Electromagnetic Induction

# Electromagnetic Induction ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Énoncer et appliquer les lois de Faraday et de Lenz pour déterminer la direction et la grandeur de la f.e.m. induite. - Calculer la f.e.m. induite dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique uniforme. - Expliquer le principe de fonctionnement des générateurs DC et AC simples. - Définir l'auto-inductance et l'inductance mutuelle, et interpréter les constantes $L$ et $M$ dans les équations données. - Analyser le comportement transitoire d'un circuit L-R soumis à une tension continue (croissance et décroissance du courant). - Calculer l'énergie stockée dans une bobine. - Résoudre des problèmes numériques liés à l'induction électromagnétique en utilisant les formules appropriées. **Prérequis** : Notions de champ magnétique, force de Lorentz, loi d'Ohm, circuits électriques de base (série/parallèle), dérivées et intégrales élémentaires, vecteurs. --- ## I. Lois de Faraday et de Lenz de l'induction électromagnétique ### Définition et énoncé > **Première loi de Faraday** : La f.e.m. induite dans un circuit fermé est égale au taux de variation temporel du flux magnétique traversant ce circuit, prise avec un signe négatif : > $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$ > où $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ est le flux magnétique. > **Deuxième loi de Faraday (ou loi de Lenz)** : Le sens de la f.e.m. induite est tel qu'elle s'oppose à la variation du flux qui l'a produite. > Cela est déjà inclus dans le signe moins de l'équation de Faraday. ### Explication physique Le flux magnétique $\Phi_B$ varie lorsque : - Le champ magnétique $\vec{B}$ change en intensité ou en direction, - La surface $A$ du circuit change, - L'orientation du circuit par rapport au champ change (angle $\theta$ entre $\vec{B}$ et la normale à la surface). Dans le cas d'une boucle plane de surface $A$ dans un champ uniforme $\vec{B}$ : $$\Phi_B = BA\cos\theta$$ ### Exemple résolu 1 Une boucle carrée de côté $0,2\,\text{m}$ est placée dans un champ magnétique uniforme de $0,5\,\text{T}$ perpendiculaire à son plan. Le champ diminue uniformément de $0,5\,\text{T}$ à $0\,\text{T}$ en $0,1\,\text{s}$. Calculer la f.e.m. induite moyenne. **Solution** : Flux initial : $\Phi_i = B_i A = 0,5 \times (0,2)^2 = 0,5 \times 0,04 = 0,02\,\text{Wb}$ Flux final : $\Phi_f = 0$ Variation du flux : $\Delta\Phi = \Phi_f - \Phi_i = -0,02\,\text{Wb}$ Durée : $\Delta t = 0,1\,\text{s}$ f.e.m. moyenne : $$|\mathcal{E}| = \left| \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = \frac{0,02}{0,1} = 0,2\,\text{V}$$ Par la loi de Lenz, le courant induit s'oppose à la diminution du flux → il crée un champ dans le même sens que $\vec{B}$ initial. > **À retenir** : La f.e.m. induite dépend du taux de variation du flux, pas de sa valeur absolue. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une bobine de 100 spires de surface $0,01\,\text{m}^2$ est placée dans un champ magnétique de $0,2\,\text{T}$ faisant un angle de $60^\circ$ avec la normale. Le champ est éteint en $0,05\,\text{s}$. Trouver la f.e.m. moyenne induite. **Solution** : $\Phi_i = N B A \cos\theta = 100 \times 0,2 \times 0,01 \times \cos 60^\circ = 100 \times 0,2 \times 0,01 \times 0,5 = 0,1\,\text{Wb}$ $\Phi_f = 0$ $\Delta\Phi = -0,1\,\text{Wb}$ $\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\frac{-0,1}{0,05} = 2\,\text{V}$ Réponse : $2\,\text{V}$ **Exercice 2** : Une boucle circulaire de rayon $0,1\,\text{m}$ tourne à $50\,\text{Hz}$ dans un champ magnétique uniforme de $0,3\,\text{T}$ perpendiculaire à l'axe de rotation. Trouver la f.e.m. maximale induite. **Solution** : $\Phi = BA\cos(\omega t)$, avec $\omega = 2\pi f = 100\pi\,\text{rad/s}$ $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = BA\omega \sin(\omega t)$ $\mathcal{E}_{\text{max}} = BA\omega = 0,3 \times \pi (0,1)^2 \times 100\pi = 0,3 \times 0,01\pi \times 100\pi = 0,3 \times \pi^2 = 0,3 \times 9,87 \approx 2,96\,\text{V}$ Réponse : $\approx 3,0\,\text{V}$ --- ## II. F.e.m. induite dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique uniforme ### Principe Lorsque un conducteur de longueur $L$ se déplace avec une vitesse $\vec{v}$ perpendiculaire à un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, les charges libres dans le conducteur subissent une force de Lorentz $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, ce qui sépare les charges et crée une différence de potentiel aux extrémités. > **À retenir** : La f.e.m. induite dans un conducteur en mouvement droit dans un champ uniforme perpendiculaire est donnée par : > $$\mathcal{E} = B L v$$ > où $B$, $L$, et $v$ sont deux à deux perpendiculaires. Si le mouvement n'est pas perpendiculaire, seule la composante de $v$ perpendiculaire à $B$ et à $L$ compte : $$\mathcal{E} = B L v_\perp = B L v \sin\theta$$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{v}$ et la direction perpendiculaire à $\vec{B}$ et $\vec{L}$. ### Exemple résolu 2 Une barre métallique de longueur $0,5\,\text{m}$ glisse sur deux rails parallèles horizontaux situés dans un champ magnétique vertical de $0,4\,\text{T}$. La barre se déplace à droite avec une vitesse constante de $3\,\text{m/s}$. Calculer la f.e.m. induite entre les extrémités de la barre. **Solution** : $\vec{B}$ vertical (vers le haut), $\vec{v}$ horizontal (droite), $\vec{L}$ horizontal (le long de la barre, perpendiculaire aux rails). $\vec{v} \perp \vec{B}$, et $\vec{L}$ est perpendiculaire aux deux (dans le plan horizontal, perpendiculaire à $\vec{v}$ si les rails sont parallèles à $\vec{v}$ — hypothèse standard : rails parallèles au mouvement, barre perpendiculaire aux rails). Donc : $\mathcal{E} = B L v = 0,4 \times 0,5 \times 3 = 0,6\,\text{V}$ Réponse : $0,6\,\text{V}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 3** : Un fil de longueur $0,8\,\text{m}$ se déplace à $5\,\text{m/s}$ dans un champ magnétique de $0,2\,\text{T}$. L'angle entre la vitesse et le champ est de $30^\circ$. Le fil est orienté de manière à ce que sa longueur soit perpendiculaire au plan formé par $\vec{v}$ et $\vec{B}$. Trouver la f.e.m. induite. **Solution** : La condition donnée implique que $\vec{L}$ est perpendiculaire à $\vec{v} \times \vec{B}$, donc la formule complète s'applique : $\mathcal{E} = B L v \sin\theta$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$. $\mathcal{E} = 0,2 \times 0,8 \times 5 \times \sin 30^\circ = 0,2 \times 0,8 \times 5 \times 0,5 = 0,4\,\text{V}$ Réponse : $0,4\,\text{V}$ **Exercice 4** : Une barre de $0,3\,\text{m}$ tombe librement dans un champ magnétique horizontal de $0,1\,\text{T}$ dirigé vers le nord. La barre est orientée est-ouest. Quelle est la f.e.m. induite après $2\,\text{s}$ de chute ? ($g = 10\,\text{m/s}^2$) **Solution** : Après $t=2\,\text{s}$, $v = gt = 20\,\text{m/s}$ vers le bas. $\vec{B}$ : nord, $\vec{v}$ : bas, $\vec{L}$ : est-ouest. $\vec{v} \times \vec{B}$ : bas × nord = ouest (par règle de la main droite) → donc si la barre est est-ouest, $\vec{L}$ est parallèle à $\vec{v} \times \vec{B}$ → f.e.m. maximale. $\mathcal{E} = B L v = 0,1 \times 0,3 \times 20 = 0,6\,\text{V}$ Réponse : $0,6\,\text{V}$ --- ## III. Principe des générateurs DC et AC simples ### Générateur AC (alternateur simple) Une bobine tournant à vitesse angulaire constante $\omega$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ produit une f.e.m. alternative. Flux à travers la bobine : $\Phi = NBA\cos(\omega t)$ f.e.m. induite : $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$$ Donc : $\mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \sin(\omega t)$, avec $\mathcal{E}_0 = NBA\omega$ > **À retenir** : Dans un générateur AC simple, la f.e.m. varie sinusoïdalement avec le temps : $\mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \sin(\omega t)$, où $\mathcal{E}_0 = NBA\omega$ est la f.e.m. maximale. Le courant dans une résistance $R$ connectée est : $I = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \sin(\omega t)$ ### Générateur DC (dynamo simple) Pour obtenir une f.e.m. unidirectionnelle, on remplace les bagues collectrices par un **commutateur** (split-ring commutateur) qui inverse la connexion de la bobine au circuit externe à chaque demi-tour, lorsque la f.e.m. naturelle change de signe. Le résultat est une f.e.m. pulsée mais toujours positive (ou toujours négative), avec des ondulations. > **À retenir** : Le commutateur dans un générateur DC convertit la f.e.m. alternative interne en une f.e.m. pulsée unidirectionnelle externe. ### Exemple résolu 3 Une bobine de 50 spires, de surface $0,02\,\text{m}^2$, tourne à $60\,\text{Hz}$ dans un champ magnétique de $0,1\,\text{T}$. Calculer : (a) la f.e.m. maximale, (b) la f.e.m. efficace. **Solution** : $\omega = 2\pi f = 120\pi\,\text{rad/s}$ (a) $\mathcal{E}_0 = N B A \omega = 50 \times 0,1 \times 0,02 \times 120\pi = 50 \times 0,1 \times 0,02 \times 377 \approx 50 \times 0,1 \times 7,54 = 50 \times 0,754 = 37,7\,\text{V}$ (b) $\mathcal{E}_{\text{rms}} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}} = \frac{37,7}{1,414} \approx 26,7\,\text{V}$ Réponses : (a) $37,7\,\text{V}$, (b) $26,7\,\text{V}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 5** : Un générateur AC produit une f.e.m. donnée par $\mathcal{E} = 100 \sin(314t)\,\text{V}$. Trouver : (a) la f.e.m. maximale, (b) la fréquence, (c) la f.e.m. efficace. **Solution** : (a) $\mathcal{E}_0 = 100\,\text{V}$ (b) $\omega = 314\,\text{rad/s} \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{314}{6,28} \approx 50\,\text{Hz}$ (c) $\mathcal{E}_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70,7\,\text{V}$ Réponses : (a) $100\,\text{V}$, (b) $50\,\text{Hz}$, (c) $70,7\,\text{V}$ **Exercice 6** : Pourquoi un générateur DC ne produit-il pas une f.e.m. parfaitement constante ? **Réponse** : Parce que même avec le commutateur, la f.e.m. induite dans la bobine varie sinusoïdalement pendant chaque demi-tour, et le commutateur ne fait que redresser ce signal, ce qui donne une f.e.m. pulsée avec des ondulations. Une vraie constante nécessiterait plusieurs bobines et un commutateur multipolaire pour lisser la sortie. --- ## IV. Auto-inductance et inductance mutuelle ### Définitions > **À retenir** : L'auto-inductance $L$ d'une bobine est définie comme le rapport entre le flux total traversé par la bobine dû à son propre courant et ce courant : > $$N\Phi = LI$$ > où $N\Phi$ est le flux total (en Wb-tours), $I$ le courant (en A), $L$ en henry (H). > **À retenir** : L'inductance mutuelle $M$ entre deux bobines 1 et 2 est définie comme : > $$N_2\Phi_{21} = M I_1 \quad \text{et} \quad N_1\Phi_{12} = M I_2$$ > où $\Phi_{21}$ est le flux traversé par la bobine 2 dû au courant dans la bobine 1, etc. > $M$ est symétrique : $M_{12} = M_{21} = M$. ### Propriétés - $L$ dépend de la géométrie de la bobine (nombre de spires, surface, longueur, matériau du noyau). - $M$ dépend de la géométrie relative des deux bobines (distance, orientation, nombre de spires, noyaux). - L'unité du henry : $1\,\text{H} = 1\,\text{Wb/A} = 1\,\text{V·s/A}$ - La f.e.m. d'auto-induction : $\mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt}$ - La f.e.m. d'induction mutuelle dans la bobine 2 : $\mathcal{E}_2 = -M \frac{dI_1}{dt}$ ### Exemple résolu 4 Une bobine de 500 spires produit un flux de $0,002\,\text{Wb}$ lorsqu'un courant de $2\,\text{A}$ la traverse. Calculer son auto-inductance. **Solution** : $N\Phi = 500 \times 0,002 = 1\,\text{Wb-tours}$ $L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{1}{2} = 0,5\,\text{H}$ Réponse : $0,5\,\text{H}$ ### Exemple résolu 5 Deux bobines sont placées l'une près de l'autre. Lorsque le courant dans la bobine 1 varie à $3\,\text{A/s}$, une f.e.m. de $0,06\,\text{V}$ est induite dans la bobine 2. Calculer l'inductance mutuelle. **Solution** : $\mathcal{E}_2 = M \frac{dI_1}{dt}$ (en valeur absolue) $0,06 = M \times 3$ $M = \frac{0,06}{3} = 0,02\,\text{H}$ Réponse : $0,02\,\text{H}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 7** : Une bobine a une auto-inductance de $0,4\,\text{H}$. Quel est le flux total traversé lorsqu'un courant de $5\,\text{A}$ la traverse ? **Solution** : $N\Phi = L I = 0,4 \times 5 = 2\,\text{Wb-tours}$ Réponse : $2\,\text{Wb-tours}$ **Exercice 8** : Deux bobines ont une inductance mutuelle de $0,1\,\text{H}$. Si le courant dans la première varie de $0$ à $2\,\text{A}$ en $0,1\,\text{s}$, quelle est la f.e.m. moyenne induite dans la seconde ? **Solution** : $\frac{dI_1}{dt} \approx \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{2 - 0}{0,1} = 20\,\text{A/s}$ $\mathcal{E}_2 = M \frac{dI_1}{dt} = 0,1 \times 20 = 2\,\text{V}$ Réponse : $2\,\text{V}$ --- ## V. Circuit L-R en courant continu : croissance et décroissance du courant ### Circuit L-R avec batterie Considérons une batterie de f.e.m. $E$, une résistance $R$, et une inductance $L$ en série. À $t=0$, l'interrupteur est fermé. #### Croissance du courant (fermeture du circuit) La loi des mailles donne : $$E - IR - L\frac{dI}{dt} = 0$$ Équation différentielle : $$L\frac{dI}{dt} + RI = E$$ Solution : $$I(t) = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$ où $\tau = \frac{L}{R}$ est la constante de temps du circuit L-R. > **À retenir** : Dans un circuit L-R soumis à une tension continue $E$, le courant croît selon : > $$I(t) = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R}$$ > Le courant atteint environ $63\%$ de sa valeur finale $E/R$ après un temps $\tau$. #### Décroissance du courant (ouverture du circuit, court-circuit sur L et R) Après avoir atteint le régime permanent, on court-circuite la batterie (ou on l'enlève et on ferme le circuit sur L et R seulement). Alors : $$L\frac{dI}{dt} + RI = 0$$ Solution : $$I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$$ où $I_0$ est le courant initial (juste avant l'ouverture). > **À retenir** : Lors de la décroissance du courant dans un circuit L-R, le courant varie comme : > $$I(t) = I_0 e^{-t/\tau}, \quad \tau = \frac{L}{R}$$ > Le courant tombe à environ $37\%$ de sa valeur initiale après un temps $\tau$. ### Exemple résolu 6 Un circuit L-R comporte $L = 0,2\,\text{H}$, $R = 10\,\Omega$, et est alimenté par une batterie de $12\,\text{V}$. (a) Trouver la constante de temps. (b) Trouver le courant après $0,05\,\text{s}$. (c) Trouver le courant après une longue période. **Solution** : (a) $\tau = L/R = 0,2 / 10 = 0,02\,\text{s}$ (b) $I(0,05) = \frac{12}{10} \left(1 - e^{-0,05/0,02}\right) = 1,2 \left(1 - e^{-2,5}\right) = 1,2 (1 - 0,082) = 1,2 \times 0,918 = 1,10\,\text{A}$ (c) $I(\infty) = E/R = 12/10 = 1,2\,\text{A}$ Réponses : (a) $0,02\,\text{s}$, (b) $1,10\,\text{A}$, (c) $1,2\,\text{A}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 9** : Un circuit L-R a une constante de temps de $0,1\,\text{s}$ et une résistance de $5\,\Omega$. Trouver l'inductance. **Solution** : $\tau = L/R \Rightarrow L = \tau R = 0,1 \times 5 = 0,5\,\text{H}$ Réponse : $0,5\,\text{H}$ **Exercice 10** : Dans un circuit L-R, $L = 0,4\,\text{H}$, $R = 8\,\Omega$, $E = 20\,\text{V}$. Après combien de temps le courant atteint-il $50\%$ de sa valeur finale ? **Solution** : $I_{\text{final}} = E/R = 20/8 = 2,5\,\text{A}$ On cherche $t$ tel que $I(t) = 0,5 \times 2,5 = 1,25\,\text{A}$ $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau}) = 2,5 (1 - e^{-t/\tau})$ $1,25 = 2,5 (1 - e^{-t/\tau}) \Rightarrow 0,5 = 1 - e^{-t/\tau} \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0,5$ $-t/\tau = \ln(0,5) = -\ln 2 \Rightarrow t = \tau \ln 2$ $\tau = L/R = 0,4/8 = 0,05\,\text{s}$ $t = 0,05 \times \ln 2 \approx 0,05 \times 0,693 = 0,0347\,\text{s}$ Réponse : $\approx 0,035\,\text{s}$ --- ## VI. Énergie stockée dans une inductance Lorsque le courant dans une inductance varie, la f.e.m. d'auto-induction s'oppose à cette variation. Le travail effectué contre cette f.e.m. est stocké sous forme d'énergie magnétique dans le champ créé par le courant. La puissance délivrée à l'inductance est : $P = \mathcal{E} I$, mais comme $\mathcal{E} = -L dI/dt$ (la f.e.m. qu'il faut surmonter), la puissance que l'on doit fournir est : $$P = L I \frac{dI}{dt}$$ L'énergie stockée lorsque le courant passe de $0$ à $I$ est : $$U = \int_0^I P\, dt = \int_0^I L I \frac{dI}{dt} dt = L \int_0^I I\, dI = \frac{1}{2} L I^2$$ > **À retenir** : L'énergie stockée dans une inductance traversée par un courant $I$ est : > $$U = \frac{1}{2} L I^2$$ > Cette énergie est stockée dans le champ magnétique entourant la bobine. ### Exemple résolu 7 Une bobine de $0,3\,\text{H}$ transporte un courant de $4\,\text{A}$. Quelle est l'énergie stockée dans son champ magnétique ? **Solution** : $U = \frac{1}{2} \times 0,3 \times (4)^2 = 0,5 \times 0,3 \times 16 = 0,5 \times 4,8 = 2,4\,\text{J}$ Réponse : $2,4\,\text{J}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 11** : Quelle énergie est stockée dans une inductance de $0,1\,\text{H}$ lorsqu'elle transporte un courant de $2\,\text{A}$ ? **Solution** : $U = \frac{1}{2} \times 0,1 \times 4 = 0,2\,\text{J}$ Réponse : $0,2\,\text{J}$ **Exercice 12** : Une bobine stocke $0,5\,\text{J}$ d'énergie lorsque le courant est de $1\,\text{A}$. Trouver son inductance. **Solution** : $U = \frac{1}{2} L I^2 \Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} L (1)^2 \Rightarrow 0,5 = 0,5 L \Rightarrow L = 1\,\text{H}$ Réponse : $1\,\text{H}$ --- ## Synthèse du chapitre - **Lois de Faraday et Lenz** : $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$ ; le signe moins indique l'opposition à la variation du flux (loi de Lenz). - **F.e.m. dans un conducteur en mouvement** : $\mathcal{E} = B L v_\perp$ ; dépend de la composante perpendiculaire de $v$ par rapport à $B$ et $L$. - **Générateur AC** : $\mathcal{E} = NBA\omega \sin(\omega t)$ ; f.e.m. sinusoïdale. - **Générateur DC** : Utilise un commutateur pour produire une f.e.m. pulsée unidirectionnelle. - **Auto-inductance** : $N\Phi = LI$ ; f.e.m. d'auto-induction : $\mathcal{E}_L = -L dI/dt$. - **Inductance mutuelle** : $N_2\Phi_{21} = M I_1$ ; f.e.m. induite : $\mathcal{E}_2 = -M dI_1/dt$. - **Circuit L-R** : - Croissance : $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$, $\tau = L/R$ - Décroissance : $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ - **Énergie stockée** : $U = \frac{1}{2} L I^2$ --- ## Glossaire - **Flux magnétique ($\Phi_B$)** : Produit scalaire du champ magnétique et de la surface vectorielle, mesuré en weber (Wb). - **F.e.m. induite ($\mathcal{E}$)** : Tension générée par variation du flux magnétique, mesurée en volt (V). - **Loi de Faraday** : Relie la f.e.m. induite au taux de variation du flux magnétique. - **Loi de Lenz** : Précise que le sens du courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a produit. - **Auto-inductance ($L$)** : Propriété d'une bobine s'opposant à toute variation de son propre courant, mesurée en henry (H). - **Inductance mutuelle ($M$)** : Mesure de la capacité d'une bobine à induire une f.e.m. dans une autre bobine voisine, mesurée en henry (H). - **Constante de temps ($\tau$)** : Dans un circuit L-R, $\tau = L/R$, caractérise la vitesse de croissance ou de décroissance du courant. - **Générateur AC** : Dispositif convertissant l'énergie mécanique en énergie électrique alternative via rotation d'une bobine dans un champ magnétique. - **Commutateur** : Dispositif mécanique dans un générateur DC qui inverse la connexion de la bobine au circuit externe à chaque demi-tour pour produire une f.e.m. unidirectionnelle. - **Énergie magnétique stockée** : Énergie stockée dans le champ magnétique d'une inductance, donnée par $U = \frac{1}{2} L I^2$. - **Henry (H)** : Unité d'inductance ; $1\,\text{H} = 1\,\text{Wb/A} = 1\,\text{V·s/A}$. - **Régime permanent** : État d'un circuit où les grandeurs ne varient plus avec le temps (après $t \gg \tau$ en régime transitoire).