LES TRACES GEOMETRIQUES (partie 4/5)

## Les tangentes et raccordements ### Introduction Bienvenue à cette leçon de dessin industriel ! Aujourd'hui, nous allons explorer deux concepts fondamentaux et très importants pour réaliser des dessins techniques précis et esthétiques : les tangentes et les raccordements. Ces notions vous permettront de créer des transitions douces et continues entre les lignes et les arcs de cercle, essentielles pour la conception de pièces mécaniques et de structures. La maîtrise de ces techniques est indispensable pour la qualité et la clarté de vos dessins. ### Concepts Clés #### La Tangente Une tangente est une droite qui touche un cercle (ou un arc de cercle) en un seul point, sans le traverser. Ce point est appelé le **point de tangence**. * **Propriété fondamentale :** Au point de tangence, la tangente est toujours perpendiculaire au rayon du cercle qui aboutit à ce point. ##### Comment tracer une tangente à un cercle en un point donné 1. Tracez le cercle et son centre O. 2. Placez le point de tangence T sur le cercle. 3. Tracez le rayon OT. 4. La tangente est la droite perpendiculaire au rayon OT passant par le point T. ##### Les tangentes communes à deux cercles Il existe deux types de tangentes communes à deux cercles : ###### 1. Les tangentes extérieures (ou directes) * Ce sont des droites qui touchent les deux cercles du même côté, sans les traverser. Les cercles sont du même côté de la tangente. ###### 2. Les tangentes intérieures (ou croisées) * Ce sont des droites qui traversent l'espace entre les deux cercles pour les toucher. Les cercles sont de côtés opposés de la tangente. #### Les Raccordements Un raccordement consiste à relier deux éléments géométriques (deux droites, une droite et un arc, ou deux arcs) par un arc de cercle, de manière à ce que la transition soit continue et sans rupture. L'arc de raccordement est toujours tangent aux éléments qu'il relie. ##### Types de raccordements ###### 1. Raccordement d'une droite et d'un arc de cercle * L'arc de raccordement est tangent à la droite et à l'arc existant. Le centre de l'arc de raccordement est situé sur une ligne parallèle à la droite et à une distance égale au rayon du raccordement, et aussi sur un cercle concentrique à l'arc existant, dont le rayon est la somme ou la différence des rayons (selon le type de raccordement). ###### 2. Raccordement de deux droites par un arc de cercle * Le centre de l'arc de raccordement est le point d'intersection de deux lignes parallèles aux droites initiales, chacune à une distance égale au rayon de raccordement. L'arc est alors tangent aux deux droites. ###### 3. Raccordement de deux arcs de cercle * Le centre de l'arc de raccordement est trouvé en utilisant les propriétés des distances entre les centres des cercles et leurs rayons. ### Vocabulaire * **Tangente :** Droite qui touche un cercle en un seul point. * **Point de tangence :** Le point où la droite touche le cercle. * **Rayon :** Segment de droite reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point de sa circonférence. Son symbole est \( R \) ou \( r \). * **Cercle :** Ensemble de tous les points équidistants d'un point central. * **Arc de cercle :** Portion de la circonférence d'un cercle. * **Raccordement :** Connexion lisse entre deux éléments géométriques par un arc de cercle tangentiel. * **Perpendiculaire :** Deux lignes qui se coupent à un angle de 90 degrés. * **Parallèle :** Deux lignes qui ne se rencontrent jamais et sont toujours à la même distance l'une de l'autre. * **Centre :** Point central d'un cercle ou d'un arc. ### Exemples pratiques 1. **Tracé d'une tangente à un cercle depuis un point externe :** * Soit un cercle C de centre O et un point P externe. Tracez le segment OP. Trouvez le milieu M de OP. Tracez un cercle de centre M passant par O et P. Les points d'intersection de ce nouveau cercle avec le cercle C sont les points de tangence. Reliez P à ces points pour obtenir les tangentes. 2. **Raccordement de deux droites sécantes (non perpendiculaires) avec un rayon R donné :** * Tracez une parallèle à chaque droite, à une distance \( R \). L'intersection de ces parallèles est le centre de l'arc de raccordement. À partir de ce centre, abaissez les perpendiculaires aux droites pour trouver les points de tangence. Tracez l'arc de cercle entre ces points. ### Exercices 1. Tracez un cercle de rayon 40 mm. Choisissez un point A sur le cercle et tracez la tangente à ce cercle passant par A. 2. Dessinez deux cercles, l'un de rayon 30 mm et l'autre de rayon 20 mm, dont les centres sont distants de 100 mm. Construisez les tangentes communes extérieures à ces deux cercles. 3. Tracez deux droites qui se coupent à un angle d'environ 60 degrés. Raccordez ces deux droites par un arc de cercle de rayon 25 mm. ### Devoir 1. Dessinez la pièce ci-dessous en utilisant les concepts de tangentes et de raccordements. La pièce est composée de deux cercles (rayons 20mm et 30mm, centres distants de 80mm) reliés par des tangentes extérieures et raccordés à une troisième entité (un grand arc de cercle ou une droite) avec des rayons de raccordement de 15mm. Fournissez une esquisse libre des cercles et des lignes directrices à raccorder, puis réalisez la construction géométrique précise. * *Conseil : Commencez par les éléments principaux, puis ajoutez les tangentes et les raccordements progressivement.* ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris l'importance des tangentes et des raccordements en dessin industriel. Les tangentes sont des droites qui touchent un cercle en un seul point et sont perpendiculaires au rayon en ce point. Les raccordements sont des arcs de cercle qui assurent des transitions douces entre les lignes et les arcs, essentiels pour la clarté et la fonctionnalité des pièces dessinées. Maîtriser ces techniques est crucial pour la précision et le professionnalisme de vos dessins techniques. ## Les tangentes et raccordements- Suite et fin ### Introduction Bienvenue à cette dernière partie sur les tangentes et les raccordements en dessin industriel. Dans la leçon précédente, nous avons abordé les bases. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en explorant des constructions plus complexes et essentielles pour réaliser des dessins techniques précis et professionnels. Comprendre ces techniques est fondamental pour représenter correctement les pièces mécaniques et architecturales. ### Concepts clés #### Rappel sur les tangentes Une tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point, appelé point de tangence. Le rayon du cercle mené au point de tangence est toujours perpendiculaire à la tangente. #### Les constructions de tangentes complexes ##### Tangente à un cercle passant par un point extérieur au cercle 1. Soit un cercle de centre O et un point P extérieur au cercle. 2. Tracer le segment OP. 3. Déterminer le milieu M du segment OP (utiliser la médiatrice). 4. Tracer un cercle de centre M et de rayon MO. Ce cercle coupe le cercle initial en deux points T1 et T2. 5. Les droites (PT1) et (PT2) sont les deux tangentes recherchées. ##### Tangente à un cercle, parallèle à une droite donnée 1. Soit un cercle de centre O et une droite (D). 2. Tracer une droite perpendiculaire à (D) passant par O. Cette droite coupe le cercle en T1 et T2. 3. Les tangentes au cercle passant par T1 et T2 sont parallèles à (D). ##### Tangentes communes à deux cercles ###### Tangentes extérieures (directes) 1. Soient deux cercles C1(O1, R1) et C2(O2, R2) avec R1 > R2. 2. Tracer le segment O1O2. 3. Tracer un cercle auxiliaire de centre O1 et de rayon \( R1 - R2 \). 4. Depuis O2, tracer les tangentes à ce cercle auxiliaire (méthode "point extérieur au cercle"). Soient A1 et A2 les points de tangence sur le cercle auxiliaire. 5. Prolonger les rayons O1A1 et O1A2 jusqu'à couper C1 en T1 et T'1. 6. Tracer des droites passant par O2 et parallèles à O1T1 et O1T'1, elles coupent C2 en T2 et T'2. 7. Les droites (T1T2) et (T'1T'2) sont les tangentes extérieures communes. ###### Tangentes intérieures (croisées) 1. Soient deux cercles C1(O1, R1) et C2(O2, R2). 2. Tracer le segment O1O2. 3. Tracer un cercle auxiliaire de centre O1 et de rayon \( R1 + R2 \). 4. Depuis O2, tracer les tangentes à ce cercle auxiliaire. Soient A1 et A2 les points de tangence sur le cercle auxiliaire. 5. Les droites O1A1 et O1A2 coupent C1 en T1 et T'1. 6. Tracer des droites passant par O2 et parallèles à O1T1 et O1T'1, elles coupent C2 en T2 et T'2. 7. Les droites (T1T2) et (T'1T'2) sont les tangentes intérieures communes. #### Les raccordements avancés ##### Raccordement d'une droite et d'un cercle par un arc de rayon R 1. Soit une droite (D) et un cercle C(O, r). 2. Tracer une parallèle à (D) à une distance R (rayon de raccordement). 3. Tracer un cercle de centre O et de rayon \( r \pm R \) (selon que le raccordement est extérieur ou intérieur au cercle C). 4. L'intersection de la parallèle et de ce cercle donne le centre du raccordement, que nous appellerons O_R. 5. Le point de tangence sur la droite est la projection orthogonale de O_R sur (D). 6. Le point de tangence sur le cercle est l'intersection du cercle C et de la droite O_R-O. 7. Tracer l'arc de raccordement de centre O_R et de rayon R entre ces deux points de tangence. ##### Raccordement de deux cercles par un arc de rayon R 1. Soient deux cercles C1(O1, R1) et C2(O2, R2). 2. Le centre du raccordement O_R se trouve à l'intersection de deux arcs: * Un arc de centre O1 et de rayon \( R \pm R1 \). * Un arc de centre O2 et de rayon \( R \pm R2 \). * Les signes dépendent du type de raccordement (extérieur/intérieur aux cercles initiaux). 3. Les points de tangence sont sur les droites (O1-O_R) et (O2-O_R). 4. Tracer l'arc de raccordement de centre O_R et de rayon R entre ces points de tangence. ##### Raccordement de deux droites par un arc de rayon R Cette méthode a été abordée précédemment, mais rappelons les étapes pour le raccordement "extérieur": 1. Soient deux droites (D1) et (D2) sécantes en un point S. 2. Tracer une parallèle à (D1) à une distance R. 3. Tracer une parallèle à (D2) à une distance R. 4. L'intersection de ces deux parallèles est le centre O_R de l'arc de raccordement. 5. Les points de tangence sont les projections orthogonales de O_R sur (D1) et (D2). 6. Tracer l'arc de raccordement de centre O_R et de rayon R entre ces deux points de tangence. ### Vocabulaire * **Tangente:** Droite qui touche une courbe (ici, un cercle) en un seul point. * **Point de tangence:** Le point unique où une tangente touche une courbe. * **Raccordement:** L'action de relier deux éléments (droites, cercles) par un arc de cercle. * **Arc de cercle:** Portion de la circonférence d'un cercle. * **Rayon de raccordement (R):** Le rayon de l'arc de cercle utilisé pour un raccordement. * **Médiatrice:** Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. * **Perpendiculaire:** Qui forme un angle de 90 degrés. * **Parallèle:** Qui est équidistant en tout point, ne se coupant jamais. ### Exemples #### Exemple 1: Construction d'une tangente à un cercle depuis un point extérieur Imaginons que vous devez dessiner une plaque métallique ronde percée d'un trou, et qu'une bande métallique rectiligne doit venir s'appuyer tangentiellement sur le bord du trou et passer par un point de fixation donné sur la plaque. 1. Dessinez le cercle représentant le trou (centre O, rayon r). 2. Placez le point de fixation P. 3. Suivez les étapes décrites dans "Tangente à un cercle passant par un point extérieur au cercle" pour trouver les points de tangence et tracer la droite de la bande. #### Exemple 2: Raccordement entre une droite et un cercle Un support de pièce mécanique présente un bord droit qui doit être raccordé à une pièce cylindrique par un arc de rayon 15 mm. 1. Dessinez la droite et le cercle de la pièce cylindrique. 2. Appliquez la méthode "Raccordement d'une droite et d'un cercle par un arc de rayon R" avec R = 15 mm. 3. Déterminez le centre de l'arc de raccordement et ses points de tangence. 4. Tracez l'arc pour adoucir la transition. ### Exercices 1. Construisez un cercle de centre O et de rayon 40 mm. Placez un point P à 100 mm de O. Tracez les tangentes au cercle passant par P. 2. Dessinez deux cercles, C1(O1, 30 mm) et C2(O2, 20 mm). O1O2 = 120 mm. Construisez les tangentes extérieures communes à ces deux cercles. 3. Construisez deux cercles, C1(O1, 35 mm) et C2(O2, 25 mm). O1O2 = 80 mm. Construisez les tangentes intérieures communes à ces deux cercles. 4. Tracez une droite horizontale (D) et un cercle de centre O(100, 50) et de rayon 30 mm (la droite (D) est l'axe des x). Raccordez la droite et le cercle par un arc de rayon 20 mm de manière que l'arc soit "extérieur" au cercle. ### Devoirs 1. Sur une feuille de dessin A4, réalisez le raccordement de deux cercles C1(O1, R1=40 mm) et C2(O2, R2=25 mm) par un arc de raccordement de rayon R=60 mm. Les centres O1 et O2 sont espacés de 150 mm. Le raccordement doit être "extérieur" aux deux cercles. 2. Dessinez le profil d'une clé plate simple, qui comprend des parties droites et des arcs de cercle raccordés. Identifiez au moins deux types de raccordements que vous avez utilisés et décrivez-les brièvement. 3. Recherchez dans des catalogues de pièces mécaniques (en ligne ou physiques) des exemples de pièces utilisant les tangentes et les raccordements que nous avons étudiés. Choisissez-en deux et expliquez comment les techniques vues en cours sont appliquées. ### Résumé Dans cette leçon finale sur les tangentes et les raccordements, nous avons vu des techniques de construction plus avancées, essentielles pour le dessin industriel. Nous avons appris à construire des tangentes à un cercle depuis un point extérieur, parallèles à une droite donnée, ainsi que les tangentes communes à deux cercles (extérieures et intérieures). Nous avons également approfondi les méthodes de raccordement d'une droite avec un cercle et de deux cercles par des arcs de rayon spécifique. La maîtrise de ces compétences est cruciale pour réaliser des dessins techniques précis et conformes aux normes industrielles. N'oubliez pas que la précision et la rigueur sont vos meilleurs alliés en dessin technique. ## Tracé des parallèles, des angles, des cercles et des autres figures ### Introduction Dans le dessin industriel, la précision est primordiale. Maîtriser le tracé des formes géométriques de base est une compétence fondamentale pour représenter correctement des pièces mécaniques, des structures architecturales ou tout autre objet technique. Cette leçon couvrira les techniques essentielles pour tracer des parallèles, des angles, des cercles et d'autres figures géométriques simples avec rigueur. ### Concepts Clés #### 1. Tracé des parallèles Les lignes parallèles sont des lignes qui ne se rencontrent jamais, quelle que soit leur longueur. Elles gardent toujours la même distance entre elles. ##### a. Méthode avec l'équerre et la règle C'est la méthode la plus courante et la plus rapide en dessin technique. * **Étape 1:** Positionnez le côté le plus long de votre équerre (hypoténuse) ou un de ses côtés perpendiculaires le long de la ligne de référence à laquelle vous voulez tracer une parallèle. * **Étape 2:** Placez une règle fixe (ou une autre équerre) le long de l'autre côté de l'équerre. * **Étape 3:** Faites glisser l'équerre le long de la règle fixe. La nouvelle position de l'équerre vous permettra de tracer une ligne parallèle à la ligne de référence. ##### b. Méthode avec le compas (méthode des arcs) Cette méthode est utile lorsque la précision est critique ou sans règle. * **Étape 1:** Tracez une ligne de référence \(L_1\). * **Étape 2:** Choisissez deux points \(A\) et \(B\) sur \(L_1\). * **Étape 3:** À partir de \(A\), ouvrez le compas à la distance \(d\) désirée pour la parallèle. Tracez un arc au-dessus (ou en dessous) de \(L_1\). * **Étape 4:** Répétez l'opération à partir de \(B\) avec la même ouverture de compas \(d\), en traçant un deuxième arc. * **Étape 5:** Tracez une ligne droite qui est tangente aux deux arcs. Cette ligne \(L_2\) sera parallèle à \(L_1\). #### 2. Tracé des angles Un angle est la figure géométrique formée par deux demi-droites de même origine. ##### a. Mesure et construction d'angles avec le rapporteur Le rapporteur est l'outil principal pour mesurer et tracer des angles. * **Mesurer un angle:** Alignez le centre du rapporteur avec le sommet de l'angle et la ligne de base du rapporteur avec un des côtés de l'angle. Lisez la mesure sur l'échelle appropriée. * **Construire un angle:** Tracez une demi-droite. Placez le centre du rapporteur sur l'origine de la demi-droite et la ligne de base le long de celle-ci. Marquez un point à la mesure de l'angle souhaité. Reliez ce point à l'origine pour former le deuxième côté de l'angle. ##### b. Construction de perpendiculaires (angle droit - \(90^ \) ) Les lignes perpendiculaires se coupent à un angle de \(90^ \). * **Avec l'équerre:** Placez un des côtés de l'angle droit de l'équerre sur la ligne existante et tracez une ligne le long de l'autre côté de l'angle droit. * **Avec le compas (médiatrice d'un segment):** * **Étape 1:** Pour tracer une perpendiculaire à une ligne passant par un point \(P\) sur la ligne: Piquez le compas en \(P\) et tracez deux arcs coupant la ligne de chaque côté de \(P\) aux points \(A\) et \(B\). * **Étape 2:** Ouvrez le compas à une distance supérieure à \(AP\). Piquez en \(A\) et tracez un arc au-dessus de la ligne. Piquez en \(B\) et tracez un autre arc coupant le premier en \(Q\). * **Étape 3:** Reliez \(P\) et \(Q\). La ligne \(PQ\) est perpendiculaire à la ligne initiale. ##### c. Bissectrice d'un angle La bissectrice est une demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux. * **Étape 1:** Piquez le compas au sommet de l'angle \(O\) et tracez un arc qui coupe les deux côtés de l'angle en \(A\) et \(B\). * **Étape 2:** À partir de \(A\) et de \(B\) (avec la même ouverture de compas, ou plus grande si désiré), tracez deux arcs à l'intérieur de l'angle qui se coupent en un point \(C\). * **Étape 3:** Tracez une demi-droite de \(O\) passant par \(C\). Cette demi-droite est la bissectrice. #### 3. Tracé des cercles et arcs de cercle Un cercle est l'ensemble de tous les points équidistants d'un point central. ##### a. Avec le compas * **Étape 1:** Déterminez le centre \(O\) et le rayon \(R\) du cercle. * **Étape 2:** Piquez le compas au point \(O\) et ouvrez-le à la distance \(R\) désirée. * **Étape 3:** Faites pivoter le compas autour du point \(O\) pour tracer le cercle complet ou un arc de cercle. ##### b. Définition du centre et du rayon * **Centre:** Le point fixe autour duquel le cercle est tracé. * **Rayon \(R\):** La distance du centre à n'importe quel point sur le cercle. \(R = D/2\), où \(D\) est le diamètre. * **Diamètre \(D\):** La distance entre deux points opposés sur le cercle, passant par le centre. \(D = 2R\). #### 4. Autres figures géométriques ##### a. Triangles Un triangle est un polygone à trois côtés et trois angles. * **Triangle équilatéral:** Tous les côtés sont égaux, tous les angles sont \(60^ \). * **Méthode:** Tracez un segment \(AB\). Avec le compas, piquez en \(A\) et ouvrez jusqu'à \(B\). Tracez un arc. Répétez en piquant en \(B\) et ouvrant jusqu'à \(A\). Le point d'intersection des arcs est \(C\). Reliez \(A\), \(B\), \(C\). * **Triangle isocèle:** Deux côtés sont égaux, les angles à la base sont égaux. ##### b. Carrés et rectangles Ce sont des quadrilatères avec des angles droits. * **Carré:** Quatre côtés égaux et quatre angles droits. Peut être tracé en utilisant les méthodes de perpendiculaires et de parallèles. * **Rectangle:** Quatre angles droits, côtés opposés égaux. Similaire au carré, mais avec des longueurs de côtés différentes. ##### c. Polygones réguliers (exemple: hexagone) Un polygone régulier a tous ses côtés et tous ses angles égaux. * **Hexagone régulier (méthode simple par le cercle):** * **Étape 1:** Tracez un cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\). * **Étape 2:** Sans changer l'ouverture du compas (qui doit être égale au rayon \(R\)), piquez n'importe où sur le cercle (point \(A\)) et marquez un arc sur le cercle (point \(B\)). * **Étape 3:** Piquez en \(B\) et marquez un autre arc \(C\). Répétez cette opération six fois pour obtenir les six sommets de l'hexagone sur le cercle. * **Étape 4:** Reliez les points consécutifs pour former l'hexagone. ### Vocabulaire * **Parallèle:** Lignes qui ne se coupent jamais. * **Perpendiculaire:** Lignes qui se coupent à \(90^ \). * **Angle:** Espace formé par deux demi-droites partant du même point. * **Sommet:** Point d'origine des côtés d'un angle ou d'un polygone. * **Bissectrice:** Droite qui divise un angle en deux angles égaux. * **Rayon \(R\):** Distance du centre d'un cercle à un point de sa circonférence. * **Diamètre \(D\):** Segment de droite passant par le centre d'un cercle et reliant deux points opposés de sa circonférence (\(D = 2R\)). * **Compas:** Outil pour tracer des cercles et des arcs de cercle. * **Équerre:** Outil de dessin avec un angle droit (souvent \(45^ \) et \(45^ \) ou \(30^ \) et \(60^ \)). * **Rapporteur:** Outil pour mesurer et tracer des angles. * **Médiatrice:** Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. * **Polygone:** Figure plane fermée, formée de plusieurs segments de droite (côtés). ### Exemples 1. **Tracer une pièce rectangulaire:** Pour dessiner la base d'un support, vous devrez utiliser les techniques de tracé de parallèles et de perpendiculaires pour assurer des angles droits parfaits et des côtés opposés de même longueur. 2. **Représenter un trou de perçage:** Un trou circulaire est toujours représenté par son axe central (lignes de construction) et son cercle extérieur, tracés avec un compas selon un rayon spécifié. 3. **Concevoir un engrenage:** Les dents d'un engrenage nécessitent des arcs de cercle précis et des angles spécifiques, souvent répétitifs, utilisant des techniques de division d'angle et de tracé d'arcs. ### Exercices 1. Tracez une droite \(D_1\). À 30 mm de \(D_1\), tracez une droite \(D_2\) parallèle à \(D_1\) en utilisant l'équerre et la règle. 2. Dessinez un angle de \(75^ \) avec le rapporteur. Ensuite, tracez sa bissectrice en utilisant le compas. 3. Tracez un segment \(AB\) de 80 mm. Construisez la médiatrice de ce segment en utilisant le compas. 4. Tracez un cercle de 50 mm de diamètre. À l'intérieur de ce cercle, tracez un hexagone régulier. 5. Dessinez un triangle équilatéral de 60 mm de côté. ### Devoir à la maison 1. Sur une feuille de papier millimétré, tracez un rectangle de 100 mm de longueur et 60 mm de largeur. Assurez-vous que tous les angles sont parfaitement droits. 2. Tracez un cercle de 40 mm de rayon. À partir du centre de ce cercle, dessinez une ligne horizontale et une ligne verticale. En utilisant ces lignes comme guides, divisez le cercle en 8 secteurs égaux à l'aide de bissectrices pour les angles de \(90^ \). 3. Dessinez une figure géométrique composée d'un carré de 50 mm de côté, surmonté d'un triangle équilatéral ayant un côté commun avec le carré. ### Résumé La maîtrise du tracé géométrique est la pierre angulaire du dessin industriel. Nous avons couvert les techniques essentielles pour tracer des lignes parallèles et perpendiculaires, construire et diviser des angles, et dessiner des cercles, des triangles et des polygones réguliers. L'utilisation correcte des outils comme le compas, l'équerre, la règle et le rapporteur garantit la précision nécessaire. Ces compétences sont fondamentales pour interpréter et créer tout type de plan technique.