Association des dipoles actifs et lois associées (générateurs) (partie 1/2)

## Association des générateurs identiques (notion de batterie) ### Introduction Dans le monde de l'électronique et de l'électrotechnique, les générateurs (comme les piles ou les batteries) sont essentiels pour alimenter les circuits. Cependant, un seul générateur ne suffit pas toujours à répondre aux besoins d'un appareil en termes de tension ou de courant. Pour cela, on peut associer plusieurs générateurs ensemble. Cette leçon explore comment associer des générateurs identiques, ce qui est à la base de la conception des batteries. ### Concepts Clés #### Rappels sur le générateur Un générateur est un dipôle actif qui convertit une autre forme d'énergie (chimique, mécanique, etc.) en énergie électrique pour un circuit. Il est caractérisé par deux grandeurs principales : * **La force électromotrice (f.é.m.), \( E \):** C'est la tension "à vide" du générateur, c'est-à-dire la tension entre ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant. Elle s'exprime en Volts (V). * **La résistance interne, \( r \):** C'est une résistance propre au générateur, qui cause une chute de tension interne lorsqu'un courant \( I \) le traverse. Elle s'exprime en Ohms (\( \Omega \)). La tension \( U \) aux bornes d'un générateur en fonctionnement (quand il débite un courant \( I \)) est donnée par la relation : \[ U = E - rI \] #### Association en série de générateurs identiques Lorsque des générateurs sont associés en série, ils sont branchés les uns à la suite des autres, le pôle positif de l'un étant connecté au pôle négatif du suivant. Cette configuration est utilisée pour augmenter la tension totale disponible. Si nous avons \( n \) générateurs identiques, chacun ayant une f.é.m. \( E \) et une résistance interne \( r \) : * **Force électromotrice équivalente (\( E_{éq} \)):** La f.é.m. totale de l'ensemble est la somme des f.é.m. individuelles. \[ E_{éq} = n \times E \] * **Résistance interne équivalente (\( r_{éq} \)):** La résistance interne totale de l'ensemble est la somme des résistances internes individuelles. \[ r_{éq} = n \times r \] * **Tension aux bornes de l'ensemble (\( U_{éq} \)):** Elle suit la loi d'Ohm généralisée pour l'ensemble : \[ U_{éq} = E_{éq} - r_{éq}I \] #### Association en parallèle de générateurs identiques Dans une association en parallèle, tous les pôles positifs des générateurs sont connectés ensemble, et tous les pôles négatifs sont connectés ensemble. Cette configuration est principalement utilisée pour augmenter le courant que l'ensemble peut fournir (ou l'autonomie) sans modifier la tension de sortie. **Condition Importante :** Pour une association en parallèle, il est crucial que les générateurs soient **strictement identiques** (même f.é.m. et même résistance interne). Si ce n'est pas le cas, des courants de circulation internes peuvent apparaître entre les générateurs, dissipant de l'énergie et pouvant endommager les composants. Si nous avons \( n \) générateurs identiques, chacun ayant une f.é.m. \( E \) et une résistance interne \( r \) : * **Force électromotrice équivalente (\( E_{éq} \)):** La f.é.m. totale de l'ensemble reste la même que celle d'un seul générateur. \[ E_{éq} = E \] * **Résistance interne équivalente (\( r_{éq} \)):** La résistance interne totale de l'ensemble est divisée par le nombre de générateurs. \[ r_{éq} = \frac{r}{n} \] * **Tension aux bornes de l'ensemble (\( U_{éq} \)):** Elle suit la loi d'Ohm généralisée pour l'ensemble : \[ U_{éq} = E_{éq} - r_{éq}I \] #### Notion de batterie Le terme "batterie" désigne généralement un assemblage de plusieurs cellules électrochimiques (des générateurs) associées en série, en parallèle ou dans une configuration mixte, afin d'obtenir la tension et la capacité de courant désirées. Par exemple, une batterie de voiture est souvent composée de plusieurs cellules de 2 Volts associées en série pour fournir une tension de 12 Volts. ### Vocabulaire * **Générateur :** Dipôle actif fournissant de l'énergie électrique. Ex: pile, accumulateur. * **Force Électromotrice (f.é.m. E) :** Tension à vide d'un générateur, lorsqu'aucun courant n'est débité. * **Résistance interne (r) :** Résistance propre au générateur, responsable d'une chute de tension interne et d'une dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsque le générateur débite du courant. * **Dipôle actif :** Composant qui fournit de l'énergie électrique au circuit (par opposition aux dipôles passifs qui consomment ou stockent l'énergie). * **Association en série :** Connexion de dipôles les uns à la suite des autres. * **Association en parallèle :** Connexion de dipôles entre les mêmes deux points du circuit. * **Batterie :** Ensemble de générateurs (cellules) associés pour former une source d'énergie unique avec des caractéristiques spécifiques. ### Exemples #### Exemple 1 : Association en série Trois piles identiques, chacune ayant une f.é.m. de \( E = 1.5 \text{ V} \) et une résistance interne de \( r = 0.1 \Omega \), sont associées en série. Déterminons les caractéristiques de l'ensemble. * Nombre de générateurs \( n = 3 \). * Force électromotrice équivalente : \( E_{éq} = n \times E = 3 \times 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V} \). * Résistance interne équivalente : \( r_{éq} = n \times r = 3 \times 0.1 \Omega = 0.3 \Omega \). L'ensemble se comporte comme un seul générateur de 4.5 V et de 0.3 \( \Omega \) de résistance interne. #### Exemple 2 : Association en parallèle Deux générateurs identiques, chacun ayant une f.é.m. de \( E = 6 \text{ V} \) et une résistance interne de \( r = 0.2 \Omega \), sont associés en parallèle. Déterminons les caractéristiques de l'ensemble. * Nombre de générateurs \( n = 2 \). * Force électromotrice équivalente : \( E_{éq} = E = 6 \text{ V} \). * Résistance interne équivalente : \( r_{éq} = \frac{r}{n} = \frac{0.2 \Omega}{2} = 0.1 \Omega \). L'ensemble se comporte comme un seul générateur de 6 V et de 0.1 \( \Omega \) de résistance interne. Il peut fournir un courant plus important que chaque générateur seul. ### Exercices 1. Quatre piles identiques, chacune de f.é.m. \( 1.2 \text{ V} \) et de résistance interne \( 0.05 \Omega \), sont branchées en série. Calculez la f.é.m. équivalente et la résistance interne équivalente de cet ensemble. Quelle serait la tension aux bornes de l'ensemble si un courant de \( 1 \text{ A} \) y circulait ? 2. On dispose de trois générateurs identiques, chacun de f.é.m. \( 4.5 \text{ V} \) et de résistance interne \( 0.6 \Omega \). Si ces trois générateurs sont associés en parallèle, quelles sont la f.é.m. équivalente et la résistance interne équivalente de l'ensemble ? 3. Dessinez un schéma électrique représentant l'association en série de deux générateurs et d'une charge (par exemple, une résistance). Ensuite, dessinez un schéma représentant l'association en parallèle de deux générateurs alimentant la même charge. ### Devoir Maison 1. Une batterie d'outillage portable est annoncée comme ayant une tension de \( 18 \text{ V} \). Si elle est composée de cellules de \( 3.6 \text{ V} \) chacune, et que ces cellules sont associées en série, combien de cellules composent cette batterie ? 2. Vous avez besoin d'une source d'énergie fournissant une tension de \( 6 \text{ V} \) et capable de débiter un courant élevé. Vous disposez de plusieurs piles identiques de \( 6 \text{ V} \) avec une résistance interne de \( 0.4 \Omega \). Proposez une association de ces piles (série ou parallèle) pour répondre à ce besoin, en justifiant votre choix. Si vous utilisez trois de ces piles, calculez les caractéristiques équivalentes de votre montage. 3. Expliquez, avec vos propres mots et en vous appuyant sur la notion de résistance interne, pourquoi il est impératif que les générateurs associés en parallèle soient identiques. ### Résumé L'association de générateurs identiques permet d'adapter les caractéristiques d'une source d'énergie aux besoins d'un circuit. * L'**association en série** de \( n \) générateurs de f.é.m. \( E \) et de résistance interne \( r \) a pour effet d'**augmenter la tension** : * \( E_{éq} = n \times E \) * \( r_{éq} = n \times r \) * L'**association en parallèle** de \( n \) générateurs identiques de f.é.m. \( E \) et de résistance interne \( r \) a pour effet de **maintenir la tension et de diminuer la résistance interne** (ce qui permet de fournir un courant plus important ou d'augmenter l'autonomie) : * \( E_{éq} = E \) * \( r_{éq} = \frac{r}{n} \) Ces principes sont fondamentaux pour comprendre le fonctionnement et la conception des **batteries**, qui sont des ensembles de générateurs associés. ## Analyse des circuits électriques ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur l'analyse des circuits électriques! L'électricité est partout autour de nous, des appareils que nous utilisons quotidiennement aux systèmes complexes qui alimentent nos villes. Pour comprendre comment ces systèmes fonctionnent et interagir, il est essentiel de maîtriser les principes fondamentaux de l'analyse des circuits. Dans ce cours, nous allons revoir les caractéristiques des générateurs électriques (appelés dipôles actifs), comprendre comment ils peuvent être associés et apprendre à appliquer les lois fondamentales qui régissent le comportement des courants et des tensions dans un circuit. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les Dipôles Actifs (Générateurs) Un **dipôle actif** est un composant capable de fournir de l'énergie électrique à un circuit. Le générateur en est l'exemple le plus courant (piles, batteries, alimentations...). Un générateur n'est pas idéal, il possède des caractéristiques spécifiques : * **Force Électromotrice (f.e.m. ou E):** C'est la tension maximale que le générateur peut fournir lorsqu'aucun courant n'est débité. C'est en quelque sorte sa tension "à vide". Elle s'exprime en Volts (V). * **Résistance Interne (r):** C'est la résistance propre au générateur. Elle est responsable d'une petite chute de tension à l'intérieur du générateur lorsque celui-ci débite un courant. Elle s'exprime en Ohms (\(\Omega\)). La relation entre la tension \(U_{AB}\) aux bornes d'un générateur, sa f.e.m. \(E\), sa résistance interne \(r\) et le courant \(I\) qu'il débite est donnée par la **caractéristique tension-courant** : \[ U_{AB} = E - rI \] #### 2. Association des Générateurs Il est souvent nécessaire d'associer plusieurs générateurs pour obtenir une tension ou une capacité de courant spécifique. Les deux types d'associations principales sont l'association en série et l'association en parallèle. ##### 2.1. Association en Série Lorsque des générateurs sont associés **en série**, ils sont connectés les uns à la suite des autres, comme les piles dans une lampe de poche. Le pôle positif de l'un est connecté au pôle négatif de l'autre. * **Force Électromotrice Équivalente (\(E_{eq}\)):** La f.e.m. totale de l'association est la somme algébrique des f.e.m. de chaque générateur. Si les générateurs sont branchés dans le même sens (polarités correspondantes), les f.e.m. s'additionnent : \[ E_{eq} = E_1 + E_2 + \dots + E_n \] * **Résistance Interne Équivalente (\(r_{eq}\)):** La résistance interne totale de l'association est la somme des résistances internes de chaque générateur : \[ r_{eq} = r_1 + r_2 + \dots + r_n \] La tension aux bornes de l'association série est alors : \[ U_{eq} = E_{eq} - r_{eq}I \] ##### 2.2. Association en Parallèle Lorsque des générateurs sont associés **en parallèle**, leurs bornes de même polarité sont connectées ensemble. Cela signifie que tous les pôles positifs sont reliés entre eux, et tous les pôles négatifs sont reliés entre eux. Pour une association parallèle simple en Seconde, nous considérerons des générateurs identiques. * **Conditions :** Pour que l'association en parallèle soit efficace et simple à analyser, les f.e.m. de tous les générateurs associés doivent être identiques (\(E_1 = E_2 = \dots = E_n = E\)). Si ce n'est pas le cas, des courants de circulation internes peuvent apparaître, ce qui est plus complexe à étudier. * **Force Électromotrice Équivalente (\(E_{eq}\)):** La f.e.m. équivalente reste égale à la f.e.m. d'un seul générateur : \[ E_{eq} = E \] * **Résistance Interne Équivalente (\(r_{eq}\)):** Les résistances internes étant en parallèle, leur équivalent est calculé de la même manière que pour des résistances passives en parallèle : \[ \frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n} \] Si tous les générateurs ont la même résistance interne \(r\) et qu'il y en a \(n\), alors : \[ r_{eq} = \frac{r}{n} \] La tension aux bornes de l'association parallèle est alors : \[ U_{eq} = E_{eq} - r_{eq}I \] #### 3. Lois Associées aux Circuits Pour analyser des circuits complexes, nous utilisons des lois fondamentales. ##### 3.1. Loi d'Ohm (Rappel) La loi d'Ohm décrit la relation entre la tension, le courant et la résistance pour un conducteur ohmique (ou résistor) : \[ U = R \times I \] * \(U\) est la tension aux bornes de la résistance en Volts (V). * \(R\) est la valeur de la résistance en Ohms (\(\Omega\)). * \(I\) est le courant qui traverse la résistance en Ampères (A). ##### 3.2. Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff sont deux principes essentiels pour l'analyse des circuits électriques. Elles découlent des principes de conservation de la charge électrique et de l'énergie. * **Loi des Nœuds (Loi des Courants):** Pour tout nœud d'un circuit, la somme des intensités des courants qui y entrent est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent. \[ \sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}} \] Cette loi exprime la conservation de la charge électrique : aucune charge ne peut s'accumuler dans un nœud. * **Loi des Mailles (Loi des Tensions):** Dans toute maille (boucle fermée) d'un circuit, la somme algébrique des tensions est nulle. \[ \sum U = 0 \] Pour appliquer cette loi, on choisit un sens de parcours pour la maille. Une tension est comptée positivement si son sens est le même que le sens de parcours, et négativement si elle est opposée. Cette loi exprime la conservation de l'énergie : l'énergie fournie dans une boucle doit être consommée dans la même boucle. ### Vocabulaire * **Dipôle Actif:** Un composant électrique qui fournit de l'énergie (ex: un générateur). * **Générateur:** Dispositif qui convertit une autre forme d'énergie (chimique, mécanique) en énergie électrique et la fournit au circuit (ex: pile, batterie). * **Force Électromotrice (f.e.m. ou E):** La tension à vide d'un générateur, c'est-à-dire la tension qu'il fournit lorsqu'il ne débite aucun courant. * **Résistance Interne (r):** La résistance présente à l'intérieur d'un générateur, qui cause une chute de tension quand il débite du courant. * **Association en Série:** Connexion de plusieurs composants électriques les uns à la suite des autres. Le courant est le même dans chaque composant. * **Association en Parallèle:** Connexion de plusieurs composants électriques entre deux mêmes points d'un circuit. La tension est la même aux bornes de chaque composant. * **Nœud:** Point d'un circuit où se rencontrent au moins trois conducteurs. * **Branche:** Portion d'un circuit située entre deux nœuds consécutifs. * **Maille:** Un chemin fermé dans un circuit électrique, formant une boucle. ### Exemples #### Exemple 1: Association série de piles Deux piles, chacune ayant une f.e.m. de \(1.5 \text{ V}\) et une résistance interne de \(0.5 \Omega\), sont montées en série pour alimenter une petite lampe. * Quelle est la f.e.m. équivalente de cette association ? \[ E_{eq} = E_1 + E_2 = 1.5\text{ V} + 1.5\text{ V} = 3\text{ V} \] * Quelle est la résistance interne équivalente ? \[ r_{eq} = r_1 + r_2 = 0.5\Omega + 0.5\Omega = 1\Omega \] #### Exemple 2: Circuit simple avec générateur et résistance Un générateur a une f.e.m. de \(12 \text{ V}\) et une résistance interne de \(1 \Omega\). Il est connecté à une résistance externe de \(R = 5 \Omega\). Calculons le courant \(I\) dans le circuit et la tension \(U_{gen}\) aux bornes du générateur. 1. **Calcul du courant \(I\) :** En appliquant la loi des mailles à cette unique boucle, la tension du générateur (\(E - rI\)) doit être égale à la tension aux bornes de la résistance externe (\(RI\)) : \[ E - rI - RI = 0 \] \[ E = (r+R)I \] \[ I = \frac{E}{r+R} = \frac{12\text{ V}}{1\Omega + 5\Omega} = \frac{12\text{ V}}{6\Omega} = 2\text{ A} \] 2. **Calcul de la tension aux bornes du générateur \(U_{gen}\) :** \[ U_{gen} = E - rI = 12\text{ V} - (1\Omega \times 2\text{ A}) = 12\text{ V} - 2\text{ V} = 10\text{ V} \] On peut vérifier ce résultat en calculant la tension aux bornes de la résistance externe : \(U_R = RI = 5\Omega \times 2\text{ A} = 10\text{ V}\). La tension aux bornes du générateur est bien égale à la tension aux bornes de la résistance externe. #### Exemple 3: Association parallèle de générateurs identiques Trois générateurs identiques, chacun avec une f.e.m. de \(6 \text{ V}\) et une résistance interne de \(0.3 \Omega\), sont montés en parallèle. * Quelle est la f.e.m. équivalente de cette association ? Puisque les générateurs sont identiques, la f.e.m. équivalente est la même que celle d'un seul générateur : \[ E_{eq} = 6\text{ V} \] * Quelle est la résistance interne équivalente ? Les résistances internes sont en parallèle, et elles sont identiques. Donc : \[ r_{eq} = \frac{r}{3} = \frac{0.3\Omega}{3} = 0.1\Omega \] ### Exercices 1. Un générateur a une f.e.m. de \(9 \text{ V}\) et une résistance interne de \(1.2 \Omega\). Quelle est la tension à ses bornes s'il débite un courant de \(0.5 \text{ A}\) ? 2. On associe en série deux générateurs : \(G_1(E_1=6\text{ V}, r_1=0.5\Omega)\) et \(G_2(E_2=4\text{ V}, r_2=0.3\Omega)\). Calculer les caractéristiques (f.e.m. équivalente et résistance interne équivalente) du générateur équivalent à cette association. 3. Trois générateurs identiques de \(E=1.5\text{ V}\) et \(r=0.2\Omega\) sont montés en parallèle. Quelle est la résistance interne équivalente de cette association ? 4. Un générateur (\(E=10\text{ V}, r=1\Omega)\) alimente deux résistances \(R_1=4\Omega\) et \(R_2=6\Omega\) montées en série. Dessinez le circuit et utilisez les lois de Kirchhoff pour trouver le courant total débité par le générateur. ### Devoir 1. Expliquez la différence entre un dipôle actif et un dipôle passif. Donnez un exemple de chaque type de dipôle. 2. Un générateur débite un courant de \(2\text{ A}\) et sa tension aux bornes est de \(8\text{ V}\). Lorsque le courant est de \(1\text{ A}\), la tension aux bornes est de \(9\text{ V}\). Déterminez la f.e.m. et la résistance interne de ce générateur. 3. Quatre piles de \(1.5 \text{ V}\) chacune et de résistance interne \(0.1 \Omega\) sont utilisées pour alimenter une lampe. a. Calculez les caractéristiques (f.e.m. et résistance interne) du générateur équivalent si les piles sont montées en série. b. Calculez les caractéristiques (f.e.m. et résistance interne) du générateur équivalent si les piles sont montées en parallèle. c. Si la lampe a une résistance de \(4.6 \Omega\), quel courant la traversera si les piles sont montées en série (cas a) ? 4. Considérons le circuit suivant: deux résistances \(R_1 = 10\Omega\) et \(R_2 = 20\Omega\) sont montées en parallèle. L'ensemble est connecté à un générateur de \(E=15\text{ V}\) et \(r=0.5\Omega\). a. Calculez la résistance équivalente des deux résistances \(R_1\) et \(R_2\). b. Déterminez le courant total débité par le générateur. c. Calculez le courant dans chaque résistance \(R_1\) et \(R_2\). ### Résumé * Un **générateur** est un dipôle actif caractérisé par sa **force électromotrice (f.e.m.) \(E\)** et sa **résistance interne \(r\)**. La tension à ses bornes est donnée par \(U = E - rI\). * L'**association en série** de générateurs augmente la f.e.m. équivalente (\(E_{eq} = \sum E_i\)) et la résistance interne équivalente (\(r_{eq} = \sum r_i\)). * L'**association en parallèle** de générateurs identiques conserve la f.e.m. (\(E_{eq} = E\)) mais diminue la résistance interne (\(1/r_{eq} = \sum (1/r_i)\) ou \(r_{eq} = r/n\) si \(n\) générateurs identiques). * La **Loi d'Ohm** est fondamentale pour les résistances : \(U = RI\). * Les **Lois de Kirchhoff** sont essentielles pour l'analyse des circuits : * **Loi des Nœuds :** La somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants (\(\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}\) ). * **Loi des Mailles :** La somme algébrique des tensions dans une maille fermée est nulle (\(\sum U = 0\) ). La maîtrise de ces concepts vous permettra de mieux comprendre et d'analyser le fonctionnement de nombreux circuits électriques. ## Analyse des circuits électriques Bienvenue dans ce cours sur l'analyse des circuits électriques. Nous allons explorer le comportement des dipôles actifs, en particulier les générateurs, et comprendre comment ils fonctionnent seuls ou associés dans un circuit. Nous étudierons les lois fondamentales qui régissent ces circuits pour pouvoir les analyser et calculer les grandeurs électriques. ### 1. Les Dipôles Actifs : Le Générateur * Un dipôle actif est un composant capable de fournir de l'énergie électrique à un circuit. L'exemple le plus courant est le générateur (pile, batterie, alimentation). * À la différence d'un dipôle passif (résistance, condensateur), un dipôle actif possède une source d'énergie interne. #### 1.1 Modèle équivalent d'un générateur Un générateur réel peut être modélisé par l'association d'une source de tension idéale (force électromotrice) et d'une résistance interne. * **Force électromotrice (f.e.m.), E :** C'est la tension à vide (quand aucun courant ne circule) aux bornes du générateur. Elle représente l'énergie par unité de charge fournie par le générateur. Unité : Volt (V). * **Résistance interne, r :** C'est une résistance due aux matériaux du générateur, qui provoque une chute de tension interne lorsque le courant circule. Unité : Ohm (\( \Omega \)). #### 1.2 Caractéristique Tension-Courant d'un Générateur La tension \( U_{PN} \) aux bornes d'un générateur (entre sa borne positive P et sa borne négative N) varie en fonction du courant \( I \) qu'il débite dans le circuit. La loi d'Ohm pour un générateur est donnée par : \[ U_{PN} = E - r \cdot I \] * \( U_{PN} \) : Tension aux bornes du générateur (V) * \( E \) : Force électromotrice (f.e.m.) du générateur (V) * \( r \) : Résistance interne du générateur (\( \Omega \)) * \( I \) : Courant débité par le générateur (A) Cette relation montre que plus le courant débité est important, plus la tension aux bornes du générateur diminue en raison de la chute de tension interne \( r \cdot I \). La caractéristique \( U_{PN} = f(I) \) est une droite décroissante dont l'ordonnée à l'origine est \( E \) et la pente est \( -r \). * **Point de fonctionnement à vide (circuit ouvert) :** Si \( I = 0 \), alors \( U_{PN} = E \). C'est la tension maximale que le générateur peut fournir. * **Point de fonctionnement en court-circuit :** Si \( U_{PN} = 0 \) (les bornes sont directement connectées), alors \( 0 = E - r \cdot I_{cc} \), d'où \( I_{cc} = \frac{E}{r} \). C'est le courant maximal que le générateur peut fournir, et c'est une situation dangereuse pour le générateur. ### 2. Association de Générateurs Pour obtenir des tensions ou des courants plus élevés, on peut associer plusieurs générateurs. #### 2.1 Association en série * Des générateurs sont associés en série lorsque la borne négative de l'un est connectée à la borne positive de l'autre. * L'association équivalente est un générateur unique dont : * La f.e.m. équivalente est la somme des f.e.m. (si polarités dans le même sens) : \( E_{eq} = E_1 + E_2 + ... + E_n \) * La résistance interne équivalente est la somme des résistances internes : \( r_{eq} = r_1 + r_2 + ... + r_n \) * Utile pour augmenter la tension fournie. #### 2.2 Association en parallèle * Des générateurs sont associés en parallèle lorsque leurs bornes positives sont connectées ensemble et leurs bornes négatives sont connectées ensemble. * Pour que cette association soit stable et ne surcharge pas les générateurs, il est impératif que les f.e.m. de tous les générateurs soient identiques. * L'association équivalente est un générateur unique dont : * La f.e.m. équivalente est la f.e.m. commune : \( E_{eq} = E_1 = E_2 = ... = E_n \) * La résistance interne équivalente est donnée par la formule des résistances en parallèle : \( \frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_n} \) * Utile pour augmenter le courant total que le circuit peut fournir (ou la capacité de la batterie). ### 3. Lois de Kirchhoff Ces lois sont fondamentales pour l'analyse de circuits complexes. #### 3.1 Loi des Nœuds (Première loi de Kirchhoff) * **Définition d'un nœud :** Un nœud est un point d'un circuit où au moins trois conducteurs se rencontrent. * **Énoncé :** La somme algébrique des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme algébrique des courants qui en repartent. En d'autres termes, la somme algébrique de tous les courants entrant et sortant d'un nœud est nulle. \[ \sum I_{entrants} = \sum I_{sortants} \] ou \[ \sum I = 0 \] (avec une convention de signe pour les courants) * Cette loi est une conséquence de la conservation de la charge électrique : aucune charge ne s'accumule ni ne se perd dans un nœud. #### 3.2 Loi des Mailles (Deuxième loi de Kirchhoff) * **Définition d'une maille :** Une maille est un chemin fermé dans un circuit électrique. * **Énoncé :** La somme algébrique des tensions le long de toute maille fermée est nulle. \[ \sum U = 0 \] * Cette loi est une conséquence de la conservation de l'énergie : l'énergie potentielle électrique doit revenir à sa valeur initiale après un tour complet dans une maille fermée. ### 4. Vocabulaire * **Dipôle Actif :** Composant capable de produire ou de fournir de l'énergie électrique. Ex: générateur, pile. * **Générateur :** Source d'énergie électrique qui transforme une autre forme d'énergie (chimique, mécanique, lumineuse) en énergie électrique. * **Force Électromotrice (f.e.m., E) :** Tension à vide d'un générateur, représentant l'énergie fournie par unité de charge. Unité : Volt (V). * **Résistance Interne (r) :** Résistance présente à l'intérieur d'un générateur, causant une chute de tension proportionnelle au courant débité. Unité : Ohm (\( \Omega \)). * **Circuit Ouvert :** Situation où il n'y a pas de chemin fermé pour le courant, donc le courant est nul. * **Court-Circuit :** Connexion directe des bornes d'un composant sans élément de charge, entraînant un courant très élevé. * **Nœud :** Point d'un circuit où se connectent au moins trois branches. * **Maille :** Chemin fermé dans un circuit électrique. ### 5. Exemples #### Exemple 1 : Calcul avec un générateur simple Un générateur a une f.e.m. \( E = 12 \text{ V} \) et une résistance interne \( r = 0,5 \text{ } \Omega \). Il alimente une résistance de charge \( R_L = 5,5 \text{ } \Omega \). 1. Calculez le courant \( I \) circulant dans le circuit. 2. Calculez la tension \( U_{PN} \) aux bornes du générateur. **Solution :** 1. Le courant total dans un circuit série (générateur + résistance de charge) est donné par la loi d'Ohm généralisée : \[ I = \frac{E}{r + R_L} \] \[ I = \frac{12 \text{ V}}{0,5 \text{ } \Omega + 5,5 \text{ } \Omega} = \frac{12 \text{ V}}{6 \text{ } \Omega} = 2 \text{ A} \] 2. La tension aux bornes du générateur est : \[ U_{PN} = E - r \cdot I \] \[ U_{PN} = 12 \text{ V} - 0,5 \text{ } \Omega \cdot 2 \text{ A} = 12 \text{ V} - 1 \text{ V} = 11 \text{ V} \] On peut aussi la calculer aux bornes de la résistance de charge : \( U_{PN} = R_L \cdot I = 5,5 \text{ } \Omega \cdot 2 \text{ A} = 11 \text{ V} \). Les deux résultats sont cohérents. #### Exemple 2 : Application des Lois de Kirchhoff Considérons un circuit simple composé d'un générateur (f.e.m. \( E \), résistance interne \( r \)) alimentant une résistance \( R \). Le courant circulant est \( I \). En appliquant la loi des mailles et en parcourant la maille dans le sens du courant, nous avons : \( -E + rI + RI = 0 \) Ce qui nous donne \( E = (r+R)I \) ou \( I = \frac{E}{r+R} \), une relation que nous avons déjà rencontrée pour calculer le courant total dans un circuit simple. Pour des circuits plus complexes avec plusieurs branches et nœuds, on applique les lois de Kirchhoff de manière systématique pour former un système d'équations permettant de trouver tous les courants et tensions inconnus. ### 6. Exercices 1. Un générateur a une f.e.m. de \( 6 \text{ V} \) et une résistance interne de \( 0,2 \text{ } \Omega \). * Quelle est la tension à ses bornes s'il débite un courant de \( 1,5 \text{ A} \) ? * Quel est le courant de court-circuit de ce générateur ? 2. Deux générateurs sont montés en série. Le premier a \( E_1 = 4,5 \text{ V} \) et \( r_1 = 0,1 \text{ } \Omega \). Le second a \( E_2 = 6 \text{ V} \) et \( r_2 = 0,2 \text{ } \Omega \). Quelle est la f.e.m. et la résistance interne du générateur équivalent ? 3. Dans un nœud, trois courants \( I_1, I_2, I_3 \) arrivent, et deux courants \( I_4, I_5 \) repartent. Si \( I_1 = 2 \text{ A} \), \( I_2 = 3 \text{ A} \), \( I_3 = 1 \text{ A} \), et \( I_4 = 4 \text{ A} \), quelle est la valeur de \( I_5 \) ? 4. Considérez une maille d'un circuit contenant un générateur \( E \), une résistance \( R \) et un moteur de force contre-électromotrice \( E' \) et de résistance interne \( r' \). Écrivez l'équation de la loi des mailles pour cette boucle en assumant un sens de parcours et de courant. ### 7. Devoir 1. Un accumulateur (batterie) a une f.e.m. de \( 12,6 \text{ V} \) et une résistance interne de \( 0,05 \text{ } \Omega \). * Quelle est la tension à ses bornes lorsqu'il débite \( 5 \text{ A} \) ? * Quel courant doit-il débiter pour que la tension à ses bornes soit de \( 12,4 \text{ V} \) ? * Quelle serait la puissance dissipée dans la résistance interne si un court-circuit se produisait ? 2. Trois générateurs identiques (\( E=9 \text{ V} \), \( r=0,3 \text{ } \Omega \)) sont montés en parallèle. Déterminez les caractéristiques (f.e.m. et résistance interne) du générateur équivalent. 3. Dessinez un circuit simple avec deux mailles et un nœud. Identifiez clairement les nœuds, les mailles et les branches. Écrivez les équations de Kirchhoff (lois des nœuds et des mailles) pour ce circuit. ### 8. Résumé Dans ce cours, nous avons découvert les **dipôles actifs**, principalement les générateurs, caractérisés par leur **force électromotrice (f.e.m.) \( E \)** et leur **résistance interne \( r \)**. Nous avons appris que la tension à leurs bornes diminue avec le courant débité, selon la relation \( U_{PN} = E - r \cdot I \). Nous avons ensuite étudié comment associer des générateurs en **série** pour augmenter la tension, ou en **parallèle** pour augmenter la capacité de courant. Enfin, nous avons maîtrisé les **lois de Kirchhoff** : la **loi des nœuds** qui exprime la conservation du courant, et la **loi des mailles** qui exprime la conservation de l'énergie. Ces outils sont essentiels pour analyser et comprendre le fonctionnement de tout circuit électrique.