C.A.4 : Maitrise des comportements individuels

# C.A.4 : Maitrise des comportements individuels ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de cette séance, l’élève sera capable de : - Définir l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné. - Interpréter géométriquement l’intégrale comme aire sous la courbe. - Calculer des intégrales définies à l’aide du théorème fondamental du calcul. - Appliquer l’intégration à des problèmes concrets (aires, volumes, travail, probabilités). - Utiliser les propriétés de linéarité, d’additivité et de changement de variable. - Résoudre des exercices d’application en justifiant chaque étape. **Prérequis** : - Maîtrise de la dérivation (règles de dérivation, dérivées usuelles). - Connaissance des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques). - Notion de limite et de continuité. - Capacité à manipuler des expressions algébriques et à résoudre des équations simples. - Familiarité avec la notation des intervalles et des fonctions paires/impaires. --- ## Introduction L’intégration est l’opération inverse de la dérivation. Elle permet de reconstruire une fonction à partir de sa dérivée, mais aussi de quantifier des grandeurs physiques ou géométriques accumulées sur un intervalle : aire sous une courbe, distance parcourue sachant la vitesse, travail d’une force, probabilité dans une loi continue, etc. En Terminale, l’intégrale définie est introduite de manière rigoureuse via le théorème fondamental du calcul, qui relie dérivation et intégration. Cette séance vise à maîtriser le calcul des intégrales définies pour des fonctions continues, en s’appuyant sur des propriétés fondamentales et des techniques de calcul (linéarité, changement de variable, intégration par parties dans certains cas simples). L’accent est mis sur la résolution d’exercices concrets, avec justification écrite et interprétation géométrique ou physique. --- ## I. Apprentissage de l’intégration ### A. Définition de l’intégrale définie > **Définition** : Soit $ f $ une fonction continue sur l’intervalle fermé et borné $ [a, b] $. L’intégrale définie de $ f $ de $ a $ à $ b $, notée $ \int_a^b f(x) \, dx $, est le nombre réel égal à la limite des sommes de Riemann lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro, lorsqu’elle existe. Elle représente l’aire algébrique délimitée par la courbe $ y = f(x) $, l’axe des $ x $, et les droites $ x = a $ et $ x = b $. **Propriétés fondamentales** : 1. **Linéralité** : Pour tout $ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ et fonctions $ f, g $ continues sur $ [a, b] $, $$ \int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) \, dx = \lambda \int_a^b f(x) \, dx + \mu \int_a^b g(x) \, dx. $$ 2. **Additivité par rapport à l’intervalle** : Si $ c \in [a, b] $, alors $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx. $$ 3. **Inversion des bornes** : $$ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx. $$ 4. **Positivité** : Si $ f(x) \geq 0 $ sur $ [a, b] $, alors $ \int_a^b f(x) \, dx \geq 0 $. 5. **Majoration** : Si $ m \leq f(x) \leq M $ sur $ [a, b] $, alors $$ m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a). $$ > **À retenir** : L’intégrale définie est un nombre réel (pas une fonction), elle est additive, linéaire, et sensible à l’orientation de l’intervalle. **Exemple résolu 1** : Calculer $ \int_0^2 (3x^2 + 4x - 1) \, dx $. **Étapes** : 1. Appliquer la linéarité : $$ \int_0^2 (3x^2 + 4x - 1) \, dx = 3\int_0^2 x^2 \, dx + 4\int_0^2 x \, dx - \int_0^2 1 \, dx. $$ 2. Calculer chaque intégrale séparément : - $ \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} $, - $ \int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2 $, - $ \int_0^2 1 \, dx = \left[ x \right]_0^2 = 2 - 0 = 2 $. 3. Combiner : $$ 3 \cdot \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 - 2 = 8 + 8 - 2 = 14. $$ **Réponse** : $ \boxed{14} $. **Exercice d’application 1** : Calculer $ \int_{-1}^1 (2x^3 - 5x + 3) \, dx $. **Corrigé** : - $ \int_{-1}^1 2x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^1 = 2 \cdot \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) = 0 $ (fonction impaire sur intervalle symétrique), - $ \int_{-1}^1 (-5x) \, dx = -5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1 = -5 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0 $, - $ \int_{-1}^1 3 \, dx = 3 \cdot [x]_{-1}^1 = 3 \cdot (1 - (-1)) = 6 $. **Réponse** : $ \boxed{6} $. --- ### B. Théorème fondamental du calcul > **Théorème fondamental du calcul (partie 2)** : Soit $ f $ une fonction continue sur $ [a, b] $, et soit $ F $ une primitive de $ f $ sur $ [a, b] $ (c’est-à-dire $ F'(x) = f(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $). Alors > $$ > \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a). > $$ **Conséquence** : Pour calculer une intégrale définie, il suffit de trouver une primitive de la fonction intégrande, puis de l’évaluer aux bornes. **Primitives usuelles** (à connaître) : - $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ pour $ n \neq -1 $, - $ \int e^x \, dx = e^x + C $, - $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $, - $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $, - $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $, - $ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $. > **À retenir** : Le théorème fondamental du calcul permet de passer du calcul d’une intégrale (opération de somme) à l’évaluation d’une primitive (opération de dérivation inverse). C’est le lien profond entre intégrale et dérivée. **Exemple résolu 2** : Calculer $ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx $. **Étapes** : 1. Primitive de $ \frac{1}{x} $ est $ \ln|x| $. 2. Appliquer le théorème fondamental : $$ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4 - 0 = \ln 4. $$ **Réponse** : $ \boxed{\ln 4} $. **Exercice d’application 2** : Calculer $ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx $. **Corrigé** : - Primitive de $ \sin x $ est $ -\cos x $, - $ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2)) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1 $. **Réponse** : $ \boxed{1} $. --- ### C. Changement de variable (substitution) > **Règle du changement de variable** : Soit $ f $ continue sur $ [a, b] $, et soit $ \phi $ une fonction dérivable sur un intervalle contenant $ [a, b] $, telle que $ \phi' $ soit continue. Alors > $$ > \int_a^b f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, du. > $$ > En pratique, on pose $ u = \phi(x) $, donc $ du = \phi'(x) dx $, et on change les bornes : quand $ x = a $, $ u = \phi(a) $ ; quand $ x = b $, $ u = \phi(b) $. **Exemple résolu 3** : Calculer $ \int_0^1 2x e^{x^2} \, dx $. **Étapes** : 1. On remarque que la dérivée de $ x^2 $ est $ 2x $, qui apparaît dans l’intégrande. 2. Poser $ u = x^2 $, donc $ du = 2x \, dx $. 3. Quand $ x = 0 $, $ u = 0 $ ; quand $ x = 1 $, $ u = 1 $. 4. Substituer : $$ \int_0^1 2x e^{x^2} \, dx = \int_{u=0}^{u=1} e^u \, du = \left[ e^u \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1. $$ **Réponse** : $ \boxed{e - 1} $. **Exercice d’application 3** : Calculer $ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cos(x^2) \, dx $. **Corrigé** : - Poser $ u = x^2 $, $ du = 2x \, dx $, donc $ x \, dx = \frac{1}{2} du $. - Bornes : $ x = 0 \Rightarrow u = 0 $ ; $ x = \sqrt{\pi} \Rightarrow u = \pi $. - Intégrale devient : $$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cos(x^2) \, dx = \int_0^{\pi} \cos(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos u \, du = \frac{1}{2} \left[ \sin u \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0. $$ **Réponse** : $ \boxed{0} $. --- ### D. Intégration par parties (cas simples) > **Formule d’intégration par parties** : Pour deux fonctions dérivables $ u $ et $ v $ sur $ [a, b] $, > $$ > \int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx. > $$ > On choisit $ u $ comme une fonction qui se simplifie en dérivant (logarithme, polynôme), et $ v' $ comme une fonction facile à intégrer (exponentielle, trigonométrique). **Exemple résolu 4** : Calculer $ \int_0^1 x e^x \, dx $. **Étapes** : 1. Choisir $ u = x $, $ dv = e^x dx $, donc $ du = dx $, $ v = e^x $. 2. Appliquer la formule : $$ \int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - \left[ e^x \right]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1. $$ **Réponse** : $ \boxed{1} $. **Exercice d’application 4** : Calculer $ \int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx $. **Corrigé** : - $ u = x $, $ dv = \cos x \, dx $ → $ du = dx $, $ v = \sin x $, - $ \int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = \left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0 \right) - \left[ -\cos x \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - ( -\cos(\pi/2) + \cos 0 ) = \frac{\pi}{2} - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 $. **Réponse** : $ \boxed{\dfrac{\pi}{2} - 1} $. --- ### E. Applications géométriques et physiques > **Aire entre deux courbes** : Si $ f $ et $ g $ sont continues sur $ [a, b] $ et $ f(x) \geq g(x) $ sur $ [a, b] $, alors l’aire du domaine délimité par les deux courbes et les droites $ x = a $, $ x = b $ est > $$ > A = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) \, dx. > $$ > **Volume de révolution** : Le volume du solide obtenu en faisant tourner la courbe $ y = f(x) \geq 0 $ autour de l’axe des $ x $, entre $ x = a $ et $ x = b $, est > $$ > V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx. > $$ > **Travail d’une force variable** : Si une force $ F(x) $ agit sur un objet le long de l’axe des $ x $, le travail effectué pour le déplacer de $ x = a $ à $ x = b $ est > $$ > W = \int_a^b F(x) \, dx. > $$ **Exemple résolu 5 (aire)** : Trouver l’aire entre les courbes $ y = x^2 $ et $ y = x $ sur $ [0, 1] $. **Étapes** : 1. Trouver les points d’intersection : $ x^2 = x \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0 $ ou $ x=1 $. 2. Sur $ [0,1] $, $ x \geq x^2 $, donc $ f(x) = x $, $ g(x) = x^2 $. 3. Aire : $$ A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{6}. $$ **Réponse** : $ \boxed{\dfrac{1}{6}} $. **Exercice d’application 5 (volume)** : Calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner la courbe $ y = \sqrt{x} $ autour de l’axe des $ x $, entre $ x = 0 $ et $ x = 4 $. **Corrigé** : - $ [f(x)]^2 = (\sqrt{x})^2 = x $, - $ V = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi $. **Réponse** : $ \boxed{8\pi} $. --- ## Synthèse du chapitre - L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ d’une fonction continue $ f $ sur $ [a, b] $ est un nombre réel représentant l’aire algébrique sous la courbe. - Elle satisfait la linéarité, l’additivité par intervalles, et l’inversion des bornes change le signe. - Le théorème fondamental du calcul permet de calculer $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $, où $ F $ est toute primitive de $ f $. - Le changement de variable $ u = \phi(x) $ transforme $ \int f(\phi(x))\phi'(x)dx $ en $ \int f(u)du $, avec changement des bornes. - L’intégration par parties : $ \int u v' = [uv] - \int u'v $, utile pour les produits de polynômes avec exponentielles ou trigonométriques. - Applications : aire entre deux courbes $ \int_a^b (f-g) $, volume de révolution $ \pi \int_a^b [f]^2 $, travail $ \int_a^b F(x)dx $. - Les primitives usuelles (puissances, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) sont essentielles pour appliquer le théorème fondamental. - La vérification par dérivation du résultat est une bonne pratique pour s’assurer de la justesse du calcul. --- ## Glossaire - **Intégrale définie** : Nombre réel obtenu comme limite des sommes de Riemann, représentant l’aire algébrique sous une courbe sur un intervalle. - **Primitive** : Fonction $ F $ telle que $ F'(x) = f(x) $ pour tout $ x $ dans un intervalle ; elle est définie à une constante additive près. - **Théorème fondamental du calcul** : Établit que l’intégrale définie d’une fonction continue est égale à la différence de ses primitives aux bornes. - **Changement de variable** : Technique de substitution $ u = \phi(x) $ permettant de simplifier une intégrale en transformant le différentiel et les bornes. - **Intégration par parties** : Formule dérivée de la règle du produit pour décomposer l’intégrale d’un produit en une intégrale plus simple. - **Aire entre deux courbes** : Surface délimitée par deux fonctions $ f $ et $ g $ sur $ [a,b] $, calculée par $ \int_a^b |f-g| $ (ou $ f-g $ si $ f \geq g $). - **Volume de révolution** : Volume du solide généré par la rotation d’une courbe autour d’un axe, donné par la méthode des disques ou des coquilles. - **Travail d’une force** : Quantité d’énergie transférée par une force agissant sur un déplacement, calculée comme l’intégrale de la force le long du trajet. - **Fonction continue** : Fonction sans saut, trou ou asymptote sur un intervalle ; condition nécessaire pour l’existence de l’intégrale de Riemann. - **Somme de Riemann** : Approximation de l’intégrale par la somme des aires de rectangles sous la courbe, utilisée dans la définition rigoureuse. - **Primitives usuelles** : Formules d’intégration de base (puissances, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus) à connaître pour le calcul immédiat. - **Bornes d’intégration** : Limites inférieure et supérieure de l’intervalle sur lequel on intègre ; leur inversion change le signe de l’intégrale. --- *Fin de la fiche de cours.*