Théorie des erreurs (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Identifier et classer les erreurs accidentelles qui affectent les mesures directes et indirectes en topographie. - Appliquer la loi de Gauss pour modéliser la répartition des erreurs accidentelles. - Calculer la moyenne arithmétique, la moyenne pondérée et l’écart type d’un jeu d’observations. - Propager les incertitudes lors d’un calcul indirect (ex. détermination d’un angle ou d’une coordonnée). - Évaluer la précision d’un jeu de mesures grâce à l’écart type, l’intervalle de confiance et les tests de cohérence. - Rédiger un rapport de mesure conforme aux normes professionnelles du MINESEC/IGE. **Prérequis :** - Notions de base en arithmétique et en algèbre (somme, moyenne, racine carrée). - Connaissance des unités du Système International (mètre, degré, seconde). - Maîtrise de la lecture d’un rapporteur, d’un niveau et d’un théodolite (ou d’un total station) telle qu’enseignée en classe de Seconde. --- ## Introduction contextualisée En topographie camerounaise, chaque relevé sur le terrain – qu’il s’agisse d’un nivellement pour la construction d’une route à Yaoundé, d’un levé de parcelles agricoles dans la région de l’Ouest ou d’un relevé de coordonnées GPS pour un projet d’urbanisme à Douala – est entaché d’erreurs. Certaines sont systématiques (mauvais réglage de l’instrument, défaut de calibration) et peuvent être corrigées par des procédures étalonnées. D’autres sont accidentelles : elles résultent de fluctuations imprévisibles (vibrations du sol, variations de température, lecture approximative du viseur) et suivent une distribution statistique. La maîtrise de ces erreurs accidentelles permet au technicien topographe de quantifier la fiabilité de ses mesures, d’optimiser le nombre de reprises nécessaires et de produire des plans conformes aux exigences du MINESEC/IGE (précision au centimètre pour les travaux de voirie, au millimètre pour les ouvrages d’art). Ce chapitre présente, en deux parties, la théorie des erreurs accidentelles appliquée aux mesures directes puis indirectes, ainsi que les outils d’analyse de la dispersion (moyenne, écart type, moyenne pondérée, intervalle de confiance). --- ## I. Étude des erreurs accidentelles dans les mesures directes ### A. Définitions et classification des erreurs > **Erreur accidentelle** : écart aléatoire d’une observation par rapport à la vraie valeur, résultant de causes indépendantes et non contrôlables, suivant une loi de probabilité symétrique autour de zéro. > **Erreur systématique** : biais constant pouvant être éliminé par étalonnage ou correction. > **Erreur de grossièreté** : faute de lecture ou de transcription, à éliminer par contrôle. En pratique, lorsqu’on répète une mesure directe (ex. lecture d’une distance sur un ruban métrique, angle horizontal sur un théodolite), on obtient une série de valeurs \(x_1, x_2, …, x_n\). Si les seules perturbations sont accidentelles, la moyenne de cette série tend vers la vraie valeur lorsque \(n\) augmente (loi des grands nombres). ### B. Loi des erreurs accidentelles (loi de Gauss) Les erreurs accidentelles modélisées par une loi normale de moyenne nulle et de variance \(\sigma^2\) : \[ f(\varepsilon)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\varepsilon^{2}}{2\sigma^{2}}\right) \] où \(\varepsilon = x_i - \mu\) est l’erreur d’une observation, \(\mu\) la vraie valeur et \(\sigma\) l’écart type théorique. > **Propriété fondamentale** : environ 68,3 % des erreurs se situent dans l’intervalle \([-\sigma,+\sigma]\), 95,4 % dans \([-2\sigma,+2\sigma]\) et 99,7 % dans \([-3\sigma,+3\sigma]\). Cette propriété permet d’estimer la précision d’un instrument à partir d’un nombre limité de répétitions. ### C. Moyenne arithmétique comme estimateur La meilleure estimation linéaire non biaisée de la vraie valeur \(\mu\) est la moyenne arithmétique : \[ \bar{x}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \] > **Règle** : la variance de la moyenne \(\bar{x}\) vaut \(\sigma^{2}/n\); donc l’écart type de la moyenne (erreur-type) est \(\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}\). ### D. Écart type et précision L’écart type échantillonnal (estimateur de \(\sigma\)) se calcule ainsi : \[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}} \] L’unité de \(s\) est identique à celle de la mesure (mètre, degré, etc.). Un faible \(s\) indique une grande précision. > **Exemple de règle de métier** : pour un nivellement de précision ordinaire au Cameroun, l’écart type accepté d’une différence de niveau ne doit pas dépasser 2 mm sur un tronçon de 100 m (précision 1/5000). ### E. Exemple chiffré entièrement résolu Un technicien relève cinq fois la même distance AB avec un ruban métallique gradué au centimètre. Les valeurs obtenues (en mètres) sont : | Essai | Distance (m) | |-------|--------------| | 1 | 12,34 | | 2 | 12,36 | | 3 | 12,33 | | 4 | 12,35 | | 5 | 12,34 | **Calcul de la moyenne** : \[ \bar{x}= \frac{12,34+12,36+12,33+12,35+12,34}{5}= \frac{61,72}{5}=12,344\text{ m} \] **Calcul de l’écart type** : \[ \begin{aligned} \sum (x_i-\bar{x})^{2}&=(12,34-12,344)^{2}+(12,36-12,344)^{2}\\ &\quad+(12,33-12,344)^{2}+(12,35-12,344)^{2}+(12,34-12,344)^{2}\\ &=0,000016+0,000256+0,000196+0,000036+0,000016\\ &=0,000520 \end{aligned} \] \[ s=\sqrt{\frac{0,000520}{5-1}}=\sqrt{0,000130}=0,0114\text{ m}=11,4\text{ mm} \] **Erreur‑type de la moyenne** : \[ \sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{5}}=\frac{0,0114}{2,236}=0,0051\text{ m}=5,1\text{ mm} \] **Interprétation** : la vraie distance AB est estimée à \(12,344\pm0,005\) m (intervalle de confiance à 68 %). La dispersion observée (11,4 mm) est compatible avec la précision attendue d’un ruban métallique de classe II (± 2 mm sur 30 m). --- ## II. Étude des erreurs accidentelles dans les mesures indirectes ### A. Principe de propagation des incertitudes Une grandeur indirecte \(Y\) résulte d’une fonction \(Y=f(x_1,x_2,…,x_k)\) de plusieurs mesures directes \(x_i\). Si chaque \(x_i\) comporte une incertitude type \(u(x_i)\) (écart type estimé), l’incertitude type de \(Y\) se obtient par la loi de propagation de l’incertitude (formule de Gauss) : \[ u^{2}(Y)=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{2}u^{2}(x_i) \] > **Condition** : les erreurs des \(x_i\) doivent être indépendantes et centrées (moyenne nulle). ### B. Exemple de calcul d’angle horizontal Un théodolite mesure deux directions : l’azimut du point A (\(\alpha\)) et celui du point B (\(\beta\)). L’angle intérieur \(\theta\) vaut \(\theta = \beta - \alpha\). Supposons : - \(\alpha = 45^{\circ}12'30''\) avec \(u(\alpha)=0,5''\) - \(\beta = 120^{\circ}05'15''\) avec \(u(\beta)=0,5''\) Conversion en secondes d’arc : \[ \alpha = 45\times3600+12\times60+30 = 162\,750''\quad ;\quad \beta = 120\times3600+5\times60+15 = 432\,315'' \] \[ \theta = 432\,315''-162\,750'' = 269\,565'' = 74^{\circ}52'45'' \] Dérivées partielles : \(\partial\theta/\partial\alpha = -1\), \(\partial\theta/\partial\beta = +1\). \[ u^{2}(\theta)=(-1)^{2}(0,5)^{2}+(+1)^{2}(0,5)^{2}=0,25+0,25=0,50 \] \[ u(\theta)=\sqrt{0,50}=0,707''\approx0,7'' \] **Résultat** : \(\theta = 74^{\circ}52'45'' \pm 0,7''\). > **Règle de sécurité** : lors d’un levé triangulaire, l’incertitude sur chaque angle ne doit pas dépasser 1 ″ pour garantir une fermeture du polygone inférieure à 5 ″ (norme MINESEC/IGE pour travaux de voirie). ### C. Application topographique : calcul de coordonnées À partir d’une station connue \(S (X_S,Y_S)\) et d’une mesure de distance \(d\) et d’azimut \(\alpha\) vers un point inconnu \(P\), les coordonnées de \(P\) sont : \[ \begin{aligned} X_P &= X_S + d\cos\alpha\\ Y_P &= Y_S + d\sin\alpha \end{aligned} \] Si \(d\) et \(\alpha\) possèdent des incertitudes \(u(d)\) et \(u(\alpha)\), on obtient : \[ \begin{aligned} u^{2}(X_P) &= (\cos\alpha)^{2}u^{2}(d) + \bigl(-d\sin\alpha\bigr)^{2}u^{2}(\alpha)\\ u^{2}(Y_P) &= (\sin\alpha)^{2}u^{2}(d) + \bigl(d\cos\alpha\bigr)^{2}u^{2}(\alpha) \end{aligned} \] > **Exemple numérique** : \(S(1000,000,00 ; 500,000,00)\) m, \(d=150,00\) m avec \(u(d)=0,02\) m, \(\alpha=30^{\circ}00'00''\) avec \(u(\alpha)=0,5''=0,000139\) rad. > \(\cos\alpha=0,8660\), \(\sin\alpha=0,5000\). > \(u^{2}(X_P)=0,8660^{2}\times0,02^{2}+(-150\times0,5000)^{2}\times0,000139^{2}=0,000300+0,000433=0,000733\) → \(u(X_P)=0,027\) m. > \(u^{2}(Y_P)=0,5000^{2}\times0,02^{2}+(150\times0,8660)^{2}\times0,000139^{2}=0,000100+0,000548=0,000648\) → \(u(Y_P)=0,025\) m. > Ainsi, \(P(1000,129,90 ; 500,075,00)\) m avec incertitudes de l’ordre de 2–3 cm, compatibles avec la précision exigée pour un levé de lotissement (précision au centimètre). --- ## III. Analyse de la dispersion et précision des observations (moyenne arithmétique, pondérée, écart type, etc.) ### A. Moyenne pondérée Lorsque les observations présentent des précisions différentes (ex. mesures effectuées avec des instruments de qualités variées), on attribue à chaque mesure un poids \(w_i\) proportionnel à l’inverse de sa variance : \[ w_i = \frac{1}{\sigma_i^{2}}\qquad\text{ou}\qquad w_i = \frac{1}{u^{2}(x_i)} \] La moyenne pondérée est : \[ \bar{x}_{w}= \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \] > **Propriété** : la variance de \(\bar{x}_{w}\) vaut \(1/\sum w_i\). ### B. Écart type pondéré L’estimateur de la dispersion autour de la moyenne pondérée s’obtient par : \[ s_{w}= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} w_i (x_i-\bar{x}_{w})^{2}}{(n-1)\,\frac{\sum w_i}{\sum w_i^{2}}}} \] Dans la pratique, on utilise souvent la forme simplifiée lorsque les poids sont égaux (revenir à l’écart type ordinaire). ### C. Intervalle de confiance Pour une loi normale, l’intervalle de confiance à \(100(1-\alpha)\%\) de la vraie valeur \(\mu\) est : \[ \bar{x}\;\pm\; t_{\,\alpha/2,\,\nu}\;\frac{s}{\sqrt{n}} \] où \(t\) est le critère de Student avec \(\nu=n-1\) degrés de liberté. > **Exemple** : avec \(n=10\), \(s=0,012\) m, on obtient \(t_{0,025,9}=2,262\). L’intervalle à 95 % vaut \(\pm 2,262\times0,012/\sqrt{10}= \pm0,0086\) m (± 8,6 mm). ### D. Test de cohérence (règle de Chauvenet) On considère comme douteuse toute observation dont l’écart résiduel dépasse : \[ |x_i-\bar{x}| > C\,s \] où \(C\) dépend de \(n\) (tableau de Chauvenet). Pour \(n=10\), \(C\approx1,96\). Toute valeur hors cet intervalle peut être rejetée après vérification d’une éventuelle grossièreté. ### E. Exemple synthétique Un levé de nivellement fournit dix différences de niveau (en mm) : \[ \{2,1; 2,3; 1,9; 2,0; 2,2; 2,4; 1,8; 2,5; 2,0; 2,1\} \] - Moyenne arithmétique \(\bar{x}=2,13\) mm. - Écart type \(s=0,21\) mm. - Erreur‑type de la moyenne \(s/\sqrt{10}=0,066\) mm. - Intervalle de confiance 95 % : \(\pm 2,262\times0,066 = \pm0,15\) mm → \([1,98;2,28]\) mm. - Toutes les valeurs se situent dans cet intervalle ; aucune ne dépasse \(C\,s=1,96\times0,21=0,41\) mm → pas de rejet. La précision du nivellement est donc de l’ordre de ±0,2 mm, conforme aux exigences de travaux de voirie de classe B (précision au millimètre). --- ## Synthèse du chapitre - Les erreurs accidentelles suivent une loi normale de moyenne nulle ; leur dispersion se quantifie par l’écart type \(s\). - La moyenne arithmétique \(\bar{x}\) est l’estimateur non biaisé de la vraie valeur ; son écart type diminue comme \(1/\sqrt{n}\). - Pour des mesures indirectes, l’incertitude se propage selon la formule \(\displaystyle u^{2}(Y)=\sum (\partial f/\partial x_i)^{2}u^{2}(x_i)\). - La moyenne pondérée \(\bar{x}_{w}\) améliore l’estimation lorsque les précisions des observations sont hétérogènes. - L’intervalle de confiance \(\bar{x}\pm t\,s/\sqrt{n}\) permet d’affirmer la vraisemblance de la vraie valeur avec un niveau de probabilité choisi. - Le test de Chauvenet fournit une règle objective pour détecter et éventuellement éliminer les valeurs aberrantes. - En pratique topographique camerounaise, ces outils servent à dimensionner le nombre de reprises, à rédiger les procès‑verbaux de levé et à garantir le respect des normes de précision du MINESEC/IGE (ex. 1 mm pour nivellement de classe B, 1″ pour angle de triangulation). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Erreur accidentelle | Écart aléatoire d’une observation par rapport à la vraie valeur, suivant une loi de probabilité symétrique autour de zéro. | | Moyenne arithmétique | \(\displaystyle \bar{x}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\) ; estimateur non biaisé de la vraie valeur. | | Écart type (échantillon) | \(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}\) ; mesure de la dispersion des observations. | | Moyenne pondérée | \(\displaystyle \bar{x}_{w}= \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\) avec \(w_i=1/u^{2}(x_i)\). | | Propagation de l’incertitude | Loi \(\displaystyle u^{2}(Y)=\sum (\partial f/\partial x_i)^{2}u^{2}(x_i)\) pour une fonction \(Y=f(x_1,…,x_k)\). | | Intervalle de confiance | \(\displaystyle \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\nu}\frac{s}{\sqrt{n}}\) ; intervalle contenant la vraie valeur avec une probabilité \(1-\alpha\). | | Test de Chauvenet | Règle permettant de rejeter une observation si \(\vert x_i-\bar{x}\vert >C\,s\) où \(C\) dépend du nombre d’observations. | | Erreur‑type de la moyenne | \(\displaystyle \sigma_{\bar{x}}=s/\sqrt{n}\) ; incertitude associée à la moyenne arithmétique. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Nivellement direct Un technicien effectue six lectures de la même différence de niveau avec un niveau optique. Les valeurs (en mm) sont : 5,2 ; 5,0 ; 5,3 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,4. **a)** Calculer la moyenne arithmétique, l’écart type et l’erreur‑type de la moyenne. **b)** Déterminer l’intervalle de confiance à 95 % pour la vraie différence de niveau. **c)** Selon la norme MINESEC/IGE (précision admise ≤ 0,5 mm pour nivellement de classe A), le résultat est‑il conforme ? **Corrigé** a) \[ \bar{x}= \frac{5,2+5,0+5,3+5,1+5,2+5,4}{6}= \frac{31,2}{6}=5,20\text{ mm} \] \[ \sum (x_i-\bar{x})^{2}= (5,2-5,2)^{2}+(5,0-5,2)^{2}+(5,3-5,2)^{2}+(5,1-5,2)^{2}+(5,2-5,2)^{2}+(5,4-5,2)^{2} \] \[ =0+0,04+0,01+0,01+0+0,04=0,10 \] \[ s=\sqrt{\frac{0,10}{6-1}}=\sqrt{0,02}=0,141\text{ mm} \] Erreur‑type de la moyenne : \(\displaystyle \sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{6}}=\frac{0,141}{2,449}=0,058\text{ mm}\). b) Avec \(n=6\), \(\nu=5\), \(t_{0,025,5}=2,571\). Intervalle 95 % : \(\pm 2,571\times0,058 = \pm0,149\) mm. Donc \(\mu \in [5,20-0,149 ; 5,20+0,149] = [5,05 ; 5,35]\) mm. c) La moitié de l’intervalle (erreur maximale admise) vaut 0,149 mm, bien inférieure à la limite de 0,5 mm. Le nivellement est donc conforme à la classe A. --- ### Exercice 2 – Mesure indirecte d’angle Un théodolite donne deux azimuts : \(\alpha = 12^{\circ}34'20''\) avec \(u(\alpha)=0,4''\) et \(\beta = 78^{\circ}12'05''\) avec \(u(\beta)=0,4''\). L’angle intérieur \(\theta = \beta-\alpha\). **a)** Calculer \(\theta\) en degrés, minutes, secondes. **b)** Déterminer l’incertitude type \(u(\theta)\) par propagation. **c)** Donner le résultat sous la forme \(\theta \pm u(\theta)\) et vérifier si l’incertitude respecte la exigence de fermeture d’un polygone de 5 côtés (erreur totale admissible 5″). **Corrigé** a) Conversion en secondes : \(\alpha = 12\times3600+34\times60+20 = 45\,260''\) \(\beta = 78\times3600+12\times60+05 = 281\,525''\) \(\theta = 281\,525-45\,260 = 236\,265''\) Re‑conversion : \(236\,265'' = 65^{\circ}37'45''\) (puisque \(65\times3600=234\,000''\), reste \(2\,265'' = 37'45''\)). b) Dérivées : \(\partial\theta/\partial\alpha=-1\), \(\partial\theta/\partial\beta=+1\). \[ u^{2}(\theta)=(-1)^{2}(0,4)^{2}+(+1)^{2}(0,4)^{2}=0,16+0,16=0,32 \] \[ u(\theta)=\sqrt{0,32}=0,566''\approx0,6'' \] c) Résultat : \(\theta = 65^{\circ}37'45'' \pm 0,6''\). Pour un polygone de 5 côtés, la somme des angles théoriques vaut \((5-2)\times180^{\circ}=540^{\circ}\). L’erreur admissible sur chaque angle est \(5''/5=1''\). Comme \(u(\theta)=0,6''<1''\), la mesure respecte la exigence de fermeture. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Situation | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |-----------|------------------|-------------|--------------------------------------| | Lecture d’un ruban métallique | Oublier de tendre le ruban ou de le lire à la perpendiculaire | Erreur systématique de quelques centimètres | Toujours tendre le ruban avec un dynamomètre de 5 kg et lire à l’aplomb du repère ; vérifier l’état du ruban avant chaque utilisation. | | Utilisation d’un théodolite | Ne pas niveler l’instrument avant chaque visée | Erreur d’angle pouvant atteindre plusieurs minutes d’arc | Effectuer le nivellement à l’aide du niveau à bulle, puis vérifier la stabilité après chaque rotation ; consigner la température ambiante. | | Saisie des données au bureau | Inverser l’ordre des colonnes (Est‑Nord au lieu de Nord‑Est) | Coordonnées miroirs, entraînant des erreurs de localisation de plusieurs mètres | Utiliser un modèle de feuille de calcul verrouillé où les colonnes sont étiquetées et protégées ; faire un contrôle croisé avec un relevé de contrôle connu. | | Calcul de moyenne pondérée | Attribuer des poids égaux malgré des précisions très différentes | Sous‑estimation de l’incertitude réelle | Déterminer les poids à partir des écarts types fournis par le fabricant ou par un étalonnage récent ; vérifier que \(\sum w_i\) soit cohérent avec la précision attendue. | | Interprétation de l’écart type | Confondre écart type et erreur‑type de la moyenne | Sur‑ou sous‑estimation de la précision du résultat final | Rappeler que l’erreur‑type de la moyenne vaut \(s/\sqrt{n}\) ; l’indiquer clairement dans le procès‑verbal de levé. | | Non‑respect des distances de sécurité près des lignes électriques | Approcher trop près d’une ligne haute tension lors d’un nivellement | Risque d’électrocution, arrêt de travail | Respecter la distance minimale de 3 m pour les lignes < 15 kV et 5 m pour les > 15 kV ; porter des équipements de protection isolante si approche unavoidable. | --- *Fin du cours.*