Dynamics and force

# Dynamics and force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir une force et en identifier la nature (contact ou à distance). - Classer les forces selon leur type (poids, réaction normale, tension, frottement, poussée d'Archimède, etc.). - Déterminer le centre de gravité et le centre de masse d'un corps rigide homogène ou composé. - Construire et interpréter un diagramme des forces libres (free-body diagram) pour un objet soumis à des forces coplanaires. - Calculer la résultante de plusieurs forces coplanaires concourantes. - Définir le moment d'une force par rapport à un point et calculer son intensité. - Définir un couple de forces et en déterminer le moment. - Appliquer les conditions d'équilibre d'un objet rigide soumis à des forces coplanaires (somme des forces nulles et somme des moments nuls). - Résoudre des problèmes de dynamique et de statique impliquant des forces, des moments et des couples. **Prérequis** : Notions de vecteurs (addition, décomposition, produit scalaire), systèmes de coordonnées cartésiennes, deuxième loi de Newton, unités SI (newton, mètre, kilogramme, seconde). --- ## I. Forces : définition, nature, types et classification ### Définition et nature des forces > Une force est une interaction qui, lorsqu'elle est appliquée à un corps libre de se déplacer, tend à modifier son état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite, ou à le déformer. C'est une grandeur vectorielle caractérisée par son intensité, sa direction, son sens et son point d'application. Les forces sont classées selon leur **nature** : - **Forces de contact** : résultent du contact physique entre deux corps (ex. : réaction normale, frottement, tension). - **Forces à distance** : agissent sans contact matériel, via un champ (ex. : poids, force électrostatique, force magnétique). ### Types et classification des forces Les forces les plus rencontrées en mécanique du point ou du solide rigide sont : | Type de force | Nature | Direction/Sens | Point d'application | Formule caractéristique | |---------------------|-----------------|---------------------------------------------|-----------------------------|---------------------------------------------| | Poids \( \vec{P} \) | À distance | Vertical, vers le bas | Centre de gravité | \( \vec{P} = m\vec{g} \) | | Réaction normale \( \vec{N} \) | Contact | Perpendiculaire à la surface de contact | Point de contact | Dépend de l'équilibre | | Tension \( \vec{T} \) | Contact | Le long du fil/corde, éloignant le corps | Point d'attache | Même intensité partout dans une corde idéale | | Frottement \( \vec{f} \) | Contact | Opposé au mouvement relatif ou tendance | Surface de contact | \( f \leq \mu N \) (statique), \( f = \mu_k N \) (cinétique) | | Poussée d'Archimède \( \vec{F}_A \) | À distance | Vertical, vers le haut | Centre de volume du corps immergé | \( \vec{F}_A = \rho_{\text{fluide}} V_{\text{immergé}} \vec{g} \) | | Force appliquée \( \vec{F}_{\text{app}} \) | Contact | Selon l'agent extérieur | Point d'application | Donnée ou mesurée | > La deuxième loi de Newton s'écrit : \( \sum \vec{F} = m\vec{a} \). En statique, \( \sum \vec{F} = 0 \). #### Exemple résolu 1 : Identification des forces sur un bloc sur un plan incliné Un bloc de masse \( m = 5 \, \text{kg} \) repose sur un plan incliné faisant un angle \( \theta = 30^\circ \) avec l'horizontale. Le coefficient de frottement statique est \( \mu_s = 0,4 \). Déterminer les forces agissant sur le bloc. **Solution** : - Poids : \( P = mg = 5 \times 9,8 = 49 \, \text{N} \), dirigé verticalement vers le bas. - Composantes du poids : - Parallèle au plan : \( P_{\parallel} = P \sin\theta = 49 \times \sin 30^\circ = 49 \times 0,5 = 24,5 \, \text{N} \) (vers le bas du plan). - Perpendiculaire au plan : \( P_{\perp} = P \cos\theta = 49 \times \cos 30^\circ = 49 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42,4 \, \text{N} \) (vers le bas, dans la direction normale au plan). - Réaction normale : \( N = P_{\perp} = 42,4 \, \text{N} \) (vers le haut, perpendiculaire au plan). - Frottement statique maximal : \( f_{s,\max} = \mu_s N = 0,4 \times 42,4 = 16,96 \, \text{N} \). - Puisque \( P_{\parallel} = 24,5 \, \text{N} > f_{s,\max} \), le bloc glisserait s'il n'était pas retenu. Mais ici, il est au repos → donc une force extérieure doit agir ou on considère qu'il est retenu. En réalité, si aucune autre force, il glisserait. Donc pour l'équilibre, il faudrait une force de retenue \( F \geq 24,5 - 16,96 = 7,54 \, \text{N} \) vers le haut du plan. Mais comme l'énoncé dit "repose", on suppose qu'il est en équilibre → donc soit il y a une autre force, soit le frottement suffit si on avait mal calculé. Attendez : recalculons. En fait, si \( P_{\parallel} = 24,5 \, \text{N} \) et \( f_{s,\max} = 16,96 \, \text{N} \), alors \( P_{\parallel} > f_{s,\max} \), donc le bloc **ne peut pas** rester au repos sans autre force. Donc l'énoncé est incohérent sauf si on précise qu'il est retenu. Supposons qu'il est juste au seuil du glissement : alors \( f_s = f_{s,\max} \) et \( P_{\parallel} = f_s \) → mais ici ce n'est pas le cas. Donc pour qu'il soit au repos, il faut une force extérieure. Mais comme l'énoncé dit "repose", on va supposer qu'il est en équilibre → donc on doit avoir une force de retenue. Mais l'énoncé ne la mentionne pas. Donc soit on considère que le bloc est juste au seuil, soit il y a une erreur. Pour éviter l'incohérence, changeons l'angle : prenons \( \theta = 20^\circ \). Nouveau calcul avec \( \theta = 20^\circ \) : - \( P_{\parallel} = 49 \times \sin 20^\circ \approx 49 \times 0,342 = 16,76 \, \text{N} \) - \( P_{\perp} = 49 \times \cos 20^\circ \approx 49 \times 0,94 = 46,06 \, \text{N} \) - \( N = 46,06 \, \text{N} \) - \( f_{s,\max} = 0,4 \times 46,06 = 18,42 \, \text{N} \) - Puisque \( P_{\parallel} = 16,76 < f_{s,\max} = 18,42 \), le bloc reste au repos avec un frottement statique \( f_s = 16,76 \, \text{N} \) dirigé vers le haut du plan (pour opposer la tendance au glissement). **Forces sur le bloc** : - \( \vec{P} = 49 \, \text{N} \) vers le bas. - \( \vec{N} = 46,06 \, \text{N} \) perpendiculaire au plan, vers le haut. - \( \vec{f}_s = 16,76 \, \text{N} \) parallèle au plan, vers le haut (opposé à la tendance au glissement). - Aucune autre force. > À retenir : Sur un plan incliné, le poids se décompose en deux composantes : parallèle au plan (\( mg\sin\theta \)) et perpendiculaire (\( mg\cos\theta \)). La réaction normale équilibre la composante perpendiculaire du poids. Le frottement statique s'ajuste pour opposer la tendance au glissement, jusqu'à sa valeur maximale \( \mu_s N \). #### Exercice d'application 1 : Corrigé Un objet de masse \( 10 \, \text{kg} \) est placé sur un plan horizontal rugueux. Une force horizontale \( F = 50 \, \text{N} \) est appliquée vers la droite. Le coefficient de frottement statique est \( \mu_s = 0,6 \). L'objet reste au repos. Déterminer la force de frottement statique exercée sur l'objet. **Solution** : - Poids : \( P = mg = 10 \times 9,8 = 98 \, \text{N} \) vers le bas. - Réaction normale : \( N = P = 98 \, \text{N} \) vers le haut (plan horizontal, pas d'accélération verticale). - Frottement statique maximal : \( f_{s,\max} = \mu_s N = 0,6 \times 98 = 58,8 \, \text{N} \). - Force appliquée : \( F = 50 \, \text{N} \) vers la droite. - Comme l'objet est au repos, la somme des forces horizontales est nulle : \( F - f_s = 0 \) → \( f_s = F = 50 \, \text{N} \). - Puisque \( 50 < 58,8 \), le frottement statique peut effectivement fournir cette valeur. - Donc, \( f_s = 50 \, \text{N} \) vers la gauche (opposé à \( F \)). **Réponse** : La force de frottement statique est de \( 50 \, \text{N} \) dirigée vers la gauche. --- ## II. Centre de gravité, centre de masse, diagrammes des forces libres et résultante de forces coplanaires ### Centre de masse et centre de gravité > Le centre de masse d'un système de particules ou d'un corps rigide est le point où l'on peut considérer que toute la masse du système est concentrée pour l'étude du mouvement translationnel. Il est défini par : > $$ \vec{r}_G = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} $$ > où \( m_i \) est la masse de la particule \( i \) et \( \vec{r}_i \) son vecteur position. > Le centre de gravité d'un corps rigide est le point où l'on peut considérer que toute la force de poids du corps est appliquée. Dans un champ de gravité uniforme, le centre de gravité coïncide avec le centre de masse. Pour un corps homogène de forme régulière, le centre de masse se situe au centre géométrique : - Barre uniforme : milieu de la barre. - Disque ou anneau uniforme : centre. - Cube ou pavé droit : intersection des diagonales. - Triangle : intersection des médianes (barycentre). #### Exemple résolu 2 : Centre de masse d'un système de deux masses Deux masses \( m_1 = 3 \, \text{kg} \) et \( m_2 = 5 \, \text{kg} \) sont situées sur l'axe des x aux positions \( x_1 = 2 \, \text{m} \) et \( x_2 = 8 \, \text{m} \). Trouver la position du centre de masse. **Solution** : - \( x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{3 \times 2 + 5 \times 8}{3 + 5} = \frac{6 + 40}{8} = \frac{46}{8} = 5,75 \, \text{m} \). - Le centre de masse est à \( x = 5,75 \, \text{m} \) sur l'axe des x. #### Exemple résolu 3 : Centre de masse d'une barre non uniforme Une barre de longueur \( L = 4 \, \text{m} \) repose sur l'axe des x de \( x=0 \) à \( x=4 \). Sa densité linéaire varie comme \( \lambda(x) = kx \), où \( k \) est une constante. Trouver le centre de masse. **Solution** : - Masse totale : \( M = \int_0^4 \lambda(x) dx = \int_0^4 kx dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = k \cdot \frac{16}{2} = 8k \). - Moment premier par rapport à l'origine : $$ \int_0^4 x \lambda(x) dx = \int_0^4 x \cdot kx dx = k \int_0^4 x^2 dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = k \cdot \frac{64}{3} = \frac{64k}{3} $$ - Donc, $$ x_G = \frac{ \int x \lambda dx }{ \int \lambda dx } = \frac{64k/3}{8k} = \frac{64}{24} = \frac{8}{3} \approx 2,67 \, \text{m} $$ > À retenir : Pour un objet continu, le centre de masse se calcule par intégration : \( \vec{r}_G = \frac{1}{M} \int \vec{r} \, dm \), où \( dm \) est un élément de masse. ### Diagramme des forces libres (Free-Body Diagram) > Un diagramme des forces libres est une représentation schématique d'un objet isolé de son environnement, sur laquelle sont représentées toutes les forces agissant sur cet objet, appliquées à leur point d'application réel, avec leur direction, leur sens et leur intensité (si connue). **Étapes pour construire un FBD** : 1. Isoler l'objet du reste du système. 2. Représenter l'objet sous forme simplifiée (point ou forme géométrique). 3. Identifier et représenter toutes les forces agissant sur l'objet (poids, réactions, tensions, frottements, etc.). 4. Indiquer la direction, le sens et le point d'application de chaque force. 5. Ne pas inclure les forces que l'objet exerce sur l'environnement (principe d'action-réaction). #### Exemple résolu 4 : FBD d'une poulie fixe Une corde passe sur une poulie fixe et sans frottement. À une extrémité, une masse \( m_1 = 4 \, \text{kg} \) est suspendue ; à l'autre, une masse \( m_2 = 6 \, \text{kg} \). Dessiner le FBD de chaque masse et de la poulie. **Solution** : - **Masse \( m_1 \)** : - Poids : \( \vec{P}_1 = m_1 g \) vers le bas. - Tension : \( \vec{T} \) vers le haut (même intensité partout dans la corde idéale). - **Masse \( m_2 \)** : - Poids : \( \vec{P}_2 = m_2 g \) vers le bas. - Tension : \( \vec{T} \) vers le haut. - **Poulie** : - Deux forces de tension vers le bas (chaque brin de corde exerce une force sur la poulie, dirigée le long de la corde vers le bas). - Reaction du axe : force vers le haut pour équilibrer les deux tensions. > À retenir : Dans une corde idéale, inextensible et sans masse, la tension est la même partout. Dans une poulie fixe et sans frottement, la tension est identique des deux côtés. ### Résultante de forces coplanaires concourantes > La résultante de plusieurs forces est une seule force qui produit le même effet que l'ensemble des forces considérées. Pour des forces concourantes (toutes appliquées au même point), la résultante est la somme vectorielle : > $$ \vec{R} = \sum \vec{F}_i $$ Si les forces sont données par leurs composantes : - \( R_x = \sum F_{ix} \) - \( R_y = \sum F_{iy} \) - Alors : $$ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \quad \text{et} \quad \theta = \tan^{-1}\left( \frac{R_y}{R_x} \right) $$ où \( \theta \) est l'angle que \( \vec{R} \) fait avec l'axe des x. #### Exemple résolu 5 : Résultante de trois forces concourantes Trois forces agissent sur un point O : - \( \vec{F}_1 = 10 \, \text{N} \) à \( 0^\circ \) (le long de +x), - \( \vec{F}_2 = 15 \, \text{N} \) à \( 90^\circ \) (le long de +y), - \( \vec{F}_3 = 20 \, \text{N} \) à \( 180^\circ \) (le long de -x). Trouver la résultante. **Solution** : - Composantes x : - \( F_{1x} = 10 \cos 0^\circ = 10 \, \text{N} \) - \( F_{2x} = 15 \cos 90^\circ = 0 \, \text{N} \) - \( F_{3x} = 20 \cos 180^\circ = 20 \times (-1) = -20 \, \text{N} \) - \( R_x = 10 + 0 - 20 = -10 \, \text{N} \) - Composantes y : - \( F_{1y} = 10 \sin 0^\circ = 0 \, \text{N} \) - \( F_{2y} = 15 \sin 90^\circ = 15 \, \text{N} \) - \( F_{3y} = 20 \sin 180^\circ = 0 \, \text{N} \) - \( R_y = 0 + 15 + 0 = 15 \, \text{N} \) - Intensité de la résultante : $$ R = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} \approx 18,03 \, \text{N} $$ - Direction : $$ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{15}{-10} \right) = \tan^{-1}(-1,5) $$ Comme \( R_x < 0 \) et \( R_y > 0 \), le vecteur est dans le deuxième quadrant → $$ \theta = 180^\circ + \tan^{-1}(-1,5) = 180^\circ - 56,31^\circ = 123,69^\circ $$ (ou directement \( \theta = 180^\circ - \tan^{-1}(1,5) \approx 123,7^\circ \) par rapport à +x). **Réponse** : La résultante a une intensité d'environ \( 18,0 \, \text{N} \) et est dirigée à \( 123,7^\circ \) par rapport à l'axe des x positif. #### Exercice d'application 2 : Corrigé Deux forces agissent sur un point : \( \vec{F}_1 = 8 \, \text{N} \) à \( 30^\circ \) au-dessus de l'axe des x, et \( \vec{F}_2 = 12 \, \text{N} \) à \( 120^\circ \) par rapport à l'axe des x positif. Trouver la résultante. **Solution** : - \( F_{1x} = 8 \cos 30^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6,928 \, \text{N} \) - \( F_{1y} = 8 \sin 30^\circ = 8 \times 0,5 = 4 \, \text{N} \) - \( F_{2x} = 12 \cos 120^\circ = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6 \, \text{N} \) - \( F_{2y} = 12 \sin 120^\circ = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10,392 \, \text{N} \) - \( R_x = 6,928 - 6 = 0,928 \, \text{N} \) - \( R_y = 4 + 10,392 = 14,392 \, \text{N} \) - \( R = \sqrt{(0,928)^2 + (14,392)^2} \approx \sqrt{0,861 + 207,13} \approx \sqrt{207,99} \approx 14,42 \, \text{N} \) - \( \theta = \tan^{-1}\left( \frac{14,392}{0,928} \right) \approx \tan^{-1}(15,51) \approx 86,3^\circ \) **Réponse** : La résultante est d'environ \( 14,4 \, \text{N} \) dirigée à \( 86,3^\circ \) par rapport à l'axe des x positif. --- ## III. Moment d'une force, couples et équilibre d'un objet soumis à des forces coplanaires ### Moment d'une force par rapport à un point > Le moment d'une force \( \vec{F} \) appliquée en un point P par rapport à un point O est défini comme le produit vectoriel : > $$ \vec{M}_O = \vec{OP} \times \vec{F} $$ > Son intensité est donnée par : > $$ M_O = OP \cdot F \cdot \sin\theta $$ > où \( \theta \) est l'angle entre les vecteurs \( \vec{OP} \) et \( \vec{F} \). > Le moment mesure la tendance de la force à faire tourner le corps autour de l'axe passant par O et perpendiculaire au plan formé par \( \vec{OP} \) et \( \vec{F} \). > Le moment est positif s'il tend à produire une rotation dans le sens trigonométrique (antihoraire), négatif dans le sens horaire (par convention). #### Exemple résolu 6 : Moment d'une force Une force de \( 20 \, \text{N} \) est appliquée à l'extrémité d'une clé de longueur \( 0,3 \, \text{m} \), faisant un angle de \( 60^\circ \) avec la clé. Calculer le moment de cette force par rapport au boulon situé à l'autre extrémité de la clé. **Solution** : - \( r = 0,3 \, \text{m} \), \( F = 20 \, \text{N} \), \( \theta = 60^\circ \) - \( M = r F \sin\theta = 0,3 \times 20 \times \sin 60^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5,196 \, \text{N·m} \) - Comme la force tend à tourner la clé dans le sens antihoraire (si appliquée vers le haut et à droite), le moment est positif. **Réponse** : Le moment est d'environ \( 5,20 \, \text{N·m} \) dans le sens antihoraire. #### Exercice d'application 3 : Corrigé Une force de \( 15 \, \text{N} \) est appliquée perpendiculairement à une barre de longueur \( 0,5 \, \text{m} \) située horizontalement. Calculer le moment de cette force par rapport à l'extrémité gauche de la barre, si la force est appliquée à l'extrémité droite et dirigée vers le bas. **Solution** : - La force est perpendiculaire à la barre → \( \theta = 90^\circ \), \( \sin\theta = 1 \) - \( r = 0,5 \, \text{m} \), \( F = 15 \, \text{N} \) - \( M = r F \sin\theta = 0,5 \times 15 \times 1 = 7,5 \, \text{N·m} \) - La force vers le bas à l'extrémité droite tend à faire tourner la barre dans le sens horaire autour de l'extrémité gauche → moment négatif par convention. - Donc, \( M = -7,5 \, \text{N·m} \) (ou \( 7,5 \, \text{N·m} \) dans le sens horaire). **Réponse** : Le moment est de \( 7,5 \, \text{N·m} \) dans le sens horaire. ### Couple de forces > Un couple est formé par deux forces égales en intensité, parallèles, de sens opposé, et non alignées. Le moment d'un couple est indépendant du point de référence et est donné par : > $$ M = F \cdot d $$ > où \( d \) est le bras de levier (distance perpendiculaire entre les droites d'action des deux forces). > Le moment d'un couple est pur : il ne produit aucune force résultante, seulement une tendance à faire tourner le corps. #### Exemple résolu 7 : Moment d'un couple Deux forces de \( 25 \, \text{N} \) chacune agissent sur une roue : l'une vers le haut au point le plus à gauche, l'autre vers le bas au point le plus à droite. Le diamètre de la roue est \( 0,4 \, \text{m} \). Calculer le moment du couple. **Solution** : - Les forces sont égales, parallèles, sens opposé. - La distance perpendiculaire entre leurs droites d'action est le diamètre : \( d = 0,4 \, \text{m} \). - \( M = F \cdot d = 25 \times 0,4 = 10 \, \text{N·m} \) - Le couple tend à faire tourner la roue dans le sens antihoraire (si la force de gauche pousse vers le haut et celle de droite tire vers le bas) → moment positif. **Réponse** : Le moment du couple est \( 10 \, \text{N·m} \) dans le sens antihoraire. ### Équilibre d'un objet rigide soumis à des forces coplanaires > Un objet rigide est en équilibre sous l'action de forces coplanaires si et seulement si : > 1. La somme vectorielle de toutes les forces est nulle : \( \sum \vec{F} = 0 \) (équilibre translationnel). > 2. La somme des moments de toutes les forces par rapport à n'importe quel point est nulle : \( \sum \vec{M}_O = 0 \) (équilibre rotationnel). Ces deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre statique d'un corps rigide dans un plan. #### Exemple résolu 8 : Équilibre d'une échelle Une échelle uniforme de longueur \( L = 5 \, \text{m} \) et de masse \( m = 10 \, \text{kg} \) repose contre un mur vertical lisse et sur un sol horizontal rugueux. L'échelle fait un angle \( \theta = 60^\circ \) avec le sol. Déterminer : a) La réaction normale du sol. b) La réaction normale du mur. c) La force de frottement au sol. **Solution** : Forces agissant sur l'échelle : - Poids \( \vec{P} = mg = 10 \times 9,8 = 98 \, \text{N} \), appliqué au centre de l'échelle (milieu, à \( L/2 = 2,5 \, \text{m} \) du bas). - Réaction normale du sol \( \vec{N}_s \) : verticale, vers le haut, au point de contact avec le sol. - Réaction normale du mur \( \vec{N}_m \) : horizontale, vers la gauche (mur lisse → pas de frottement), au point de contact avec le mur. - Frottement au sol \( \vec{f} \) : horizontal, vers la droite (oppose la tendance à glisser vers la gauche), au point de contact avec le sol. **Équilibre translationnel** : - Selon x (horizontal) : \( N_m - f = 0 \) → \( N_m = f \) ...(1) - Selon y (vertical) : \( N_s - P = 0 \) → \( N_s = P = 98 \, \text{N} \) ...(2) **Équilibre rotationnel** : prendre le moment par rapport au point de contact avec le sol (élimine \( N_s \) et \( f \)). - Moment du poids : le poids agit à mi-hauteur. Le bras de levier perpendiculaire au poids est la distance horizontale du point d'appui au poids : Le poids est vertical → son moment par rapport au bas est : \( P \times \) (distance horizontale du bas au poids). La position du poids : à \( 2,5 \, \text{m} \) le long de l'échelle. Sa projection horizontale depuis le bas : \( 2,5 \cos\theta = 2,5 \times \cos 60^\circ = 2,5 \times 0,5 = 1,25 \, \text{m} \). Le poids tend à faire tourner l'échelle dans le sens horaire autour du bas → moment négatif : \( -P \times 1,25 \). - Moment de \( N_m \) : appliqué au sommet de l'échelle. Sa direction est horizontale vers la gauche. Le bras de levier perpendiculaire à \( N_m \) est la distance verticale du bas au sommet : \( L \sin\theta = 5 \times \sin 60^\circ = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4,33 \, \text{m} \). \( N_m \) vers la gauche, appliqué en haut → tend à faire tourner l'échelle dans le sens antihoraire autour du bas → moment positif : \( +N_m \times 4,33 \). - Somme des moments nulle : $$ -P \times 1,25 + N_m \times 4,33 = 0 $$ $$ N_m \times 4,33 = 98 \times 1,25 = 122,5 $$ $$ N_m = \frac{122,5}{4,33} \approx 28,29 \, \text{N} $$ - D'après (1) : \( f = N_m = 28,29 \, \text{N} \) - D'après (2) : \( N_s = 98 \, \text{N} \) **Vérification du frottement maximal** : Supposons \( \mu_s \) inconnu, mais on a \( f = 28,29 \, \text{N} \), \( N_s = 98 \, \text{N} \) → \( \mu_s \geq f/N_s = 28,29/98 \approx 0,289 \). Si le sol est suffisamment rugueux, l'équilibre tient. **Réponse** : a) \( N_s = 98 \, \text{N} \) vers le haut, b) \( N_m \approx 28,3 \, \text{N} \) vers la gauche, c) \( f \approx 28,3 \, \text{N} \) vers la droite. > À retenir : Pour résoudre un problème d'équilibre d'un corps rigide, choisir un point de prise de moment qui élimine le plus de forces inconnues (souvent un point où deux forces inconnues agissent). #### Exercice d'application 4 : Corrigé Une poutre uniforme de longueur \( 4 \, \text{m} \) et de masse \( 12 \, \text{kg} \) est soutenue par deux câbles verticaux aux extrémités. Un poids de \( 30 \, \text{N} \) est suspendu à \( 1 \, \text{m} \) de l'extrémité gauche. Trouver la tension dans chaque câble. **Solution** : - Poids de la poutre : \( P_p = m g = 12 \times 9,8 = 117,6 \, \text{N} \), appliqué au milieu (à \( 2 \, \text{m} \) de chaque extrémité). - Poids suspendu : \( P_s = 30 \, \text{N} \), à \( 1 \, \text{m} \) de l'extrémité gauche. - Tensions : \( T_G \) (gauche), \( T_D \) (droite), toutes deux verticales vers le haut. **Équilibre translationnel selon y** : $$ T_G + T_D - P_p - P_s = 0 $$ $$ T_G + T_D = 117,6 + 30 = 147,6 \, \text{N} $$ ...(1) **Équilibre rotationnel** : prendre le moment par rapport à l'extrémité gauche (élimine \( T_G \)). - Moment de \( P_p \) : appliqué à \( 2 \, \text{m} \) du gauche, vers le bas → moment horaire : \( -117,6 \times 2 \) - Moment de \( P_s \) : appliqué à \( 1 \, \text{m} \) du gauche, vers le bas → moment horaire : \( -30 \times 1 \) - Moment de \( T_D \) : appliqué à \( 4 \, \text{m} \) du gauche, vers le haut → moment antihoraire : \( +T_D \times 4 \) - Somme nulle : $$ -117,6 \times 2 - 30 \times 1 + T_D \times 4 = 0 $$ $$ -235,2 - 30 + 4 T_D = 0 $$ $$ 4 T_D = 265,2 $$ $$ T_D = 66,3 \, \text{N} $$ - D'après (1) : \( T_G = 147,6 - 66,3 = 81,3 \, \text{N} \) **Réponse** : Tension dans le câble gauche : \( 81,3 \, \text{N} \) ; dans le câble droit : \( 66,3 \, \text{N} \). --- ## Synthèse du chapitre - Une force est une grandeur vectorielle (intensité, direction, sens, point d'application) qui peut changer l'état de mouvement ou déformer un corps. - Les forces sont de deux natures : de contact (réaction normale, tension, frottement) et à distance (poids, poussée d'Archimède). - Le centre de masse est le point où la masse totale peut être considérée concentrée pour le mouvement translationnel ; dans un champ de gravité uniforme, il coïncide avec le centre de gravité. - Le diagramme des forces libres (FBD) représente toutes les forces agissant sur un objet isolé, essentielle pour l'analyse statique et dynamique. - La résultante de forces coplanaires concourantes se trouve par somme vectorielle des composantes : \( R_x = \sum F_x \), \( R_y = \sum F_y \), puis \( R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \), \( \theta = \tan^{-1}(R_y/R_x) \). - Le moment d'une force par rapport à un point mesure sa tendance à faire tourner le corps : \( M = r F \sin\theta \), avec signe selon le sens de rotation. - Un couple est formé par deux forces égales, parallèles, de sens opposé ; son moment est \( M = F d \), indépendant du point de référence. - Un corps rigide est en équilibre sous des forces coplanaires si : \( \sum \vec{F} = 0 \) et \( \sum \vec{M}_O = 0 \) (pour tout point O). - Ces principes permettent d'analyser des systèmes comme des poulies, des échelles, des poutres, et des mécanismes simples. --- ## Glossaire - **Force** : Interaction pouvant modifier l'état de mouvement ou déformer un corps ; grandeur vectorielle. - **Force de contact** : Force résultant du contact physique entre deux corps (ex. : réaction normale, frottement). - **Force à distance** : Force agissant sans contact matériel, via un champ (ex. : poids, force électrostatique). - **Centre de masse** : Point où l'on peut considérer que toute la masse d'un système est concentrée pour l'étude du mouvement translationnel. - **Centre de gravité** : Point où l'on peut considérer que toute la force de poids d'un corps est appliquée ; coïncide avec le centre de masse dans un champ de gravité uniforme. - **Diagramme des forces libres (FBD)** : Représentation schématique d'un objet isolé montrant toutes les forces agissant sur lui. - **Résultante** : Force unique produisant le même effet qu'un système de forces donné. - **Moment d'une force** : Mesure de la tendance d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe ; \( M = r F \sin\theta \). - **Couple** : Système de deux forces égales, parallèles, de sens opposé, non alignées ; produit un moment pur. - **Équilibre** : État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nulles (au repos ou en mouvement uniforme rectiligne). - **Bras de levier** : Distance perpendiculaire entre le point d'application d'une force et l'axe de rotation, ou entre les droites d'action de deux forces d'un couple. - **Poulie fixe** : Poulie qui ne se déplace pas ; change seulement la direction de la tension dans une corde idéale.