Profils et cubature (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Déterminer l’axe en plan et le profil en long naturel (TN) d’un tracé routier en utilisant un raccordement circulaire ou une clothoïde. - Lire et interpréter un profil en long projeté (PLP) ainsi que des profils en travers (PET). - Réaliser le raccordement vertical entre deux rampes grâce à une courbe verticale symétrique ou une rampe de transition. - Constituer le cartouche d’un projet de terrassement (pente, rampe, courbe, entrées en terre). - Calculer la cubature de terrassement par la méthode des aires moyennes ou des trapèzes, en maîtrisant les unités et les précisions requises. **Prérequis :** - Notions de géométrie plane (droites, cercles, tangentes, angles). - Lecture de plans topographiques (échelles, courbes de niveau, cotes). - Manipulation de formules algébriques de base et conversion d’unités (m, m², m³). - Connaissance des matériels de nivellement (niveau optique, théodolite, GPS). --- ## Introduction Dans les travaux publics camerounais, la conception d’une voie routière débute par la définition de son tracé en plan (axe) puis par l’élaboration de son profil en long (variation d’altitude) et de ses profils en travers (largeur, talus). Le raccordement entre deux droites horizontales (ou deux rampes) doit assurer une transition douce pour le confort et la sécurité des usagers. Selon le contexte topographique, on utilise soit un **raccordement circulaire** (arc de cercle de rayon constant) soit une **clothoïde** (courbe dont la courbure varie linéairement avec la longueur). Le profil en long projeté traduit les rampes et les courbes verticales prévues, tandis que les profils en travers définissent la largeur de la chaussée, les accotements et les talus. Enfin, la **cubature de terrassement** permet d’estimer le volume de terre à déplacer (remblai ou déblai) afin d’établir le devis et de planifier les engins. Ce cours présente, de façon progressive, les méthodes de tracé, les formules essentielles et un exemple complet de calcul de cubature, adapté aux réalités des chantiers camerounais (routes nationales, voiries urbaines, pistes rurales). --- ## I. Leçon 17 : Axe en plan et profil en long TN – raccordement circulaire et clothoïde ### 1. Définitions et notions de base - **Axe en plan** : ligne théorique représentant le tracé médian de la voie sur le plan horizontal. - **Profil en long naturel (TN)** : élévation du terrain naturel le long de l’axe, obtenue par nivellement. - **Raccordement** : élément de transition entre deux droites (ou deux rampes) permettant une variation continue de la direction (en plan) ou de la pente (en long). > Un raccordement doit garantir une **variation continue de la courbure** afin d’éviter les à-coups ressentis par les véhicules. ### 2. Raccordement circulaire (courbe simple) Un raccordement circulaire est un arc de cercle de rayon **R** reliant deux droites tangentielles qui forment un angle d’intersection **I** (en degrés). - **Longueur de l’arc** : \[ L = \frac{\pi R I}{180} \] (L en mètres, R en mètres, I en degrés). - **Distance tangentielle** (distance du point d’intersection (PI) au point de début de courbe (PC) ou au point de fin de courbe (PT)) : \[ T = R \tan\left(\frac{I}{2}\right) \] - **Hauteur de la flèche** (distance du milieu de l’arc à la corde) : \[ f = R \left(1 - \cos\frac{I}{2}\right) \] > Pour une voie de catégorie **B** (vitesse de conception 80 km/h), le rayon minimal recommandé est **R ≥ 336 m** afin de limiter l’accélération latérale à 0,15 g. ### 3. Raccordement clothoïde (transition) La clothoïde, ou spirale de Cornu, est une courbe dont la courbure **k** varie linéairement avec la longueur **s** mesurée depuis le début de la spirale : \[ k(s) = \frac{s}{A^{2}} \] où **A** est le paramètre de la clothoïde (homothétie). - **Longueur de la spirale** : \[ L_{s}= A \sqrt{2\theta} \] avec **θ** l’angle de rotation totale de la tangente (en radians). - **Déviation angulaire** à l’extrémité de la spirale : \[ \theta = \frac{L_{s}^{2}}{2A^{2}} \] > La clothoïde est privilégiée lorsqu’on doit passer d’une droite à un rayon circulaire **R** afin d’assurer une entrée progressive dans la courbe : on choisit **A** tel que **R = A^{2} / L_{s}**. ### 4. Méthode de tracé sur le terrain 1. **Repérage du PI** (point d’intersection des deux droites) à l’aide d’un théodolite ou d’un GPS. 2. **Calcul de T** et **L** avec les formules ci‑dessus. 3. **Implantation du PC** : mesurer T depuis le PI sur chaque droite en sens opposé. 4. **Pose des piquets** tous les 10 m (ou 20 m selon l’échelle) le long de l’arc, en utilisant un ruban métrique et un niveau pour vérifier l’altitude si nécessaire. 5. **Vérification** : mesurer la corde PC‑PT et comparer à la valeur théorique \(C = 2R \sin\frac{I}{2}\). ### 5. Exemple chiffré (circulaire) *Données* : deux droites se coupent avec un angle d’intersection **I = 30 °**. On désire un rayon **R = 250 m**. - **T** : \[ T = 250 \tan\left(\frac{30}{2}\right)=250 \tan 15^{\circ}=250 \times 0,2679 \approx 67,0\text{ m} \] - **L** : \[ L = \frac{\pi \times 250 \times 30}{180}= \frac{250\pi \times 30}{180}= \frac{250\pi}{6}\approx 130,9\text{ m} \] - **Flèche** : \[ f = 250\left(1-\cos 15^{\circ}\right)=250\left(1-0,9659\right)\approx 8,5\text{ m} \] Le tracé sera donc composé de deux tangentes de 67,0 m chacune, reliées par un arc de 130,9 m de longueur, avec une flèche de 8,5 m. --- ## II. Leçon 18 : Profil en long projeté et profils en travers – raccordement vertical – éléments du cartouche – entrées en terre, cubature de terrassement ### 1. Profil en long projeté (PLP) Le PLP représente l’altitude du tracé fini (plateforme de la chaussée) le long de l’axe. Il se compose de : - **Rampes** (pentes constantes, exprimées en ‰ ou en %). - **Courbes verticales** (symétriques ou asymétriques) reliant deux rampes de pentes différentes. > Une rampe de **5 %** signifie une montée de 5 m pour 100 m de développement horizontal. ### 2. Profils en travers (PET) Le PET montre la coupe transversale de la voie à un donné abscisse. Il indique : - Largeur de la chaussée (voie de circulation). - Largeur des accotements. - Pentes des talus (remblai et déblai). - Position des ouvrages (caniveaux, fossés). ### 3. Raccordement vertical (courbe verticale) Pour relier deux rampes de pentes **g₁** et **g₂** (en m/m, c’est‑à‑dire le pourcentage divisé par 100), on utilise une **courbe verticale parabolique** de longueur **Lᵥ** (en m). - **Formule de la parabole** (origine au début de la courbe) : \[ y = g_{1}\,x + \frac{g_{2}-g_{1}}{2L_{v}}\,x^{2} \] où *y* est l’élévation (en m) et *x* la distance depuis le PCV (point de début de courbe verticale). Si les pentes sont données en pourcentage, il faut les convertir en m/m en les divisant par 100. - **Longueur minimale recommandée** (en fonction de la vitesse de conception *V* en km/h) : \[ L_{v,\min}= 0,6\,V \quad\text{(pour une courbe symétrique)} \] > Pour *V = 80 km/h*, on adopte **Lᵥ ≥ 48 m**. - **Élévation au sommet (ou au creux)** : \[ y_{max/min}= y_{PCV}+ \frac{g_{1}L_{v}}{2}+ \frac{(g_{2}-g_{1})L_{v}^{2}}{8L_{v}} \] (se simplifie en \(y_{PCV}+ \frac{g_{1}L_{v}}{2}+ \frac{(g_{2}-g_{1})L_{v}}{8}\)). Cette formule vaut lorsque *g₁* et *g₂* sont exprimés en m/m. ### 4. Éléments du cartouche Le cartouche d’un projet de terrassement regroupe : - **Pente longitudinale** (rampe) du tracé fini. - **Pente transversale** (cross‑fall) de la chaussée (souvent 2 % vers l’extérieur pour l’évacuation des eaux). - **Courbe horizontale** (rayon *R*). - **Courbe verticale** (longueur *Lᵥ*, pentes *g₁*, *g₂*). - **Entrées en terre** : points où le tracé coupe le terrain naturel (déblai ou remblai). ### 5. Entrées en terre Une **entrée en terre** se produit lorsque l’altitude du profil en long projeté dépasse (remblai) ou est inférieure (déblai) à l’altitude du terrain naturel. On les repère en comparant, à chaque abscisse, les cotes du PLP et du TN. - **Déblai** : volume à enlever (terre excédentaire). - **Remblai** : volume à apporter (déficit de terre). ### 6. Cubature de terrassement Deux méthodes sont couramment utilisées au niveau du secondaire : #### a) Méthode des aires moyennes (méthode des trapèzes) On considère le terrain comme une suite de tranches perpendiculaires à l’axe. Pour chaque tranche *i* : \[ V_{i}= \frac{A_{i}+A_{i+1}}{2}\, \Delta x \] où *A* représente l’aire de la coupe (en m²) et *Δx* l’écart horizontal entre deux coupes consécutives (en m). Le volume total est la somme de toutes *Vᵢ*. #### b) Méthode des aires individuelles (méthode des triangles) Lorsque les coupes sont irrégulières, on décompose chaque aire en triangles simples et on applique la même formule. > L’unité de volume est le **mètre cube (m³)**. Un chantier de terrassement de 10 000 m³ nécessite généralement une flotte de 2 à 3 bulldozers de 20 t chacun, selon la densité du sol (≈1,6 t/m³ pour un sol argileux). ### 7. Exemple chiffré de cubature *Contexte* : tracé de 200 m, coupes tous les 20 m (donc 11 coupes : x = 0,20,…,200 m). Les aires de coupe (en m²) obtenues après report des pentes de talus sont : | x (m) | A (m²) | |------|--------| | 0 | 12,0 | | 20 | 15,4 | | 40 | 19,1 | | 60 | 22,8 | | 80 | 26,5 | | 100 | 30,0 | | 120 | 33,2 | | 140 | 36,0 | | 160 | 38,3 | | 180 | 40,1 | | 200 | 41,5 | **Calcul** (méthode des aires moyennes) : \[ \begin{aligned} V &= \sum_{i=0}^{9}\frac{A_{i}+A_{i+1}}{2}\,\Delta x \\ &= \frac{12,0+15,4}{2}\times20 + \frac{15,4+19,1}{2}\times20 + \dots + \frac{40,1+41,5}{2}\times20 \\ &= (13,7+17,25+20,95+24,65+28,25+31,6+34,6+37,15+39,2+40,8)\times20 \\ &= 288,15 \times 20 \\ &= 5 763\text{ m³} \end{aligned} \] Le volume de terrassement nécessaire est donc **5 763 m³** (remblai si les coupes sont positives, déblai si négatif). --- ## Synthèse du chapitre - **Axe en plan** : tracé horizontal ; **profil en long TN** : élévation du terrain naturel. - **Raccordement circulaire** : rayon *R*, longueur *L = πRI/180*, distance tangentielle *T = R tan(I/2)*. - **Raccordement clothoïde** : courbure linéaire *k = s/A²*, permet une transition douce entre droite et cercle. - **Profil en long projeté** : rampes (pente *g* en % ou en m/m) + courbes verticales (parabole de longueur *Lᵥ*). - **Profils en travers** : largeur chaussée, accotements, talus, ouvrages. - **Éléments du cartouche** : pente longitudinale, pente transversale, courbe horizontale, courbe verticale, entrées en terre. - **Entrées en terre** : comparaison PLP/TN → déblai ou remblai. - **Cubature** : méthode des aires moyennes *V = Σ[(Aᵢ+Aᵢ₊₁)/2]Δx* ; unité m³. - **Sécurité** : respecter les rayons minimaux, vérifier les dévers, porter les EPI, baliser les zones de coupe. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Axe en plan | Ligne médiane horizontale du tracé d’une voie. | | Profil en long TN | Élévation du terrain naturel le long de l’axe. | | Profil en long projeté (PLP) | Élévation du tracé fini (plateforme) le long de l’axe. | | Profils en travers (PET) | Coupe transversale montrant largeur, accotements, talus. | | Raccordement circulaire | Arc de cercle reliant deux droites tangentielles. | | Raccordement clothoïde | Spirale dont la courbure varie linéairement avec la longueur. | | Courbe verticale | Parabole reliant deux rampes de pentes différentes. | | Entrée en terre | Point où le PLP coupe le TN (déblai ou remblai). | | Cubature | Volume de terre à déplacer (remblai ou déblai), exprimé en m³. | | Cartouche | Bloc d’informations regroupant pentes, courbes, entrées en terre d’un projet. | | Rampe | Pente constante exprimée en % ou ‰. | | Flèche | Distance maximale entre l’arc d’une courbe et sa corde. | | Paramètre A (clothoïde) | Constante définissant l’évolution de la courbure : k = s/A². | | Longueur de courbe verticale Lᵥ | Distance horizontale entre le début et la fin de la courbe verticale. | | Dévers | Pente transversale de la chaussée pour l’évacuation des eaux. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Raccordement circulaire **Énoncé** : Deux droites se coupent avec un angle d’intersection **I = 45 °**. On souhaite un rayon **R = 180 m**. 1. Calculer la distance tangentielle *T*. 2. Déterminer la longueur de l’arc *L*. 3. Tracer le schéma et indiquer les points PC, PI, PT. **Corrigé** : 1. \(T = 180 \tan(22,5°) = 180 \times 0,4142 ≈ 74,6\text{ m}\). 2. \(L = \frac{\pi \times 180 \times 45}{180}= \pi \times 45 ≈ 141,4\text{ m}\). 3. Schéma : partir du PI, reculer de *T* sur chaque droite pour obtenir PC et PT ; l’arc de cercle de rayon 180 m relie PC à PT. ### Exercice 2 – Courbe verticale **Énoncé** : Une rampe de **+3 %** doit être suivie d’une rampe de **‑2 %**. La vitesse de conception est **V = 60 km/h**. 1. Déterminer la longueur minimale *Lᵥ* recommandée. 2. Calculer l’élévation au sommet de la courbe si l’altitude au PCV est **150,0 m**. **Corrigé** : 1. \(L_{v,\min}=0,6V = 0,6 \times 60 = 36\text{ m}\). On adoptera **Lᵥ = 40 m** (valeur pratique supérieure). 2. Conversion des pentes en m/m : \(g_{1}=+3\% = 0,03\) ; \(g_{2}=-2\% = -0,02\). Élévation au sommet (point où la pente devient nulle) : \[ y_{sommet}= y_{PCV}+ \frac{g_{1}L_{v}}{2}+ \frac{(g_{2}-g_{1})L_{v}}{8} =150,0+ \frac{0,03\times40}{2}+ \frac{(-0,02-0,03)\times40}{8} =150,0+0,6-0,25 =150,35\text{ m} \] ### Exercice 3 – Cubature (méthode des aires moyennes) **Énoncé** : Sur un tracé de 160 m, des coupes tous les 20 m donnent les aires suivantes (en m²) : 10,0 ; 13,5 ; 17,0 ; 20,5 ; 24,0. Calculer le volume de terrassement. **Corrigé** : \[ \begin{aligned} V &= \frac{10,0+13,5}{2}\times20 + \frac{13,5+17,0}{2}\times20 + \frac{17,0+20,5}{2}\times20 + \frac{20,5+24,0}{2}\times20 \\ &= (11,75+15,25+18,75+22,25)\times20 \\ &= 68,0 \times 20 = 1 360\text{ m³} \end{aligned} \] --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir l’angle *I* en degrés dans la formule *L = πRI/180* (utiliser des radians). | Longueur d’arc erronée → mauvais implantation. | Toujours vérifier l’unité de l’angle avant le calcul ; noter explicitement « ° » ou « rad ». | | 2 | Utiliser un rayon trop petit pour la vitesse de conception (ex. R = 80 m pour V = 100 km/h). | Accélération latérale excessive, risque de dérapage. | Appliquer la règle \(R_{\min}= \dfrac{V^{2}}{127\,(e+f)}\) avec e la superelevation et f le facteur de frottement latéral (typiquement e≈0,07, f≈0,15) ou consulter les normes nationales (MINTP). Pour une estimation rapide, on peut utiliser \(R_{\min}\approx 0,036\,V^{2}\) (V en km/h). | | 3 | Négliger la vérification de la flèche *f* lors de l’implantation d’une courbe circulaire. | La corde ne passe pas au bon point → décalage du tracé. | Après avoir posé les piquets PC et PT, mesurer la corde et comparer à *C = 2R sin(I/2)*. | | 4 | Confondre les pentes en % et en ‰ lors du calcul des rampes verticales. | Erreur d’élévation de plusieurs mètres sur de longues distances. | Toujours écrire la pente avec son unité (‰ ou %) et convertir si nécessaire (1 % = 10 ‰). | | 5 | Omettre de baliser la zone de coupe avant de commencer le terrassement. | Risque d’effondrement de talus ou de blessure aux travailleurs. | Installer des panneaux de signalisation, des rubans de balisage et vérifier la stabilité des talus selon la nature du sol (cohésif, granulaire). | | 6 | Utiliser la formule de cubature des aires moyennes avec un Δx variable sans ajuster le calcul. | Sous‑ ou sur‑estimation du volume. | S’assurer que les coupes sont espacées régulièrement ; si Δx varie, appliquer la formule trapézoïdale spécifique à chaque intervalle. | --- *Fin du cours.*