COURANT ALTERNATIF (partie 1/2)

## Etude du courant alternatif et mésure des grandeurs ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur le courant alternatif ! Après avoir étudié le courant continu, où l'intensité et la tension restent constantes dans le temps, nous allons découvrir un type de courant bien différent et pourtant omniprésent dans nos vies : le courant alternatif. C'est celui qui alimente nos maisons et la plupart de nos appareils électriques. Nous allons apprendre à le caractériser, à le représenter et à mesurer ses grandeurs principales. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le courant alternatif ? Le courant alternatif (CA ou AC en anglais) est un courant électrique dont le sens et l'intensité varient périodiquement au cours du temps. En France et en Europe, il s'agit le plus souvent d'un courant **sinusoïdal**, c'est-à-dire que sa variation suit la forme d'une sinusoïde. * **Différence avec le courant continu (CC ou DC) :** * **Courant continu :** sens et intensité constants (ex: piles, batteries). * **Courant alternatif :** sens et intensité varient périodiquement (ex: prise de courant domestique). * **Représentation graphique :** La tension (ou l'intensité) d'un courant alternatif sinusoïdal peut être représentée par une courbe qui monte et descend de manière régulière, passant alternativement par des valeurs positives et négatives. * **Génération :** Le courant alternatif est principalement généré par des **alternateurs** (présents dans les centrales électriques), qui transforment l'énergie mécanique en énergie électrique. #### Grandeurs caractéristiques du courant alternatif sinusoïdal Pour décrire un courant alternatif sinusoïdal, plusieurs grandeurs sont essentielles : ##### 1. La Période (T) La période est la durée d'un motif élémentaire de la courbe. C'est le temps nécessaire pour que le signal se reproduise à l'identique. Elle se mesure en secondes (s). * **Formule :** \( T \) (en s) ##### 2. La Fréquence (f) La fréquence est le nombre de fois que le motif se répète par seconde. Elle est l'inverse de la période et se mesure en Hertz (Hz). * **Formule :** \[ f = rac{1}{T} \] (où \( f \) est en Hz et \( T \) en s) *Exemple :* Le réseau électrique français a une fréquence de 50 Hz, ce qui signifie que la tension change de sens 50 fois par seconde. ##### 3. La Valeur Maximale (ou Crête) (\( U_{max} \) ou \( I_{max} \)) C'est la valeur maximale atteinte par la tension (ou l'intensité) pendant un cycle. On l'appelle aussi amplitude. * **Représentation :** Sur une courbe sinusoïdale, c'est la valeur la plus haute (positive ou négative) par rapport à zéro. ##### 4. La Valeur Efficace (\( U_{eff} \) ou \( I_{eff} \)) La valeur efficace est la valeur de la tension (ou de l'intensité) qui produirait les mêmes effets thermiques (échauffement) qu'un courant continu de même valeur. C'est la valeur indiquée par la plupart des appareils de mesure (voltmètres, ampèremètres) lorsqu'ils sont réglés en AC. * **Formule pour un courant sinusoïdal :** * Pour la tension : \[ U_{eff} = rac{U_{max}}{\sqrt{2}} \] * Pour l'intensité : \[ I_{eff} = rac{I_{max}}{\sqrt{2}} \] *Note :* \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) *Exemple :* La tension du secteur en France est d'environ \( 230 \) V efficace. Sa valeur maximale est donc \( U_{max} = 230 \times \sqrt{2} \approx 325 \) V. #### Mesure des grandeurs ##### 1. L'Oscilloscope L'oscilloscope est un appareil qui permet de visualiser la forme d'onde d'une tension et de mesurer directement la période \( T \) et la valeur maximale \( U_{max} \). * **Réglages importants :** * **Base de temps (balayage horizontal) :** Permet de régler le nombre de divisions par unité de temps (ex: \( 5 \) ms/div). Utilisé pour mesurer \( T \). * **Sensibilité verticale (calibre) :** Permet de régler le nombre de volts par division (ex: \( 2 \) V/div). Utilisé pour mesurer \( U_{max} \). * **Comment mesurer avec un oscilloscope :** * Pour \( T \) : On compte le nombre de divisions horizontales pour un cycle complet et on multiplie par la base de temps. * Pour \( U_{max} \) : On compte le nombre de divisions verticales entre l'axe horizontal et le sommet de la courbe et on multiplie par la sensibilité verticale. ##### 2. Voltmètre et Ampèremètre Ces appareils mesurent directement les **valeurs efficaces** de la tension (voltmètre) et de l'intensité (ampèremètre). * **Attention :** Il faut s'assurer que l'appareil est réglé sur la fonction ## Etude des montages séries (R-L-C) ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée à l'étude des montages séries composés d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) en courant alternatif. Ces circuits, appelés circuits RLC série, sont fondamentaux en électricité et en électronique. Ils sont utilisés dans de nombreuses applications, comme les filtres, les oscillateurs ou les circuits d'accord radio. Comprendre leur fonctionnement est essentiel pour analyser et concevoir des systèmes électriques. Dans ce cours, nous allons explorer le comportement de chacun des composants en courant alternatif, puis nous verrons comment leur combinaison en série affecte l'impédance totale du circuit, le déphasage entre la tension et le courant, et le phénomène de résonance qui est une caractéristique clé des circuits RLC. ### Concepts Clés #### Rappels sur le courant alternatif (AC) Le courant alternatif est un courant électrique dont la direction change périodiquement. En électronique, on utilise souvent des courants et tensions sinusoïdaux. * **Tension et courant sinusoïdaux :** Ils peuvent être décrits par des fonctions trigonométriques. * Tension instantanée : \( u(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi_u) \) * Courant instantané : \( i(t) = I_{max} \cos(\omega t + \phi_i) \) où \( U_{max} \) et \( I_{max} \) sont les amplitudes maximales, \( \omega \) la pulsation (en rad/s), \( t \) le temps et \( \phi_u \) et \( \phi_i \) les phases à l'origine. * **Valeurs efficaces :** Pour comparer la puissance d'un courant alternatif à celle d'un courant continu, on utilise les valeurs efficaces. * Tension efficace : \( U = U_{max} / \sqrt{2} \) * Courant efficace : \( I = I_{max} / \sqrt{2} \) * **Pulsation et fréquence :** La pulsation \( \omega \) est liée à la fréquence \( f \) (en Hz) par la relation : \[ \omega = 2\pi f \] #### Composants d'un circuit RLC série Un circuit RLC série est constitué de trois composants connectés en série, ce qui signifie que le même courant traverse chacun d'eux. ##### Résistance (R) * **Rôle :** Un résistor s'oppose au passage du courant et convertit l'énergie électrique en chaleur par effet Joule. Sa valeur est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Loi d'Ohm :** En courant alternatif, la tension efficace aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant efficace qui la traverse : \[ U_R = R \cdot I \] * **Déphasage :** La tension \( U_R \) et le courant \( I \) sont en phase. Il n'y a pas de décalage temporel entre eux. ##### Bobine (L) ou Inductance * **Rôle :** Une bobine (ou inducteur) s'oppose aux variations du courant qui la traverse. Elle stocke l'énergie sous forme de champ magnétique. Son inductance est exprimée en Henrys (H). * **Réactance inductive (\( X_L \)) :** En courant alternatif, la bobine présente une opposition au courant, appelée réactance inductive, qui dépend de la fréquence : \[ X_L = L\omega \] Elle est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Tension :** La tension efficace aux bornes de la bobine est : \[ U_L = X_L \cdot I \] * **Déphasage :** Dans une bobine idéale, la tension \( U_L \) est en avance de phase de \( \pi/2 \) (ou 90°) sur le courant \( I \). ##### Condensateur (C) ou Capacité * **Rôle :** Un condensateur s'oppose aux variations de tension à ses bornes. Il stocke l'énergie sous forme de champ électrique. Sa capacité est exprimée en Farads (F). * **Réactance capacitive (\( X_C \)) :** En courant alternatif, le condensateur présente une opposition au courant, appelée réactance capacitive, qui dépend de la fréquence : \[ X_C = \frac{1}{C\omega} \] Elle est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Tension :** La tension efficace aux bornes du condensateur est : \[ U_C = X_C \cdot I \] * **Déphasage :** Dans un condensateur idéal, la tension \( U_C \) est en retard de phase de \( \pi/2 \) (ou 90°) sur le courant \( I \). #### Impédance totale (Z) d'un circuit RLC série En courant alternatif, la notion de résistance est généralisée à celle d'impédance. L'impédance totale Z d'un circuit RLC série est la mesure de l'opposition totale du circuit au passage du courant alternatif. * **Formule :** Étant donné les déphasages différents des tensions aux bornes de L et C par rapport à R, l'impédance totale n'est pas une simple somme des résistances et réactances. Elle est calculée comme suit : \[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \] En substituant \( X_L \) et \( X_C \) par leurs expressions : \[ Z = \sqrt{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2} \] L'impédance est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Loi d'Ohm généralisée :** La relation entre la tension efficace totale \( U \) aux bornes du circuit, le courant efficace \( I \) et l'impédance \( Z \) est : \[ U = Z \cdot I \] #### Déphasage (\( \phi \)) Le déphasage \( \phi \) est l'angle de décalage entre la tension totale \( u(t) \) aux bornes du circuit RLC série et le courant \( i(t) \) qui le traverse. Il est calculé par les relations : * \[ \cos(\phi) = \frac{R}{Z} \] * Ou par la tangente : \[ \tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} \] * **Signification du déphasage :** * Si \( \phi > 0 \) : Le circuit est dit **inductif**. La tension est en avance sur le courant (cas d'une bobine dominante). * Si \( \phi < 0 \) : Le circuit est dit **capacitif**. La tension est en retard sur le courant (cas d'un condensateur dominant). * Si \( \phi = 0 \) : Le circuit est dit **résistif pur**. La tension et le courant sont en phase (cas d'une résonance). #### Phénomène de résonance La résonance est un phénomène particulièrement important dans les circuits RLC série. * **Définition :** La résonance se produit lorsque la réactance inductive \( X_L \) et la réactance capacitive \( X_C \) s'annulent mutuellement, c'est-à-dire quand \( X_L = X_C \). \[ L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \] où \( \omega_0 \) est la pulsation de résonance. * **Fréquence de résonance (\( f_0 \)) :** À partir de l'égalité \( L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \), on peut déduire la pulsation de résonance : \[ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \implies \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] Et la fréquence de résonance : \[ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] * **Caractéristiques à la résonance :** * **Impédance minimale :** L'impédance totale \( Z \) est minimale et égale à la résistance \( R \) : \( Z = R \). * **Courant maximal :** Puisque \( Z \) est minimal, le courant \( I = U/Z \) est maximal. * **Déphasage nul :** La tension et le courant sont en phase (\( \phi = 0 \)). * **Tensions aux bornes de L et C :** Les tensions \( U_L \) et \( U_C \) sont égales en amplitude et s'opposent en phase. Elles peuvent être très élevées, même si la tension d'alimentation est faible. \( U_L = U_C \). ### Vocabulaire * **Courant alternatif (AC) :** Courant électrique dont le sens varie périodiquement. * **Tension efficace (U) :** Valeur d'une tension alternative qui produirait la même puissance qu'une tension continue de même valeur sur une résistance. * **Pulsation (\( \omega \)) :** Vitesse angulaire du phénomène sinusoïdal, exprimée en radians par seconde (rad/s). * **Fréquence (f) :** Nombre de cycles par seconde d'un phénomène périodique, exprimée en Hertz (Hz). * **Résistance (R) :** Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique, exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Inductance (L) :** Caractéristique d'une bobine à s'opposer aux variations de courant, exprimée en Henrys (H). * **Capacité (C) :** Caractéristique d'un condensateur à stocker de l'énergie électrique, exprimée en Farads (F). * **Réactance inductive (\( X_L \)) :** Opposition d'une bobine au courant alternatif, dépend de l'inductance et de la fréquence, exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Réactance capacitive (\( X_C \)) :** Opposition d'un condensateur au courant alternatif, dépend de la capacité et de la fréquence, exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Impédance (Z) :** Opposition totale d'un circuit au courant alternatif, généralisation de la résistance, exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * **Déphasage (\( \phi \)) :** Angle de décalage temporel entre la tension et le courant dans un circuit alternatif. * **Résonance :** Phénomène dans un circuit RLC où les réactances inductive et capacitive s'annulent, entraînant une impédance minimale et un courant maximal. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de l'impédance et du déphasage Considérons un circuit RLC série composé de : * \( R = 200 \Omega \) * \( L = 0.5 \text{ H} \) * \( C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F} \) Alimenté par une tension de fréquence \( f = 50 \text{ Hz} \) et de tension efficace \( U = 230 \text{ V} \). 1. **Calcul de la pulsation \( \omega \) :** \( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \approx 314.16 \text{ rad/s} \) 2. **Calcul de la réactance inductive \( X_L \) :** \( X_L = L\omega = 0.5 \times 314.16 \approx 157.08 \Omega \) 3. **Calcul de la réactance capacitive \( X_C \) :** \( X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{20 \times 10^{-6} \times 314.16} \approx \frac{1}{0.0062832} \approx 159.15 \Omega \) 4. **Calcul de l'impédance totale \( Z \) :** \[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{200^2 + (157.08 - 159.15)^2} \] \[ Z = \sqrt{40000 + (-2.07)^2} = \sqrt{40000 + 4.2849} \approx \sqrt{40004.2849} \approx 200.01 \Omega \] 5. **Calcul du déphasage \( \phi \) :** \( \tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{157.08 - 159.15}{200} = \frac{-2.07}{200} = -0.01035 \) \( \phi = \arctan(-0.01035) \approx -0.01035 \text{ rad} \approx -0.59 \degree \) Le circuit est légèrement capacitif (\( X_C \) est légèrement plus grand que \( X_L \)), le déphasage est très faible et négatif. #### Exemple 2 : Calcul de la fréquence de résonance Pour le même circuit RLC (\( R = 200 \Omega \), \( L = 0.5 \text{ H} \), \( C = 20 \mu\text{F} \)), calculons la fréquence de résonance \( f_0 \). \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.5 \times 20 \times 10^{-6}}} \] \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} \] \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 0.003162} \approx \frac{1}{0.01987} \approx 50.32 \text{ Hz} \] On constate que la fréquence d'alimentation de l'exemple 1 (50 Hz) est très proche de la fréquence de résonance (50.32 Hz), ce qui explique pourquoi \( X_L \) et \( X_C \) étaient presque égaux. ### Exercices **Exercice 1 : Analyse d'un circuit RLC série** Un circuit RLC série est composé d'une résistance \( R = 150 \Omega \), d'une bobine d'inductance \( L = 0.2 \text{ H} \) et d'un condensateur de capacité \( C = 50 \mu\text{F} \). Le circuit est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence \( f = 60 \text{ Hz} \) et de tension efficace \( U = 120 \text{ V} \). 1. Calculer la pulsation \( \omega \) du circuit. 2. Calculer la réactance inductive \( X_L \). 3. Calculer la réactance capacitive \( X_C \). 4. Calculer l'impédance totale \( Z \) du circuit. 5. Calculer le courant efficace \( I \) circulant dans le circuit. 6. Calculer le déphasage \( \phi \) (en radians et en degrés) entre la tension et le courant. 7. Quelle est la nature du circuit (inductif, capacitif ou résistif) ? ### Devoir **Devoir 1 : Résonance et variation de fréquence** Un circuit RLC série est utilisé comme filtre pour une application audio. Il est constitué d'une résistance \( R = 80 \Omega \), d'une bobine d'inductance \( L = 100 \text{ mH} \) et d'un condensateur de capacité \( C = 4.7 \mu\text{F} \). 1. Calculer la fréquence de résonance \( f_0 \) de ce circuit. 2. Quelle est l'impédance du circuit à la résonance ? 3. Si la tension efficace d'alimentation est de \( 10 \text{ V} \) à la fréquence de résonance, quel est le courant efficace maximal qui traverse le circuit ? 4. Calculer la réactance inductive \( X_L \) et la réactance capacitive \( X_C \) pour une fréquence de \( f = 100 \text{ Hz} \). 5. Calculer l'impédance \( Z \) et le déphasage \( \phi \) (en degrés) du circuit à \( f = 100 \text{ Hz} \). 6. À cette fréquence de \( 100 \text{ Hz} \), le circuit est-il plutôt inductif ou capacitif ? Justifier. ### Résumé Nous avons exploré les circuits RLC série en courant alternatif. Voici les points essentiels à retenir : * Chaque composant (résistance, bobine, condensateur) présente une opposition au courant, mais avec des déphasages différents : en phase pour la résistance, en avance pour la bobine (\( U_L \) avant \( I \)), en retard pour le condensateur (\( U_C \) après \( I \)). * Les réactances inductive (\( X_L = L\omega \)) et capacitive (\( X_C = \frac{1}{C\omega} \)) dépendent de la fréquence du courant. * L'impédance totale \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \) est l'opposition totale au courant dans un circuit RLC série. * Le déphasage \( \phi \) entre la tension et le courant indique si le circuit est globalement résistif, inductif ou capacitif. * Le phénomène de résonance se produit lorsque \( X_L = X_C \) à une fréquence spécifique \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \). À la résonance, l'impédance est minimale (égale à R), le courant est maximal, et la tension et le courant sont en phase (\( \phi = 0 \)). La compréhension de ces concepts est cruciale pour l'analyse et la conception de systèmes électriques et électroniques. ## Etude des montages paralleles(R-L-C) ### Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons exploré le comportement des composants électriques (résistance, bobine, condensateur) en courant alternatif, ainsi que leur association en série. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur une configuration très courante et importante dans l'électronique et l'électrotechnique : le montage R-L-C parallèle. Comprendre ces circuits est essentiel pour analyser et concevoir des systèmes allant des filtres audio aux systèmes de correction du facteur de puissance. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur le Courant Alternatif Le courant alternatif (CA) sinusoïdal est caractérisé par une tension \( u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \phi_u) \) et un courant \( i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_i) \). Le déphasage \( \phi = \phi_u - \phi_i \) indique la différence de phase entre la tension et le courant. #### 2. Le Circuit R-L-C Parallèle ##### 2.1. Définition Un circuit R-L-C parallèle est constitué d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) branchés en parallèle sur une même source de tension alternative. Dans cette configuration, la **tension (U)** est la **même** aux bornes de chaque composant, tandis que le **courant total** se divise entre les branches. ##### 2.2. Comportement des Composants en Courant Alternatif * **Résistance (R):** * Le courant \( I_R \) est en phase avec la tension \( U \). * \( I_R = U/R \). * **Bobine Idéale (L):** * La bobine présente une réactance inductive \( X_L = L\omega = 2\pi f L \). * Le courant \( I_L \) est en retard de 90° (\( \pi/2 \) rad) par rapport à la tension \( U \). * \( I_L = U/X_L \). * **Condensateur Idéal (C):** * Le condensateur présente une réactance capacitive \( X_C = 1/(C\omega) = 1/(2\pi f C) \). * Le courant \( I_C \) est en avance de 90° (\( \pi/2 \) rad) par rapport à la tension \( U \). * \( I_C = U/X_C \). ##### 2.3. Calcul des Courants de Branche Étant donné que la tension \( U \) est commune à toutes les branches: * Courant dans la résistance: \( I_R = \frac{U}{R} \) * Courant dans la bobine: \( I_L = \frac{U}{X_L} = \frac{U}{L\omega} \) * Courant dans le condensateur: \( I_C = \frac{U}{X_C} = U C\omega \) ##### 2.4. Le Courant Total et l'Admittance (Y) Le courant total \( \vec{I} \) fourni par la source est la somme vectorielle des courants dans chaque branche, selon la loi des nœuds: \[ \vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_L} + \vec{I_C} \] Sur un diagramme de Fresnel, les courants \( I_L \) et \( I_C \) sont en opposition de phase. Le module du courant total est donné par: \[ I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \] Le déphasage \( \phi \) entre le courant total \( I \) et la tension \( U \) est donné par: \[ \tan(\phi) = \frac{I_C - I_L}{I_R} \] L'**Admittance (Y)** est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant alternatif. C'est l'inverse de l'impédance \( Z \) (\( Y = 1/Z \)). Pour un circuit parallèle, elle est souvent plus pratique à utiliser: \[ Y = \frac{I}{U} = \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}\right)^2} \] On peut aussi écrire \( Y = \sqrt{G^2 + (B_C - B_L)^2} \), où \( G = 1/R \) est la conductance, \( B_C = 1/X_C \) la susceptance capacitive et \( B_L = 1/X_L \) la susceptance inductive. ##### 2.5. La Résonance Parallèle La résonance parallèle se produit lorsque les courants réactifs s'annulent, c'est-à-dire quand \( I_C = I_L \). Cela implique que la réactance capacitive est égale à la réactance inductive: \[ X_C = X_L \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{C\omega_0} = L\omega_0 \] La pulsation de résonance \( \omega_0 \) et la fréquence de résonance \( f_0 \) sont données par: \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{et} \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] **Caractéristiques à la résonance:** * Le courant total \( I \) est minimal et égal au courant résistif \( I_R = U/R \). * Le circuit se comporte comme une pure résistance. * Le déphasage \( \phi \) entre le courant total et la tension est nul (\( \cos(\phi) = 1 \)). * L'impédance totale \( Z \) du circuit est maximale et égale à \( R \). ### Vocabulaire * **Courant alternatif (CA):** Courant électrique dont le sens et l'intensité varient périodiquement au cours du temps. * **Montage parallèle:** Arrangement de composants électriques où la tension est la même à leurs bornes. * **Résistance (R):** Composant qui s'oppose au passage du courant et dissipe de l'énergie sous forme de chaleur. * **Bobine (L) (Inductance):** Composant qui stocke de l'énergie dans un champ magnétique et s'oppose aux variations de courant. * **Condensateur (C) (Capacité):** Composant qui stocke de l'énergie dans un champ électrique. * **Réactance inductive (\( X_L \)):** Opposition d'une bobine au courant alternatif, mesurée en ohms (\( \Omega \)). * **Réactance capacitive (\( X_C \)):** Opposition d'un condensateur au courant alternatif, mesurée en ohms (\( \Omega \)). * **Admittance (Y):** Mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant alternatif (inverse de l'impédance), mesurée en Siemens (S). * **Susceptance (B):** Partie imaginaire de l'admittance, liée aux réactances. * **Déphasage (\( \phi \)):** Angle qui exprime le décalage temporel entre la tension et le courant. * **Résonance parallèle:** Phénomène qui se produit dans un circuit R-L-C parallèle à une fréquence spécifique, où les effets des réactances inductive et capacitive s'annulent, entraînant un courant total minimal et une impédance maximale. ### Exemples pratiques #### Exemple 1: Calcul des courants et du courant total Un circuit RLC parallèle est alimenté par une tension efficace \( U = 230 \, V \) à une fréquence \( f = 50 \, Hz \). Les valeurs des composants sont : \( R = 100 \, \Omega \), \( L = 0.5 \, H \) et \( C = 20 \, \mu F \). 1. Calculez la pulsation \( \omega \) et les réactances \( X_L \) et \( X_C \). 2. Calculez les courants efficaces \( I_R \), \( I_L \) et \( I_C \) dans chaque branche. 3. Calculez le courant total efficace \( I \) et le déphasage \( \phi \) du circuit. **Solution:** 1. Pulsation: \( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \approx 314.16 \, rad/s \). Réactance inductive: \( X_L = L\omega = 0.5 \times 314.16 = 157.08 \, \Omega \). Réactance capacitive: \( X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{20 \times 10^{-6} \times 314.16} \approx 159.15 \, \Omega \). 2. Courant résistif: \( I_R = \frac{U}{R} = \frac{230}{100} = 2.3 \, A \). Courant inductif: \( I_L = \frac{U}{X_L} = \frac{230}{157.08} \approx 1.464 \, A \). Courant capacitif: \( I_C = \frac{U}{X_C} = \frac{230}{159.15} \approx 1.445 \, A \). 3. Courant total: \( I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} = \sqrt{2.3^2 + (1.445 - 1.464)^2} \) \( I = \sqrt{5.29 + (-0.019)^2} = \sqrt{5.29 + 0.000361} \approx \sqrt{5.290361} \approx 2.300 \, A \). Déphasage: \( \tan(\phi) = \frac{I_C - I_L}{I_R} = \frac{1.445 - 1.464}{2.3} = \frac{-0.019}{2.3} \approx -0.00826 \) \( \phi = \arctan(-0.00826) \approx -0.47 \, \text{degré} \). Le courant est très légèrement en retard sur la tension (circuit quasi-résistif, proche de la résonance). #### Exemple 2: Calcul de la fréquence de résonance En utilisant les valeurs de l'exemple 1 (\( L = 0.5 \, H \), \( C = 20 \, \mu F \)), quelle est la fréquence de résonance \( f_0 \) de ce circuit ? **Solution:** \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.5 \times 20 \times 10^{-6}}} \] \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} \] \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 0.003162} \approx 50.33 \, Hz \] La fréquence de résonance est de 50.33 Hz, ce qui explique pourquoi le circuit de l'exemple 1 (alimenté à 50 Hz) était très proche de la résonance. ### Exercices 1. Un circuit RLC parallèle est constitué d'une résistance de \( 50 \, \Omega \), d'une bobine de \( 100 \, mH \) et d'un condensateur de \( 50 \, \mu F \). Il est alimenté par une tension de \( 120 \, V \) (efficace) à \( 60 \, Hz \). a. Calculez la pulsation \( \omega \) de la source. b. Calculez les réactances inductive et capacitive. c. Calculez les courants efficaces dans chaque branche (\( I_R, I_L, I_C \)). d. Déterminez le courant total efficace absorbé par le circuit. e. Quel est le déphasage entre la tension et le courant total ? Le circuit est-il plutôt inductif ou capacitif ? 2. Dans un circuit RLC parallèle, la fréquence de résonance est de \( 1 \, kHz \). Si la bobine a une inductance de \( 50 \, mH \), quelle est la valeur de la capacité du condensateur nécessaire pour atteindre cette résonance ? ### Devoirs 1. Pour le circuit de l'exercice 1 (\( R = 50 \, \Omega \), \( L = 100 \, mH \), \( C = 50 \, \mu F \)), si l'on souhaite que le circuit soit en résonance, quelle devrait être la nouvelle fréquence de la source de tension ? 2. Expliquez l'importance des circuits RLC parallèles dans les applications pratiques, en donnant au moins deux exemples concrets où ils sont utilisés (par exemple, dans les filtres, les systèmes de compensation d'énergie réactive, les circuits d'accord radio). 3. Comparez les caractéristiques principales de la résonance série et de la résonance parallèle en ce qui concerne le courant, l'impédance totale et le déphasage. Créez un tableau comparatif. ### Résumé * Dans un montage RLC parallèle, la tension est la même aux bornes de chaque composant, et le courant total est la somme vectorielle des courants de branche. * Les courants dans chaque branche sont \( I_R = U/R \), \( I_L = U/X_L \) (en retard de 90°) et \( I_C = U/X_C \) (en avance de 90°). * Le courant total est calculé par \( I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \). * L'admittance \( Y = I/U \) est une mesure de la conductivité du circuit en CA. * La **résonance parallèle** se produit lorsque \( I_C = I_L \) (ou \( X_C = X_L \)), à la fréquence \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \). * À la résonance, le courant total est **minimal** (\( I = I_R \)), l'impédance totale est **maximale** (\( Z = R \)), et le déphasage est **nul**.