Newton’s Laws of motion

# Newton’s Laws of motion ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Énoncer et expliquer les deux premières lois de Newton du mouvement. - Définir l'impulsion et établir sa relation avec la variation de la quantité de mouvement. - Analyser expérimentalement la relation entre accélération et force pour une masse constante. - Analyser expérimentalement la relation entre accélération et masse pour une force constante. - Résoudre des problèmes impliquant les lois de Newton, l'impulsion et des situations de force constante ou de masse constante. - Interpréter des graphiques expérimentaux (a vs F, a vs 1/m) et en déduire des lois physiques. **Prérequis** : Notions de vitesse, accélération, vecteurs, deuxième principe de la dynamique (intuitif), unités du Système International (kg, m, s, N), résolution d'équations du premier degré, tracé et interprétation de graphiques linéaires. --- ## I. Première loi de Newton : Loi d'inertie ### Définition et principe > Un corps demeure en état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme tant que la somme des forces extérieures agissant sur lui est nulle. Cette propriété est appelée **inertie**. Cette loi introduit le concept de **référentiel galiléen** : un référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée. Dans un tel référentiel, si aucune force nette ne s'exerce sur un corps, son accélération est nulle ($\vec{a} = 0$), donc sa vitesse est constante (en module et en direction). ### Propriétés - L'inertie dépend de la masse : plus la masse est grande, plus il est difficile de changer l'état de mouvement du corps. - La loi ne définit pas la force, mais décrit son effet lorsqu'elle est nulle. - Elle est valable uniquement dans les référentiels galiléens (au repos ou en mouvement rectiligne uniforme par rapport aux étoiles fixes). ### Exemple résolu Un livre repose sur une table horizontale. Les forces agissant sur lui sont son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ vers le bas et la réaction de la table $\vec{N}$ vers le haut. Comme le livre est au repos, $\vec{a} = 0$. Selon la première loi, la somme des forces est nulle : $$ \vec{P} + \vec{N} = 0 \quad \Rightarrow \quad N = mg $$ Si la table subit soudainement une accélération vers le haut, le référentiel n'est plus galiléen : dans ce référentiel accéléré, le livre semble subir une force fictive vers le bas, même si aucune force réelle supplémentaire ne s'exerce sur lui. Cela illustre que la première loi échoue dans un référentiel non galiléen. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un wagon de train se déplace à vitesse constante sur une voie horizontale et sans frottement. Un passager laisse tomber un objet depuis la hauteur de sa main. Où tombe l'objet relativement au wagon ? **Solution** : Comme le wagon et l'objet ont initialement la même vitesse horizontale, et qu'aucune force horizontale n'agit sur l'objet après sa libération (négligeant la résistance de l'air), il conserve sa vitesse horizontale. Dans le référentiel du wagon (galiléen, car vitesse constante), l'objet tombe donc exactement au pied du point de libération. Réponse : il tombe dans la main du passager. **Exercice 2** : Un astronaute flotte au repos dans la Station spatiale internationale. Il lance une clé à molette loin de lui. Que se passe-t-il ensuite ? **Solution** : Après avoir lancé la clé, l'astronaute subit une réaction (troisième loi, mais ici pertinente pour la première) : il acquiert une vitesse opposée. Comme aucune force nette ne s'exerce plus sur aucun des deux corps (dans l'approximation où l'on néglige les forces résiduelles), chacun poursuit son mouvement rectiligne uniforme. La première loi s'applique : état de repos ou de mouvement uniforme maintenu en l'absence de force nette. --- ## II. Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique ### Définition et principe > La somme des forces extérieures agissant sur un corps est égale au produit de sa masse par son accélération : > $$ > \sum \vec{F} = m \vec{a} > $$ > Cette équation est valable dans un référentiel galiléen pour un corps de masse constante. Cette loi quantifie l'effet d'une force nette : elle produit une accélération proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse. ### Propriétés - C'est une équation vectorielle : la direction de $\vec{a}$ est celle de $\sum \vec{F}$. - En une dimension : $F_{\text{net}} = ma$. - Si $\sum \vec{F} = 0$, alors $\vec{a} = 0$ : on retrouve la première loi comme cas particulier. - L'unité de force est le newton (N) : $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2$. ### Exemple résolu Un bloc de masse $m = 5,0\,\text{kg}$ est tiré sur une surface horizontale sans frottement par une force horizontale de $F = 20,0\,\text{N}$. Quelle est son accélération ? **Solution** : $$ \sum F = F = ma \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{m} = \frac{20,0}{5,0} = 4,0\,\text{m}/\text{s}^2 $$ L'accélération est de $4,0\,\text{m}/\text{s}^2$ dans la direction de la force. Si une force de frottement de $f = 5,0\,\text{N}$ s'oppose au mouvement, alors : $$ \sum F = F - f = 20,0 - 5,0 = 15,0\,\text{N} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{15,0}{5,0} = 3,0\,\text{m}/\text{s}^2 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une voiture de masse $1200\,\text{kg}$ accélère de $0$ à $27\,\text{m}/\text{s}$ en $9,0\,\text{s}$. Quelle est la force nette moyenne qui agit sur elle ? **Solution** : D'abord, l'accélération : $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{27,0 - 0}{9,0} = 3,0\,\text{m}/\text{s}^2 $$ Puis, la force nette : $$ F_{\text{net}} = ma = 1200 \times 3,0 = 3600\,\text{N} $$ **Exercice 2** : Deux forces agissent sur un objet de masse $4,0\,\text{kg}$ : $F_1 = 10,0\,\text{N}$ vers l'est, $F_2 = 6,0\,\text{N}$ vers l'ouest. Quelle est l'accélération de l'objet ? **Solution** : Force nette : $F_{\text{net}} = F_1 - F_2 = 10,0 - 6,0 = 4,0\,\text{N}$ vers l'est. $$ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4,0}{4,0} = 1,0\,\text{m}/\text{s}^2 \quad \text{vers l'est} $$ --- ## III. Impulsion et théorème de l'impulsion-quantité de mouvement ### Définition de l'impulsion > L'impulsion $\vec{J}$ d'une force $\vec{F}$ agissant pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est définie comme : > $$ > \vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t) \, dt > $$ > Pour une force constante, cela se réduit à : > $$ > \vec{J} = \vec{F} \Delta t > $$ > L'impulsion est une grandeur vectorielle, de même direction que la force. Son unité est le newton-seconde ($\text{N} \cdot \text{s}$), équivalente au $\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}$. ### Théorème de l'impulsion-quantité de mouvement > L'impulsion d'une force nette agissant sur un corps est égale à la variation de sa quantité de mouvement : > $$ > \vec{J}_{\text{net}} = \Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i > $$ > Ce théorème découle directement de la deuxième loi de Newton : > $$ > \sum \vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt} \quad \Rightarrow \quad \int \sum \vec{F} \, dt = \int m \, d\vec{v} = m \Delta \vec{v} = \Delta \vec{p} > $$ ### Propriétés - Utile pour analyser les collisions ou les interactions de courte durée où la force varie fortement avec le temps. - Permet de relier une force moyenne agissant sur un délai à un changement de vitesse, même si la force n'est pas constante. - Dans un système isolé, la quantité de mouvement totale est conservée (conséquence du troisième principe, mais l'impulsion permet d'y parvenir pas à pas). ### Exemple résolu Une balle de masse $0,15\,\text{kg}$ arrive vers un joueur de tennis avec une vitesse de $-12,0\,\text{m}/\text{s}$ (négative si on définit vers le joueur comme positif). Elle est renvoyée avec une vitesse de $+18,0\,\text{m}/\text{s}$. Quelle est l'impulsion moyenne exercée par la raquette si le contact dure $0,020\,\text{s}$ ? **Solution** : Variation de quantité de mouvement : $$ \Delta p = m(v_f - v_i) = 0,15 \times [18,0 - (-12,0)] = 0,15 \times 30,0 = 4,5\,\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s} $$ Impulsion : $J = \Delta p = 4,5\,\text{N} \cdot \text{s}$ Force moyenne : $$ F_{\text{moy}} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{4,5}{0,020} = 225\,\text{N} $$ L'impulsion est de $4,5\,\text{N} \cdot \text{s}$ dans le sens du retour de la balle. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un joueur de football arrête un ballon de masse $0,43\,\text{kg}$ venant à $14,0\,\text{m}/\text{s}$ en $0,15\,\text{s}$. Quelle force moyenne exerce-t-il ? **Solution** : $$ \Delta p = m(0 - v_i) = 0,43 \times (-14,0) = -6,02\,\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s} \quad \Rightarrow \quad |\Delta p| = 6,02\,\text{N} \cdot \text{s} $$ $$ F_{\text{moy}} = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{6,02}{0,15} \approx 40,1\,\text{N} $$ La force moyenne est d'environ $40\,\text{N}$ dirigée opposé au mouvement initial du ballon. **Exercice 2** : Une force variable $F(t) = 6,0t$ (en newtons, avec $t$ en secondes) agit sur un objet de masse $2,0\,\text{kg}$ initialement au repos, de $t=0$ à $t=3,0\,\text{s}$. Quelle est sa vitesse finale ? **Solution** : Impulsion : $$ J = \int_0^{3,0} 6,0t \, dt = 6,0 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{3,0} = 3,0 \times (9,0 - 0) = 27,0\,\text{N} \cdot \text{s} $$ Variation de quantité de mouvement : $\Delta p = J = 27,0\,\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}$ Comme $v_i = 0$ : $$ v_f = \frac{\Delta p}{m} = \frac{27,0}{2,0} = 13,5\,\text{m}/\text{s} $$ --- ## IV. Investigations expérimentales : accélération et force pour masse constante ### Objectif Vérifier expérimentalement que, pour une masse constante, l'accélération est directement proportionnelle à la force nette appliquée : $a \propto F$. ### Protocole expérimental - Utiliser un chariot sur une voie presque sans frottement (rail à coussin d'air ou roulements faibles). - Attacher le chariot à une corde passant par une poulie fixe, reliée à une masse suspendue $m_h$ qui fournit la force tractrice : $F = m_h g$ (en négligeant la masse de la corde et la rotation de la poulie). - Varier $m_h$ (donc $F$) tout en maintenant constante la masse totale du chariot $m_c$ (en ajoutant des masses dessus si nécessaire). - Mesurer l'accélération $a$ du chariot à l'aide d'un chronomètre et d'une règle (mesure du temps pour parcourir une distance connue depuis le repos) ou d'un capteur de mouvement. - Tracer le graphique $a$ en fonction de $F$. ### Résultats attendus - Le graphique $a$ vs $F$ est une droite passant par l'origine. - La pente de cette droite est égale à $1/m_c$ : $$ a = \left( \frac{1}{m_c} \right) F \quad \Rightarrow \quad \text{pente} = \frac{1}{m_c} $$ - Cela confirme $F = m_c a$, donc la deuxième loi de Newton. ### Exemple de données traitées Supposons une expérience avec $m_c = 0,500\,\text{kg}$ : | $m_h$ (kg) | $F = m_h g$ (N) | $a$ mesurée (m/s²) | |------------|------------------|----------------------| | 0,050 | 0,49 | 0,98 | | 0,100 | 0,98 | 1,96 | | 0,150 | 1,47 | 2,94 | | 0,200 | 1,96 | 3,92 | Le rapport $a/F$ est constamment d'environ $0,00204\,\text{s}^2/\text{m}$, soit $1/0,500 = 2,00\,\text{kg}^{-1}$ → $m_c = 0,500\,\text{kg}$, conforme à la masse utilisée. ### Exercice d'application corrigé Dans une expérience, on obtient la relation $a = (0,40\,\text{m}/\text{s}^2\text{/N}) F$. Quelle est la masse du chariot utilisé ? **Solution** : D'après $a = \frac{1}{m} F$, la pente est $1/m$. Donc : $$ \frac{1}{m} = 0,40\,\text{m}/\text{s}^2\text{/N} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{1}{0,40} = 2,5\,\text{kg} $$ --- ## V. Investigations expérimentales : accélération et masse pour force constante ### Objectif Vérifier expérimentalement que, pour une force nette constante, l'accélération est inversement proportionnelle à la masse : $a \propto 1/m$. ### Protocole expérimental - Même dispositif que précédemment : chariot sur voie à faible frottement, force tractrice fournie par une masse suspendue $m_h$. - Cette fois, on maintient constante $m_h$ (donc constante $F = m_h g$). - On varie la masse du chariot $m_c$ en ajoutant des masses dessus. - On mesure l'accélération $a$ pour chaque valeur de $m_c$. - On trace le graphique $a$ en fonction de $1/m_c$ (ou $a$ vs $m_c$ et on ajuste une hyperbolique). ### Résultats attendus - Le graphique $a$ vs $1/m_c$ est une droite passant par l'origine. - La pente de cette droite est égale à la force constante $F$ : $$ a = F \cdot \left( \frac{1}{m_c} \right) \quad \Rightarrow \quad \text{pente} = F $$ - Le graphique $a$ vs $m_c$ montre une décroissance hyperbolique, confirmant $a \propto 1/m$. ### Exemple de données traitées Supposons $m_h = 0,200\,\text{kg}$ → $F = 0,200 \times 9,8 = 1,96\,\text{N}$ constant. | $m_c$ (kg) | $1/m_c$ (kg⁻¹) | $a$ mesurée (m/s²) | |------------|------------------|----------------------| | 0,500 | 2,00 | 3,92 | | 1,000 | 1,00 | 1,96 | | 1,500 | 0,667 | 1,31 | | 2,000 | 0,500 | 0,98 | Le rapport $a \cdot m_c$ est constamment d'environ $1,96\,\text{N}$, égale à $F$. La pente de $a$ vs $1/m_c$ est $1,96\,\text{N}$, conforme à $F$. ### Exercice d'application corrigé Dans une expérience avec force constante, on trace $a$ en fonction de $1/m$ et on obtient une droite de pente $2,50\,\text{N}$. Quelle est la valeur de cette force constante ? **Solution** : D'après $a = F \cdot (1/m)$, la pente du graphique $a$ vs $1/m$ est égale à $F$. Donc : $$ F = 2,50\,\text{N} $$ --- ## Synthèse du chapitre - La **première loi de Newton** définit l'inertie et établit que l'état de mouvement ne change que si une force nette agit : $\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{a} = 0$. - La **deuxième loi de Newton** quantifie la relation entre force, masse et accélération : $\sum \vec{F} = m \vec{a}$, valable dans un référentiel galiléen pour masse constante. - L'**impulsion** $\vec{J} = \int \vec{F} \, dt$ mesure l'effet cumulé d'une force dans le temps ; pour une force constante, $\vec{J} = \vec{F} \Delta t$. - Le **théorème de l'impulsion-quantité de mouvement** lie l'impulsion à la variation de quantité de mouvement : $\vec{J}_{\text{net}} = \Delta \vec{p} = m\Delta \vec{v}$, découlant de la deuxième loi. - Pour **masse constante**, l'accélération est directement proportionnelle à la force nette : $a \propto F$ → vérifié par tracé $a$ vs $F$ (droite passant par l'origine, pente $=1/m$). - Pour **force constante**, l'accélération est inversement proportionnelle à la masse : $a \propto 1/m$ → vérifié par tracé $a$ vs $1/m$ (droite passant par l'origine, pente $=F$). - Ces lois forment la base de la mécanique newtonienne et permettent de modéliser le mouvement sous l'action de forces connues. --- ## Glossaire - **Inertie** : Propriété d'un corps de résister aux changements de son état de mouvement. - **Référentiel galiléen** : Cadre de référence dans lequel la première loi de Newton est vérifiée (au repos ou en mouvement rectiligne uniforme par rapport aux étoiles fixes). - **Force nette** : Somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un corps. - **Accélération** : Taux de variation de la vitesse par rapport au temps ($\vec{a} = d\vec{v}/dt$). - **Quantité de mouvement** : Produit de la masse par la vitesse ($\vec{p} = m\vec{v}$). - **Impulsion** : Intégrale temporelle de la force ($\vec{J} = \int \vec{F} \, dt$), égale à la variation de quantité de mouvement. - **Deuxième loi de Newton** : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$, reliant force, masse et accélération. - **Première loi de Newton** : Loi d'inertie — état de mouvement inchangé si force nette nulle. - **Masse constante** : Hypothèse selon laquelle la masse d'un corps ne varie pas durant l'intervalle de temps considéré. - **Force constante** : Force dont la valeur et la direction ne changent pas avec le temps.