79],[6.34,-3.37],[6.52,-2.92],[6.66,-2.45],[6.75,-1.96],[6.79,-1.46],[6.78,-0.95],[6.72,-0.44],[6.61,0.07],[6.45,0.57],[6.24,1.06],[5.98,1.52],[5.68,1.95],[5.34,2.34],[4.96,2.68],[4.55,2.97],[4.11,3.2],[3.65,3.37],[3.18,3.47],[2.7,3.51],[2.22,3.48],[1.75,3.38],[1.29,3.21],[0.84,2.98],[0.41,2.68],[-0.0,2.32],[-0.39,1.9],[-0.75,1.43],[-1.08,0.9],[-1.37,0.33],[-1.62,-0.28],[-1.82,-0.92],[-1.98,-1.59],[-2.09,-2.28],[-2.15,-2.99],[-2.16,-3.7],[-2.12,-4.41],[-2.03,-5.11],[-1.89,-5.79],[-1.7,-6.45],[-1.46,-7.08],[-1.18,-7.67],[-0.86,-8.22],[-0.5,-8.72],[-0.11,-9.16],[0.31,-9.54],[0.74,-9.85],[1.19,-10.09],[1.65,-10.26],[2.11,-10.35],[2.57,-10.36],[3.02,-10.29],[3.46,-10.14],[3.88,-9.91],[4.28,-9.6],[4.66,-9.22],[5.01,-8.76],[5.34,-8.23],[5.64,-7.63],[5.91,-6.97],[6.15,-6.24],[6.36,-5.46],[6.54,-4.63],[6.69,-3.75],[6.81,-2.84],[6.9,-1.9],[6.96,-0.94],[6.99,0.03],[7,1]]}]} ``` --- ## IV. Équation cartésienne d'une tangente en un point du cercle ### IV.1. Définition de la tangente > **Définition clé :** La **tangente** à un cercle $\mathcal{C}$ en un point $M_0$ du cercle est la droite passant par $M_0$ et perpendiculaire au rayon $\Omega M_0$, où $\Omega$ est le centre du cercle. ### IV.2. Équation de la tangente à un cercle en un point donné > **Propriété fondamentale :** Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R$. La tangente à $\mathcal{C}$ au point $M_0(x_1, y_1)$ du cercle a pour équation : > $$(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) = 0$$ > ou, de manière équivalente : > $$(x_1 - x_0)x + (y_1 - y_0)y = (x_1 - x_0)x_1 + (y_1 - y_0)y_1$$ **Démonstration :** Le vecteur $\overrightarrow{\Omega M_0}(x_1 - x_0, y_1 - y_0)$ est un vecteur normal à la tangente en $M_0$. Un point $M(x, y)$ appartient à la tangente si et seulement si $\overrightarrow{M_0M} \perp \overrightarrow{\Omega M_0}$, c'est-à-dire : $$\overrightarrow{\Omega M_0} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$$ $$(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) = 0$$ ### IV.3. Cas particulier : cercle centré à l'origine Pour le cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = R^2$ (centre $\Omega(0, 0)$), la tangente au point $M_0(x_1, y_1)$ a pour équation : > $$x_1 x + y_1 y = R^2$$ **Démonstration :** En appliquant la formule générale avec $x_0 = 0$ et $y_0 = 0$ : $$x_1(x - x_1) + y_1(y - y_1) = 0$$ $$x_1 x - x_1^2 + y_1 y - y_1^2 = 0$$ $$x_1 x + y_1 y = x_1^2 + y_1^2 = R^2$$ ### IV.4. Forme développée de l'équation de la tangente Pour un cercle d'équation $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, la tangente au point $M_0(x_1, y_1)$ du cercle a pour équation : > $$xx_1 + yy_1 + \frac{a}{2}(x + x_1) + \frac{b}{2}(y + y_1) + c = 0$$ **Démonstration :** Le centre est $\Omega\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$. En appliquant la formule générale : $$\left(x_1 + \frac{a}{2}\right)(x - x_1) + \left(y_1 + \frac{b}{2}\right)(y - y_1) = 0$$ En développant : $$\left(x_1 + \frac{a}{2}\right)x - \left(x_1 + \frac{a}{2}\right)x_1 + \left(y_1 + \frac{b}{2}\right)y - \left(y_1 + \frac{b}{2}\right)y_1 = 0$$ $$\left(x_1 + \frac{a}{2}\right)x + \left(y_1 + \frac{b}{2}\right)y = x_1^2 + y_1^2 + \frac{a}{2}x_1 + \frac{b}{2}y_1$$ Comme $M_0$ appartient au cercle, $x_1^2 + y_1^2 + ax_1 + by_1 + c = 0$, donc $x_1^2 + y_1^2 = -ax_1 - by_1 - c$. En substituant : $$\left(x_1 + \frac{a}{2}\right)x + \left(y_1 + \frac{b}{2}\right)y = -ax_1 - by_1 - c + \frac{a}{2}x_1 + \frac{b}{2}y_1 = -\frac{a}{2}x_1 - \frac{b}{2}y_1 - c$$ En réorganisant : $$xx_1 + yy_1 + \frac{a}{2}x + \frac{b}{2}y + \frac{a}{2}x_1 + \frac{b}{2}y_1 + c = 0$$ $$xx_1 + yy_1 + \frac{a}{2}(x + x_1) + \frac{b}{2}(y + y_1) + c = 0$$ ### IV.5. Exemple numérique résolu **Énoncé :** Soit le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $M_0(5, 1)$. **Vérification préalable :** $M_0$ appartient-il au cercle ? $$5^2 + 1^2 - 4 \times 5 + 2 \times 1 - 4 = 25 + 1 - 20 + 2 - 4 = 4 \neq 0$$ Le point $M_0(5, 1)$ n'appartient pas au cercle. Il faut trouver un point du cercle. Cherchons le centre et le rayon : $$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 4 - 1 - 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$ Le centre est $\Omega(2, -1)$ et le rayon $R = 3$. Prenons le point $M_0(5, -1)$ qui appartient au cercle car $(5 - 2)^2 + (-1 + 1)^2 = 9 + 0 = 9$. **Tangente en $M_0(5, -1)$ :** Le vecteur $\overrightarrow{\Omega M_0} = (5 - 2, -1 - (-1)) = (3, 0)$ est un vecteur normal à la tangente. L'équation de la tangente est : $$3(x - 5) + 0(y - (-1)) = 0$$ $$3(x - 5) = 0$$ $$x = 5$$ La tangente est la droite verticale d'équation $x = 5$. **Vérification :** La droite $x = 5$ passe par $M_0(5, -1)$ et est bien perpendiculaire au rayon $\Omega M_0$ qui est horizontal. ### IV.6. Exemple avec le cercle centré à l'origine **Énoncé :** Déterminer l'équation de la tangente au cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 25$ au point $M_0(3, 4)$. **Solution :** Vérifions que $M_0$ appartient au cercle : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. C'est bien le cas. La tangente a pour équation : $$3x + 4y = 25$$ **Vérification :** Le point $M_0(3, 4)$ vérifie $3 \times 3 + 4 \times 4 = 9 + 16 = 25$. Le vecteur normal de la tangente est $\vec{n}(3, 4)$, qui est bien colinéaire à $\overrightarrow{\Omega M_0}(3, 4)$. ### IV.7. Représentation graphique de la tangente ```onbuch-plot {"title":"Cercle x²+y²=25 et tangente 3x+4y=25 au point (3,4)","type":"line","series":[{"label":"Cercle","points":[[5,0],[4.99,0.32],[4.95,0.63],[4.9,0.95],[4.82,1.26],[4.71,1.56],[4.58,1.85],[4.43,2.13],[4.25,2.4],[4.05,2.65],[3.83,2.89],[3.59,3.11],[3.33,3.31],[3.05,3.49],[2.76,3.65],[2.45,3.79],[2.13,3.9],[1.8,3.99],[1.46,4.06],[1.11,4.1],[0.76,4.12],[0.4,4.12],[0.04,4.09],[-0.32,4.04],[-0.67,3.97],[-1.02,3.87],[-1.35,3.75],[-1.67,3.61],[-1.97,3.44],[-2.26,3.26],[-2.52,3.05],[-2.77,2.83],[-2.99,2.59],[-3.19,2.33],[-3.37,2.06],[-3.52,1.78],[-3.65,1.48],[-3.75,1.18],[-3.83,0.87],[-3.88,0.55],[-3.91,0.23],[-3.91,-0.09],[-3.89,-0.41],[-3.84,-0.73],[-3.77,-1.04],[-3.67,-1.34],[-3.55,-1.63],[-3.41,-1.91],[-3.24,-2.18],[-3.06,-2.43],[-2.85,-2.66],[-2.63,-2.88],[-2.39,-3.07],[-2.13,-3.25],[-1.86,-3.4],[-1.58,-3.53],[-1.28,-3.64],[-0.98,-3.73],[-0.67,-3.79],[-0.35,-3.83],[-0.03,-3.85],[0.29,-3.84],[0.61,-3.81],[0.92,-3.75],[1.23,-3.67],[1.52,-3.57],[1.8,-3.44],[2.07,-3.3],[2.32,-3.13],[2.55,-2.95],[2.77,-2.75],[2.96,-2.53],[3.14,-2.3],[3.29,-2.05],[3.43,-1.79],[3.54,-1.52],[3.63,-1.24],[3.7,-0.95],[3.75,-0.66],[3.77,-0.36],[3.78,-0.06],[3.76,0.24],[3.72,0.54],[3.65,0.83],[3.57,1.12],[3.46,1.4],[3.33,1.67],[3.18,1.93],[3.01,2.17],[2.83,2.4],[2.62,2.61],[2.41,2.81],[2.17,2.98],[1.93,3.14],[1.67,3.28],[1.4,3.4],[1.13,3.5],[0.84,3.58],[0.55,3.64],[0.26,3.68],[-0.04,3.7],[-0.34,3.7],[-0.63,3.68],[-0.93,3.63],[-1.21,3.57],[-1.49,3.48],[-1.76,3.38],[-2.02,3.25],[-2.26,3.11],[-2.49,2.95],[-2.7,2.77],[-2.9,2.58],[-3.08,2.37],[-3.24,2.15],[-3.38,1.92],[-3.5,1.68],[-3.61,1.43],[-3.69,1.17],[-3.76,0.9],[-3.8,0.63],[-3.83,0.35],[-3.84,0.07],[-3.83,-0.21],[-3.8,-0.49],[-3.75,-0.76],[-3.68,-1.03],[-3.6,-1.29],[-3.49,-1.54],[-3.37,-1.78],[-3.23,-2.01],[-3.07,-2.22],[-2.9,-2.42],[-2.71,-2.61],[-2.51,-2.78],[-2.29,-2.93],[-2.07,-3.07],[-1.83,-3.19],[-1.58,-3.29],[-1.32,-3.38],[-1.06,-3.44],[-0.79,-3.49],[-0.51,-3.52],[-0.24,-3.53],[0.04,-3.53],[0.32,-3.5],[0.59,-3.46],[0.86,-3.4],[1.13,-3.32],[1.38,-3.23],[1.63,-3.12],[1.86,-2.99],[2.08,-2.85],[2.29,-2.7],[2.48,-2.53],[2.66,-2.35],[2.82,-2.16],[2.97,-1.96],[3.09,-1.75],[3.2,-1.53],[3.3,-1.3],[3.37,-1.07],[3.43,-0.83],[3.47,-0.59],[3.49,-0.34],[3.5,-0.09],[3.49,0.16],[3.46,0.4],[3.42,0.65],[3.36,0.89],[3.28,1.12],[3.19,1.35],[3.08,1.57],[2.96,1.78],[2.82,1.98],[2.67,2.17],[2.51,2.34],[2.33,2.51],[2.15,2.66],[1.95,2.79],[1.75,2.91],[1.53,3.02],[1.31,3.11],[1.08,3.19],[0.85,3.25],[0.61,3.3],[0.37,3.33],[0.12,3.35],[-0.12,3.35],[-0.37,3.34],[-0.61,3.31],[-0.85,3.26],[-1.08,3.2],[-1.31,3.12],[-1.53,3.03],[-1.74,2.92],[-1.94,2.8],[-2.13,2.67],[-2.31,2.52],[-2.47,2.36],[-2.62,2.19],[-2.76,2.01],[-2.88,1.82],[-2.98,1.62],[-3.07,1.41],[-3.14,1.2],[-3.2,0.98],[-3.24,0.75],[-3.27,0.52],[-3.28,0.29],[-3.28,0.06],[-3.26,-0.18],[-3.23,-0.41],[-3.18,-0.64],[-3.12,-0.86],[-3.05,-1.08],[-2.96,-1.29],[-2.86,-1.49],[-2.74,-1.68],[-2.61,-1.86],[-2.47,-2.03],[-2.32,-2.19],[-2.15,-2.33],[-1.98,-2.46],[-1.8,-2.58],[-1.6,-2.68],[-1.4,-2.77],[-1.2,-2.84],[-0.98,-2.9],[-0.77,-2.95],[-0.55,-2.98],[-0.32,-3.0],[-0.1,-3.0],[0.13,-2.99],[0.35,-2.97],[0.57,-2.93],[0.79,-2.88],[1.0,-2.81],[1.2,-2.74],[1.4,-2.65],[1.59,-2.55],[1.77,-2.44],[1.94,-2.31],[2.1,-2.18],[2.25,-2.03],[2.39,-1.88],[2.51,-1.71],[2.63,-1.54],[2.73,-1.36],[2.82,-1.18],[2.89,-0.99],[2.95,-0.79],[3.0,-0.6],[3.03,-0.4],[3.05,-0.19],[3.06,0.01],[3.05,0.22],[3.03,0.42],[3.0,0.62],[2.95,0.82],[2.89,1.01],[2.82,1.2],[2.73,1.38],[2.64,1.56],[2.53,1.73],[2.41,1.89],[2.28,2.04],[2.14,2.19],[1.99,2.32],[1.83,2.44],[1.66,2.55],[1.49,2.65],[1.31,2.74],[1.12,2.82],[0.93,2.88],[0.74,2.94],[0.54,2.98],[0.34,3.01],[0.14,3.03],[-0.06,3.04],[-0.26,3.03],[-0.46,3.01],[-0.66,2.98],[-0.85,2.94],[-1.04,2.88],[-1.22,2.82],[-1.4,2.74],[-1.57,2.65],[-1.73,2.55],[-1.88,2.44],[-2.03,2.32],[-2.16,2.19],[-2.29,2.05],[-2.4,1.9],[-2.51,1.75],[-2.6,1.58],[-2.68,1.41],[-2.75,1.24],[-2.81,1.06],[-2.85,0.87],[-2.89,0.68],[-2.91,0.49],[-2.92,0.3],[-2.92,0.1],[-2.91,-0.09],[-2.89,-0.28],[-2.85,-0.47],[-2.81,-0.66],[-2.75,-0.84],[-2.68,-1.01],[-2.61,-1.18],[-2.52,-1.35],[-2.42,-1.5],[-2.31,-1.65],[-2.2,-1.79],[-2.07,-1.92],[-1.94,-2.04],[-1.8,-2.15],[-1.65,-2.25],[-1.49,-2.34],[-1.33,-2.42],[-1.16,-2.49],[-0.99,-2.55],[-0.81,-2.6],[-0.63,-2.63],[-0.45,-2.66],[-0.26,-2.67],[-0.08,-2.68],[0.11,-2.67],[0.29,-2.65],[0.47,-2.62],[0.65,-2.58],[0.83,-2.53],[1.0,-2.47],[1.16,-2.4],[1.32,-2.32],[1.47,-2.23],[1.62,-2.14],[1.75,-2.03],[1.88,-1.92],[2.0,-1.8],[2.11,-1.67],[2.21,-1.54],[2.3,-1.4],[2.38,-1.25],[2.45,-1.1],[2.51,-0.95],[2.56,-0.79],[2.6,-0.63],[2.63,-0.46],[2.65,-0.3],[2.66,-0.13],[2.66,0.04],[2.65,0.2],[2.63,0.37],[2.6,0.53],[2.56,0.69],[2.51,0.84],[2.45,0.99],[2.38,1.14],[2.3,1.28],[2.22,1.41],[2.12,1.54],[2.02,1.66],[1.91,1.78],[1.79,1.89],[1.67,1.99],[1.54,2.08],[1.4,2.17],[1.26,2.24],[1.12,2.31],[0.97,2.37],[0.81,2.42],[0.66,2.46],[0.5,2.49],[0.34,2.51],[0.18,2.53],[0.01,2.53],[-0.15,2.53],[-0.31,2.51],[-0.47,2.49],[-0.63,2.46],[-0.78,2.42],[-0.93,2.37],[-1.07,2.31],[-1.21,2.25],[-1.34,2.17],[-1.47,2.09],[-1.59,2.0],[-1.7,1.91]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-1.76],[0.25,-1.76],[0.34,-1.75],[0.44,-1.73],[0.53,-1.71],[0.62,-1.68],[0.71,-1.65],[0.8,-1.61],[0.88,-1.57],[0.96,-1.52],[1.04,-1.47],[1.12,-1.41],[1.19,-1.34],[1.26,-1.28],[1.32,-1.2],[1.38,-1.13],[1.44,-1.05],[1.49,-0.96],[1.54,-0.88],[1.58,-0.79],[1.62,-0.69],[1.65,-0.6],[1.68,-0.5],[1.71,-0.4],[1.73,-0.3],[1.74,-0.2],[1.75,-0.09],[1.76,0.01],[1.76,0.12],[1.75,0.23],[1.74,0.33],[1.72,0.44],[1.7,0.54],[1.67,0.64],[1.64,0.74],[1.6,0.84],[1.56,0.93],[1.51,1.02],[1.46,1.11],[1.4,1.19],[1.33,1.27],[1.26,1.35],[1.19,1.42],[1.11,1.48],[1.03,1.55],[0.94,1.6],[0.85,1.66],[0.76,1.7],[0.66,1.75],[0.56,1.78],[0.46,1.82],[0.36,1.84],[0.25,1.86],[0.14,1.88],[0.03,1.89],[-0.08,1.89],[-0.19,1.89],[-0.3,1.88],[-0.41,1.87],[-0.51,1.85],[-0.62,1.82],[-0.72,1.79],[-0.82,1.75],[-0.91,1.71],[-1.01,1.66],[-1.1,1.6],[-1.18,1.54],[-1.27,1.47],[-1.35,1.4],[-1.42,1.32],[-1.49,1.24],[-1.56,1.15],[-1.62,1.06],[-1.68,0.96],[-1.73,0.86],[-1.78,0.75],[-1.82,0.64],[-1.85,0.53],[-1.88,0.42],[-1.91,0.3],[-1.93,0.18],[-1.94,0.06],[-1.95,-0.06],[-1.95,-0.19],[-1.95,-0.31],[-1.94,-0.43],[-1.92,-0.55],[-1.9,-0.67],[-1.87,-0.79],[-1.84,-0.9],[-1.8,-1.01],[-1.75,-1.12],[-1.7,-1.22],[-1.64,-1.32],[-1.57,-1.42],[-1.5,-1.51],[-1.42,-1.6],[-1.34,-1.68],[-1.25,-1.76],[-1.15,-1.83],[-1.05,-1.9],[-0.95,-1.96],[-0.84,-2.02],[-0.72,-2.07],[-0.61,-2.11],[-0.49,-2.15],[-0.36,-2.18],[-0.24,-2.2],[-0.11,-2.22],[0.02,-2.23],[0.15,-2.24],[0.28,-2.23],[0.41,-2.22],[0.54,-2.21],[0.66,-2.18],[0.79,-2.15],[0.91,-2.11],[1.02,-2.06],[1.14,-2.01],[1.25,-1.95],[1.35,-1.88],[1.46,-1.81],[1.55,-1.73],[1.65,-1.64],[1.73,-1.55],[1.82,-1.45],[1.89,-1.35],[1.96,-1.24],[2.03,-1.13],[2.09,-1.01],[2.14,-0.89],[2.18,-0.76],[2.22,-0.64],[2.25,-0.51],[2.28,-0.37],[2.29,-0.24],[2.3,-0.1],[2.31,0.03],[2.3,0.17],[2.29,0.31],[2.27,0.44],[2.24,0.58],[2.21,0.71],[2.17,0.83],[2.12,0.96],[2.06,1.08],[2.0,1.19],[1.93,1.31],[1.85,1.41],[1.77,1.52],[1.68,1.61],[1.58,1.71],[1.48,1.79],[1.37,1.87],[1.26,1.95],[1.14,2.01],[1.02,2.07],[0.89,2.13],[0.76,2.17],[0.63,2.21],[0.49,2.24],[0.35,2.27],[0.21,2.28],[0.07,2.29],[-0.08,2.29],[-0.22,2.29],[-0.36,2.27],[-0.5,2.25],[-0.64,2.22],[-0.78,2.18],[-0.91,2.14],[-1.04,2.09],[-1.16,2.03],[-1.28,1.96],[-1.4,1.89],[-1.51,1.81],[-1.62,1.72],[-1.72,1.63],[-1.82,1.53],[-1.91,1.43],[-1.99,1.31],[-2.07,1.2],[-2.14,1.07],[-2.2,0.95],[-2.26,0.81],[-2.31,0.68],[-2.35,0.54],[-2.38,0.39],[-2.41,0.25],[-2.43,0.1],[-2.44,-0.05],[-2.44,-0.2],[-2.44,-0.35],[-2.42,-0.5],[-2.4,-0.65],[-2.37,-0.79],[-2.33,-0.94],[-2.28,-1.07],[-2.22,-1.21],[-2.16,-1.34],[-2.08,-1.46],[-2.0,-1.58],[-1.91,-1.7],[-1.81,-1.8],[-1.7,-1.91],[-1.59,-2.0],[-1.47,-2.09],[-1.34,-2.17],[-1.21,-2.25],[-1.07,-2.31],[-0.93,-2.37],[-0.78,-2.42],[-0.63,-2.46],[-0.47,-2.49],[-0.31,-2.51],[-0.15,-2.53],[0.01,-2.53],[0.18,-2.53],[0.34,-2.51],[0.5,-2.49],[0.66,-2.46],[0.81,-2.42],[0.97,-2.37],[1.12,-2.31],[1.26,-2.24],[1.4,-2.17],[1.54,-2.08],[1.67,-1.99],[1.79,-1.89],[1.91,-1.78],[2.02,-1.66],[2.12,-1.54],[2.22,-1.41],[2.3,-1.28],[2.38,-1.14],[2.45,-0.99],[2.51,-0.84],[2.56,-0.69],[2.6,-0.53],[2.63,-0.37],[2.65,-0.2],[2.66,-0.04],[2.66,0.13],[2.65,0.3],[2.63,0.46],[2.6,0.63],[2.56,0.79],[2.51,0.95],[2.45,1.1],[2.38,1.25],[2.3,1.4],[2.21,1.54],[2.11,1.67],[2.0,1.8],[1.88,1.92],[1.75,2.03],[1.62,2.14],[1.47,2.23],[1.32,2.32],[1.16,2.4],[1.0,2.47],[0.83,2.53],[0.65,2.58],[0.47,2.62],[0.29,2.65],[0.11,2.67],[-0.08,2.68],[-0.26,2.67],[-0.45,2.66],[-0.63,2.63],[-0.81,2.6],[-0.99,2.55],[-1.16,2.49],[-1.33,2.42],[-1.49,2.34],[-1.65,2.25],[-1.8,2.15],[-1.94,2.04],[-2.07,1.92],[-2.2,1.79],[-2.31,1.65],[-2.42,1.5],[-2.52,1.35],[-2.61,1.18],[-2.68,1.01],[-2.75,0.84],[-2.81,0.66],[-2.85,0.47],[-2.89,0.28],[-2.91,0.09],[-2.92,-0.1],[-2.92,-0.3],[-2.91,-0.49],[-2.89,-0.68],[-2.85,-0.87],[-2.81,-1.06],[-2.75,-1.24],[-2.68,-1.41],[-2.6,-1.58],[-2.51,-1.75],[-2.4,-1.9],[-2.29,-2.05],[-2.16,-2.19],[-2.03,-2.32],[-1.88,-2.44],[-1.73,-2.55],[-1.57,-2.65],[-1.4,-2.74],[-1.22,-2.82],[-1.04,-2.88],[-0.85,-2.94],[-0.66,-2.98],[-0.46,-3.01],[-0.26,-3.03],[-0.06,-3.04],[0.14,-3.03],[0.34,-3.01],[0.54,-2.98],[0.74,-2.94],[0.93,-2.88],[1.12,-2.82],[1.31,-2.74],[1.49,-2.65],[1.66,-2.55],[1.83,-2.44],[1.99,-2.32],[2.14,-2.19],[2.28,-2.04],[2.41,-1.89],[2.53,-1.73],[2.64,-1.56],[2.73,-1.38],[2.82,-1.2],[2.89,-1.01],[2.95,-0.82],[3.0,-0.62],[3.03,-0.42],[3.05,-0.22],[3.06,-0.01],[3.05,0.19],[3.03,0.4],[3.0,0.6],[2.95,0.79],[2.89,0.99],[2.82,1.18],[2.73,1.36],[2.63,1.54],[2.51,1.71],[2.39,1.88],[2.25,2.03],[2.1,2.18],[1.94,2.31],[1.77,2.44],[1.59,2.55],[1.4,2.65],[1.2,2.74],[1.0,2.81],[0.79,2.88],[0.57,2.93],[0.35,2.97],[0.13,2.99],[-0.1,3.0],[-0.32,3.0],[-0.55,2.98],[-0.77,2.95],[-0.98,2.9],[-1.2,2.84],[-1.4,2.77],[-1.6,2.68],[-1.8,2.58],[-1.98,2.46],[-2.15,2.33],[-2.32,2.19],[-2.47,2.03],[-2.61,1.86],[-2.74,1.68],[-2.86,1.49],[-2.96,1.29],[-3.05,1.08],[-3.12,0.86],[-3.18,0.64],[-3.23,0.41],[-3.26,0.18],[-3.28,-0.06],[-3.28,-0.29],[-3.27,-0.52],[-3.24,-0.75],[-3.2,-0.98],[-3.14,-1.2],[-3.07,-1.41],[-2.98,-1.62],[-2.88,-1.82],[-2.76,-2.01],[-2.62,-2.19],[-2.47,-2.36],[-2.31,-2.52],[-2.13,-2.67],[-1.94,-2.8],[-1.74,-2.92],[-1.53,-3.03],[-1.31,-3.12],[-1.08,-3.2],[-0.85,-3.26],[-0.61,-3.31],[-0.37,-3.34],[-0.12,-3.35],[0.12,-3.35],[0.37,-3.33],[0.61,-3.3],[0.85,-3.25],[1.08,-3.19],[1.31,-3.11],[1.53,-3.02],[1.75,-2.91],[1.95,-2.79],[2.15,-2.66],[2.33,-2.51],[2.51,-2.34],[2.67,-2.17],[2.82,-1.98],[2.96,-1.78],[3.08,-1.57],[3.19,-1.35],[3.28,-1.12],[3.36,-0.89],[3.42,-0.65],[3.46,-0.4],[3.49,-0.16],[3.5,0.09],[3.49,0.34],[3.47,0.59],[3.43,0.83],[3.37,1.07],[3.3,1.3],[3.2,1.53],[3.09,1.75],[2.97,1.96],[2.82,2.16],[2.66,2.35],[2.48,2.53],[2.29,2.7],[2.08,2.85],[1.86,2.99],[1.63,3.12],[1.38,3.23],[1.13,3.32],[0.86,3.4],[0.59,3.46],[0.32,3.5],[0.04,3.53],[-0.24,3.53],[-0.51,3.52],[-0.79,3.49],[-1.06,3.44],[-1.32,3.38],[-1.58,3.29],[-1.83,3.19],[-2.07,3.07],[-2.29,2.93],[-2.51,2.78],[-2.71,2.61],[-2.9,2.42],[-3.07,2.22],[-3.23,2.01],[-3.37,1.78],[-3.49,1.54],[-3.6,1.29],[-3.68,1.03],[-3.75,0.76],[-3.8,0.49],[-3.83,0.21],[-3.84,-0.07],[-3.83,-0.35],[-3.8,-0.63],[-3.76,-0.9],[-3.69,-1.17],[-3.61,-1.43],[-3.5,-1.68],[-3.38,-1.92],[-3.24,-2.15],[-3.08,-2.37],[-2.9,-2.58],[-2.7,-2.77],[-2.49,-2.95],[-2.26,-3.11],[-2.02,-3.25],[-1.76,-3.38],[-1.49,-3.48],[-1.21,-3.57],[-0.93,-3.63],[-0.63,-3.68],[-0.34,-3.7],[-0.04,-3.7],[0.26,-3.68],[0.55,-3.64],[0.84,-3.58],[1.13,-3.5],[1.4,-3.4],[1.67,-3.28],[1.93,-3.14],[2.17,-2.98],[2.41,-2.81],[2.62,-2.61],[2.83,-2.4],[3.01,-2.17],[3.18,-1.93],[3.33,-1.67],[3.46,-1.4],[3.57,-1.12],[3.65,-0.83],[3.72,-0.54],[3.76,-0.24],[3.78,0.06],[3.77,0.36],[3.75,0.66],[3.7,0.95],[3.63,1.24],[3.54,1.52],[3.43,1.79],[3.29,2.05],[3.14,2.3],[2.96,2.53],[2.77,2.75],[2.55,2.95],[2.32,3.13],[2.07,3.3],[1.8,3.44],[1.52,3.57],[1.23,3.67],[0.92,3.75],[0.61,3.81],[0.29,3.84],[-0.03,3.85],[-0.35,3.83],[-0.67,3.79],[-0.98,3.73],[-1.28,3.64],[-1.58,3.53],[-1.86,3.4],[-2.13,3.25],[-2.39,3.07],[-2.63,2.88],[-2.85,2.66],[-3.06,2.43],[-3.24,2.18],[-3.41,1.91],[-3.55,1.63],[-3.67,1.34],[-3.77,1.04],[-3.84,0.73],[-3.89,0.41],[-3.91,0.09],[-3.91,-0.23],[-3.88,-0.55],[-3.83,-0.87],[-3.75,-1.18],[-3.65,-1.48],[-3.52,-1.78],[-3.37,-2.06],[-3.19,-2.33],[-2.99,-2.59],[-2.77,-2.83],[-2.52,-3.05],[-2.26,-3.26],[-1.97,-3.44],[-1.67,-3.61],[-1.35,-3.75],[-1.02,-3.87],[-0.67,-3.97],[-0.32,-4.04],[0.04,-4.09],[0.4,-4.12],[0.76,-4.12],[1.11,-4.1],[1.46,-4.06],[1.8,-3.99],[2.13,-3.9],[2.45,-3.79],[2.76,-3.65],[3.05,-3.49],[3.33,-3.31],[3.59,-3.11],[3.83,-2.89],[4.05,-2.65],[4.25,-2.4],[4.43,-2.13],[4.58,-1.85],[4.71,-1.56],[4.82,-1.26],[4.9,-0.95],[4.95,-0.63],[4.99,-0.32],[5,0]]},{"label":"Tangente 3x+4y=25","points":[[-5,10],[0,6.25],[3,4],[5,2.5],[8.33,0]]}]} ``` ### IV.8. Tangente et rayon : propriété géométrique > **Propriété :** La tangente à un cercle en un point $M_0$ est perpendiculaire au rayon $\Omega M_0$. Réciproquement, toute droite passant par $M_0$ et perpendiculaire à $\Omega M_0$ est tangente au cercle en $M_0$. **Démonstration :** Soit $\mathcal{T}$ la tangente en $M_0$ et soit $M$ un point de $\mathcal{T}$ distinct de $M_0$. Par définition, $\overrightarrow{\Omega M_0} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$, donc $\Omega M_0 \perp M_0M$. La tangente est donc perpendiculaire au rayon. Réciproquement, soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $M_0$ et perpendiculaire à $\Omega M_0$. Pour tout point $M \in \mathcal{D}$, $M \neq M_0$, on a $\overrightarrow{M_0M} \perp \overrightarrow{\Omega M_0}$. Par le théorème de Pythagore dans le triangle $\Omega M_0M$ : $$\Omega M^2 = \Omega M_0^2 + M_0M^2 = R^2 + M_0M^2 > R^2$$ Donc $M$ n'appartient pas au cercle. La droite $\mathcal{D}$ ne coupe le cercle qu'en $M_0$ : c'est la tangente. ### IV.9. Exemple complet avec vérification **Énoncé :** Soit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(1, 2)$ et de rayon $R = 5$. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $M_0(4, 6)$. **Vérification :** $M_0$ appartient au cercle car $\Omega M_0 = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 = R$. **Équation de la tangente :** Le vecteur $\overrightarrow{\Omega M_0} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$ est normal à la tangente. $$3(x - 4) + 4(y - 6) = 0$$ $$3x - 12 + 4y - 24 = 0$$ $$3x + 4y - 36 = 0$$ **Vérification :** Le point $M_0(4, 6)$ vérifie $3 \times 4 + 4 \times 6 - 36 = 12 + 24 - 36 = 0$. Le vecteur normal de la tangente est $(3, 4)$, colinéaire à $\overrightarrow{\Omega M_0}$. La droite est bien tangente au cercle. **Distance du centre à la tangente :** $$d(\Omega, \mathcal{T}) = \frac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 36|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 36|}{5} = \frac{25}{5} = 5 = R$$ La distance du centre à la tangente est égale au rayon, ce qui confirme que la droite est tangente au cercle. --- ## Conclusion La géométrie analytique du plan fournit des outils puissants pour l'étude des configurations géométriques. La distance d'un point à une droite, exprimée par la formule $d(A, \mathcal{D}) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, permet de résoudre de nombreux problèmes de mesure. L'équation normale d'une droite, fondée sur la notion de vecteur normal, offre une caractérisation élégante des droites et facilite l'étude de leurs positions relatives. Les équations paramétriques d'un cercle, $x = x_0 + R\cos\theta$ et $y = y_0 + R\sin\theta$, donnent une description complète du cercle à partir de son centre et de son rayon. Enfin, l'équation cartésienne de la tangente en un point du cercle, $(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) = 0$, exploite la propriété fondamentale de perpendicularité entre le rayon et la tangente. Ces notions, intimement liées, constituent une base essentielle pour l'étude de la géométrie dans le plan et préparent à des concepts plus avancés comme les coniques et la géométrie dans l'espace.