MECANIQUE DES FLUIDES (partie 3/4)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir le nombre de Reynolds et interpréter son rôle dans la classification des régimes d’écoulement (laminaire, transition, turbulent). - Calculer le nombre de Reynolds pour un écoulement donné en utilisant les propriétés du fluide et les caractéristiques géométriques du conduit. - Déterminer les forces de pression et de frottement exercées sur une surface immergée ou le long d’une conduite, puis en déduire la puissance utile et le rendement d’une installation de pompage ou de ventilation. - Réaliser un dimensionnement simple d’un circuit de fluide (débit, perte de charge, puissance nécessaire) à partir de données réelles (ex. : réseau d’alimentation en eau potable d’un lycée camerounais). - Appliquer les consignes de sécurité et d’hygiène liées à la manipulation des fluides sous pression (port d’équipements de protection, vérification des vannes, prévention des débordements). **Prérequis :** - Notions de base en mécanique du solide (force, travail, puissance). - Concepts de pression hydrostatique et de loi de Pascal. - Unités du Système International (SI) : m, kg, s, Pa, N, W. - Lecture et interprétation de schémas de tuyauterie simples. --- ## Introduction contextualisée Dans les milieux techniques camerounais, la maîtrise de l’écoulement des fluides conditionne la performance de nombreuses installations : adduction d’eau potable dans les zones urbaines de Yaoundé et Douala, irrigation des cultures du Nord (coton, riz), ventilation des ateliers de métallurgie à Bertoua, ou encore transport du pétrole brut par pipeline vers le terminal de Kribi. Un mauvais dimensionnement peut entraîner des surconsommations énergétiques, des usures prématurées des pompes ou des risques de rupture de conduite. Le nombre de Reynolds, introduit par Osborne Reynolds en 1883, permet de prédire si l’écoulement sera laminaire (ordre, faible perte de charge) ou turbulent (mélange intensif, pertes élevées). Cette connaissance est donc indispensable pour choisir le régime adapté, calculer les forces exercées sur les parois, estimer la puissance nécessaire et optimiser le rendement global de l’installation. --- ## I. Leçon 17 : Régimes d’écoulement – nombre de Reynolds ### 1. Définition et expression Le nombre de Reynolds \(Re\) est un nombre sans dimension qui compare les forces d’inertie aux forces de viscosité dans un écoulement : \[ Re = \frac{\rho \, v \, D}{\mu} \] où : - \(\rho\) : masse volumique du fluide (kg · m⁻³) - \(v\) : vitesse moyenne d’écoulement (m · s⁻¹) - \(D\) : diamètre hydraulique caractéristique (m) (pour un tuyau circulaire, \(D\) = diamètre intérieur) - \(\mu\) : viscosité dynamique du fluide (Pa · s) > **>** *Le nombre de Reynolds permet de classer le régime d’écoulement :* > - \(Re < 2000\) : écoulement **laminaire** (flux en couches parallèles). > - \(2000 \le Re \le 4000\) : zone de **transition** (instabilités). > - \(Re > 4000\) : écoulement **turbulent** (mélange intense, pertes de charge importantes). ### 2. Influence des paramètres - **Vitesse** : augmentation de \(v\) augmente \(Re\) linéairement → favorise le turbulent. - **Diamètre** : un conduit plus grand augmente \(Re\) → le même débit peut être laminaire dans un petit tuyau mais turbulent dans un gros. - **Viscosité** : un fluide plus visqueux (huile, sirop) diminue \(Re\) → tendance au laminaire même à vitesses élevées. - **Masse volumique** : fluides plus denses (eau salée) augmentent légèrement \(Re\). ### 3. Exemple chiffré : réseau d’alimentation en eau d’un lycée à Yaoundé Un tuyau en PVC de diamètre intérieur \(D = 50\; \text{mm} = 0,050\; \text{m}\) transporte de l’eau à 20 °C (\(\rho = 998\; \text{kg·m}^{-3}\), \(\mu = 1,002\times10^{-3}\; \text{Pa·s}\)). Le débit mesuré est \(Q = 0,015\; \text{m}^3\!·\!\text{s}^{-1}\). 1. Vitesse moyenne : \[ v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^{2}/4} = \frac{0,015}{\pi (0,050)^{2}/4} \approx 7,64\; \text{m·s}^{-1} \] 2. Nombre de Reynolds : \[ Re = \frac{998 \times 7,64 \times 0,050}{1,002\times10^{-3}} \approx 3,8\times10^{5} \] > **>** *Résultat : \(Re \approx 3,8\times10^{5} \gg 4000\) → écoulement **turbulent**. Le dimensionnement devra donc prendre en compte des pertes de charge importantes (formule de Darcy‑Weisbach). ### 4. Tableau récapitulatif des régimes typiques | Fluide (20 °C) | \(\rho\) (kg·m⁻³) | \(\mu\) (10⁻³ Pa·s) | Diamètre (mm) | Vitesse (m·s⁻¹) | \(Re\) | Régime | |----------------|-------------------|----------------------|---------------|-----------------|--------|--------| | Eau douce | 998 | 1,00 | 20 | 0,5 | 9,9×10³| Turbulent | | Huile végétale | 920 | 80 | 20 | 0,5 | 1,15×10²| Laminaire | | Air | 1,20 | 0,018 | 100 | 5 | 3,3×10⁴| Turbulent | | Eau salée (35 ‰) | 1025 | 1,08 | 50 | 2 | 9,5×10⁴| Turbulent | --- ## II. Leçon 18 : Force, Puissance, rendement ### 1. Forces exercées par un fluide en écoulement Lorsqu’un fluide rencontre une surface (paroi d’un tuyau, aube d’une turbine, vanne), deux types de forces apparaissent : - **Force de pression** : normale à la surface, liée à la différence de pression amont/aval. - **Force de frottement (ou traînée)** : tangentielle, due à la viscosité et au gradient de vitesse près de la paroi (couche limite). La résultante de ces forces sur une surface \(S\) s’écrit : \[ \vec{F} = \int_{S} \bigl( -p\,\vec{n} + \tau\,\vec{t} \bigr)\, dS \] où \(p\) est la pression locale, \(\tau\) la contrainte de cisaillement, \(\vec{n}\) le vecteur normal sortant et \(\vec{t}\) le vecteur tangent. ### 2. Puissance utile d’une machine fluide La puissance transmise par le fluide à un organe mécanique (pompe, turbine, ventilateur) est le produit du débit volumique \(Q\) par la différence de pression utile \(\Delta p\) : \[ \boxed{P_{\text{utile}} = Q \,\Delta p} \] - \(Q\) en m³·s⁻¹, \(\Delta p\) en Pa → \(P\) en W. - Si le fluide effectue un travail de levage (hauteur géométrique \(H\)), on peut écrire \(\Delta p = \rho g H\) (avec \(g = 9,81\; \text{m·s}^{-2}\)). ### 3. Rendement énergétique Le rendement \(\eta\) d’une installation est le rapport entre la puissance utile délivrée au fluide et la puissance consommée par le moteur d’entraînement : \[ \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{cons}}} \times 100\% \] Un bon rendement se situe généralement entre 70 % et 90 % pour des pompes centrifuges bien dimensionnées. ### 4. Exemple de dimensionnement : pompe de relevage pour un champ de riz à Maroua Données : - Débit requis \(Q = 0,025\; \text{m}^3\!·\!\text{s}^{-1}\) (≈ 90 m³/h). - Hauteur manométrique totale \(H = 12\; \text{m}\) (incluant pertes de charge estimées à 3 m). - Eau à 25 °C → \(\rho = 997\; \text{kg·m}^{-3}\). - Rendement cible de la pompe \(\eta = 0,78\). **Calcul de la pression utile** : \[ \Delta p = \rho g H = 997 \times 9,81 \times 12 \approx 1,17\times10^{5}\; \text{Pa} \] **Puissance utile** : \[ P_{\text{utile}} = Q \Delta p = 0,025 \times 1,17\times10^{5} \approx 2,93\times10^{3}\; \text{W}=2,93\; \text{kW} \] **Puissance consommée** : \[ P_{\text{cons}} = \frac{P_{\text{utile}}}{\eta}= \frac{2,93}{0,78}\approx 3,76\; \text{kW} \] > **>** *Il faut donc sélectionner une pompe électrique d’au moins 4 kW (marque standard, classe IE2) pour assurer le débit souhaité avec un rendement de 78 %.* ### 5. Tableau de conversion des unités de puissance | Unité | Symbole | Équivalent en watts | |-------|---------|---------------------| | Watt | W | 1 W | | Kilowatt | kW | 1 000 W | | Cheval vapeur (metric) | ch | 735,5 W | | Horsepower (imperial) | hp | 746 W | --- ## III. Leçon 19 : TD – Calculs des paramètres liés à la circulation des fluides (Partie A) Cette partie traite des exercices de mise en application : détermination du débit, de la perte de charge, du diamètre nécessaire et de la puissance d’une pompe, à partir de données réelles d’un chantier camerounais. ### 1. Méthodologie de résolution (pas à pas) 1. **Lister les grandeurs connues** : débit souhaité \(Q\), longueur de conduite \(L\), rugosité \(\varepsilon\), propriétés du fluide (\(\rho,\mu\)), hauteur géométrique \(H\). 2. **Choisir une formule de perte de charge** : pour écoulement turbulent, on utilise l’équation de Darcy‑Weisbach \[ \Delta p_f = f \,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^{2}}{2} \] où le facteur de frottement \(f\) s’obtient via l’équation de Colebrook‑White (approximation de Haaland pour simplifier) : \[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1,8 \log_{10}\!\left[ \left(\frac{\varepsilon/D}{3,7}\right)^{1,11} + \frac{6,9}{Re} \right] \] 3. **Calculer la vitesse** à partir d’un diamètre supposé \(D\) (ou itérer pour trouver \(D\) qui satisfait une perte de charge admissible). 4. **Vérifier le régime** avec le nombre de Reynolds. 5. **Déterminer la puissance nécessaire** : \(P = Q (\Delta p_{\text{stat}} + \Delta p_f)/\eta\). 6. **Contrôler les normes de sécurité** : pression de service < 0,8 × pression de rupture du matériau, présence de clapets anti‑retour, purge d’air. ### 2. Exercice complet : dimensionnement d’une conduite d’alimentation d’un forage à Ngaoundéré **Énoncé** Un forage fournit de l’eau souterraine à un débit de \(Q = 0,018\; \text{m}^3\!·\!\text{s}^{-1}\) (≈ 65 m³/h). L’eau doit être acheminée sur une distance horizontale \(L = 350\; \text{m}\) jusqu’à un réservoir surélevé de hauteur \(H = 8\; \text{m}\) au-dessus du niveau du forage. Le tuyau envisagé est en acier galvanisé, rugosité \(\varepsilon = 0,045\; \text{mm}\). On accepte une perte de charge maximale de 30 % de la hauteur géométrique (soit \(\Delta p_{f,\max}=0,3\rho g H\)). Le rendement de la pompe est estimé à \(\eta = 0,75\). Déterminer : a) Le diamètre intérieur minimal du tuyau. b) Le nombre de Reynolds correspondant. c) La puissance nécessaire de la pompe. **Données du fluide (eau à 20 °C)** : \(\rho = 998\; \text{kg·m}^{-3}\), \(\mu = 1,002\times10^{-3}\; \text{Pa·s}\). **Résolution** **Étape 1 – Perte de charge admissible** \[ \Delta p_{f,\max}=0,3 \rho g H =0,3 \times 998 \times 9,81 \times 8 \approx 2,35\times10^{4}\; \text{Pa} \] **Étape 2 – Expression de la perte de charge en fonction de D** Vitesse : \(v = \dfrac{4Q}{\pi D^{2}}\). Perte de charge (Darcy‑Weisbach) : \[ \Delta p_f = f \frac{L}{D} \frac{\rho v^{2}}{2} = f \frac{8 L \rho Q^{2}}{\pi^{2} D^{5}} \] **Étape 3 – Estimation initiale du facteur de frottement** On commence avec une valeur typique pour l’acier neuf : \(f \approx 0,02\). **Étape 4 – Résolution pour D** On impose \(\Delta p_f = \Delta p_{f,\max}\) : \[ 0,02 \frac{8 L \rho Q^{2}}{\pi^{2} D^{5}} = \Delta p_{f,\max} \] \[ D^{5}= \frac{0,02 \times 8 L \rho Q^{2}}{\pi^{2} \Delta p_{f,\max}} \] En remplaçant les valeurs : \[ D^{5}= \frac{0,02 \times 8 \times 350 \times 998 \times (0,018)^{2}} {\pi^{2} \times 2,35\times10^{4}} \approx 7,8\times10^{-5}\; \text{m}^{5} \] \[ D = (7,8\times10^{-5})^{1/5} \approx 0,151\; \text{m}=151\; \text{mm} \] On arrondit à la taille commerciale supérieure : **D = 160 mm** (tube DN 160) ou on peut choisir DN 150 mm après vérification détaillée. **Étape 5 – Vérification du facteur de frottement avec Haaland** Pour \(D=0,150\; \text{m}\) : \[ \frac{\varepsilon}{D}= \frac{0,045}{150}=3,0\times10^{-4} \] \[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1,8 \log_{10}\!\left[ \left(\frac{3,0\times10^{-4}}{3,7}\right)^{1,11} + \frac{6,9}{Re} \right] \] En supposant initialement \(Re\) élevé, le terme \(6,9/Re\) est négligeable : \[ \left(\frac{3,0\times10^{-4}}{3,7}\right)=8,11\times10^{-5} \] \[ (8,11\times10^{-5})^{1,11}= 2,9\times10^{-5} \] \[ -1,8 \log_{10}(2,9\times10^{-5}) = -1,8 \times (-4,54)=8,17 \] \[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx 8,17 \;\Rightarrow\; f \approx \frac{1}{8,17^{2}} \approx 0,015 \] En incluant le terme \(6,9/Re\) (avec \(Re\approx1,5\times10^{5}\)) on obtient \(f\approx0,018\). On adoptera \(f=0,018\). **Étape 6 – Calcul du nombre de Reynolds et de la vitesse** Vitesse avec \(D=0,150\; \text{m}\) : \[ v = \frac{4Q}{\pi D^{2}} = \frac{4 \times 0,018}{\pi \times 0,15^{2}} = \frac{0,072}{\pi \times 0,0225} = \frac{0,072}{0,0707} \approx 1,02\; \text{m·s}^{-1} \] \[ Re = \frac{\rho v D}{\mu}= \frac{998 \times 1,02 \times 0,15}{1,002\times10^{-3}} \approx \frac{152,5}{1,002\times10^{-3}} \approx 1,5\times10^{5} \] > **>** *\(Re \approx 1,5\times10^{5} \gg 4000\) → écoulement turbulent, conforme à l’hypothèse de perte de charge utilisée.* **Étape 7 – Perte de charge réelle** \[ \Delta p_f = f \frac{L}{D} \frac{\rho v^{2}}{2} = 0,018 \times \frac{350}{0,15} \times \frac{998 \times (1,02)^{2}}{2} \] \[ \frac{L}{D}=2\,333,3 \] \[ v^{2}=1,04 \] \[ \frac{\rho v^{2}}{2}= \frac{998 \times 1,04}{2}=519\; \text{Pa} \] \[ \Delta p_f =0,018 \times 2\,333,3 \times 519 \approx 0,018 \times 1\,210\,000 \approx 2,18\times10^{4}\; \text{Pa} \] Cette valeur est inférieure à la perte admissible \(\Delta p_{f,\max}=2,35\times10^{4}\; \text{Pa}\) ; le diamètre DN 150 mm est donc acceptable. **Étape 8 – Puissance nécessaire de la pompe** Pression statique : \(\Delta p_{\text{stat}} = \rho g H = 998 \times 9,81 \times 8 = 78\,300\; \text{Pa}\) Pression totale : \(\Delta p_{\text{total}} = \Delta p_{\text{stat}} + \Delta p_f = 78\,300 + 21\,800 = 100\,100\; \text{Pa}\) Puissance utile : \(P_{\text{utile}} = Q \Delta p_{\text{total}} = 0,018 \times 100\,100 \approx 1\,802\; \text{W}=1,80\; \text{kW}\) Puissance consommée : \(P_{\text{cons}} = \dfrac{P_{\text{utile}}}{\eta}= \dfrac{1,80}{0,75}=2,40\; \text{kW}\) > **>** *Une pompe d’environ 2,4 kW (rendement 75 %) suffira pour alimenter le forage avec un tuyau DN 150 mm sur 350 m, en respectant la perte de charge maximale de 30 % de la hauteur géométrique.* Ce TD montre comment on passe d’une première estimation (DN 40) à une solution réaliste (DN 150) en intégrant les contraintes de vitesse, de perte de charge et de rendement. --- ## Synthèse du chapitre - **Nombre de Reynolds** : \(Re = \dfrac{\rho v D}{\mu}\). - \(Re<2000\) : laminaire. - \(2000\le Re\le4000\) : transition. - \(Re>4000\) : turbulent. - **Force de pression** : \(F_{p}=p\,S\) (normale à la surface). - **Force de frottement** : \(F_{f}= \tau \, S\) (tangente, liée à la couche limite). - **Puissance utile** : \(P_{\text{utile}} = Q\,\Delta p\). - **Rendement** : \(\displaystyle \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{cons}}}\times100\%\). - **Perte de charge (Darcy‑Weisbach)** : \(\displaystyle \Delta p_f = f \frac{L}{D}\frac{\rho v^{2}}{2}\). - **Facteur de frottement** : équation de Colebrook‑White ou approximation de Haaland. - **Dimensionnement d’une conduite** : 1. Déterminer une vitesse admissible (souvent 1–2 m/s pour l’eau). 2. Calculer le diamètre nécessaire \(D = \sqrt{4Q/(\pi v)}\). 3. Vérifier \(Re\) et choisir \(f\). 4. Calculer \(\Delta p_f\) et s’assurer qu’il respecte la limite fixée. 5. Déterminer la puissance de pompe \(P = Q(\Delta p_{\text{stat}}+\Delta p_f)/\eta\). - **Sécurité / hygiène** : - Vérifier la pression de service < 0,8 × pression de rupture du matériau. - Installer des clapets anti‑retour et des purgeurs d’air. - Porter des gants, lunettes de protection et chaussures de sécurité lors de la manipulation de tuyaux sous pression. - Effectuer un essai à pression hydrostatique (1,5× service) avant mise en service. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Nombre de Reynolds (\(Re\)) | Nombre sans dimension caractérisant le rapport entre forces d’inertie et forces de viscosité dans un écoulement. | | Écroulement laminaire | Régime où les particules de fluide se déplacent en couches parallèles, sans mélange macroscopique. | | Écroulement turbulent | Régime marqué par des fluctuations aléatoires, un mélange intense et des pertes de charge élevées. | | Viscosité dynamique (\(\mu\)) | Mesure de la résistance interne d’un fluide à l’écoulement (Pa·s). | | Diamètre hydraulique (\(D\)) | Pour un conduit circulaire, le diamètre intérieur ; pour une section non circulaire, \(4A/P\). | | Pérte de charge (\(\Delta p_f\)) | Diminution de pression due au frottement du fluide contre les parois d’une conduite. | | Facteur de frottement (\(f\)) | Coefficient adimensionnel dépendant de \(Re\) et de la rugosité relative, utilisé dans l’équation de Darcy‑Weisbach. | | Rendement (\(\eta\)) | Rapport entre la puissance utile transmise au fluide et la puissance consommée par le moteur, exprimé en pourcentage. | | Hauteur manométrique (\(H\)) | Somme de la hauteur géométrique et des pertes de charge, exprimée en mètres de colonne d’eau. | | Débit volumique (\(Q\)) | Volume de fluide traversant une section donnée par unité de temps (m³·s⁻¹). | | Pompe centrifuge | Machine qui augmente la pression d’un fluide grâce à l’action d’une roue rotative impartant une vitesse radiale puis convertie en pression. | | Clapet anti‑retour | Dispositif permettant le passage du fluide dans un seul sens, empêchant le reflux. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 : Détermination du régime d’écoulement dans un système d’irrigation **Données** - Tuyau en PVC, diamètre intérieur \(D = 32\; \text{mm}\). - Débit d’eau \(Q = 6,0\; \text{L·min}^{-1}\). - Température de l’eau \(20\;^\circ\text{C}\) (\(\rho = 998\; \text{kg·m}^{-3}\), \(\mu = 1,002\times10^{-3}\; \text{Pa·s}\)). **Questions** a) Calculer la vitesse moyenne \(v\). b) Calculer le nombre de Reynolds \(Re\). c) Déterminer le régime d’écoulement. **Corrigé** a) Conversion du débit : \[ Q = 6,0\; \text{L·min}^{-1}= \frac{6,0}{1000}\;\text{m}^{3}\!·\!\text{min}^{-1}=0,006\;\text{m}^{3}\!·\!\text{min}^{-1} \] \[ Q = \frac{0,006}{60}=1,0\times10^{-4}\;\text{m}^{3}\!·\!\text{s}^{-1} \] Vitesse : \[ A = \frac{\pi D^{2}}{4}= \frac{\pi (0,032)^{2}}{4}=8,04\times10^{-4}\;\text{m}^{2} \] \[ v = \frac{Q}{A}= \frac{1,0\times10^{-4}}{8,04\times10^{-4}}=0,124\;\text{m·s}^{-1} \] b) Nombre de Reynolds : \[ Re = \frac{\rho v D}{\mu}= \frac{998 \times 0,124 \times 0,032}{1,002\times10^{-3}} = \frac{3,96}{1,002\times10^{-3}} \approx 3,95\times10^{3} \] c) Puisque \(2000 < Re \approx 3950 < 4000\), l’écoulement se situe dans la **zone de transition**, proche du régime turbulent. En pratique, on considérera un écoulement turbulent pour garantir une bonne répartition de l’eau dans les goutteurs. --- ### Exercice 2 : Puissance nécessaire pour remonter l’eau d’un puits **Données** - Débit requis \(Q = 0,020\; \text{m}^{3}\!·\!\text{s}^{-1}\). - Hauteur géométrique \(H = 15\; \text{m}\). - Pérte de charge estimée dans la conduite \(\Delta p_f = 1,2\times10^{4}\; \text{Pa}\). - Rendement de la pompe \(\eta = 0,70\). - Eau à 25 °C (\(\rho = 997\; \text{kg·m}^{-3}\)). **Questions** a) Calculer la pression statique \(\Delta p_{\text{stat}}\). b) Déterminer la pression totale à fournir. c) Calculer la puissance utile et la puissance consommée. **Corrigé** a) \(\displaystyle \Delta p_{\text{stat}} = \rho g H = 997 \times 9,81 \times 15 = 1,47\times10^{5}\; \text{Pa}\) b) \(\displaystyle \Delta p_{\text{total}} = \Delta p_{\text{stat}} + \Delta p_f = 1,47\times10^{5} + 1,2\times10^{4} = 1,59\times10^{5}\; \text{Pa}\) c) Puissance utile : \[ P_{\text{utile}} = Q \Delta p_{\text{total}} = 0,020 \times 1,59\times10^{5}=3,18\times10^{3}\; \text{W}=3,18\; \text{kW} \] Puissance consommée : \[ P_{\text{cons}} = \frac{P_{\text{utile}}}{\eta}= \frac{3,18}{0,70}=4,54\; \text{kW} \] > **>** *Il faut donc prévoir une pompe d’au moins 4,6 kW (rendement 70 %) pour assurer le débit demandé.* --- ### Exercice 3 : Vérification de la perte de charge dans une conduite de gaz naturel **Données** - Gaz naturel (méthane approximatif) à 20 °C, \(\rho = 0,68\; \text{kg·m}^{-3}\), \(\mu = 1,1\times10^{-5}\; \text{Pa·s}\). - Tuyau en acier, diamètre intérieur \(D = 100\; \text{mm}\). - Longueur \(L = 500\; \text{m}\). - Débit volumique \(Q = 0,12\; \text{m}^{3}\!·\!\text{s}^{-1}\). - Rugosité \(\varepsilon = 0,045\; \text{mm}\). **Questions** a) Calculer le nombre de Reynolds et préciser le régime. b) Estimer le facteur de frottement \(f\) avec l’approximation de Haaland. c) Déterminer la perte de charge \(\Delta p_f\). **Corrigé** a) Vitesse : \[ A = \frac{\pi D^{2}}{4}= \frac{\pi (0,10)^{2}}{4}=7,85\times10^{-3}\; \text{m}^{2} \] \[ v = \frac{Q}{A}= \frac{0,12}{7,85\times10^{-3}}=15,3\; \text{m·s}^{-1} \] \[ Re = \frac{\rho v D}{\mu}= \frac{0,68 \times 15,3 \times 0,10}{1,1\times10^{-5}} = \frac{1,04}{1,1\times10^{-5}} \approx 9,5\times10^{4} \] \(Re \gg 4000\) → écoulement **turbulent**. b) Rugosité relative : \(\varepsilon/D = 0,045/100 = 4,5\times10^{-4}\). Approximation de Haaland : \[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1,8 \log_{10}\!\left[ \left(\frac{\varepsilon/D}{3,7}\right)^{1,11} + \frac{6,9}{Re} \right] \] \[ \frac{\varepsilon/D}{3,7}= \frac{4,5\times10^{-4}}{3,7}=1,22\times10^{-4} \] \[ \left(1,22\times10^{-4}\right)^{1,11}= 9,5\times10^{-5} \] \[ \frac{6,9}{Re}= \frac{6,9}{9,5\times10^{4}}=7,3\times10^{-5} \] Somme : \(9,5\times10^{-5}+7,3\times10^{-5}=1,68\times10^{-4}\) \[ \log_{10}(1,68\times10^{-4}) = -3,775 \] \[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1,8 \times (-3,775)=6,795 \] \[ \sqrt{f} \approx \frac{1}{6,795}=0,147 \] \[ f \approx 0,0216 \] c) Perte de charge : \[ \Delta p_f = f \frac{L}{D} \frac{\rho v^{2}}{2} \] \[ \frac{L}{D}= \frac{500}{0,10}=5\,000 \] \[ v^{2}= (15,3)^{2}=234 \] \[ \frac{\rho v^{2}}{2}= \frac{0,68 \times 234}{2}=79,6\; \text{Pa} \] \[ \Delta p_f = 0,0216 \times 5\,000 \times 79,6 = 0,0216 \times 398\,000 \approx 8\,600\; \text{Pa}=8,6\; \text{kPa} \] > **>** *La perte de charge dans cette conduite de gaz naturel est d’environ 8,6 kPa, soit environ 0,088 m de colonne d’eau, ce qui est généralement acceptable pour un transport à basse pression.* --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | **Confondre débit massique et débit volumique** (utiliser \(Q\) en kg·s⁻¹ dans la formule \(P=Q\Delta p\)). | Sous‑ ou sur‑estimation de la puissance nécessaire, risque de sous‑dimensionnement de la pompe. | Toujours vérifier l’unité du débit : si on travaille avec la puissance hydraulique, utiliser le débit volumique \(Q\) (m³·s⁻¹). Si on a un débit massique \(\dot{m}\), convertir par \(Q = \dot{m}/\rho\). | | 2 | **Négliger la perte de charge dans les calculs de hauteur manométrique** (ne considérer que la hauteur géométrique). | La pompe sélectionnée sera insuffisante, le débit réel sera inférieur au besoin. | Ajouter systématiquement \(\Delta p_f\) (ou \(h_f = \Delta p_f/(\rho g)\)) à la hauteur géométrique pour obtenir la hauteur manométrique totale \(H_m\). | | 3 | **Utiliser une valeur de viscosité inadaptée à la température réelle** (ex. : viscosité de l’eau à 20 °C alors que le fluide est à 45 °C). | Erreur sur le nombre de Reynolds, mauvaise prédiction du régime, dimensionnement inadéquat du diamètre. | Consulter les tables de propriétés thermophysiques à la température de fonctionnement ou utiliser la corrélation \(\mu(T)\) appropriée. | | 4 | **Oublier d’installer un clapet anti‑retour** sur une conduite de refoulement d’une pompe. | Retour du fluide lorsque la pompe s’arrête, risque de cavitation, contamination du réseau amont. | Imposer systématiquement un clapet anti‑retour immédiatement après le refoulement de chaque pompe, conformément aux normes NF EN 806‑1 (ou équivalent camerounais). | | 5 | **Négliger la vérification de la pression de service vs. pression de rupture du matériau** (ex. : utiliser un tuyau PVC à 16 bar alors que la pression de service est 18 bar). | Risque de rupture brutale, projection de débris, danger pour le personnel. | Appliquer le facteur de sécurité : \(P_{service} \le 0,8 \times P_{rupture}\) (ou suivre les recommandations du fabricant). Effectuer un essai hydrostatique à 1,5× la pression de service avant mise en service. | | 6 | **Utiliser une formule de perte de charge laminaire (Hagen‑Poiseuille) pour un écoulement turbulent**. | Sous‑estimation importante des pertes, dimensionnement trop petit du conduit. | Toujours vérifier le régime via \(Re\) avant de choisir la formule : si \(Re>2000\) (ou >4000 selon la norme utilisée), employer Darcy‑Weisbach avec le facteur de frottement adapté. | --- *Fin du cours.*