Équations et inéquations polynomiales (degré 2 et 3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de 1. Résoudre une équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ en utilisant le discriminant et en interprétant les solutions réelles ou complexes. 2. Déterminer le signe d’un trinôme du second degré sur $\mathbb{R}$ et résoudre une inéquation du second degré. 3. Rechercher une racine rationnelle d’un polynôme du troisième degré grâce au théorème des racines rationnelles, puis factoriser le polynôme. 4. Résoudre une équation du troisième degré soit par factorisation après découverte d’une racine, soit par la méthode de Cardan lorsqu’aucune racine rationnelle n’est évidente. 5. Étudier le signe d’un polynôme du troisième degré à l’aide de son tableau de variations et résoudre une inéquation du troisième degré. 6. Modéliser et résoudre des problèmes concrets (géométrie, physique, économie) mettant en jeu des équations ou inéquations polynomiales du second ou du troisième degré. **Prérequis** : - Maîtrise des opérations sur les nombres réels et sur les fractions. - Connaissance du développement et de la factorisation des expressions du premier degré. - Savoir résoudre une équation du premier degré et une inéquation du premier degré. - Notions de fonction du second degré (forme canonique, sommet, axe de symétrie) – rappel rapide sera fait. - Notions de dérivée au premier ordre (pour l’étude des variations) – uniquement utilisées en annexe pour justifier le tableau de signe du trinôme du troisième degré. --- ## Introduction contextualisée Les équations et inéquations polynomiales apparaissent naturellement dans de nombreuses situations du quotidien et des sciences : trajectoire d’un projectile (parabole), optimisation d’une aire ou d’un volume, étude de la croissance d’une population modélisée par un cubique, détermination du point d’équilibre dans un modèle économique, etc. Au niveau du Probatoire camerounais, les élèves doivent non seulement savoir manipuler les formules, mais aussi comprendre *pourquoi* elles fonctionnent, être capables de justifier chaque étape et de détecter les cas particuliers (racine double, absence de solution réelle, etc.). Ce chapitre s’appuie sur une approche par compétences : l’élève doit être capable de **résoudre**, **interpréter**, **modéliser** et **communiquer** son raisonnement. Chaque notion sera donc présentée avec une définition précise, une démonstration (lorsqu’elle est éclairante), des propriétés essentielles, puis des exemples détaillés allant du plus simple au plus délicat. --- ## I. Équations et inéquations polynomiales de degré 2 ### 1. Rappel sur les polynômes du second degré Un polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) est une expression de la forme $$ P(x)=ax^{2}+bx+c,\qquad a\neq 0, $$ où $a,b,c\in\mathbb{R}$. Le coefficient $a$ détermine l’ouverture de la parabole représentée par $y=P(x)$ : - Si $a>0$, la parabole est **convexe** (ouverte vers le haut). - Si $a<0$, la parabole est **concave** (ouverte vers le bas). > **Définition** : Le **sommet** de la parabole $y=ax^{2}+bx+c$ a pour abscisse $x_{S}=-\dfrac{b}{2a}$ et ordonnée $y_{S}=P(x_{S})=c-\dfrac{b^{2}}{4a}$. ### 2. Résolution de l’équation $ax^{2}+bx+c=0$ #### 2.1. Le discriminant On définit le **discriminant** $\Delta$ du trinôme par $$ \Delta=b^{2}-4ac. $$ > **Formule** : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac$. Le signe de $\Delta$ détermine la nature des racines : - $\Delta>0$ : deux racines réelles distinctes. - $\Delta=0$ : une racine réelle double (racine d’ordre 2). - $\Delta<0$ : aucune racine réelle ; deux racines complexes conjuguées. #### 2.2. Démonstration de la formule des racines Partons de $ax^{2}+bx+c=0$ et divisons par $a$ (puisque $a\neq0$) : $$ x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0. $$ On complète le carré : $$ x^{2}+\frac{b}{a}x = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}. $$ En remplaçant, on obtient $$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=0 \;\Longrightarrow\; \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}= \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}. $$ En prenant la racine carrée (en considérant les deux signes) : $$ x+\frac{b}{2a}= \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \;\Longrightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. $$ > **Formule fondamentale** : Les solutions de $ax^{2}+bx+c=0$ sont > $$ > x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. > $$ #### 2.3. Exemples **Exemple 1 (simple)** : Résoudre $2x^{2}-5x+2=0$. - $a=2$, $b=-5$, $c=2$. - $\Delta=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot2=25-16=9>0$. - $x_{1,2}= \dfrac{5\pm\sqrt{9}}{4}= \dfrac{5\pm3}{4}$. - Donc $x_{1}= \dfrac{8}{4}=2$, $x_{2}= \dfrac{2}{4}= \dfrac12$. **Exemple 2 (délicat)** : Résoudre $x^{2}+4x+5=0$. - $a=1$, $b=4$, $c=5$. - $\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0$. - Pas de solution réelle. - Solutions complexes : $x_{1,2}= \dfrac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}= \dfrac{-4\pm 2i}{2}= -2\pm i$. ### 3. Analyse du signe d’un trinôme du second degré Le signe de $P(x)=ax^{2}+bx+c$ dépend de $a$ et de $\Delta$. - Si $a>0$ : - $\Delta<0$ ⇒ $P(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (la parabole est entièrement au-dessus de l’axe). - $\Delta=0$ ⇒ $P(x)\ge0$, nul uniquement en $x_{S}=-b/(2a)$. - $\Delta>0$ ⇒ $P(x)$ change de signe en ses deux racines $x_{1}<x_{2}$ : $$ P(x)>0 \text{ pour } x<x_{1}\text{ ou }x>x_{2},\quad P(x)<0 \text{ pour } x_{1}<x<x_{2}. $$ - Si $a<0$, les inégalités s’inversent (la parabole est ouverte vers le bas). > **Règle du signe** : Pour un trinôme $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq0$, le signe est constant en dehors de l’intervalle limité par ses racines réelles (si elles existent) et opposé à l’intérieur lorsque $a>0$, identique lorsque $a<0$. #### Exemples **Exemple 3** : Déterminer le signe de $P(x)=-3x^{2}+6x-2$. - $a=-3<0$. - $\Delta=6^{2}-4(-3)(-2)=36-24=12>0$. - Racines : $x_{1,2}= \dfrac{-6\pm\sqrt{12}}{-6}= \dfrac{-6\pm2\sqrt{3}}{-6}=1\mp\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ainsi $x_{1}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.42$, $x_{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.58$. - Comme $a<0$ et $\Delta>0$, $P(x)<0$ pour $x<x_{1}$ ou $x>x_{2}$ ; $P(x)>0$ pour $x_{1}<x<x_{2}$. **Exemple 4** : Déterminer le signe de $Q(x)=2x^{2}-4x+2$. - $a=2>0$. - $\Delta=(-4)^{2}-4\cdot2\cdot2=16-16=0$. - Racine double : $x_{0}= -\frac{b}{2a}= \frac{4}{4}=1$. - Puisque $\Delta=0$ et $a>0$, $Q(x)\ge0$ pour tout $x$, avec annulation uniquement en $x=1$. ### 4. Résolution des inéquations du second degré Une inéquation du second degré s’écrit sous la forme $$ ax^{2}+bx+c\;\bowtie\;0, $$ où $\bowtie$ représente $<$, $>$, $\le$ ou $\ge$. La méthode consiste à : 1. Mettre l’inéquation sous la forme $P(x)\bowtie0$ avec un trinôme du second degré. 2. Calculer le discriminant $\Delta$. 3. Déterminer les racines réelles (si elles existent). 4. Établir le tableau de signe de $P(x)$ en fonction de $a$ et de $\Delta$. 5. Lire l’intervalle (ou l’union d’intervalles) où l’inéquation est vérifiée. #### Exemples **Exemple 5** : Résoudre $-x^{2}+4x-3>0$. - Réécrire : $P(x)=-x^{2}+4x-3$. - $a=-1<0$. - $\Delta=4^{2}-4(-1)(-3)=16-12=4>0$. - Racines : $x_{1,2}= \dfrac{-4\pm\sqrt{4}}{-2}= \dfrac{-4\pm2}{-2}$. - $x_{1}= \dfrac{-4-2}{-2}=3$, $x_{2}= \dfrac{-4+2}{-2}=1$. Ainsi $x_{1}=1$, $x_{2}=3$ (on les ordonne : $1<3$). - Comme $a<0$ et $\Delta>0$, $P(x)>0$ entre les racines : $1<x<3$. - Solution : $]1,3[$. **Exemple 6** : Résoudre $3x^{2}-6x+2\le0$. - $a=3>0$. - $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot3\cdot2=36-24=12>0$. - Racines : $x_{1,2}= \dfrac{6\pm\sqrt{12}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. - $x_{1}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.42$, $x_{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.58$. - Puisque $a>0$, $P(x)\le0$ entre les racines (y compris les racines car inéquation large) : $[\,1-\frac{\sqrt{3}}{3},\;1+\frac{\sqrt{3}}{3}\,]$. ### 5. Applications rapides - **Problème de maximisation d’une aire** : Un rectangle de périmètre fixe $P$ a une aire $A(x)=x(P/2-x)$ où $x$ est la largeur. Maximiser $A$ revient à résoudre $-x^{2}+(P/2)x$ maximale → sommet. - **Mouvement vertical sous gravité** : La hauteur $h(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+h_{0}$ ; résoudre $h(t)=0$ donne le temps d’impact (équation du second degré). --- ## II. Équations et inéquations polynomiales de degré 3 ### 1. Rappel sur les polynômes du troisième degré Un polynôme du troisième degré (ou cubique) s’écrit $$ P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\qquad a\neq0, $$ avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$. Son graphe présente généralement une forme en « S » pouvant avoir un extremum local et un point d’inflexion. > **Définition** : Le **discriminant** d’un cubique $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ est > $$ > \Delta_{3}=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd. > $$ > Son signe indique la nature des racines (trois réelles distinctes si $\Delta_{3}>0$, une réelle et deux complexes conjuguées si $\Delta_{3}<0$, racines multiples si $\Delta_{3}=0$). ### 2. Recherche d’une racine rationnelle – théorème des racines rationnelles Si $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ possède une racine rationnelle $\dfrac{p}{q}$ sous forme irréductible ($p,q$ entiers premiers entre eux), alors - $p$ divise le terme constant $d$. - $q$ divise le coefficient dominant $a$. > **Théorème des racines rationnelles** : Toute racine rationnelle d’un polynôme à coefficients entiers est de la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p\mid d$ et $q\mid a$. Cette propriété permet de tester un nombre fini de candidats. #### Exemple **Exemple 7** : Trouver une racine rationnelle de $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-8x+12$. - $a=2$, $d=12$. - Diviseurs de $d$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$. - Diviseurs de $a$ : $\pm1,\pm2$. - Candidats : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\frac12,\pm\frac32$. - Testons $x=2$ : $P(2)=2\cdot8-3\cdot4-8\cdot2+12=16-12-16+12=0$. Donc $x=2$ est une racine. ### 3. Factorisation après découverte d’une racine Si $r$ est une racine de $P(x)$, alors $(x-r)$ divise $P(x)$. On effectue la division synthétique (ou la division longue) pour obtenir un trinôme du second degré $Q(x)$ tel que $$ P(x)=(x-r)Q(x). $$ On résout ensuite $Q(x)=0$ par la méthode du second degré. #### Exemple **Exemple 8** : Factoriser complètement $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-8x+12$ sachant que $x=2$ est une racine. Division synthétique par $x-2$ : ``` 2 | 2 -3 -8 12 | 4 2 -12 ----------------- 2 1 -6 0 ``` Le quotient est $2x^{2}+x-6$. Factorisons ce trinôme : - $\Delta=1^{2}-4\cdot2\cdot(-6)=1+48=49$. - Racines : $x=\dfrac{-1\pm7}{4}$ → $x_{1}= \dfrac{6}{4}= \dfrac32$, $x_{2}= \dfrac{-8}{4}= -2$. Donc $$ P(x)=2(x-2)\left(x-\frac32\right)(x+2)= (x-2)(2x-3)(x+2). $$ ### 4. Résolution par la méthode de Cardan (cas où aucune racine rationnelle n’est évidente) Lorsque le cubique ne possède pas de racine rationnelle simple, on peut le réduire à une forme déprimée puis appliquer la formule de Cardan. #### 4.1. Réduction à l’équation déprimée Partons de $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$. Divisons par $a$ : $$ x^{3}+ \frac{b}{a}x^{2}+ \frac{c}{a}x+ \frac{d}{a}=0. $$ Effectuons le changement de variable $x = y - \dfrac{b}{3a}$ pour éliminer le terme en $y^{2}$. Après calcul, on obtient $$ y^{3}+py+q=0, $$ où $$ p = \frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}},\qquad q = \frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}. $$ #### 4.2. Formule de Cardan On pose $$ \Delta_{C}= \left(\frac{q}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{p}{3}\right)^{3}. $$ - Si $\Delta_{C}>0$ : une racine réelle et deux complexes conjuguées. - Si $\Delta_{C}=0$ : racines réelles, au moins deux égales. - Si $\Delta_{C}<0$ : trois racines réelles distinctes (on utilise alors la forme trigonométrique). Dans le cas $\Delta_{C}\ge0$, la racine réelle est $$ y_{1}= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta_{C}}}\;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\Delta_{C}}}. $$ Les deux autres racines sont obtenues en multipliant chaque terme par les racines cubiques de l’unité $\omega=-\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}$ et $\omega^{2}$. Enfin, on revient à $x$ par $x = y - \dfrac{b}{3a}$. > **Formule de Cardan** : Pour l’équation déprimée $y^{3}+py+q=0$, une racine réelle est donnée par > $$ > y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{p}{3}\right)^{3}}} > +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}. > $$ #### Exemple **Exemple 9** : Résoudre $x^{3}-6x^{2}+11x-6=0$ par Cardan (on sait déjà que les racines sont 1,2,3, mais illustrons la méthode). - Ici $a=1$, $b=-6$, $c=11$, $d=-6$. - Changement de variable : $x = y - \dfrac{b}{3a}= y +2$. - Substitution : $(y+2)^{3}-6(y+2)^{2}+11(y+2)-6=0$. Après développement et simplification, on obtient $y^{3}-y=0$ → $p=-1$, $q=0$. - $\Delta_{C}= \left(\frac{0}{2}\right)^{2}+ \left(\frac{-1}{3}\right)^{3}=0-\frac{1}{27}<0$. Comme $\Delta_{C}<0$, on aurait trois racines réelles ; on peut toutefois poursuivre avec la formule en utilisant les racines complexes intermédiaires, mais on sait que le trinôme factorise directement : $(y-1)y(y+1)=0$. - Donc $y\in\{-1,0,1\}$ → $x=y+2\in\{1,2,3\}$. Cet exemple montre que la méthode de Cardan, bien que lourde, conduit aux mêmes résultats que la factorisation lorsqu’une racine rationnelle existe. ### 5. Analyse du signe d’un polynôme du troisième degré Pour déterminer le signe de $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ sur $\mathbb{R}$, on procède ainsi : 1. Trouver les racines réelles de $P$ (par factorisation, recherche de racine rationnelle, ou méthode de Cardan si nécessaire). 2. Ordonner ces racines : $r_{1}<r_{2}<r_{3}$ (il peut y en avoir une ou trois). 3. Étudier le signe du coefficient dominant $a$ : - Si $a>0$, alors $P(x)\to -\infty$ quand $x\to -\infty$ et $P(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$. - Si $a<0$, le comportement aux infinis est inversé. 4. Le signe de $P$ change uniquement en passant par une racine d’ordre impair ; il reste constant en passant par une racine d’ordre pair. 5. Construire le tableau de signe en alternant les intervalles définis par les racines. #### Exemple **Exemple 10** : Déterminer le signe de $P(x)=x^{3}-4x$. - Factorisation : $P(x)=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2)$. - Racines : $-2,0,2$ (toutes d’ordre 1). - $a=1>0$ → $P(x)\to -\infty$ quand $x\to -\infty$, $P(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$. - Tableau de signe : | Intervalle | signe de $x$ | signe de $(x+2)$ | signe de $(x-2)$ | signe de $P$ | |------------|--------------|------------------|------------------|--------------| | $(-\infty,-2)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | | $(-2,0)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | | $(0,2)$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(2,+\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | Donc $P(x)>0$ sur $(-2,0)\cup(2,+\infty)$ et $P(x)<0$ sur $(-\infty,-2)\cup(0,2)$. ### 6. Résolution des inéquations du troisième degré Une inéquation du troisième degré s’écrit $$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;\bowtie\;0. $$ La résolution suit les mêmes étapes que pour l’étude du signe : 1. Mettre l’inéquation sous la forme $P(x)\bowtie0$. 2. Trouver les racines réelles de $P$. 3. Établir le tableau de signe de $P$ (en tenant compte du caractère pair/impair de chaque racine). 4. Lire les intervalles où l’inéquation est vérifiée. #### Exemples **Exemple 11** : Résoudre $x^{3}-3x^{2}-4x+12<0$. - Factorisation par regroupement : $x^{3}-3x^{2}-4x+12 = x^{2}(x-3)-4(x-3) = (x-3)(x^{2}-4) = (x-3)(x-2)(x+2)$. - Racines : $-2,2,3$ (toutes simples). - $a=1>0$ → comportement aux infinis : $-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite. - Tableau de signe : | Intervalle | signe de $(x+2)$ | signe de $(x-2)$ | signe de $(x-3)$ | signe de $P$ | |------------|------------------|------------------|------------------|--------------| | $(-\infty,-2)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | | $(-2,2)$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(2,3)$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(3,+\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | L’inéquation $<0$ est vérifiée sur $(-\infty,-2)\cup(2,3)$. **Exemple 12** : Résoudre $-2x^{3}+6x^{2}+4x-12\ge0$. - Factorisons $-2$ : $-2(x^{3}-3x^{2}-2x+6)$. - Étudions $Q(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6$. Recherche de racine rationnelle : diviseurs de $6$ testés → $x=2$ donne $8-12-4+6=-2\neq0$; $x= -2$ donne $-8-12+4+6=-10\neq0$; $x=3$ donne $27-27-6+6=0$. Donc $x=3$ racine. - Division synthétique de $Q$ par $x-3$ : ``` 3 | 1 -3 -2 6 | 3 0 -6 ---------------- 1 0 -2 0 ``` Quotient : $x^{2}-2$. Donc $Q(x)=(x-3)(x^{2}-2)$. - Ainsi $P(x)=-2(x-3)(x^{2}-2)$. - Racines de $P$ : $x=3$ (simple) et $x=\pm\sqrt{2}$ (simples). - Ordonnons : $-\sqrt{2}\approx-1.41$, $\sqrt{2}\approx1.41$, $3$. - Coefficient dominant de $P$ : $-2<0$ → comportement aux infinis : $+\infty$ à gauche, $-\infty$ à droite. - Tableau de signe (on considère le signe de chaque facteur) : | Intervalle | signe de $-2$ | signe de $(x-3)$ | signe de $(x^{2}-2)$ | signe de $P$ | |------------|---------------|------------------|----------------------|--------------| | $(-\infty,-\sqrt2)$ | $-$ | $-$ | $+$ | $-$ | | $(-\sqrt2,\sqrt2)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(\sqrt2,3)$ | $-$ | $-$ | $+$ | $-$ | | $(3,+\infty)$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | L’inéquation $\ge0$ est vérifiée sur $[-\sqrt2,\sqrt2]\cup[3,+\infty)$. ### 7. Applications rapides - **Volume d’une boîte ouverte** : On découpe des carrés de côté $x$ aux coins d’une feuille de dimensions $L\times l$ ; le volume obtenu est $V(x)=x(L-2x)(l-2x)$, un trinôme du troisième degré en $x$. Maximiser $V$ revient à résoudre $V'(x)=0$ (équation du second degré après factorisation). - **Mouvement d’un objet soumis à une force proportionnelle au carré de la vitesse** : l’équation différentielle conduit parfois à une équation du troisième degré pour le temps d’arrêt. --- ## Synthèse du chapitre - **Équation du second degré** : $ax^{2}+bx+c=0$ → discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ → racines $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. - **Signe d’un trinôme** : dépend de $a$ et de $\Delta$ ; tableau de signe basé sur les racines réelles. - **Inéquation du second degré** : résoudre en étudiant le signe du trinôme. - **Théorème des racines rationnelles** : toute racine rationnelle $p/q$ d’un polynôme à coefficients entiers vérifie $p\mid d$ et $q\mid a$. - **Factorisation d’un cubique** : après découverte d’une racine $r$, division par $(x-r)$ donne un trinôme du second degré. - **Méthode de Cardan** : réduction à $y^{3}+py+q=0$ puis formule avec $\Delta_{C}=(q/2)^{2}+(p/3)^{3}$. - **Signe d’un cubique** : déterminé par les racines réelles (ordre impair → changement de signe) et le signe du coefficient dominant. - **Inéquation du troisième degré** : résoudre via le tableau de signe du polynôme. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Trinôme du second degré | Polynôme de la forme $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq0$. | | Discriminant ($\Delta$) | Quantité $b^{2}-4ac$ qui détermine la nature des racines d’un trinôme du second degré. | | Racine double | Racine d’ordre 2 d’un polynôme (lorsque $\Delta=0$ pour un trinôme du second degré). | | Théorème des racines rationnelles | Résultat qui donne les candidats possibles sous la forme $p/q$ où $p$ divise le terme constant et $q$ divise le coefficient dominant. | | Division synthétique | Méthode abrégée pour diviser un polynôme par un binôme de la forme $x-r$. | | Équation déprimée | Forme $y^{3}+py+q=0$ obtenue après le changement de variable $x=y-\frac{b}{3a}$ pour un cubique. | | Discriminant de Cardan ($\Delta_{C}$) | Expression $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}$ qui détermine le nombre et le type de racines d’un cubique réduit. | | Racine rationnelle | Racine d’un polynôme qui peut être exprimée comme un quotient de deux entiers. | | Tableau de signe | Outil permettant de déterminer le signe d’un polynôme sur chaque intervalle défini par ses racines réelles. | | Inéquation polynomiale | Inéquation où le membre gauche est un polynôme et le membre droit est généralement zéro. | | Point d’inflexion | Point où la concavité d’une courbe change de signe (pour un cubique, il existe toujours un point d’inflexion réel). | | Formule de Cardan | Expression donnant une racine réelle de l’équation déprimée $y^{3}+py+q=0$ en termes de racines cubiques. | | Coefficient dominant | Coefficient du terme de degré le plus élevé dans un polynôme. | | Racine d’ordre impair | Racine dont la multiplicité est un nombre impair ; le signe du polynôme change en la traversant. | | Racine d’ordre pair | Racine dont la multiplicité est un nombre pair ; le signe du polynôme ne change pas en la traversant. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (niveau facile) Résoudre l’équation $3x^{2}-12x+9=0$. **Corrigé** : - $a=3$, $b=-12$, $c=9$. - $\Delta=(-12)^{2}-4\cdot3\cdot9=144-108=36$. - $x_{1,2}= \dfrac{12\pm\sqrt{36}}{6}= \dfrac{12\pm6}{6}$. - Donc $x_{1}= \dfrac{18}{6}=3$, $x_{2}= \dfrac{6}{6}=1$. **Solution** : $\{1,3\}$. --- ### Exercice 2 (niveau intermédiaire) Déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation $-x^{2}+6x-8\ge0$. **Corrigé** : - Réécrire : $P(x)=-x^{2}+6x-8$. - $a=-1<0$. - $\Delta=6^{2}-4(-1)(-8)=36-32=4$. - Racines : $x_{1,2}= \dfrac{-6\pm\sqrt{4}}{-2}= \dfrac{-6\pm2}{-2}$. - $x_{1}= \dfrac{-6-2}{-2}=4$, $x_{2}= \dfrac{-6+2}{-2}=2$. Ainsi $2<x_{1}=2$, $x_{2}=4$ (on les ordonne : $2,4$). - Comme $a<0$ et $\Delta>0$, $P(x)\ge0$ entre les racines (y compris les racines). **Solution** : $[2,4]$. --- ### Exercice 3 (niveau intermédiaire) Factoriser complètement le polynôme $P(x)=x^{3}-7x+6$. **Corrigé** : - Recherche de racine rationnelle : diviseurs de $6$ testés → $x=1$ donne $1-7+6=0$. Donc $x=1$ racine. - Division synthétique de $P$ par $x-1$ : ``` 1 | 1 0 -7 6 | 1 1 -6 ---------------- 1 1 -6 0 ``` Quotient : $x^{2}+x-6$. - Factoriser le trinôme : $\Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25$. - Racines : $x=\dfrac{-1\pm5}{2}$ → $x_{1}=2$, $x_{2}=-3$. - Donc $x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$. **Factorisation** : $P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$. --- ### Exercice 4 (niveau avancé) Résoudre l’équation $2x^{3}-5x^{2}-x+2=0$ en utilisant d’abord le théorème des racines rationnelles. **Corrigé** : - $a=2$, $d=2$. - Candidats : $\pm1,\pm2,\pm\frac12$. - Testons $x=1$ : $2-5-1+2=-2\neq0$. - $x=-1$ : $-2-5+1+2=-4\neq0$. - $x=2$ : $16-20-2+2=-4\neq0$. - $x=-2$ : $-16-20+2+2=-32\neq0$. - $x=\frac12$ : $2\cdot\frac18-5\cdot\frac14-\frac12+2= \frac14-\frac54-\frac12+2=0$. Donc $x=\frac12$ est une racine. - Division synthétique de $P$ par $x-\frac12$ (ou multiplier par 2 pour éviter les fractions) : On peut diviser par $(2x-1)$ puisque $x=\frac12$ racine ⇒ $2x-1$ facteur. Effectuons la division de $P(x)$ par $(2x-1)$ : ``` x^{2} -2x -1 2x-1 ) 2x^{3} -5x^{2} -x + 2 -(2x^{3} - x^{2}) ---------------- -4x^{2} - x -(-4x^{2}+2x) ---------------- -3x + 2 -(-3x+1.5) ---------------- 0.5 ``` Il semble y avoir une erreur ; recommençons avec la division par $x-\frac12$ directement : Coefficients : $2,\ -5,\ -1,\ 2$. ``` 0.5 | 2 -5 -1 2 | 1 -2 -1.5 --------------------- 2 -4 -3 0.5 ``` Le reste n’est pas zéro → erreur de calcul. Vérifions la racine : $P(\frac12)=2\cdot\frac18-5\cdot\frac14-\frac12+2=0.25-1.25-0.5+2=0.5$? Attendez : $0.25-1.25=-1.0$, $-1.0-0.5=-1.5$, $-1.5+2=0.5$. Donc $P(\frac12)=0.5\neq0$. Ma précédente évaluation était fautive. Reprenons la recherche. Testons $x= -1/2$ : $2\cdot(-1/8)-5\cdot(1/4)-(-1/2)+2 = -0.25-1.25+0.5+2 = 1.0$. Non nul. Testons $x=2$ déjà fait. Testons $x= -2$ : $-16-20+2+2=-32$. Testons $x= \frac{1}{2}$ donne 0.5, pas racine. Testons $x= -\frac{1}{2}$ donne 1.0. Testons $x= \frac{2}{1}=2$ déjà. Testons $x= -\frac{2}{1}=-2$ déjà. Testons $x= \frac{1}{1}=1$ déjà. Testons $x= -1$ déjà. Il semble qu’il n’y ait pas de racine rationnelle simple ; nous allons utiliser la méthode de Cardan. Mais pour rester dans le cadre du niveau avancé sans trop alourdir, choisissons un autre polynôme qui admet une racine rationnelle évidente. **Nouvel énoncé** : Résoudre $2x^{3}-3x^{2}-8x+12=0$. **Corrigé** : - $a=2$, $d=12$. - Candidats : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\frac12,\pm\frac32$. - Testons $x=2$ : $16-12-16+12=0$. Donc $x=2$ racine. - Division synthétique par $x-2$ : ``` 2 | 2 -3 -8 12 | 4 2 -12 ----------------- 2 1 -6 0 ``` Quotient : $2x^{2}+x-6$. - $\Delta=1^{2}-4\cdot2\cdot(-6)=1+48=49$. - Racines du trinôme : $x=\dfrac{-1\pm7}{4}$ → $x_{1}= \dfrac{6}{4}= \dfrac32$, $x_{2}= \dfrac{-8}{4}= -2$. **Solution** : $\left\{-2,\ \dfrac32,\ 2\right\}$. --- ### Exercice 5 (niveau avancé) Résoudre l’inéquation $x^{3}-6x^{2}+9x-4<0$. **Corrigé** : - Recherche de racine rationnelle : diviseurs de $4$ testés → $x=1$ donne $1-6+9-4=0$. Donc $x=1$ racine. - Division synthétique par $x-1$ : ``` 1 | 1 -6 9 -4 | 1 -5 4 ---------------- 1 -5 4 0 ``` Quotient : $x^{2}-5x+4$. - Factoriser : $\Delta=25-16=9$ → racines $x=\dfrac{5\pm3}{4}$ → $x_{1}=2$, $x_{2}=4$. - Donc $P(x)=(x-1)(x-2)(x-4)$. - Racines simples : $1,2,4$. - Coefficient dominant $a=1>0$ → comportement aux infinis : $-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite. - Tableau de signe : | Intervalle | signe de $(x-1)$ | signe de $(x-2)$ | signe de $(x-4)$ | signe de $P$ | |------------|------------------|------------------|------------------|--------------| | $(-\infty,1)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | | $(1,2)$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $(2,4)$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(4,+\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | L’inéquation $<0$ est vérifiée sur $(-\infty,1)\cup(2,4)$. **Solution** : $]-\infty,1[\ \cup\ ]2,4[$. --- ### Exercice 6 (niveau expert) Déterminer l’ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l’équation $x^{3}-3x^{2}+k=0$ admet exactement deux racines réelles distinctes (une racine double et une racine simple). **Corrigé** : - Une équation du troisième degré a une racine double lorsque son discriminant $\Delta_{3}$ est nul et que la racine double est d’ordre 2. - Pour un cubique $x^{3}+px+q$ (ici après dépression), le discriminant est $\Delta_{C}=-(4p^{3}+27q^{2})$. - Mais nous pouvons agir directement : si $x_{0}$ est racine double, alors $P(x_{0})=0$ et $P'(x_{0})=0$. - Soit $P(x)=x^{3}-3x^{2}+k$. - $P'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$. - Les points où $P'(x)=0$ sont $x=0$ et $x=2$. - **Cas $x=0$** : $P(0)=k$. Pour que $0$ soit racine, il faut $k=0$. Alors $P(x)=x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3)$. Racines : $0$ (double) et $3$ (simple). Donc $k=0$ donne exactement deux racines réelles distinctes (une double, une simple). - **Cas $x=2$** : $P(2)=8-12+k=k-4$. Pour que $2$ soit racine, il faut $k=4$. Alors $P(x)=x^{3}-3x^{2}+4$. Factorisons sachant que $x=2$ racine double ? Vérifions la dérivée en $2$ : $P'(2)=0$ déjà. Donc $x=2$ est au moins double. Factorisons : division de $P$ par $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$. Effectuons la division : ``` x+1 x^{2}-4x+4 ) x^{3} -3x^{2} +0x +4 -(x^{3} -4x^{2}+4x) --------------------- x^{2} -4x +4 -(x^{2} -4x +4) --------------------- 0 ``` Le quotient est $x+1$. Donc $P(x)=(x-2)^{2}(x+1)$. Racines : $2$ (double) et $-1$ (simple). Donc $k=4$ donne aussi exactement deux racines réelles distinctes. - Pour toute autre valeur de $k$, le cubique a soit trois racines réelles distinctes (si $\Delta_{3}>0$), soit une racine réelle et deux complexes conjuguées (si $\Delta_{3}<0$). **Réponse** : $k\in\{0,4\}$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier de changer le signe lors du déplacement d’un terme** : Lors de la résolution d’une équation, certains élèves oublient que déplacer un terme de l’autre côté change son signe (ex. : $ax^{2}+bx=c$ devient $ax^{2}+bx-c=0$). *Astuce* : toujours réécrire l’équation sous la forme « tout d’un côté = 0 » avant d’appliquer les formules. 2. **Confondre le discriminant du trinôme avec celui du cubique** : Le discriminant $b^{2}-4ac$ ne s’applique qu’aux degrés 2. Pour le degré 3, il faut utiliser le théorème des racines rationnelles ou la méthode de Cardan. *Astuce* : vérifier le degré du polynôme avant de choisir la formule. 3. **Négliger le cas $\Delta=0$** : Lorsque le discriminant du second degré est nul, il y a une racine double ; certains élèves donnent deux racines distinctes égales à la même valeur mais oublient de mentionner le caractère double. *Astuce* : écrire explicitement « racine double $x_{0}=-b/(2a)$ ». 4. **Erreur de signe dans le tableau de signe d’un cubique** : Le signe change uniquement en passant par une racine d’ordre impair. Certains élèves alternent le signe à chaque racine sans vérifier la multiplicité. *Astuce* : noter la multiplicité de chaque racine (déterminée par la factorisation) et ne changer le signe que si elle est impaire. 5. **Mauvaise utilisation du théorème des racines rationnelles** : Tester uniquement les diviseurs du terme constant en oubliant de diviser par ceux du coefficient dominant. *Astuce* : lister systématiquement les fractions $p/q$ avec $p\mid d$ et $q\mid a$. 6. **Confondre les sens des inéquations lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif** : Lors de la résolution d’une inéquation du type $-ax^{2}+bx+c\ge0$, oublier d’inverser le sens de l’inéquation quand on multiplie par $-1$. *Astuce* : toujours isoler le terme du second degré avec un coefficient positif avant d’étudier le signe. --- *Fin du cours de référence.*