CONCEPTS DE BASE PROPRES A LA THEORIE DES CIRCUITS (partie 3/3)

## Léçon 5: Théorème de THEVENIN et NORTON ### Introduction Dans l'étude des circuits électriques, nous rencontrons souvent des configurations complexes qui peuvent être difficiles à analyser directement. Pour simplifier cette analyse, deux outils puissants sont à notre disposition : les théorèmes de Thevenin et de Norton. Ces théorèmes nous permettent de réduire une partie complexe d'un circuit linéaire à un équivalent beaucoup plus simple, facilitant ainsi le calcul des courants et des tensions dans n'importe quelle charge connectée. ### Concepts Clés #### Théorème de THEVENIN Le théorème de Thevenin stipule que tout circuit linéaire à deux bornes, composé de sources de tension, de sources de courant et de résistances, peut être remplacé par un circuit équivalent simple constitué d'une seule source de tension \( V_{Th} \) en série avec une seule résistance \( R_{Th} \). ##### Circuit équivalent de Thevenin Le circuit équivalent de Thevenin est représenté par une source de tension idéale \( V_{Th} \) (tension de Thevenin) connectée en série avec une résistance \( R_{Th} \) (résistance de Thevenin). ##### Calcul de la tension de Thevenin (\( V_{Th} \)) La tension de Thevenin, \( V_{Th} \), est la tension à vide (ou tension en circuit ouvert) mesurée entre les deux bornes du circuit d'origine, après avoir retiré la charge connectée. C'est la tension que l'on observerait si aucune charge n'était connectée aux bornes. ##### Calcul de la résistance de Thevenin (\( R_{Th} \)) La résistance de Thevenin, \( R_{Th} \), est la résistance équivalente vue des deux bornes du circuit, après avoir « éteint » toutes les sources indépendantes : * Les sources de tension indépendantes sont remplacées par des courts-circuits (résistance nulle). * Les sources de courant indépendantes sont remplacées par des circuits ouverts (résistance infinie). ##### Étapes pour appliquer le théorème de Thevenin 1. **Identifier les bornes:** Choisissez les deux bornes (A et B) du circuit où vous souhaitez appliquer le théorème (souvent les bornes de la charge que vous voulez analyser). 2. **Retirer la charge:** Déconnectez la charge entre les bornes A et B. 3. **Calculer \( V_{Th} \):** Calculez la tension à vide \( V_{AB} \) entre les bornes A et B. C'est \( V_{Th} \). 4. **Calculer \( R_{Th} \):** Désactivez toutes les sources indépendantes (courts-circuits pour les sources de tension, circuits ouverts pour les sources de courant). Calculez la résistance équivalente \( R_{AB} \) vue entre les bornes A et B. C'est \( R_{Th} \). 5. **Reconstruire le circuit:** Dessinez le circuit équivalent de Thevenin avec \( V_{Th} \) en série avec \( R_{Th} \) et reconnectez la charge entre les bornes A et B. Vous pouvez maintenant analyser facilement le courant ou la tension dans la charge. #### Théorème de NORTON Le théorème de Norton est une alternative au théorème de Thevenin. Il stipule que tout circuit linéaire à deux bornes peut être remplacé par un circuit équivalent simple constitué d'une seule source de courant \( I_N \) en parallèle avec une seule résistance \( R_N \). ##### Circuit équivalent de Norton Le circuit équivalent de Norton est représenté par une source de courant idéale \( I_N \) (courant de Norton) connectée en parallèle avec une résistance \( R_N \) (résistance de Norton). ##### Calcul du courant de Norton (\( I_N \)) Le courant de Norton, \( I_N \), est le courant de court-circuit mesuré entre les deux bornes du circuit d'origine, après avoir retiré la charge et placé un court-circuit entre les bornes. ##### Calcul de la résistance de Norton (\( R_N \)) La résistance de Norton, \( R_N \), est calculée de la même manière que la résistance de Thevenin, \( R_{Th} \). C'est la résistance équivalente vue des deux bornes du circuit, après avoir éteint toutes les sources indépendantes. Donc, \( R_N = R_{Th} \). ##### Étapes pour appliquer le théorème de Norton 1. **Identifier les bornes:** Choisissez les deux bornes (A et B) du circuit. 2. **Retirer la charge:** Déconnectez la charge entre les bornes A et B. 3. **Calculer \( I_N \):** Placez un court-circuit entre les bornes A et B. Calculez le courant \( I_{CC} \) qui circule à travers ce court-circuit. C'est \( I_N \). 4. **Calculer \( R_N \):** Désactivez toutes les sources indépendantes. Calculez la résistance équivalente \( R_{AB} \) vue entre les bornes A et B. C'est \( R_N \). 5. **Reconstruire le circuit:** Dessinez le circuit équivalent de Norton avec \( I_N \) en parallèle avec \( R_N \) et reconnectez la charge entre les bornes A et B. #### Relation entre les théorèmes de Thevenin et de Norton Les circuits équivalents de Thevenin et de Norton sont parfaitement interchangeables. Il existe des relations simples pour passer de l'un à l'autre : * La tension de Thevenin est égale au courant de Norton multiplié par la résistance de Thevenin/Norton: \[ V_{Th} = I_N \times R_{Th} \] * Le courant de Norton est égal à la tension de Thevenin divisée par la résistance de Thevenin/Norton: \[ I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}} \] * Les résistances de Thevenin et de Norton sont égales: \[ R_{Th} = R_N \] Ces transformations sont très utiles pour choisir le théorème le plus simple à appliquer en fonction de la configuration du circuit. ### Vocabulaire * **Circuit linéaire:** Un circuit dont les composants (résistances, bobines, condensateurs) ont des relations linéaires entre la tension et le courant, et où les sources sont indépendantes. * **Bornes:** Les points d'accès ou de connexion d'un circuit ou d'un composant. * **Source de tension indépendante:** Un composant qui maintient une tension constante à ses bornes, quelle que soit la charge qu'il alimente. * **Source de courant indépendante:** Un composant qui fournit un courant constant, quelle que soit la tension à ses bornes. * **Charge:** Le composant ou la partie du circuit que l'on connecte aux bornes d'un autre circuit pour en mesurer l'effet (ex: une résistance). * **Circuit à vide (ou circuit ouvert):** Un circuit dont les bornes de sortie ne sont connectées à aucune charge, ce qui signifie qu'aucun courant ne peut y circuler. * **Court-circuit:** Une connexion de résistance négligeable (proche de zéro) entre deux points, permettant un passage maximal de courant. * **Résistance équivalente:** Une résistance unique qui peut remplacer un réseau de résistances sans modifier les caractéristiques de courant et de tension pour le reste du circuit. ### Exemples #### Exemple 1: Application du Théorème de Thevenin Considérons un circuit simple avec une source de tension \( E = 12 \text{ V} \), une résistance \( R_1 = 3 \Omega \) en série avec la source, et une résistance \( R_2 = 6 \Omega \) en parallèle. Nous voulons trouver le courant \( I_L \) traversant une résistance de charge \( R_L = 4 \Omega \) connectée aux bornes de \( R_2 \). 1. **Retirer la charge \( R_L \):** On déconnecte \( R_L \) des bornes de \( R_2 \). 2. **Calculer \( V_{Th} \):** La tension aux bornes de \( R_2 \) est la tension à vide. En utilisant le diviseur de tension: \[ V_{Th} = E \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \text{ V} \times \frac{6 \Omega}{3 \Omega + 6 \Omega} = 12 \text{ V} \times \frac{6}{9} = 8 \text{ V} \] 3. **Calculer \( R_{Th} \):** On remplace la source de tension \( E \) par un court-circuit. \( R_1 \) se retrouve en parallèle avec \( R_2 \) par rapport aux bornes où \( R_L \) était connectée: \[ R_{Th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \Omega \times 6 \Omega}{3 \Omega + 6 \Omega} = \frac{18 \Omega^2}{9 \Omega} = 2 \Omega \] 4. **Calculer \( I_L \):** Maintenant, on reconnecte \( R_L \) au circuit équivalent de Thevenin: \[ I_L = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L} = \frac{8 \text{ V}}{2 \Omega + 4 \Omega} = \frac{8 \text{ V}}{6 \Omega} \approx 1.33 \text{ A} \] #### Exemple 2: Application du Théorème de Norton Reprenons le même circuit que l'exemple 1. 1. **Retirer la charge \( R_L \):** On déconnecte \( R_L \). 2. **Calculer \( I_N \):** On place un court-circuit entre les bornes. \( R_2 \) est court-circuitée. Le courant total de la source \( E \) passe à travers \( R_1 \) et le court-circuit: \[ I_N = \frac{E}{R_1} = \frac{12 \text{ V}}{3 \Omega} = 4 \text{ A} \] 3. **Calculer \( R_N \):** C'est la même chose que \( R_{Th} \): \[ R_N = 2 \Omega \] 4. **Calculer \( I_L \):** On reconnecte \( R_L \) au circuit équivalent de Norton. On utilise la formule du diviseur de courant: \[ I_L = I_N \frac{R_N}{R_N + R_L} = 4 \text{ A} \times \frac{2 \Omega}{2 \Omega + 4 \Omega} = 4 \text{ A} \times \frac{2}{6} = 4 \text{ A} \times \frac{1}{3} \approx 1.33 \text{ A} \] On constate que les résultats sont identiques, prouvant l'équivalence des deux théorèmes. ### Exercices 1. **Question de compréhension:** Expliquez en vos propres mots pourquoi les théorèmes de Thevenin et Norton sont utiles pour l'analyse des circuits électriques. 2. **Calcul de Thevenin:** Pour le circuit suivant (décrit verbalement) : * Une source de tension \( E = 20 \text{ V} \) est en série avec \( R_1 = 5 \Omega \). * Un nœud se forme, et une résistance \( R_2 = 10 \Omega \) est connectée en parallèle avec une autre résistance \( R_3 = 10 \Omega \). * Calculez \( V_{Th} \) et \( R_{Th} \) aux bornes de \( R_3 \). 3. **Calcul de Norton:** Pour le même circuit que l'exercice 2, calculez \( I_N \) et \( R_N \) aux bornes de \( R_3 \). 4. **Application:** En utilisant le théorème de votre choix (Thevenin ou Norton), calculez le courant traversant une charge \( R_L = 15 \Omega \) connectée aux bornes de \( R_3 \) dans le circuit de l'exercice 2. ### Devoirs 1. **Analyse de circuit:** Un circuit contient une source de tension \( E_1 = 15 \text{ V} \), une résistance \( R_a = 2 \Omega \), une source de courant \( I_s = 2 \text{ A} \), et une résistance \( R_b = 3 \Omega \). La source de tension et \( R_a \) sont en série. Cette branche est en parallèle avec la source de courant \( I_s \). L'ensemble est ensuite en série avec \( R_b \). Trouvez l'équivalent de Thevenin du circuit vu des bornes de \( R_b \). (Retirez \( R_b \) pour trouver \( V_{Th} \) et \( R_{Th} \)). 2. **Conversion:** Après avoir trouvé l'équivalent de Thevenin dans le devoir 1, convertissez-le en son équivalent de Norton. 3. **Calcul final:** Calculez le courant qui circulerait si une charge \( R_L = 10 \Omega \) était connectée aux bornes où \( R_b \) était initialement. ### Résumé Les théorèmes de Thevenin et de Norton sont des outils fondamentaux pour simplifier l'analyse des circuits électriques linéaires. Ils nous permettent de remplacer une partie complexe d'un circuit par un modèle équivalent plus simple : * **Théorème de Thevenin:** Un générateur de tension idéal (\( V_{Th} \)) en série avec une résistance (\( R_{Th} \)). * **Théorème de Norton:** Un générateur de courant idéal (\( I_N \)) en parallèle avec une résistance (\( R_N \)). Il est crucial de maîtriser les méthodes de calcul pour \( V_{Th} \) (tension à vide), \( I_N \) (courant de court-circuit), et \( R_{Th}/R_N \) (résistance équivalente en éteignant les sources). Les deux théorèmes sont liés par les relations \( V_{Th} = I_N \times R_{Th} \) et \( R_{Th} = R_N \), ce qui permet de passer facilement de l'un à l'autre. En simplifiant les circuits, nous pouvons résoudre des problèmes complexes avec plus d'efficacité. ## Leçons 6: Théorème de superposition ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Dans cette sixième leçon sur les circuits et installations électriques, nous allons aborder un outil très puissant pour analyser les circuits complexes : le **Théorème de superposition**. Ce théorème est particulièrement utile lorsque vous travaillez avec des circuits qui contiennent plusieurs sources d'énergie indépendantes (sources de tension et/ou sources de courant). L'idée principale est de simplifier l'analyse d'un circuit en ne considérant qu'une seule source à la fois, puis en additionnant les effets de chaque source. C'est une méthode élégante pour résoudre des problèmes qui pourraient autrement être très compliqués. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le Théorème de Superposition ? Le théorème de superposition stipule que dans tout circuit électrique linéaire et bilatéral contenant plusieurs sources indépendantes, le courant ou la tension en un point donné du circuit est la somme algébrique des courants ou des tensions produits par chaque source indépendante agissant seule. **Points importants :** * **Circuit linéaire :** Le théorème ne s'applique qu'aux circuits linéaires, c'est-à-dire ceux dont les composants (résistances, condensateurs, inductances) ont une relation courant-tension linéaire (comme la loi d'Ohm : \(U = R \cdot I\)). * **Sources indépendantes :** On ne considère que les sources indépendantes. Les sources dépendantes (qui dépendent d'une tension ou d'un courant ailleurs dans le circuit) ne sont *jamais* désactivées. #### Étapes pour Appliquer le Théorème de Superposition Voici les étapes à suivre pour appliquer correctement le théorème de superposition : 1. **Identifier les sources indépendantes :** Repérez toutes les sources de tension et de courant indépendantes dans le circuit. 2. **Sélectionner une source :** Choisissez une des sources indépendantes à considérer active. Toutes les autres sources indépendantes seront désactivées. 3. **Désactiver les autres sources indépendantes :** * Pour une **source de tension indépendante**, remplacez-la par un **court-circuit** (une simple liaison filaire, résistance nulle). Cela signifie que la tension à ses bornes est ramenée à zéro. * Pour une **source de courant indépendante**, remplacez-la par un **circuit ouvert** (retirez-la complètement, résistance infinie). Cela signifie que le courant qu'elle fournit est ramené à zéro. 4. **Calculer la contribution :** Calculez la tension ou le courant désiré dans le circuit avec *uniquement* la source sélectionnée active (et les autres désactivées). 5. **Répéter pour toutes les sources :** Répétez les étapes 2 à 4 pour chacune des autres sources indépendantes du circuit. 6. **Sommer les contributions :** Additionnez algébriquement (en tenant compte des signes, directions pour les courants et polarités pour les tensions) toutes les contributions calculées à l'étape 4 pour obtenir le résultat final. #### Limite importante Il est crucial de noter que le théorème de superposition **ne peut pas être utilisé pour calculer la puissance** dans un composant. La puissance est une fonction non linéaire (\(P = U \cdot I\) ou \(P = I^2 \cdot R\) ou \(P = U^2 / R\)). Si vous additionnez les puissances calculées pour chaque source individuellement, vous n'obtiendrez pas la puissance totale correcte. ### Vocabulaire * **Théorème de superposition :** Méthode d'analyse de circuits linéaires avec plusieurs sources indépendantes. * **Source indépendante :** Source d'énergie (tension ou courant) dont la valeur ne dépend pas d'une autre tension ou courant dans le circuit. * **Source de tension (idéale) :** Composant qui maintient une tension constante à ses bornes, quelle que soit la charge. Désactivée, elle devient un court-circuit. * **Source de courant (idéale) :** Composant qui fournit un courant constant, quelle que soit la charge. Désactivée, elle devient un circuit ouvert. * **Circuit linéaire :** Circuit composé d'éléments dont la relation courant-tension est proportionnelle (ex: résistances). * **Court-circuit :** Connexion de faible résistance entre deux points, entraînant une tension nulle entre ces points. Représenté par un fil. * **Circuit ouvert :** Interruption dans un chemin de courant, entraînant un courant nul à travers cette interruption. * **Somme algébrique :** Addition de valeurs en tenant compte de leurs signes (positif ou négatif) ou de leurs directions/polarités. ### Exemples Considérons un simple circuit avec deux sources indépendantes, une source de tension \(E_1\) et une source de courant \(J_2\), et deux résistances \(R_1\) et \(R_2\). Nous voulons trouver le courant \(I_{R2}\) traversant la résistance \(R_2\). ```mermaid circuitdiagram A -- R1 -- B B -- R2 -- 0 A -- V1(E1) -- 0 B -- I1(J2) -- 0 ``` (Imaginez un circuit avec \(E_1\) en parallèle avec \(R_1\) et \(J_2\) en parallèle avec \(R_2\), et \(R_1\) et \(R_2\) en série dans une branche, où \(E_1\) et \(J_2\) sont connectés au nœud A et au nœud B. Simplifions pour l'exemple). **Exemple plus simple :** Un circuit série-parallèle avec deux sources. * **Données :** \(E_1 = 10\,V\), \(J_2 = 2\,A\), \(R_1 = 5\,\Omega\), \(R_2 = 10\,\Omega\). * **Objectif :** Calculer la tension \(U_{R2}\) aux bornes de \(R_2\). #### Étape 1 : Seule la source de tension \(E_1\) est active. * Désactiver \(J_2\) en la remplaçant par un circuit ouvert. * Le circuit devient un diviseur de tension simple : \[ U'_{R2} = E_1 \frac{R_2}{R_1 + R_2} \] \[ U'_{R2} = 10\,V \cdot \frac{10\,\Omega}{5\,\Omega + 10\,\Omega} = 10\,V \cdot \frac{10}{15} = 10\,V \cdot \frac{2}{3} \approx 6.67\,V \] #### Étape 2 : Seule la source de courant \(J_2\) est active. * Désactiver \(E_1\) en la remplaçant par un court-circuit. * Le circuit devient un diviseur de courant. \(R_1\) et \(R_2\) sont maintenant en parallèle. Le courant \(J_2\) se divise entre \(R_1\) et \(R_2\). Le courant traversant \(R_2\) est \(I''_{R2}\). * La tension aux bornes de \(R_2\) est \(U''_{R2} = J_2 \cdot (R_1 \parallel R_2)\). \[ R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{5\,\Omega \cdot 10\,\Omega}{5\,\Omega + 10\,\Omega} = \frac{50}{15}\,\Omega = \frac{10}{3}\,\Omega \approx 3.33\,\Omega \] \[ U''_{R2} = 2\,A \cdot \frac{10}{3}\,\Omega = \frac{20}{3}\,V \approx 6.67\,V \] #### Étape 3 : Somme des contributions. * La tension totale \(U_{R2}\) est la somme algébrique des contributions : \[ U_{R2} = U'_{R2} + U''_{R2} \] \[ U_{R2} = \frac{20}{3}\,V + \frac{20}{3}\,V = \frac{40}{3}\,V \approx 13.33\,V \] Cet exemple simple montre comment additionner les effets. Pour des circuits plus complexes, les calculs de chaque étape peuvent nécessiter l'application des lois de Kirchhoff, des diviseurs de tension/courant ou d'autres techniques d'analyse. ### Exercices 1. Expliquez dans vos propres mots pourquoi le théorème de superposition est utile pour l'analyse de circuits. 2. Dans un circuit comportant une source de tension indépendante, une source de courant indépendante et une source de tension dépendante, quelles sources devez-vous désactiver lors de l'application du théorème de superposition ? Comment les désactiveriez-vous ? 3. Considérez le circuit suivant avec \(E_1 = 12\,V\), \(R_1 = 6\,\Omega\), \(R_2 = 4\,\Omega\), \(R_3 = 2\,\Omega\). ```mermaid circuitdiagram A -- R1 -- B B -- R2 -- 0 A -- V1(E1) -- 0 B -- R3 -- 0 ``` (Imaginez \(E_1\) et \(R_1\) en série. Puis ce groupe est en parallèle avec \(R_2\) et \(R_3\) est en série avec \(R_2\). Simplifions pour l'exercice.) *Simplifions :* Deux résistances \(R_1\) et \(R_2\) en série, et une source \(E_1\) en parallèle avec \(R_1\). Une autre source \(E_2\) en série avec \(R_2\). *Correction pour l'exercice :* Un circuit simple à deux boucles. \(E_1\) en série avec \(R_1\). Le point commun (entre \(R_1\) et \(R_2\)) est connecté à une source de courant \(J_2\) qui va vers la masse. \(R_2\) est entre le point commun et la masse. **Exercice 3 (plus clair) :** Soit un circuit avec une source de tension \(E_1 = 10\,V\) en série avec \(R_1 = 5\,\Omega\). Ce ensemble est en parallèle avec une branche contenant une source de courant \(J_2 = 3\,A\) et une résistance \(R_2 = 10\,\Omega\) en parallèle avec la source de courant. La question est de trouver le courant \(I_{R2}\) traversant \(R_2\). * Calculez le courant \(I'_{R2}\) dû à \(E_1\) seule. * Calculez le courant \(I''_{R2}\) dû à \(J_2\) seule. * Déduisez le courant total \(I_{R2}\). ### Devoirs 1. Soit le circuit suivant : * Deux sources de tension \(V_1 = 15\,V\) et \(V_2 = 5\,V\). * Trois résistances \(R_1 = 3\,\Omega\), \(R_2 = 6\,\Omega\) et \(R_3 = 2\,\Omega\). * \(V_1\) est en série avec \(R_1\). \(V_2\) est en série avec \(R_3\). Ces deux branches sont connectées en parallèle et une résistance \(R_2\) est connectée entre le point commun des deux branches et la masse. * Utilisez le théorème de superposition pour trouver le courant \(I_{R2}\) traversant la résistance \(R_2\). 2. Proposez un exemple de circuit où le théorème de superposition serait particulièrement utile. Dessinez-le et expliquez comment vous l'appliqueriez. 3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème de superposition pour calculer la puissance dissipée dans un élément de circuit ? Justifiez votre réponse à l'aide d'une formule. ### Résumé Le théorème de superposition est un outil fondamental pour l'analyse des circuits linéaires comportant plusieurs sources indépendantes. Il nous permet de décomposer un problème complexe en une série de problèmes plus simples, chacun avec une seule source active. Les étapes clés consistent à désactiver les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, calculer la contribution de chaque source, puis additionner algébriquement tous les résultats pour obtenir le courant ou la tension total souhaité. N'oubliez jamais que ce théorème ne s'applique pas pour le calcul de la puissance, et que les sources dépendantes ne doivent jamais être désactivées. Maîtriser ce théorème est essentiel pour une compréhension approfondie des circuits électriques complexes.