The theory of the firm

# The theory of the firm ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Définir la firme et ses objectifs économiques. - Expliquer les concepts de coût (fixe, variable, total, moyen, marginal) à court et long terme. - Analyser la combinaison optimale des facteurs de production pour minimiser les coûts. - Calculer les recettes (totale, moyenne, marginale) et les profits (comptable et économique). - Déterminer le niveau de production maximisant le profit dans différentes structures de marché (concurrence parfaite, monopole, concurrence monopolistique, oligopole). - Interpréter les courbes d'offre et analyser l'efficacité économique et technique. - Appliquer la théorie de la discrimination des prix et analyser les politiques de tarification des entreprises publiques. - Résoudre des exercices pratiques de calcul de coûts, recettes, profits et représentation graphique. **Prérequis** : Notions de base en microéconomie (offre et demande, élasticité, utilité), capacité à manipuler des fonctions et des graphiques, connaissances élémentaires en algèbre et en calcul différentiel (dérivées de base). --- ## I. TU 56:Lesson48: The firm ### Définition et objectifs de la firme > Une firme est une unité organisationnelle qui emploie des facteurs de production pour produire des biens et services destinés à la vente sur le marché, dans le but de maximiser son profit économique. **Propriétés** : - Prend des décisions de production, d'embauche et d'investissement. - Opère sous contrainte technologique (fonction de production) et financière. - Son objectif principal est la maximisation du profit économique : $\pi = TR - TC$, où $TR$ est le revenu total et $TC$ le coût total. - Dans un contexte de concurrence parfaite, elle est un preneur de prix. **Exemple résolu** : Une firme produit des chaises. Son coût total est donné par $TC = 100 + 5Q + 0,5Q^2$, où $Q$ est la quantité produite. Son revenu total est $TR = 20Q$ (prix de marché fixe à 20 FCFA/unité). Le profit est : $$ \pi = TR - TC = 20Q - (100 + 5Q + 0,5Q^2) = -100 + 15Q - 0,5Q^2 $$ Pour maximiser le profit, on dérivé par rapport à $Q$ : $$ \frac{d\pi}{dQ} = 15 - Q = 0 \Rightarrow Q^* = 15 $$ Vérification du second ordre : $\frac{d^2\pi}{dQ^2} = -1 < 0$ → maximum. Profit à $Q^* = 15$ : $$ \pi = -100 + 15(15) - 0,5(15)^2 = -100 + 225 - 112,5 = 12,5 \text{ FCFA} $$ **Exercice d'application corrigé** : Une firme a pour fonction de coût $TC = 200 + 8Q + 0,2Q^2$ et fait face à un prix de marché de 18 FCFA/unité. 1. Déterminer la quantité maximisant le profit. 2. Calculer le profit à ce niveau. **Correction** : $TR = 18Q$ $\pi = 18Q - (200 + 8Q + 0,2Q^2) = -200 + 10Q - 0,2Q^2$ $\frac{d\pi}{dQ} = 10 - 0,4Q = 0 \Rightarrow Q^* = 25$ $\frac{d^2\pi}{dQ^2} = -0,4 < 0$ → maximum. $\pi = -200 + 10(25) - 0,2(25)^2 = -200 + 250 - 125 = -75$ FCFA (perte, mais c'est le meilleur résultat possible à court terme si $P > AVC$). --- ## II. TU 57:Lesson49: The cost concept ### Types de coûts > Le coût total ($TC$) est la somme du coût fixe ($FC$) et du coût variable ($VC$) : $TC = FC + VC$. **Coût fixe ($FC$)** : Coût qui ne varie pas avec le niveau de production à court terme (ex. loyer, salaires du personnel administratif). **Coût variable ($VC$)** : Coût qui varie directement avec le niveau de production (ex. matières premières, salaires ouvriers). **Coût moyen ($AC$)** : $AC = \frac{TC}{Q}$ **Coût marginal ($MC$)** : $MC = \frac{dTC}{dQ}$ ou approximation $\frac{\Delta TC}{\Delta Q}$ pour des variations discrètes. **Propriétés** : - $FC$ est constant à court terme, nul à long terme (tous les facteurs sont variables). - $VC$ augmente avec $Q$, généralement de façon croissante puis décroissante puis à nouveau croissante (loi des rendements décroissants). - La courbe $MC$ coupe les courbes $AC$ et $AVC$ à leur minimum. - Si $MC < AC$, alors $AC$ diminue ; si $MC > AC$, alors $AC$ augmente. **Exemple résolu** : Une firme a pour fonction de coût total : $TC = 50 + 10Q + Q^2$. 1. Déterminer $FC$, $VC$, $AC$, $MC$. 2. Trouver le niveau de production où $AC$ est minimale. **Correction** : - $FC = 50$ (terme constant) - $VC = 10Q + Q^2$ - $AC = \frac{TC}{Q} = \frac{50}{Q} + 10 + Q$ - $MC = \frac{dTC}{dQ} = 10 + 2Q$ Pour minimiser $AC$, on pose $MC = AC$ : $$ 10 + 2Q = \frac{50}{Q} + 10 + Q $$ Simplification : $$ 2Q = \frac{50}{Q} + Q \Rightarrow Q = \frac{50}{Q} \Rightarrow Q^2 = 50 \Rightarrow Q = \sqrt{50} \approx 7,07 $$ (Vérification : pour $Q < 7,07$, $MC < AC$ → $AC$ diminue ; pour $Q > 7,07$, $MC > AC$ → $AC$ augmente). **Exercice d'application corrigé** : Données de production : | Q | TC (FCFA) | |---|-----------| | 0 | 100 | | 1 | 120 | | 2 | 135 | | 3 | 155 | | 4 | 180 | | 5 | 210 | 1. Calculer $FC$, $VC$, $AC$, $MC$ pour chaque niveau. 2. À quel niveau $AC$ est-elle minimale ? **Correction** : - $FC = TC(0) = 100$ FCFA - $VC = TC - FC$ - $AC = TC / Q$ - $MC \approx \Delta TC / \Delta Q$ (entre deux niveaux successifs) | Q | TC | VC | AC | MC | |---|-----|-----|--------|--------| | 0 | 100 | 0 | - | - | | 1 | 120 | 20 | 120,0 | 20,0 | | 2 | 135 | 35 | 67,5 | 15,0 | | 3 | 155 | 55 | 51,7 | 20,0 | | 4 | 180 | 80 | 45,0 | 25,0 | | 5 | 210 | 110 | 42,0 | 30,0 | $AC$ diminue de $Q=1$ à $Q=5$ (42,0 est la plus petite valeur observée). Comme on n'a pas de données au-delà, on constate que $AC$ est encore décroissante à $Q=5$. Pour trouver le minimum exact, il faudrait une fonction, mais ici, le minimum observé est à $Q=5$. --- ## III. TU 58:Lesson50: Short run costs of production ### Analyse des coûts à court terme > À court terme, au moins un facteur de production est fixe (généralement le capital), tandis que le travail est variable. **Coûts à court terme** : - $FC$ : constant (ex. usine, machines). - $VC$ : varie avec le travail employé. - $TC = FC + VC$ - $AFC = \frac{FC}{Q}$ : coût fixe moyen, toujours décroissant. - $AVC = \frac{VC}{Q}$ : coût variable moyen. - $ATC = AFC + AVC$ : coût total moyen. - $MC = \frac{\Delta TC}{\Delta Q}$ : coût marginal. **Propriétés** : - La courbe $AFC$ est strictement décroissante et tend vers 0 quand $Q \to \infty$. - La courbe $AVC$ est généralement en U : diminue puis augmente (rendements marginaux du travail d'abord croissants puis décroissants). - La courbe $ATC$ est aussi en U, située au-dessus de $AVC$. - La courbe $MC$ coupe $AVC$ et $ATC$ à leur minimum. - Si $MC < AVC$, alors $AVC$ diminue ; si $MC > AVC$, alors $AVC$ augmente (idem pour $ATC$). **Exemple résolu** : Une firme utilise du travail ($L$) comme facteur variable et du capital ($K$) fixe à 10 unités. La fonction de production est $Q = 2L^{0,5}K^{0,5}$. Le salaire est $w = 5$ FCFA/unité de travail, le coût du capital est $r = 2$ FCFA/unité. 1. Exprimer $VC$, $FC$, $TC$ en fonction de $Q$. 2. Déduire $AVC$, $AFC$, $ATC$, $MC$. **Correction** : Comme $K = 10$ fixe : $Q = 2L^{0,5} \cdot 10^{0,5} = 2 \cdot \sqrt{10} \cdot L^{0,5} \approx 6,324 \cdot L^{0,5}$ Donc : $L^{0,5} = \frac{Q}{6,324} \Rightarrow L = \left(\frac{Q}{6,324}\right)^2 \approx 0,025Q^2$ $VC = w \cdot L = 5 \cdot 0,025Q^2 = 0,125Q^2$ $FC = r \cdot K = 2 \cdot 10 = 20$ $TC = FC + VC = 20 + 0,125Q^2$ $AFC = \frac{FC}{Q} = \frac{20}{Q}$ $AVC = \frac{VC}{Q} = 0,125Q$ $ATC = AFC + AVC = \frac{20}{Q} + 0,125Q$ $MC = \frac{dTC}{dQ} = 0,25Q$ Vérification : $MC = 0,25Q$, $AVC = 0,125Q$ → $MC > AVC$ pour tout $Q > 0$, donc $AVC$ est toujours croissante ici (car la fonction de production implique des rendements marginaux du travail décroissants dès le départ, vu l'exposant 0,5 < 1). Minimum de $AVC$ ? Comme $AVC = 0,125Q$ est linéaire et croissante, son minimum est à $Q \to 0^+$, mais pratiquement, on considère $Q>0$. Minimum de $ATC$ : poser $MC = ATC$ : $$ 0,25Q = \frac{20}{Q} + 0,125Q \Rightarrow 0,125Q = \frac{20}{Q} \Rightarrow Q^2 = 160 \Rightarrow Q \approx 12,65 $$ **Exercice d'application corrigé** : Une firme a pour fonction de coût variable $VC = 2Q^2$ et un coût fixe $FC = 50$ FCFA. 1. Calculer $TC$, $AFC$, $AVC$, $ATC$, $MC$. 2. Trouver le niveau de production où $AVC$ est minimale. 3. Trouver le niveau où $ATC$ est minimale. **Correction** : - $TC = 50 + 2Q^2$ - $AFC = \frac{50}{Q}$ - $AVC = \frac{2Q^2}{Q} = 2Q$ - $ATC = \frac{50}{Q} + 2Q$ - $MC = \frac{dTC}{dQ} = 4Q$ 1. $AVC = 2Q$ : fonction linéaire croissante → minimum lorsque $Q \to 0^+$, mais à $Q=0$, non défini. Pour $Q>0$, $AVC$ augmente avec $Q$, donc pas de minimum intérieur ; le plus bas est proche de 0. 2. Pour $ATC$ : poser $MC = ATC$ : $$ 4Q = \frac{50}{Q} + 2Q \Rightarrow 2Q = \frac{50}{Q} \Rightarrow Q^2 = 25 \Rightarrow Q = 5 $$ Vérification : - Pour $Q < 5$, $MC < ATC$ → $ATC$ diminue. - Pour $Q > 5$, $MC > ATC$ → $ATC$ augmente. Donc minimum de $ATC$ à $Q=5$. $ATC(5) = \frac{50}{5} + 2(5) = 10 + 10 = 20$ FCFA. --- ## IV. TU 59:Lesson51: Long run costs of production ### Analyse des coûts à long terme > À long terme, tous les facteurs de production sont variables. La firme peut ajuster son échelle de production (usine, technologie) sans contrainte. **Coût à long terme** : - Pas de coût fixe : tous les coûts sont variables. - $LTC(Q)$ : coût total mínimo pour produire $Q$ unités, en choisissant optimalement tous les facteurs. - $LAC(Q) = \frac{LTC(Q)}{Q}$ : coût moyen à long terme. - $LMC(Q) = \frac{dLTC(Q)}{dQ}$ : coût marginal à long terme. **Propriétés** : - La courbe $LAC$ est enveloppe des courbes $SRAC$ (coût moyen à court terme) pour différentes échelles d'usine. - Elle est généralement en U : - Partie décroissante : économies d'échelle (augmentation de l'échelle entraîne une baisse plus que proportionnelle du coût moyen). - Partie constante : rendements constants à l'échelle. - Partie croissante : diseconomies d'échelle (augmentation de l'échelle entraîne une hausse plus que proportionnelle du coût moyen). - $LMC$ coupe $LAC$ à son minimum. - Si $LAC$ diminue → économies d'échelle ; si $LAC$ constante → rendements constants ; si $LAC$ augmente → diseconomies d'échelle. **Exemple résolu** : Une firme peut choisir entre deux procédés de production : - Procédé A : $LTC_A = 100 + 2Q + 0,1Q^2$ - Procédé B : $LTC_B = 200 + Q + 0,05Q^2$ Déterminer pour quels niveaux de production chaque procédé est optimal, et tracer la courbe $LAC$ à long terme. **Correction** : On compare $LTC_A$ et $LTC_B$ : $$ LTC_A < LTC_B \iff 100 + 2Q + 0,1Q^2 < 200 + Q + 0,05Q^2 $$ $$ \iff 0,05Q^2 + Q - 100 < 0 $$ Résolution de l'équation $0,05Q^2 + Q - 100 = 0$ : Discriminant : $\Delta = 1^2 - 4(0,05)(-100) = 1 + 20 = 21$ $Q = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 0,05} = \frac{-1 \pm 4,583}{0,1}$ Racine positive : $Q = \frac{3,583}{0,1} = 35,83$ Donc : - Pour $Q < 35,83$ : $LTC_A < LTC_B$ → procédé A optimal. - Pour $Q > 35,83$ : $LTC_B < LTC_A$ → procédé B optimal. - À $Q = 35,83$ : indifférence. La courbe $LAC$ à long terme est formée par : - $LAC_A = \frac{100}{Q} + 2 + 0,1Q$ pour $Q \leq 35,83$ - $LAC_B = \frac{200}{Q} + 1 + 0,05Q$ pour $Q \geq 35,83$ Vérification du minimum de chaque branche : Pour $LAC_A$ : poser $\frac{d}{dQ}LAC_A = -\frac{100}{Q^2} + 0,1 = 0 \Rightarrow Q^2 = 1000 \Rightarrow Q \approx 31,62$ (dans l'intervalle $[0,35,83]$ → valide) Pour $LAC_B$ : $-\frac{200}{Q^2} + 0,05 = 0 \Rightarrow Q^2 = 4000 \Rightarrow Q \approx 63,25$ (dans $[35,83, \infty)$ → valide) Mais comme on change de procédé à $Q=35,83$, la $LAC$ globale peut avoir un point de non-dérivabilité là, mais reste continue. **Exercice d'application corrigé** : Une firme a accès à trois procédés : - Procédé 1 : $LTC_1 = 80 + 3Q + 0,2Q^2$ - Procédé 2 : $LTC_2 = 150 + 2Q + 0,1Q^2$ - Procédé 3 : $LTC_3 = 300 + Q + 0,05Q^2$ Déterminer les intervalles d'optimalité de chaque procédé et la forme de la courbe $LAC$ à long terme. **Correction** : On compare deux à deux. **1 vs 2** : $LTC_1 < LTC_2 \iff 80 + 3Q + 0,2Q^2 < 150 + 2Q + 0,1Q^2 \iff 0,1Q^2 + Q - 70 < 0$ $\Delta = 1 + 28 = 29 \Rightarrow Q = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{0,2} \approx \frac{-1 \pm 5,385}{0,2}$ Racine positive : $Q = \frac{4,385}{0,2} = 21,925$ → Pour $Q < 21,925$ : 1 meilleur que 2 → Pour $Q > 21,925$ : 2 meilleur que 1 **2 vs 3** : $LTC_2 < LTC_3 \iff 150 + 2Q + 0,1Q^2 < 300 + Q + 0,05Q^2 \iff 0,05Q^2 + Q - 150 < 0$ $\Delta = 1 + 30 = 31 \Rightarrow Q = \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{0,1} \approx \frac{-1 \pm 5,568}{0,1}$ Racine positive : $Q = \frac{4,568}{0,1} = 45,68$ → Pour $Q < 45,68$ : 2 meilleur que 3 → Pour $Q > 45,68$ : 3 meilleur que 2 **1 vs 3** : $LTC_1 < LTC_3 \iff 80 + 3Q + 0,2Q^2 < 300 + Q + 0,05Q^2 \iff 0,15Q^2 + 2Q - 220 < 0$ $\Delta = 4 + 132 = 136 \Rightarrow Q = \frac{-2 \pm \sqrt{136}}{0,3} \approx \frac{-2 \pm 11,66}{0,3}$ Racine positive : $Q = \frac{9,66}{0,3} = 32,2$ → Pour $Q < 32,2$ : 1 meilleur que 3 → Pour $Q > 32,2$ : 3 meilleur que 1 Synthèse : - Pour $Q < 21,925$ : comparer 1 et 2 → 1 meilleur que 2 ; comparer 1 et 3 → pour $Q<32,2$, 1 meilleur que 3 → donc **procédé 1 optimal**. - Pour $21,925 < Q < 32,2$ : - 2 meilleur que 1 (de 1vs2) - 1 meilleur que 3 (de 1vs3, car $Q<32,2$) → mais on sait que 2 meilleur que 1, donc comparer 2 et 3 : pour $Q<45,68$, 2 meilleur que 3 → donc **procédé 2 optimal**. - Pour $32,2 < Q < 45,68$ : - 2 meilleur que 1 (1vs2) - 3 meilleur que 1 (1vs3, car $Q>32,2$) - Comparer 2 et 3 : pour $Q<45,68$, 2 meilleur que 3 → donc **procédé 2 optimal**. - Pour $Q > 45,68$ : - 2 meilleur que 1 (1vs2) - 3 meilleur que 2 (2vs3) - 3 meilleur que 1 (1vs3) → donc **procédé 3 optimal**. Attention : il y a un recouvrement. On doit faire un tableau de dominance. En fait, mieux : évaluer à des points clés. À $Q=0$ : LTC1=80, LTC2=150, LTC3=300 → 1 meilleur. À $Q=20$ : LTC1=80+60+80=220 LTC2=150+40+40=230 LTC3=300+20+20=340 → 1 meilleur. À $Q=25$ : LTC1=80+75+125=280 LTC2=150+50+62,5=262,5 LTC3=300+25+31,25=356,25 → 2 meilleur. À $Q=40$ : LTC1=80+120+320=520 LTC2=150+80+160=390 LTC3=300+40+80=420 → 2 meilleur. À $Q=50$ : LTC1=80+150+500=730 LTC2=150+100+250=500 LTC3=300+50+125=475 → 3 meilleur. Donc : - $Q < \approx 22$ : procédé 1 optimal - $22 \leq Q < \approx 46$ : procédé 2 optimal - $Q \geq \approx 46$ : procédé 3 optimal La courbe $LAC$ est formée par : - Branche 1 : $LAC_1 = \frac{80}{Q} + 3 + 0,2Q$ pour $Q \leq 22$ - Branche 2 : $LAC_2 = \frac{150}{Q} + 2 + 0,1Q$ pour $22 \leq Q \leq 46$ - Branche 3 : $LAC_3 = \frac{300}{Q} + 1 + 0,05Q$ pour $Q \geq 46$ --- ## V. TU 60:Lesson52: The least cost combination of factors ### Règle du moindre coût > Pour produire une quantité donnée $Q$ au moindre coût, la firme doit employer les facteurs de manière à ce que le taux de substitution technique marginal (TSTM) soit égal au rapport des prix des facteurs : $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$, où $MP_L$ et $MP_K$ sont les produits marginaux du travail et du capital, $w$ le salaire, $r$ le coût du capital. **Explication** : - Le TSTM mesure la quantité de capital que l'on peut remplacer par une unité supplémentaire de travail tout en maintenant le même niveau de production : $TSTM = -\frac{dK}{dL} \bigg|_{Q=cst} = \frac{MP_L}{MP_K}$. - Pour minimiser le coût $C = wL + rK$ sous contrainte de production $Q = f(L,K)$, on utilise le multiplicateur de Lagrange. - La condition du premier ordre donne : $\frac{MP_L}{w} = \frac{MP_K}{r}$, ce qui est équivalent à $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$. - Cette condition signifie que le dernier franc dépensé en travail doit rapporter autant de production que le dernier franc dépensé en capital. **Propriétés** : - Si $\frac{MP_L}{w} > \frac{MP_K}{r}$, alors la firme devrait utiliser plus de travail et moins de capital pour réduire le coût tout en maintenant la production. - L'équilibre se atteint lorsque les rendements marginaux par franc dépensé sont égaux pour tous les facteurs. - Cette règle vaut aussi pour plus de deux facteurs : $\frac{MP_i}{p_i} = \frac{MP_j}{p_j}$ pour tous $i,j$. **Exemple résolu** : Une firme a pour fonction de production $Q = L^{0,5} K^{0,5}$. Le salaire est $w = 4$ FCFA, le coût du capital est $r = 1$ FCFA. 1. Déterminer la combinaison optimale de $L$ et $K$ pour produire $Q = 20$ unités au moindre coût. 2. Calculer le coût minimal. **Correction** : Produits marginaux : $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 0,5 L^{-0,5} K^{0,5} = 0,5 \sqrt{\frac{K}{L}}$ $MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 0,5 L^{0,5} K^{-0,5} = 0,5 \sqrt{\frac{L}{K}}$ Donc : $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{0,5 \sqrt{K/L}}{0,5 \sqrt{L/K}} = \frac{K}{L}$ Règle du moindre coût : $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r} \Rightarrow \frac{K}{L} = \frac{4}{1} = 4 \Rightarrow K = 4L$ Contrainte de production : $Q = L^{0,5} K^{0,5} = L^{0,5} (4L)^{0,5} = L^{0,5} \cdot 2 L^{0,5} = 2L = 20$ Donc : $2L = 20 \Rightarrow L = 10$ Puis : $K = 4L = 40$ Coût total : $C = wL + rK = 4 \cdot 10 + 1 \cdot 40 = 40 + 40 = 80$ FCFA Vérification : $\frac{MP_L}{w} = \frac{0,5 \sqrt{40/10}}{4} = \frac{0,5 \cdot 2}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$ $\frac{MP_K}{r} = \frac{0,5 \sqrt{10/40}}{1} = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ → égaux. **Exercice d'application corrigé** : Une firme utilise du travail ($L$) et des matières premières ($M$) avec une fonction de production $Q = 2L^{0,3} M^{0,7}$. Les prix sont $p_L = 10$ FCFA/unité de travail et $p_M = 5$ FCFA/unité de matière première. 1. Déterminer la condition d'optimalité pour la combinaison des facteurs. 2. Pour produire $Q = 50$ unités, trouver $L$ et $M$ optimaux. 3. Calculer le coût minimal. **Correction** : Produits marginaux : $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 2 \cdot 0,3 L^{-0,7} M^{0,7} = 0,6 \frac{M^{0,7}}{L^{0,7}}$ $MP_M = \frac{\partial Q}{\partial M} = 2 \cdot 0,7 L^{0,3} M^{-0,3} = 1,4 \frac{L^{0,3}}{M^{0,3}}$ Rapport : $\frac{MP_L}{MP_M} = \frac{0,6 M^{0,7} / L^{0,7}}{1,4 L^{0,3} / M^{0,3}} = \frac{0,6}{1,4} \cdot \frac{M^{0,7} M^{0,3}}{L^{0,7} L^{0,3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{M}{L}$ Condition d'optimalité : $\frac{MP_L}{MP_M} = \frac{p_L}{p_M} \Rightarrow \frac{3}{7} \cdot \frac{M}{L} = \frac{10}{5} = 2$ Donc : $\frac{M}{L} = 2 \cdot \frac{7}{3} = \frac{14}{3} \approx 4,6667 \Rightarrow M = \frac{14}{3} L$ Contrainte de production : $Q = 2 L^{0,3} M^{0,7} = 2 L^{0,3} \left(\frac{14}{3} L\right)^{0,7} = 2 L^{0,3} \cdot \left(\frac{14}{3}\right)^{0,7} \cdot L^{0,7} = 2 \left(\frac{14}{3}\right)^{0,7} L$ Calcul numérique : $\left(\frac{14}{3}\right)^{0,7} \approx (4,6667)^{0,7}$ $\ln(4,6667) \approx 1,540$, fois 0,7 → 1,078, exp → $\approx 2,938$ Donc : $Q = 2 \cdot 2,938 \cdot L \approx 5,876 L = 50$ → $L \approx \frac{50}{5,876} \approx 8,51$ → $M = \frac{14}{3} \cdot 8,51 \approx 39,70$ Coût total : $C = p_L L + p_M M = 10 \cdot 8,51 + 5 \cdot 39,70 = 85,1 + 198,5 = 283,6$ FCFA Vérification du rapport des produits marginaux par franc : $MP_L = 0,6 \cdot \frac{M^{0,7}}{L^{0,7}} = 0,6 \cdot \left(\frac{M}{L}\right)^{0,7} = 0,6 \cdot \left(\frac{14}{3}\right)^{0,7} \approx 0,6 \cdot 2,938 \approx 1,763$ $\frac{MP_L}{p_L} = \frac{1,763}{10} = 0,1763$ $MP_M = 1,4 \cdot \frac{L^{0,3}}{M^{0,3}} = 1,4 \cdot \left(\frac{L}{M}\right)^{0,3} = 1,4 \cdot \left(\frac{3}{14}\right)^{0,3}$ $\left(\frac{3}{14}\right)^{0,3} \approx (0,2143)^{0,3}$, $\ln(0,2143)\approx -1,540$, fois 0,3 → -0,462, exp → $\approx 0,630$ → $MP_M \approx 1,4 \cdot 0,630 = 0,882$ $\frac{MP_M}{p_M} = \frac{0,882}{5} = 0,1764$ → égaux (arrondi). ---