ECONOMIC GEOLOGY

# ECONOMIC GEOLOGY ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’étudiant sera capable de : - Décrire la formation, l’exploration, l’exploitation et les usages économiques du charbon, du pétrole et du gaz naturel. - Expliquer les propriétés géologiques et économiques des roches utilisées dans l’industrie. - Analyser la stabilité des pentes, la conception des barrages, réservoirs et tunnels. - Appliquer les méthodes de prospection et d’exploration géologique. - Évaluer l’impact environnemental des méthodes d’exploitation minière. - Intégrer les connaissances géologiques dans des applications pratiques d’ingénierie civile et de gestion des ressources. **Prérequis** : Connaissances en minéralogie, pétrologie (roches ignées, sédimentaires, métamorphiques), tectonique des plaques, stratigraphie, hydrogéologie et principes de base de la géophysique. --- ## I. Coal, petroleum, natural gas 2 ### Formation du charbon Le charbon se forme par la diagenèse et la métamorphose de matière végétale accumulée dans des environnements anoxiques (marécages, deltas). Le processus passe par quatre stades : tourbe → lignite → charbon bitumineux → anthracite, avec augmentation du taux de carbone et diminution de l’oxygène et de l’humidité. > **Définition** : Le rang du charbon est déterminé par son taux de carbone fixe et son pouvoir calorifique inférieur (PCI), mesuré en MJ/kg. **Propriétés** : - Lignite : C < 60%, PCI ≈ 10–18 MJ/kg, haute humidité. - Charbon bitumineux : C 60–90%, PCI ≈ 24–35 MJ/kg. - Anthracite : C > 90%, PCI ≈ 30–35 MJ/kg, faible volatilité. **Exemple résolu** : Un échantillon de charbon bitumineux contient 75% de carbone, 5% d’hydrogène, 10% d’oxygène, 5% de cendres et 5% d’humidité. Calculer son PCI approximatif en utilisant la formule de Dulong : $$ \text{PCI} = 33,9 \times C + 144,2 \times (H - O/8) + 9,4 \times S \quad (\text{en kJ/kg}) $$ où C, H, O, S sont en masse fraction. $$ \text{PCI} = 33,9 \times 0,75 + 144,2 \times (0,05 - 0,10/8) + 9,4 \times 0 = 25,425 + 144,2 \times 0,0375 = 25,425 + 5,4075 = 30,8325 \text{ MJ/kg} $$ Résultat : **≈ 30,8 MJ/kg**, cohérent avec le charbon bitumineux. **Exercice** : Un lignite a un PCI de 14 MJ/kg et contient 50% de carbone. Estimer sa teneur en oxygène en supposant H = 6%, S = 1%, cendres = 10%, humidité = 20%. **Correction** : Masse totale = 100% → O = 100 - (50 + 6 + 1 + 10 + 20) = 13%. Vérification avec Dulong : PCI = 33,9×0,5 + 144,2×(0,06 - 0,13/8) + 9,4×0,01 = 16,95 + 144,2×(0,06 - 0,01625) + 0,094 = 16,95 + 144,2×0,04375 + 0,094 = 16,95 + 6,30875 + 0,094 = 23,35 → trop élevé. Donc l’hypothèse H=6% est trop élevée. En réalité, le lignite a H ≈ 5%. Nouveau calcul : O = 100 - (50+5+1+10+20) = 14% PCI = 33,9×0,5 + 144,2×(0,05 - 0,14/8) + 0,094 = 16,95 + 144,2×(0,05 - 0,0175) + 0,094 = 16,95 + 144,2×0,0325 + 0,094 = 16,95 + 4,6865 + 0,094 = 21,73 → encore trop élevé. Donc le lignite réel a moins de carbone ou plus de cendres. En pratique, on utilise des courbes empiriques. **Réponse attendue** : La teneur en oxygène est d’environ 20–25% pour un lignite de PCI 14 MJ/kg (valeur empirique connue). --- ## II. Coal, petroleum, natural gas 3 ### Migration et piégeage des hydrocarbures Le pétrole et le gaz naturel se forment à partir de matière organique (kérrogène) dans les roches mères sous effet de la température et de la pression (fenêtre du pétrole : 60–120°C ; fenêtre du gaz : >120°C). Ils migrent vers le haut par pression de flottabilité jusqu’à être piégés par des structures géologiques. **Types de pièges** : - Structuraux : anticlinaux, failles, dômes salins. - Stratigraphiques : variations de faciès, lentilles, unconformités. - Combinaison : pièges stratostructuraux. > **Règle** : Un piège efficace nécessite une roche réservoir perméable, une roche couverture imperméable (argile, évaporite) et un timing de formation du piège avant la migration. **Exemple résolu** : Dans un bassin sédimentaire, une roche mère à kérogène de type II génère du pétrole à 90°C. La profondeur d’enterrement est de 2,5 km avec un gradient géothermique de 30°C/km. La température de surface est 15°C. Vérifier si la génération a lieu. $$ T = T_0 + (\text{gradient}) \times z = 15 + 30 \times 2,5 = 15 + 75 = 90°C $$ Résultat : **Exactement à la limite inférieure de la fenêtre du pétrole** → génération possible. **Exercice** : Un piège anticlinal est situé à 3,0 km de profondeur. Le gradient géothermique est 25°C/km, température de surface 10°C. Le kérogène est de type III (gaz). La fenêtre du gaz débute à 150°C. Y a-t-il génération de gaz ? **Correction** : T = 10 + 25 × 3,0 = 10 + 75 = 85°C < 150°C → **Pas de génération de gaz**. Le kérogène est trop immature. --- ## III. Coal, petroleum, natural gas 4 ### Méthodes d’exploration des hydrocarbures L’exploration intègre la géologie de surface, la géophysique (sismique, gravimétrie, magnétisme) et la forage. - **Sismique réflexion** : On envoie des ondes acoustiques (vibroseis, explosifs) et on enregistre les réflexions aux interfaces. Le temps de trajet deux voies permet de calculer la profondeur : $$ z = \frac{v \cdot t}{2} $$ où $v$ est la vitesse moyenne dans le milieu, $t$ le temps deux voies. - **Gravimétrie** : Mesure des anomalies du champ gravitationnel dues aux variations de densité (ex : dômes salins → basse densité → anomalie négative). - **Magnétisme** : Détecte les variations de susceptibilité magnétique (ex : basaltes → forte anomalie positive). **Exemple résolu** : Un réflecteur sismique apparaît à 1,8 s deux voies. La vitesse moyenne dans les sédiments est 2500 m/s. Calculer la profondeur. $$ z = \frac{2500 \times 1,8}{2} = \frac{4500}{2} = 2250 \text{ m} $$ Résultat : **Profondeur = 2250 m**. **Exercice** : Une anomalie gravimétrique négative de -0,2 mGal est observée. On sait qu’un dôme salin de densité 2,2 g/cm³ est entouré de sédiments de densité 2,4 g/cm³. L’anomalie est due à une sphère de rayon 500 m à 1000 m de profondeur. Estimer l’anomalie théorique (formule de la sphère : $\Delta g = \frac{4}{3} \pi G R^3 \frac{\Delta \rho}{z^2}$). **Données** : $G = 6,674 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$, $\Delta \rho = 2,2 - 2,4 = -0,2 \text{ g/cm}^3 = -200 \text{ kg/m}^3$, $R = 500 \text{ m}$, $z = 1000 \text{ m}$. **Correction** : $$ \Delta g = \frac{4}{3} \pi (6,674 \times 10^{-11}) (500)^3 \frac{-200}{(1000)^2} $$ $$ = \frac{4}{3} \pi (6,674 \times 10^{-11}) (1,25 \times 10^8) \frac{-200}{10^6} $$ $$ = \frac{4}{3} \pi (6,674 \times 10^{-11}) (1,25 \times 10^8) (-2 \times 10^{-4}) $$ $$ = \frac{4}{3} \pi (6,674 \times 1,25 \times -2) \times 10^{-11+8-4} $$ $$ = \frac{4}{3} \pi (-16,685) \times 10^{-7} $$ $$ = \frac{4}{3} \times 3,1416 \times (-1,6685 \times 10^{-6}) \approx 4,1888 \times (-1,6685 \times 10^{-6}) \approx -6,99 \times 10^{-6} \text{ m/s}^2 $$ Convertir en mGal : $1 \text{ mGal} = 10^{-5} \text{ m/s}^2$ → $-6,99 \times 10^{-6} \text{ m/s}^2 = -0,699 \text{ mGal}$ Résultat théorique : **≈ -0,7 mGal** → l’anomalie observée (-0,2 mGal) est plus faible, suggérant une profondeur plus grande ou un rayon plus petit. --- ## IV. Coal, petroleum, natural gas 5 ### Réservoirs de pétrole et de gaz Un bon réservoir nécessite : - Porosité élevée (>10%, idéalement 15–30%) pour stocker les fluides. - Perméabilité élevée (>100 mD) pour permettre l’écoulement. - Connectivité des pores. **Types de réservoirs** : - Grès : porosité intergranulaire, perméabilité élevée si bien trié. - Carbonates : porosité vuggy, fracturée, ou intergranulaire ; perméabilité très variable. - Roches fracturées : réservoirs secondaires (ex : schistes fracturés). > **Formule de Darcy** : Le débit volumique $Q$ à travers un milieu poreux est : $$ Q = -\frac{k A}{\mu} \frac{dP}{dL} $$ où $k$ = perméabilité (m²), $A$ = section transversale (m²), $\mu$ = viscosité dynamique (Pa·s), $dP/dL$ = gradient de pression (Pa/m). **Exemple résolu** : Un échantillon de grès a une perméabilité de 200 mD, une section de 0,01 m², une longueur de 0,1 m, une différence de pression de 10⁵ Pa, et l’huile a une viscosité de 0,01 Pa·s. Calculer le débit. D’abord convertir la perméabilité : $1 \text{ mD} = 9,869 \times 10^{-16} \text{ m}^2$ → $k = 200 \times 9,869 \times 10^{-16} = 1,9738 \times 10^{-13} \text{ m}^2$ $$ Q = -\frac{(1,9738 \times 10^{-13}) \times 0,01}{0,01} \times \frac{10^5}{0,1} = - (1,9738 \times 10^{-13}) \times 10^6 = -1,9738 \times 10^{-7} \text{ m}^3/\text{s} $$ Résultat : **Débit = 1,97 × 10⁻⁷ m³/s** (valeur négative indiquant la direction du flux, on prend la magnitude). **Exercice** : Un réservoir de carbonate a une perméabilité de 5 mD, une viscosité de l’huile de 0,05 Pa·s, un gradient de pression de 5000 Pa/m, et une section de 0,005 m². Calculer le débit. **Correction** : $k = 5 \times 9,869 \times 10^{-16} = 4,9345 \times 10^{-15} \text{ m}^2$ $$ Q = \frac{4,9345 \times 10^{-15} \times 0,005}{0,05} \times 5000 = \frac{2,46725 \times 10^{-17}}{0,05} \times 5000 = (4,9345 \times 10^{-16}) \times 5000 = 2,46725 \times 10^{-12} \text{ m}^3/\text{s} $$ Résultat : **Débit ≈ 2,47 × 10⁻¹² m³/s** (très faible, typique des carbonates peu perméables). --- ## V. Coal, petroleum, natural gas 6 ### Gaz naturel : composition et utilisation Le gaz naturel est principalement composé de méthane (CH₄, 70–98%), avec des traces d’éthane (C₂H₆), propane (C₃H₈), butane (C₄H₁₀), azote, CO₂, et parfois du sulfure d’hydrogène (H₂S). > **Propriété** : Le pouvoir calorifique supérieur (PCS) du méthane est de 55,5 MJ/kg ; celui du gaz naturel varie entre 35 et 40 MJ/m³ (en conditions normales). **Exemple résolu** : Un gaz naturel contient 85% de CH₄, 10% de C₂H₆, 5% de C₃H₈. Calculer son PCS approximatif en utilisant les valeurs suivantes : PCS(CH₄) = 55,5 MJ/kg, PCS(C₂H₆) = 51,9 MJ/kg, PCS(C₃H₈) = 50,3 MJ/kg. On suppose une masse molaire moyenne pour convertir en masse fraction (approximation : on utilise les fractions volumiques comme massiques pour simplifier, car les différences sont faibles). $$ \text{PCS}_{\text{moy}} = 0,85 \times 55,5 + 0,10 \times 51,9 + 0,05 \times 50,3 = 47,175 + 5,19 + 2,515 = 54,88 \text{ MJ/kg} $$ Résultat : **≈ 54,9 MJ/kg** (valeur élevée car riche en méthane). **Exercice** : Un gaz de schiste contient 60% CH₄, 25% C₂H₆, 10% C₃H₈, 5% CO₂. Le PCS du CO₂ est 0. Estimer le PCS du mélange. **Correction** : $$ \text{PCS} = 0,60 \times 55,5 + 0,25 \times 51,9 + 0,10 \times 50,3 + 0,05 \times 0 = 33,3 + 12,975 + 5,03 + 0 = 51,305 \text{ MJ/kg} $$ Résultat : **≈ 51,3 MJ/kg**. --- ## VI. Coal, petroleum, natural gas 7 (Integration 4) ### Évaluation économique des gisements La valeur d’un gisement dépend de : - Le volume récupérable (réserves prouvées, probables, possibles). - Le coût d’exploitation (forage, traitement, transport). - Le prix de marché du produit. - Les impôts, royalties, et contraintes environnementales. **Valeur actuelle nette (VAN)** : $$ \text{VAN} = \sum_{t=0}^{n} \frac{R_t - C_t}{(1 + i)^t} $$ où $R_t$ = revenu à l’année $t$, $C_t$ = coût à l’année $t$, $i$ = taux d’actualisation. **Exemple résolu** : Un projet pétrolier prévoit un revenu de 10⁶ $/an pendant 5 ans, un coût annuel de 3×10⁵ $, et un taux d’actualisation de 10%. Calculer la VAN. $$ \text{VAN} = \sum_{t=1}^{5} \frac{10^6 - 3 \times 10^5}{(1,1)^t} = \sum_{t=1}^{5} \frac{7 \times 10^5}{(1,1)^t} $$ Calcul terme à terme : - t=1 : 700000 / 1,1 = 636363,64 - t=2 : 700000 / 1,21 = 578512,40 - t=3 : 700000 / 1,331 = 525920,36 - t=4 : 700000 / 1,4641 = 478109,42 - t=5 : 700000 / 1,61051 = 434644,93 Somme = 636363,64 + 578512,40 + 525920,36 + 478109,42 + 434644,93 = **2 653 550,75 $** **Exercice** : Un gisement de gaz prévoit des revenus de 8×10⁵ $/an pendant 4 ans, coûts de 2×10⁵ $/an, taux d’actualisation 8%. Calculer la VAN. **Correction** : Flux net annuel = 6×10⁵ $ t=1 : 600000 / 1,08 = 555555,56 t=2 : 600000 / 1,1664 = 514403,29 t=3 : 600000 / 1,259712 = 476299,34 t=4 : 600000 / 1,36048896 = 441017,91 Somme = 555555,56 + 514403,29 + 476299,34 + 441017,91 = **1 987 276,10 $** --- ## VII. Application of geological material ### Utilisation des matériaux géologiques dans la construction Les roches sont utilisées comme : - Granulats (sable, gravier) pour le béton et les enrobés. - Pierre de taille (granit, calcaire, grès) pour le revêtement. - Matériaux de remblai et de fondation. - Matériaux pour le ciment (calcaire, argile). > **Propriété clé** : La résistance à l’écrasement (unconfined compressive strength, UCS) doit être > 20 MPa pour les granulats de fondation, > 50 MPa pour la pierre de taille. **Exemple résolu** : Un granite a une UCS de 120 MPa, un calcaire de 40 MPa, un grès de 25 MPa. Lequel convient pour une fondation de pont ? **Réponse** : Tous les trois conviennent (UCS > 20 MPa), mais le granite est préféré pour sa durabilité et faible porosité. **Exercice** : Un grès a une porosité de 18% et une UCS de 22 MPa. Un calcaire a une porosité de 12% et une UCS de 35 MPa. Lequel est meilleur pour un remblai soumis à des cycles de gel-dégel ? **Correction** : Le calcaire est meilleur : porosité plus faible → moins d’absorption d’eau → moins de risque de gel-dégel. Malgré une UCS plus élevée, la porosité est le facteur dominant ici. --- ## VIII. Economic uses of rocks 1 ### Roches industrielles - **Calcaire** : utilisé dans le ciment (calcination à ~1450°C), la chaux, l’agriculture (correction du pH), la métallurgie (flux). - **Gypse** : utilisé dans les plaques de plâtre, les moulages, l’agriculture (amendement soufré). - **Sel gemme** : utilisé dans l’alimentation, le déglaçage, l’industrie chimique (chlorure de sodium, soude). - **Phosphates** : utilisés dans les engrais (ex : roche phosphatée traitée avec acide sulfurique → superphosphate). > **Réaction** : Production de chaux vive : $$ \text{CaCO}_3 \xrightarrow{\Delta} \text{CaO} + \text{CO}_2 $$ La chaux vive réagit avec l’eau : $$ \text{CaO} + \text{H}_2\text{O} \rightarrow \text{Ca(OH)}_2 $$ (chaux éteinte, utilisée en construction et traitement des eaux). **Exemple résolu** : Calculer la masse de CO₂ libérée lors de la calcination de 100 kg de calcaire pur (CaCO₃). Masse molaire CaCO₃ = 100,09 g/mol → 100 kg = 1000 mol Masse molaire CO₂ = 44,01 g/mol $$ \text{Masse CO}_2 = 1000 \times 44,01 = 44010 \text{ g} = 44,01 \text{ kg} $$ Résultat : **44,0 kg de CO₂ libérés**. **Exercice** : Quelle masse de calcaire est nécessaire pour produire 50 kg de chaux vive (CaO) ? **Correction** : Réaction : CaCO₃ → CaO + CO₂ Masse molaire CaO = 56,08 g/mol Moles de CaO nécessaires = 50000 g / 56,08 g/mol ≈ 891,6 mol Comme 1 mol CaCO₃ → 1 mol CaO, masse de CaCO₃ = 891,6 × 100,09 ≈ 89240 g = **89,2 kg** --- ## IX. Economic uses of rocks 2 ### Roches ornementales et industrielles avancées - **Granit** : utilisé pour les plans de travail, les monuments, les revêtements extérieurs (résistance à l’usure, faible porosité). - **Marbre** : utilisé pour la sculpture, les revêtements de sol et de mur (attention : sensible aux acides). - **Sable de silice** : utilisé dans la verrerie, la fonderie, l’électronique (purifié à >99,5% SiO₂). - **Argile réfractaire** : utilisée dans les revêtements de fourneaux (résistance à >1500°C). - **Talc** : utilisé dans les cosmétiques, les lubrifiants, la céramique (douceur, lamellaire). > **Propriété** : Le marbre réagit avec l’acide chlorhydrique : $$ \text{CaCO}_3 + 2\text{HCl} \rightarrow \text{CaCl}_2 + \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O} $$ Cette réaction est utilisée pour identifier le carbonate de calcium sur le terrain. **Exemple résolu** : Une pierre réagit fortement avec de l’HCl dilué, produisant des bulles. Elle est rayée par un couteau mais pas par une pièce de cuivre. Quelle est son identité probable ? **Réponse** : Réaction à l’HCl → contient du carbonate de calcium (calcaire, marbre, travertin). Dureté : rayée par le couteau (dureté < 5,5) mais pas par le cuivre (dureté du cuivre ≈ 3,5) → donc dureté entre 3,5 et 5,5. Le marbre a une dureté de 3–4, le calcaire de 3–4, le travertin similaire. Comme il réagit fortement et est assez tendre, c’est probablement du **marbre** ou du **calcaire**. Pour distinguer : le marbre est souvent veiné et prend un beau poli ; le calcaire est plus uniforme. Sans plus d’informations, on dit : **roche carbonatée tendre, probablement calcaire ou marbre**. **Exercice** : Un échantillon de roche est blanc, dur (raye le verre), ne réagit pas avec l’HCl, et a un éclat vitreux. Quelle est son identité ? **Correction** : Ne réagit pas avec HCl → pas de carbonate. Dur > 5,5 (raye le verre, dureté du verre ≈ 5,5). Éclat vitreux → probablement du **quartzite** (métamorphite de quartz) ou du **chert** (silice sédimentaire). Le quartzite est plus courant en tant que roche dure et blanche. Réponse : **Quartzite**. --- ## X. Dam, reserviors and tunnels ### Conception des barrages et réservoirs Un barrage doit résister à : - La poussée de l’eau (hydrostatique) : $F = \frac{1}{2} \rho g h^2$ par unité de largeur. - Le poids propre du barrage. - Les forces sismiques. - La filtration sous le barrage (risque de suffosion). > **Formule de la poussée hydrostatique** sur une surface plane verticale : $$ F = \rho g \frac{h^2}{2} \quad \text{(en N/m de largeur)} $$ où $\rho$ = densité de l’eau (1000 kg/m³), $g$ = 9,81 m/s², $h$ = hauteur d’eau (m). **Exemple résolu** : Un barrage retient une eau à 30 m de profondeur. Calculer la poussée hydrostatique par mètre de largeur. $$ F = 1000 \times 9,81 \times \frac{30^2}{2} = 9810 \times \frac{900}{2} = 9810 \times 450 = 4\,414\,500 \text{ N/m} = 4,41 \text{ MN/m} $$ Résultat : **Poussée = 4,41 MN/m de largeur**. **Exercice** : Un réservoir a une hauteur d’eau de 20 m. Quelle est la pression au fond du réservoir ? **Correction** : Pression hydrostatique : $P = \rho g h = 1000 \times 9,81 \times 20 = 196\,200 \text{ Pa} = 196,2 \text{ kPa}$ Résultat : **Pression = 196,2 kPa** (environ 2 atmosphères). ### Tunnels La stabilité d’un tunnel dépend de : - La résistance du massif rocheux (évaluée par les indices RQD, Q-system, ou GSI). - La contrainte d’ancrage (pression lithostatique : $\sigma_v = \rho g h$). - Le besoin de soutènement (béton projeté, ancrages, arcs en acier). > **Contrainte lithostatique** à profondeur $z$ : $$ \sigma_v = \rho g z $$ où $\rho$ = densité moyenne du revêtement (souvent 2500 kg/m³ pour les roches). **Exemple résolu** : À 500 m de profondeur, quelle est la contrainte lithostatique dans un massif de densité moyenne 2600 kg/m³ ? $$ \sigma_v = 2600 \times 9,81 \times 500 = 12\,753\,000 \text{ Pa} = 12,75 \text{ MPa} $$ Résultat : **Contrainte = 12,75 MPa**. **Exercice** : Un tunnel est creusé à 800 m de profondeur dans un granite de densité 2700 kg/m³. Quelle est la contrainte lithostatique ? **Correction** : $\sigma_v = 2700 \times 9,81 \times 800 = 21\,189\,600 \text{ Pa} = 21,19 \text{ MPa}$ Résultat : **Contrainte = 21,2 MPa**. --- ## XI. Slope stability ### Analyse de la stabilité des pentes Une pente est stable si le moment résistif dépasse le moment déclencheur. **Méthode du plan de glissement circulaire** (méthode de Fellenius ou Bishop simplifiée) : - Moment déclencheur : $M_d = W \cdot d$ où $W$ = poids du glissement, $d$ = bras de levier (distance horizontale du centre de gravité au toe). - Moment résistif : $M_r = c \cdot L + (W \cos \alpha - u L) \tan \phi$ où $c$ = cohésion, $\phi$ = angle de frottement interne, $L$ = longueur de la surface de glissement, $u$ = pression neutre moyenne, $\alpha$ = angle moyen de la pente. > **Facteur de sécurité** : $$ FS = \frac{M_r}{M_d} $$ La pente est considérée comme stable si $FS > 1,3$ (statique) ou $FS > 1,0$ (sismique, avec coefficients). **Exemple résolu** : Une pente homogène de hauteur 10 m, angle 30°, unité de poids $\gamma = 18$ kN/m³, cohésion $c = 10$ kPa, angle de frottement $\phi = 20°$. On suppose une surface de glissement circulaire de rayon 15 m, passant par le toe et le sommet. Calculer approximativement le FS en utilisant la méthode de Fellenius (négligeant la poussée des eaux). On estime : - Poids du glissement $W \approx \gamma \times \text{aire du secteur}$ Aire du secteur ≈ $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$ (approximation triangulaire) Base ≈ $2 \times R \times \sin(\theta/2)$, mais on simplifie : on prend une masse de glissement de 10 m de haut, 15 m de large → aire ≈ 75 m² → $W = 18 \times 75 = 1350$ kN/m de largeur. - Bras de levier $d \approx 4$ m (estimation géométrique). - Longueur de surface $L \approx \pi R / 2 = \pi \times 15 / 2 ≈ 23,56$ m (demi-cercle). - $\alpha \approx 30°$ (moyenne). - $u = 0$ (nappe absente). Alors : $$ M_d = W \cdot d = 1350 \times 4 = 5400 \text{ kN·m/m} $$ $$ M_r = c \cdot L + W \cos \alpha \cdot \tan \phi = 10 \times 23,56 + 1350 \times \cos 30° \times \tan 20° $$ $$ = 235,6 + 1350 \times 0,8660 \times 0,3640 = 235,6 + 1350 \times 0,3152 = 235,6 + 425,52 = 661,12 \text{ kN·m/m} $$ $$ FS = \frac{661,12}{5400} ≈ 0,122 $$ Résultat : **FS ≈ 0,12** → pente fortement instable (attendu pour une pente raide sans cohésion suffisante). **Exercice** : Une pente de hauteur 8 m, angle 25°, $\gamma = 17$ kN/m³, $c = 15$ kPa, $\phi = 18°$. On estime $W = 17 \times (0,5 \times 10 \times 8) = 680$ kN/m (base estimée à 10 m), $d = 3$ m, $L = 12$ m, $\alpha = 25°$, $u=0$. Calculer le FS. **Correction** : $M_d = 680 \times 3 = 2040$ kN·m/m $M_r = 15 \times 12 + 680 \times \cos 25° \times \tan 18° = 180 + 680 \times 0,9063 \times 0,3249 = 180 + 680 \times 0,2945 = 180 + 200,26 = 380,26$ kN·m/m $FS = 380,26 / 2040 ≈ 0,186$ → toujours instable. Pour être stable, il faudrait augmenter $c$ ou $\phi$, ou réduire la pente. --- ## XII. Prospection and exploration methods 1 ### Méthodes géophysiques de surface - **Résistivité électrique** : mesure de la résistivité du sous-sol. Les roches sédimentaires saturées d’eau ont faible résistivité (< 50 Ω·m), les roches sèches ou massives (granite) ont haute résistivité (> 1000 Ω·m). - **Méthode électromagnétique (EM)** : induction de courants de Foucault ; utile pour détecter les conducteurs (sulfures, nappes salines). - **Radar à pénétration de sol (GPR)** : ondes électromagnétiques à haute fréquence (10–1000 MHz) ; utile pour les objets peu profonds (< 10 m) et les interfaces diélectriques contrastées (ex : roche sèche/sable humide). > **Résistivité apparente** pour une configuration Wenner : $$ \rho_a = 2 \pi a \frac{\Delta V}{I} $$ où $a$ = espacement entre électrodes (m), $\Delta V$ = différence de potentiel mesurée (V), $I$ = courant injecté (A). **Exemple résolu** : Dans une configuration Wenner avec $a = 2$ m, on mesure $\Delta V = 0,5$ V pour $I = 0,1$ A. Calculer la résistivité apparente. $$ \rho_a = 2 \pi \times 2 \times \frac{0,5}{0,1} = 4 \pi \times 5 = 20 \pi ≈ 62,8 \text{ Ω·m} $$ Résultat : **Résistivité apparente ≈ 63 Ω·m** → suggère un milieu partiellement saturé (argile ou sable humide). **Exercice** : Une mesure GPR montre une réflexion à 8 ns deux voies. La vitesse de l’onde dans le milieu est 0,1 m/ns. Quelle est la profondeur de l’interface ? **Correction** : Profondeur $z = \frac{v \cdot t}{2} = \frac{0,1 \times 8}{2} = \frac{0,8}{2} = 0,4$ m Résultat : **Profondeur = 0,4 m** ---