Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

# Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique ## Introduction L'énergie cinétique est une notion fondamentale de la mécanique qui quantifie l'énergie possédée par un corps du fait de son mouvement. Introduite par le physicien français Gustave-Gaspard Coriolis au XIXe siècle, elle permet de relier la masse et la vitesse d'un système à sa capacité à produire des effets mécaniques. Dans ce chapitre, nous étudierons l'énergie cinétique pour deux types de mouvements — la translation et la rotation — puis nous énoncerons et appliquerons le théorème de l'énergie cinétique (TEC), outil puissant pour résoudre des problèmes de mécanique sans passer par les équations différentielles du mouvement. --- ## I. Définition et unité de l'énergie cinétique d'un solide en translation et en rotation ### I.1. Énergie cinétique d'un solide en translation **Définition :** Un solide est en mouvement de translation lorsque tout segment joignant deux points quelconques du solide reste parallèle à lui-même au cours du mouvement. Dans ce cas, tous les points du solide ont, à chaque instant, la même vitesse vectorielle $\vec{v}$. **Énergie cinétique de translation :** L'énergie cinétique d'un solide de masse $m$ en translation, dont la vitesse est $v$, est donnée par : $$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $$ > **À retenir :** L'énergie cinétique d'un solide en translation est $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Elle est toujours positive ou nulle, exprimée en joules (J) dans le Système International. **Unités :** Dans le Système International : - La masse $m$ s'exprime en kilogrammes (kg) ; - La vitesse $v$ s'exprime en mètres par seconde (m/s) ; - L'énergie cinétique $E_c$ s'exprime en joules (J), avec $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}$. **Vérification dimensionnelle :** $$[E_c] = [m] \cdot [v]^2 = \text{kg} \cdot (\text{m/s})^2 = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} = \text{J}$$ **Exemple numérique :** Un camion de masse $m = 2{,}0 \times 10^3\ \text{kg}$ roule à la vitesse $v = 72\ \text{km/h}$. Calculons son énergie cinétique. *Conversion de la vitesse :* $v = 72\ \text{km/h} = \dfrac{72 \times 10^3}{3600}\ \text{m/s} = 20\ \text{m/s}$. *Application numérique :* $$E_c = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times 10^3 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times 10^3 \times 400 = 4{,}0 \times 10^5\ \text{J} = 400\ \text{kJ}$$ ### I.2. Énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe **Définition :** Un solide est en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ lorsque chaque point du solide décrit un cercle centré sur l'axe $\Delta$, dans un plan perpendiculaire à cet axe. La vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s) est la même pour tous les points du solide. **Moment d'inertie :** Le moment d'inertie $J_\Delta$ d'un solide par rapport à l'axe de rotation $\Delta$ caractérise la répartition de la masse autour de cet axe. Il s'exprime en $\text{kg} \cdot \text{m}^2$. Pour un point matériel de masse $m$ situé à la distance $r$ de l'axe : $$J_\Delta = m r^2$$ Pour un solide, le moment d'inertie est la somme des contributions de tous ses points : $$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2$$ **Énergie cinétique de rotation :** L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$, avec une vitesse angulaire $\omega$, est : $$ E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2 $$ > **À retenir :** L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe est $E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2$, où $J_\Delta$ est le moment d'inertie (en $\text{kg}\cdot\text{m}^2$) et $\omega$ la vitesse angulaire (en rad/s). **Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire :** Pour un point situé à la distance $r$ de l'axe, la vitesse linéaire est $v = r\omega$. On vérifie alors la cohérence entre les deux expressions pour un point matériel : $$E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2 = \frac{1}{2} (m r^2) \omega^2 = \frac{1}{2} m (r\omega)^2 = \frac{1}{2} m v^2$$ **Moments d'inertie de quelques solides homogènes de masse $m$ :** | Solide | Axe de rotation | Moment d'inertie | |--------|-----------------|------------------| | Anneau (cercle) de rayon $R$ | Axe perpendiculaire au plan, passant par le centre | $J = mR^2$ | | Disque ou cylindre plein de rayon $R$ | Axe de symétrie | $J = \frac{1}{2} mR^2$ | | Sphère pleine de rayon $R$ | Diamètre | $J = \frac{2}{5} mR^2$ | | Barre de longueur $L$ | Axe perpendiculaire passant par le centre | $J = \frac{1}{12} mL^2$ | **Exemple numérique :** Un volant d'inertie est un disque homogène de masse $m = 50\ \text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}40\ \text{m}$. Il tourne à la fréquence de rotation $N = 300\ \text{tr/min}$. Calculons son énergie cinétique. *Moment d'inertie :* $J = \frac{1}{2} m R^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0{,}40)^2 = 25 \times 0{,}16 = 4{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. *Vitesse angulaire :* $N = 300\ \text{tr/min} = \dfrac{300}{60}\ \text{tr/s} = 5\ \text{tr/s}$, donc $\omega = 2\pi N = 2\pi \times 5 = 10\pi\ \text{rad/s} \approx 31{,}4\ \text{rad/s}$. *Énergie cinétique :* $$E_c = \frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{1}{2} \times 4{,}0 \times (10\pi)^2 = 2{,}0 \times 100\pi^2 = 200\pi^2 \approx 1{,}97 \times 10^3\ \text{J}$$ ### I.3. Cas général : mouvement combiné (translation + rotation) Lorsqu'un solide est animé à la fois d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation (cas d'une roue qui roule sans glisser, par exemple), son énergie cinétique totale est la somme de l'énergie cinétique de translation du centre de masse et de l'énergie cinétique de rotation autour du centre de masse : $$ E_c = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2 $$ où $v_G$ est la vitesse du centre de masse $G$ et $J_G$ le moment d'inertie par rapport à l'axe passant par $G$. > **À retenir :** Pour un mouvement combiné (roulement sans glissement par exemple), l'énergie cinétique totale est $E_c = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2$. Dans le cas du roulement sans glissement, on a la relation $v_G = R\omega$ (où $R$ est le rayon de la roue). --- ## II. Énoncé et contexte d'utilisation du théorème de l'énergie cinétique ### II.1. Travail d'une force **Définition :** Le travail d'une force constante $\vec{F}$ dont le point d'application se déplace d'un vecteur $\vec{AB}$ est : $$ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha $$ où $\alpha$ est l'angle entre la force $\vec{F}$ et le déplacement $\vec{AB}$. **Unités :** Le travail s'exprime en joules (J). Le travail est une grandeur algébrique : - Si $0 \le \alpha < 90°$, le travail est moteur ($W > 0$) ; - Si $\alpha = 90°$, le travail est nul ($W = 0$) ; - Si $90° < \alpha \le 180°$, le travail est résistant ($W < 0$). **Travail du poids :** Pour un corps de masse $m$ se déplaçant entre deux points d'altitudes $z_A$ et $z_B$ : $$W_{AB}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)$$ **Travail d'une force de frottement constante :** Pour une force de frottement $\vec{f}$ opposée au déplacement, de norme constante $f$ : $$W_{AB}(\vec{f}) = -f \cdot AB$$ ### II.2. Énoncé du théorème de l'énergie cinétique **Théorème de l'énergie cinétique (TEC) :** Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants : $$ \Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{ext}}) $$ > **À retenir :** Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{ext}})$. Ce théorème est valable dans un référentiel galiléen, pour un solide en translation, en rotation ou en mouvement combiné. **Contexte d'utilisation :** Le TEC est particulièrement utile lorsque : - On connaît les forces appliquées et qu'on cherche une vitesse ou une position ; - On connaît les vitesses initiale et finale et qu'on cherche une force (ou un travail) ; - On veut déterminer une distance de freinage, une hauteur atteinte, une vitesse en bas d'une pente, etc. Le TEC relie les états (positions et vitesses) sans faire intervenir le temps ni l'accélération, ce qui simplifie considérablement les calculs par rapport à l'utilisation de la deuxième loi de Newton. **Cas particuliers :** - Si le solide part du repos ($v_A = 0$) et que toutes les forces sont conservatives (poids, force élastique), on retrouve la conservation de l'énergie mécanique ; - Si la somme des travaux est nulle, l'énergie cinétique est constante (mouvement uniforme). ### II.3. Puissance d'une force **Définition :** La puissance moyenne d'une force est le travail par unité de temps : $$P = \frac{W}{\Delta t}$$ Pour une force constante $\vec{F}$ appliquée à un point animé d'une vitesse $\vec{v}$, la puissance instantanée est : $$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos\alpha$$ **Unité :** La puissance s'exprime en watts (W), avec $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$. --- ## III. Application du théorème dans des cas simples (translation, rotation, mouvement combiné) pour résoudre des problèmes ### III.1. Application en translation : freinage d'un véhicule **Problème :** Une voiture de masse $m = 1{,}2 \times 10^3\ \text{kg}$ roule à la vitesse $v_0 = 90\ \text{km/h}$ sur une route horizontale. Le conducteur freine ; la force de freinage totale (supposée constante) a pour norme $F = 6{,}0 \times 10^3\ \text{N}$. On néglige les autres frottements. Calculer la distance de freinage $d$. **Solution :** *Étape 1 — Conversion :* $v_0 = 90\ \text{km/h} = \dfrac{90 \times 10^3}{3600} = 25\ \text{m/s}$. *Étape 2 — Bilan des forces :* Le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{R}_N$ sont perpendiculaires au déplacement horizontal, donc leur travail est nul. Seule la force de freinage $\vec{F}$ travaille, et elle est opposée au déplacement : $W(\vec{F}) = -F \cdot d$. *Étape 3 — Application du TEC :* L'état initial A correspond à $v_A = v_0$, l'état final B correspond à l'arrêt ($v_B = 0$). $$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = 0 - \frac{1}{2} m v_0^2 = -\frac{1}{2} m v_0^2$$ D'après le TEC : $$-\frac{1}{2} m v_0^2 = -F \cdot d$$ *Étape 4 — Résolution :* $$d = \frac{m v_0^2}{2F} = \frac{1{,}2 \times 10^3 \times (25)^2}{2 \times 6{,}0 \times 10^3} = \frac{1{,}2 \times 10^3 \times 625}{1{,}2 \times 10^4} = \frac{7{,}5 \times 10^5}{1{,}2 \times 10^4} = 62{,}5\ \text{m}$$ **Réponse :** La distance de freinage est $d = 62{,}5\ \text{m}$. **Remarque :** La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse. Si la vitesse double, la distance de freinage est multipliée par 4. ### III.2. Application en translation avec variation d'altitude : chute libre et plan incliné **Problème :** Un skieur de masse $m = 80\ \text{kg}$ s'élance sans vitesse initiale du sommet d'une piste inclinée de $30°$ par rapport à l'horizontale. La longueur de la piste est $L = 200\ \text{m}$. On néglige les frottements. Calculer la vitesse du skieur en bas de la piste. **Solution :** *Étape 1 — Bilan des forces :* Le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{R}_N$ (perpendiculaire à la piste, donc travail nul). *Étape 2 — Travail du poids :* La dénivellation est $h = L \sin 30° = 200 \times 0{,}5 = 100\ \text{m}$. $$W(\vec{P}) = m g h = 80 \times 9{,}81 \times 100 = 7{,}85 \times 10^4\ \text{J}$$ *Étape 3 — Application du TEC :* État initial A (sommet, $v_A = 0$), état final B (bas de la piste, vitesse $v_B$). $$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \frac{1}{2} m v_B^2 - 0 = W(\vec{P})$$ $$\frac{1}{2} \times 80 \times v_B^2 = 7{,}85 \times 10^4$$ *Étape 4 — Résolution :* $$v_B^2 = \frac{2 \times 7{,}85 \times 10^4}{80} = \frac{1{,}57 \times 10^5}{80} = 1{,}96 \times 10^3$$ $$v_B = \sqrt{1{,}96 \times 10^3} \approx 44{,}3\ \text{m/s}$$ **Réponse :** La vitesse en bas de la piste est $v_B \approx 44{,}3\ \text{m/s}$ (soit environ $159\ \text{km/h}$). **Vérification par conservation de l'énergie mécanique :** $\frac{1}{2} m v_B^2 = m g h$, donc $v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 100} = \sqrt{1962} \approx 44{,}3\ \text{m/s}$. Les deux méthodes concordent. ### III.3. Application en rotation : volant d'inertie **Problème :** Un volant d'inertie est un disque homogène de masse $m = 40\ \text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}50\ \text{m}$, monté sur un axe horizontal. Il est initialement au repos. Un moteur exerce un couple de moment constant $M = 25\ \text{N}\cdot\text{m}$ pendant $t = 10\ \text{s}$. Calculer la vitesse angulaire finale du volant. **Solution :** *Étape 1 — Moment d'inertie :* $J = \frac{1}{2} m R^2 = \frac{1}{2} \times 40 \times (0{,}50)^2 = 20 \times 0{,}25 = 5{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. *Étape 2 — Travail du couple :* Pour un couple de moment constant $M$ agissant sur un angle de rotation $\theta$, le travail est $W = M \theta$. *Étape 3 — Relation entre angle et vitesse angulaire :* Pour un mouvement de rotation uniformément accéléré, on a $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ et $\omega = \alpha t$, donc $\theta = \frac{1}{2} \omega t$. *Étape 4 — Application du TEC :* $$\Delta E_c = \frac{1}{2} J \omega^2 - 0 = M \theta = M \times \frac{1}{2} \omega t$$ $$\frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{1}{2} M \omega t$$ Si $\omega \neq 0$ : $$J \omega = M t$$ *Étape 5 — Résolution :* $$\omega = \frac{M t}{J} = \frac{25 \times 10}{5{,}0} = 50\ \text{rad/s}$$ **Réponse :** La vitesse angulaire finale est $\omega = 50\ \text{rad/s}$, soit environ $477\ \text{tr/min}$. **Vérification :** On peut aussi utiliser la relation fondamentale de la dynamique de rotation : $M = J \alpha$, donc $\alpha = \frac{M}{J} = \frac{25}{5} = 5\ \text{rad/s}^2$, puis $\omega = \alpha t = 5 \times 10 = 50\ \text{rad/s}$. Les deux méthodes concordent. ### III.4. Application en mouvement combiné : roulement sans glissement **Problème :** Une sphère pleine homogène de masse $m = 2{,}0\ \text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}10\ \text{m}$ roule sans glisser sur un plan horizontal. Sa vitesse de translation est $v_G = 3{,}0\ \text{m/s}$. Calculer son énergie cinétique totale. **Solution :** *Étape 1 — Moment d'inertie de la sphère pleine :* $J_G = \frac{2}{5} m R^2 = \frac{2}{5} \times 2{,}0 \times (0{,}10)^2 = 0{,}4 \times 0{,}01 = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. *Étape 2 — Condition de roulement sans glissement :* $v_G = R \omega$, donc $\omega = \dfrac{v_G}{R} = \dfrac{3{,}0}{0{,}10} = 30\ \text{rad/s}$. *Étape 3 — Énergie cinétique totale :* $$E_c = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2$$ $$E_c = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times (3{,}0)^2 + \frac{1}{2} \times 4{,}0 \times 10^{-3} \times (30)^2$$ $$E_c = 1{,}0 \times 9 + 2{,}0 \times 10^{-3} \times 900 = 9 + 1{,}8 = 10{,}8\ \text{J}$$ **Réponse :** L'énergie cinétique totale de la sphère est $E_c = 10{,}8\ \text{J}$. **Remarque :** On peut exprimer l'énergie cinétique en fonction de la seule vitesse de translation : $$E_c = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m R^2\right) \left(\frac{v_G}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{5} m v_G^2 = \frac{7}{10} m v_G^2$$ Vérification : $E_c = \frac{7}{10} \times 2{,}0 \times 9 = 12{,}6\ \text{J}$. Il y a une erreur dans le calcul précédent. Reprenons : $E_c = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times 9 + \frac{1}{2} \times 4{,}0 \times 10^{-3} \times 900 = 9 + 1{,}8 = 10{,}8\ \text{J}$. Mais avec la formule simplifiée : $\frac{7}{10} \times 2{,}0 \times 9 = 12{,}6\ \text{J}$. Il y a une incohérence. Vérifions le moment d'inertie : $J_G = \frac{2}{5} m R^2 = \frac{2}{5} \times 2{,}0 \times 0{,}01 = 0{,}008\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ (et non $4{,}0 \times 10^{-3}$). Reprenons : $J_G = \frac{2}{5} \times 2{,}0 \times (0{,}10)^2 = 0{,}4 \times 0{,}01 = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. C'est correct. $E_c = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times 9 + \frac{1}{2} \times 4{,}0 \times 10^{-3} \times 900 = 9 + 1{,}8 = 10{,}8\ \text{J}$. La formule simplifiée donne : $\frac{7}{10} m v_G^2 = \frac{7}{10} \times 2 \times 9 = 12{,}6$. Il y a une incohérence. Vérifions la dérivation : $E_c = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m R^2\right) \left(\frac{v_G}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} m v_G^2 = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{5} m v_G^2 = \frac{5}{10} m v_G^2 + \frac{2}{10} m v_G^2 = \frac{7}{10} m v_G^2$. Application : $\frac{7}{10} \times 2 \times 9 = 12{,}6\ \text{J}$. Donc le calcul direct doit donner 12,6 J. Reprenons le calcul direct : $J_G = \frac{2}{5} \times 2{,}0 \times (0{,}10)^2 = \frac{2}{5} \times 2 \times 0{,}01 = \frac{4}{5} \times 0{,}01 = 0{,}008\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Ah, l'erreur : $\frac{2}{5} \times 2{,}0 = 0{,}8$ et $0{,}8 \times 0{,}01 = 0{,}008$. Donc $J_G = 8{,}0 \times 10^{-3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$, et non $4{,}0 \times 10^{-3}$. Reprenons : $E_c = \frac{1}{2} \times 2 \times 9 + \frac{1}{2} \times 8 \times 10^{-3} \times 900 = 9 + 3{,}6 = 12{,}6\ \text{J}$. **Réponse corrigée :** L'énergie cinétique totale de la sphère est $E_c = 12{,}6\ \text{J}$. ### III.5. Application complète : mouvement sur une piste avec frottements **Problème :** Un solide ponctuel de masse $m = 500\ \text{g}$ est lancé depuis le point A avec une vitesse initiale $v_A = 5{,}0\ \text{m/s}$ sur une piste horizontale de longueur $AB = 2{,}0\ \text{m}$, puis aborde une pente inclinée de $20°$ par rapport à l'horizontale. Les frottements sont équivalents à une force constante $f = 1{,}0\ \text{N}$ opposée au mouvement sur toute la piste. Calculer la hauteur maximale $h$ atteinte par le solide sur la pente. **Solution :** *Étape 1 — Conversion :* $m = 500\ \text{g} = 0{,}500\ \text{kg}$. *Étape 2 — Bilan des forces :* Poids $\vec{P}$, réaction normale $\vec{R}_N$ (travail nul car perpendiculaire au déplacement), force de frottement $\vec{f}$. *Étape 3 — Travaux :* - Sur le tronçon horizontal AB : $W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB = -1{,}0 \times 2{,}0 = -2{,}0\ \text{J}$. - Sur la pente (tronçon BC, où C est le point d'arrêt) : le déplacement est $BC = \dfrac{h}{\sin 20°}$. Le travail des frottements est $W_{BC}(\vec{f}) = -f \times BC = -f \times \dfrac{h}{\sin 20°}$. - Travail du poids sur la pente : $W_{BC}(\vec{P}) = -m g h$ (le poids s'oppose à la montée). *Étape 4 — Application du TEC entre A et C :* L'état final C correspond à l'arrêt ($v_C = 0$). $$\Delta E_c = E_{c,C} - E_{c,A} = 0 - \frac{1}{2} m v_A^2 = -\frac{1}{2} m v_A^2$$ $$\sum W = W_{AB}(\vec{f}) + W_{BC}(\vec{f}) + W_{BC}(\vec{P}) = -2{,}0 - \frac{1{,}0 \times h}{\sin 20°} - m g h$$ *Étape 5 — Équation :* $$-\frac{1}{2} \times 0{,}500 \times (5{,}0)^2 = -2{,}0 - \frac{h}{\sin 20°} - 0{,}500 \times 9{,}81 \times h$$ $$-6{,}25 = -2{,}0 - \frac{h}{0{,}342} - 4{,}905 h$$ $$-6{,}25 = -2{,}0 - 2{,}924 h - 4{,}905 h$$ $$-6{,}25 = -2{,}0 - 7{,}829 h$$ $$-4{,}25 = -7{,}829 h$$ $$h = \frac{4{,}25}{7{,}829} \approx 0{,}543\ \text{m}$$ **Réponse :** La hauteur maximale atteinte est $h \approx 0{,}54\ \text{m}$. ### III.6. Représentation graphique : énergie cinétique en fonction de la vitesse Pour un solide en translation, l'énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ est une fonction quadratique de la vitesse. Pour une masse $m = 2\ \text{kg}$, traçons $E_c$ en fonction de $v$ pour $v$ variant de 0 à 10 m/s : ```onbuch-plot {"title":"Énergie cinétique en fonction de la vitesse (m = 2 kg)","type":"line","series":[{"label":"E_c = 1/2 * m * v^2","points":[[0,0],[1,1],[2,4],[3,9],[4,16],[5,25],[6,36],[7,49],[8,64],[9,81],[10,100]]}]} ``` ### III.7. Application avec variation de l'énergie cinétique au cours du temps Considérons un objet en chute libre (sans frottement) lâché sans vitesse initiale d'une hauteur de 20 m. Sa vitesse augmente linéairement : $v(t) = g t$, et son énergie cinétique augmente quadratiquement : $E_c(t) = \frac{1}{2} m g^2 t^2$. Pour $m = 1\ \text{kg}$ et $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, le temps de chute est $t_f = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{40}{9{,}81}} \approx 2{,}02\ \text{s}$. ```onbuch-plot {"title":"Énergie cinétique d'un corps en chute libre (m = 1 kg, h = 20 m)","type":"line","series":[{"label":"E_c(t) = 1/2 * m * g^2 * t^2","points":[[0,0],[0.1,0.481],[0.2,1.925],[0.3,4.331],[0.4,7.700],[0.5,12.031],[0.6,17.325],[0.7,23.581],[0.8,30.800],[0.9,38.981],[1.0,48.125],[1.1,58.231],[1.2,69.300],[1.3,81.331],[1.4,94.325],[1.5,108.281],[1.6,123.200],[1.7,139.081],[1.8,155.925],[1.9,173.731],[2.0,192.500],[2.02,196.200]]}]} ``` --- ## Conclusion L'énergie cinétique, qu'elle soit de translation ($E_c = \frac{1}{2} m v^2$) ou de rotation ($E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2$), constitue une mesure quantitative du mouvement d'un solide. Le théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{\text{ext}})$, établit un pont entre les forces appliquées à un système et sa variation d'énergie cinétique, sans faire intervenir le temps ni l'accélération. Cet outil s'avère particulièrement efficace pour résoudre des problèmes de mécanique dans des situations variées : freinage, chute, plan incliné, rotation de volants d'inertie, roulement sans glissement, etc. La maîtrise du TEC, combinée à la connaissance des moments d'inertie et des travaux des forces usuelles, permet d'aborder de nombreux problèmes concrets de la physique et de l'ingénierie, et constitue une étape essentielle vers la notion plus générale d'énergie mécanique et sa conservation.