Chapitre 5

Lentilles minces : formation des images

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# Lentilles minces : formation des images ## Introduction L'étude des lentilles minces constitue un chapitre fondamental de l'optique géométrique. Une lentille est un milieu transparent homogène (verre, plastique) limité par deux surfaces sphériques ou une surface sphérique et une surface plane. Les lentilles minces sont largement utilisées dans les instruments d'optique : appareils photographiques, projecteurs, loupes, microscopes, lunettes correctrices. Ce chapitre vise à établir les lois qui régissent la formation des images par les lentilles minces, à maîtriser les constructions géométriques et à vérifier expérimentalement les formules établies. L'approche par compétences du programme MINESEC exige que l'apprenant soit capable de modéliser un système optique simple, de prévoir la position et la taille d'une image, et d'exploiter les résultats expérimentaux pour déterminer la vergence d'une lentille. --- ## I. Éléments caractéristiques d'une lentille mince ### I.1. Définition d'une lentille mince Une **lentille mince** est un milieu transparent homogène et isotrope, limité par deux dioptres sphériques (ou un dioptre sphérique et un plan) dont les sommets sont très proches l'un de l'autre : l'épaisseur au centre est négligeable devant les rayons de courbure des faces. On distingue deux types de lentilles : - **Lentilles convergentes** (bord mince, centre épais) : biconvexe, plan-convexe, ménisque convergent. - **Lentilles divergentes** (bord épais, centre mince) : biconcave, plan-concave, ménisque divergent. ### I.2. Centre optique Le **centre optique** $O$ d'une lentille mince est le point de l'axe principal situé au milieu géométrique de la lentille. Tout rayon lumineux passant par le centre optique traverse la lentille sans être dévié (il n'est pas dévié mais subit un simple déplacement latéral négligeable dans l'approximation des lentilles minces). ### I.3. Foyers principaux #### I.3.1. Foyer principal objet $F$ Le **foyer principal objet** $F$ est le point de l'axe optique dont l'image se forme à l'infini : tout rayon incident passant par $F$ émerge de la lentille parallèlement à l'axe optique. #### I.3.2. Foyer principal image $F'$ Le **foyer principal image** $F'$ est le point de l'axe optique où convergent (ou semblent converger) les rayons incidents parallèles à l'axe optique après traversée de la lentille. Pour une lentille convergente : $F$ et $F'$ sont réels, situés de part et d'autre de la lentille, symétriques par rapport à $O$ (pour une lentille mince dans l'air). Pour une lentille divergente : $F$ et $F'$ sont virtuels, situés de part et d'autre de la lentille, symétriques par rapport à $O$. ### I.4. Distance focale La **distance focale** (ou focale) est la distance algébrique entre le centre optique $O$ et le foyer principal image $F'$ : $$f' = \overline{OF'}$$ On définit également la distance focale objet : $$f = \overline{OF} = -f'$$ Pour une lentille convergente : $f' > 0$ (foyer image réel). Pour une lentille divergente : $f' < 0$ (foyer image virtuel). ### I.5. Vergence La **vergence** (ou puissance) d'une lentille est l'inverse de sa distance focale image exprimée en mètres : $$C = \frac{1}{f'} \quad \text{(en dioptries, } \delta \text{ ou } m^{-1}\text{)}$$ - Lentille convergente : $C > 0$ - Lentille divergente : $C < 0$ > **À RETENIR** : La vergence d'une lentille mince est $C = \dfrac{1}{f'}$ où $f' = \overline{OF'}$ est la distance focale image en mètres. L'unité de la vergence est la dioptrie ($\delta$). Une lentille convergente a une vergence positive, une lentille divergente a une vergence négative. ### I.6. Plans focaux Le **plan focal image** est le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par $F'$. Tout faisceau de rayons parallèles entre eux mais inclinés par rapport à l'axe optique converge en un point de ce plan focal image (foyer secondaire image). Le **plan focal objet** est le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par $F$. Tout point de ce plan (foyer secondaire objet) donne un faisceau émergent parallèle entre eux. ### I.7. Exemple numérique Une lentille convergente a une distance focale $f' = +20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m}$. Sa vergence est : $$C = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,20} = +5 \ \delta$$ --- ## II. Conditions de Gauss ### II.1. Énoncé des conditions de Gauss Les **conditions de Gauss** (ou conditions de stigmatisme approché) sont les conditions dans lesquelles une lentille donne d'un objet une image nette (stigmatisme approché) : 1. Les rayons lumineux doivent être **peu inclinés** par rapport à l'axe optique (angle d'incidence faible, typiquement inférieur à environ $10°$). 2. Les rayons lumineux doivent **frapper la lentille près de son centre** (hauteur d'incidence faible par rapport aux rayons de courbure). ### II.2. Conséquences des conditions de Gauss Sous les conditions de Gauss : - L'image d'un point objet est un point image (stigmatisme approché). - L'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique est un plan perpendiculaire à l'axe optique (aplanétisme approché). - Les relations de conjugaison et de grandissement sont valables. - Les constructions géométriques utilisant les rayons particuliers sont exactes. ### II.3. Rayons particuliers (ou rayons remarquables) Sous les conditions de Gauss, trois rayons particuliers permettent de construire l'image d'un point objet $B$ : 1. **Rayon passant par le centre optique $O$** : il n'est pas dévié. 2. **Rayon incident parallèle à l'axe optique** : il émerge en passant par le foyer principal image $F'$. 3. **Rayon incident passant par le foyer principal objet $F$** : il émerge parallèlement à l'axe optique. > **À RETENIR** : Les conditions de Gauss imposent des rayons peu inclinés sur l'axe optique et proches du centre de la lentille. Elles garantissent le stigmatisme approché et la validité des formules de conjugaison. Les trois rayons particuliers sont : le rayon passant par $O$ (non dévié), le rayon parallèle à l'axe (émergeant par $F'$), et le rayon passant par $F$ (émergeant parallèle à l'axe). --- ## III. Propriétés optiques du centre optique et des points focaux ### III.1. Propriétés du centre optique $O$ - Tout rayon passant par $O$ traverse la lentille sans déviation : $\overline{OA} = \overline{OA'}$ pour un objet $A$ situé en $O$ (l'image de $O$ est $O$ lui-même). - Le centre optique est le seul point de la lentille qui jouit de cette propriété pour toutes les directions. - Pour une lentille mince, $O$ est confondu avec le centre géométrique de la lentille. ### III.2. Propriétés du foyer principal objet $F$ - Tout rayon incident passant par $F$ émerge parallèlement à l'axe optique. - Un objet placé en $F$ donne une image à l'infini (les rayons émergents sont parallèles entre eux). - Le foyer objet $F$ est le conjugué du point à l'infini sur l'axe optique. ### III.3. Propriétés du foyer principal image $F'$ - Tout rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par $F'$. - L'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique se forme en $F'$. - Le foyer image $F'$ est le conjugué du point à l'infini sur l'axe optique. ### III.4. Foyers secondaires Un **foyer secondaire image** est le point du plan focal image où convergent les rayons incidents parallèles entre eux mais inclinés par rapport à l'axe optique. Un **foyer secondaire objet** est un point du plan focal objet d'où partent des rayons qui émergent parallèles entre eux. ### III.5. Image d'un objet à l'infini Si l'objet est à l'infini dans une direction faisant un angle $\theta$ avec l'axe optique, son image se forme dans le plan focal image, à une distance $F'I = f' \tan\theta \approx f'\theta$ (pour $\theta$ petit) de l'axe optique. > **À RETENIR** : Le centre optique $O$ est le seul point invariant (tout rayon passant par $O$ n'est pas dévié). Le foyer objet $F$ transforme tout rayon incident passant par lui en un rayon émergent parallèle à l'axe. Le foyer image $F'$ est le point de convergence des rayons incidents parallèles à l'axe optique. --- ## IV. Formules de position et de grandissement ### IV.1. Origine au centre optique — Formule de Descartes Soit un objet plan $AB$ perpendiculaire à l'axe optique, $A$ étant sur l'axe. Son image est $A'B'$. On note : - $p = \overline{OA}$ : position algébrique de l'objet (abscisse objet) - $p' = \overline{OA'}$ : position algébrique de l'image (abscisse image) - $f' = \overline{OF'}$ : distance focale image La **formule de Descartes** (ou formule de conjugaison) s'écrit : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ Soit, avec les notations $p$ et $p'$ : $$\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}$$ ### IV.2. Origine aux foyers — Formule de Newton En posant $\overline{FA} = x$ et $\overline{F'A'} = x'$, la **formule de Newton** s'écrit : $$\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = f \cdot f' = -f'^2$$ Soit : $$x \cdot x' = -f'^2$$ ### IV.3. Grandissement linéaire Le **grandissement linéaire** (ou transversal) $\gamma$ est le rapport de la taille de l'image à celle de l'objet : $$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ En utilisant les relations de conjugaison, on obtient : $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{p'}{p}$$ Et avec la formule de Newton : $$\gamma = -\frac{f}{x} = -\frac{x'}{f'}$$ Le signe de $\gamma$ indique le sens de l'image : - $\gamma > 0$ : image droite (même sens que l'objet) - $\gamma < 0$ : image renversée La valeur absolue $|\gamma|$ donne le rapport de grandissement : - $|\gamma| > 1$ : image agrandie - $|\gamma| < 1$ : image réduite ### IV.4. Démonstration de la formule de Descartes Considérons un objet $AB$ perpendiculaire à l'axe optique, avec $A$ sur l'axe. Traçons le rayon issu de $B$ passant par le centre optique $O$ : il n'est pas dévié et atteint $B'$ (image de $B$). Traçons le rayon issu de $B$ parallèle à l'axe optique : il émerge en passant par $F'$ et atteint également $B'$. Dans le triangle $ABO$ et le triangle $A'B'O$, les droites $AB$ et $A'B'$ sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à l'axe). Par le théorème de Thalès : $$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$$ Dans le triangle formé par le rayon émergent passant par $F'$ : le triangle $ABF$ (où $F$ est le foyer objet) et le triangle $A'B'F'$ sont semblables. On en déduit : $$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OF'}}{\overline{AF}} = \frac{f'}{\overline{OA} - \overline{OF}} = \frac{f'}{\overline{OA} + f'}$$ En égalant les deux expressions : $$\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{f'}{\overline{OA} + f'}$$ En inversant et en réarrangeant : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ Ce qui établit la formule de Descartes. ### IV.5. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Un objet de hauteur $AB = 2,0 \text{ cm}$ est placé à $30 \text{ cm}$ devant une lentille convergente de distance focale $f' = 10 \text{ cm}$. Déterminer la position et la taille de l'image. **Solution** : Prenons l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Le centre optique $O$ est l'origine. - Position de l'objet : $\overline{OA} = -30 \text{ cm} = -0,30 \text{ m}$ - Distance focale : $f' = +10 \text{ cm} = +0,10 \text{ m}$ Appliquons la formule de Descartes : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ $$\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{0,10} + \frac{1}{-0,30} = 10 - 3,33 = 6,67 \ \text{m}^{-1}$$ $$\overline{OA'} = \frac{1}{6,67} = 0,15 \text{ m} = +15 \text{ cm}$$ L'image est réelle, située à $15 \text{ cm}$ après la lentille. Grandissement : $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{+0,15}{-0,30} = -0,5$$ Taille de l'image : $$\overline{A'B'} = \gamma \cdot \overline{AB} = -0,5 \times 2,0 \text{ cm} = -1,0 \text{ cm}$$ L'image est renversée (signe négatif), mesure $1,0 \text{ cm}$ et est réelle. > **À RETENIR** : Formule de Descartes : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$. Grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Formule de Newton : $\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f'^2$. --- ## V. Construction de l'image d'un objet donnée par une lentille ### V.1. Méthode générale de construction Pour construire l'image $A'B'$ d'un objet $AB$ (avec $A$ sur l'axe optique et $AB$ perpendiculaire à l'axe), on construit l'image $B'$ du point $B$ en utilisant au moins deux des trois rayons particuliers issus de $B$ : 1. Le rayon passant par $O$ : il n'est pas dévié. 2. Le rayon parallèle à l'axe optique : il émerge en passant par $F'$. 3. Le rayon passant par $F$ : il émerge parallèlement à l'axe optique. L'intersection des rayons émergents (ou de leurs prolongements) donne $B'$. L'image $A'$ est la projection orthogonale de $B'$ sur l'axe optique. ### V.2. Cas d'une lentille convergente #### V.2.1. Objet situé avant $F$ ($\overline{OA} < \overline{OF}$, objet réel au-delà du foyer objet) L'image est réelle, renversée, située après la lentille. Sa taille dépend de la position de l'objet. ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" viewBox="0 0 600 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">  <line x1="20" y1="150" x2="580" y2="150" stroke="black" stroke-width="1.5"/> <polygon points="580,150 572,145 572,155" fill="black"/> <text x="560" y="140" font-size="12" fill="black">axe optique</text>  <line x1="300" y1="50" x2="300" y2="250" stroke="blue" stroke-width="3"/> <polygon points="300,50 295,60 305,60" fill="blue"/> <polygon points="300,250 295,240 305,240" fill="blue"/> <text x="310" y="55" font-size="12" fill="blue">Lentille</text>  <circle cx="300" cy="150" r="3" fill="red"/> <text x="305" y="145" font-size="12" fill="red">O</text>  <circle cx="200" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="185" y="140" font-size="12" fill="green">F</text> <circle cx="400" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="405" y="140" font-size="12" fill="green">F'</text>  <line x1="100" y1="150" x2="100" y2="90" stroke="red" stroke-width="2.5"/> <text x="85" y="85" font-size="12" fill="red">A</text> <text x="85" y="105" font-size="12" fill="red">B</text>  <line x1="450" y1="150" x2="450" y2="210" stroke="purple" stroke-width="2.5"/> <text x="455" y="145" font-size="12" fill="purple">A'</text> <text x="455" y="215" font-size="12" fill="purple">B'</text>  <line x1="100" y1="90" x2="300" y2="150" stroke="orange" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/> <line x1="300" y1="150" x2="450" y2="210" stroke="orange" stroke-width="1.5"/>  <line x1="100" y1="90" x2="300" y2="90" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="300" y1="90" x2="400" y2="150" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="400" y1="150" x2="450" y2="210" stroke="brown" stroke-width="1.5"/>  <line x1="100" y1="90" x2="200" y2="150" stroke="gray" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/> <line x1="200" y1="150" x2="300" y2="210" stroke="gray" stroke-width="1.5"/> <line x1="300" y1="210" x2="450" y2="210" stroke="gray" stroke-width="1.5"/>  <text x="30" y="280" font-size="11" fill="black">Objet réel AB : image réelle renversée A'B'</text> </svg> ``` #### V.2.2. Objet situé entre $F$ et $O$ ($\overline{OF} < \overline{OA} < 0$) L'image est virtuelle, droite, agrandie, située du même côté que l'objet. C'est le principe de la loupe. ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" viewBox="0 0 600 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">  <line x1="20" y1="150" x2="580" y2="150" stroke="black" stroke-width="1.5"/> <polygon points="580,150 572,145 572,155" fill="black"/>  <line x1="350" y1="50" x2="350" y2="250" stroke="blue" stroke-width="3"/> <polygon points="350,50 345,60 355,60" fill="blue"/> <polygon points="350,250 345,240 355,240" fill="blue"/> <text x="360" y="55" font-size="12" fill="blue">Lentille</text> <circle cx="350" cy="150" r="3" fill="red"/> <text x="355" y="145" font-size="12" fill="red">O</text>  <circle cx="250" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="235" y="140" font-size="12" fill="green">F</text> <circle cx="450" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="455" y="140" font-size="12" fill="green">F'</text>  <line x1="300" y1="150" x2="300" y2="100" stroke="red" stroke-width="2.5"/> <text x="285" y="95" font-size="12" fill="red">A</text> <text x="285" y="115" font-size="12" fill="red">B</text>  <line x1="180" y1="150" x2="180" y2="50" stroke="purple" stroke-width="2.5" stroke-dasharray="4,2"/> <text x="165" y="45" font-size="12" fill="purple">B'</text> <text x="165" y="155" font-size="12" fill="purple">A'</text>  <line x1="300" y1="100" x2="350" y2="150" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="150" x2="180" y2="50" stroke="orange" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>  <line x1="300" y1="100" x2="350" y2="100" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="100" x2="450" y2="150" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="450" y1="150" x2="180" y2="50" stroke="brown" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>  <line x1="300" y1="100" x2="250" y2="150" stroke="gray" stroke-width="1.5"/> <line x1="250" y1="150" x2="350" y2="200" stroke="gray" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="200" x2="180" y2="50" stroke="gray" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/> <text x="30" y="280" font-size="11" fill="black">Objet entre F et O : image virtuelle droite agrandie</text> </svg> ``` ### V.3. Cas d'une lentille divergente Pour une lentille divergente, l'image d'un objet réel est toujours virtuelle, droite et réduite, quel que soit l'emplacement de l'objet. ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" viewBox="0 0 600 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">  <line x1="20" y1="150" x2="580" y2="150" stroke="black" stroke-width="1.5"/> <polygon points="580,150 572,145 572,155" fill="black"/>  <line x1="350" y1="50" x2="350" y2="250" stroke="blue" stroke-width="3"/> <polygon points="350,50 340,60 360,60" fill="blue"/> <polygon points="350,250 340,240 360,240" fill="blue"/> <text x="360" y="55" font-size="12" fill="blue">Lentille</text> <circle cx="350" cy="150" r="3" fill="red"/> <text x="355" y="145" font-size="12" fill="red">O</text>  <circle cx="450" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="455" y="140" font-size="12" fill="green">F</text> <circle cx="250" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="235" y="140" font-size="12" fill="green">F'</text>  <line x1="150" y1="150" x2="150" y2="90" stroke="red" stroke-width="2.5"/> <text x="135" y="85" font-size="12" fill="red">A</text> <text x="135" y="105" font-size="12" fill="red">B</text>  <line x1="280" y1="150" x2="280" y2="118" stroke="purple" stroke-width="2.5" stroke-dasharray="4,2"/> <text x="265" y="113" font-size="12" fill="purple">B'</text> <text x="265" y="155" font-size="12" fill="purple">A'</text>  <line x1="150" y1="90" x2="350" y2="150" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="150" x2="280" y2="118" stroke="orange" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>  <line x1="150" y1="90" x2="350" y2="90" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="90" x2="250" y2="150" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="250" y1="150" x2="280" y2="118" stroke="brown" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>  <line x1="150" y1="90" x2="450" y2="150" stroke="gray" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/> <line x1="450" y1="150" x2="350" y2="210" stroke="gray" stroke-width="1.5"/> <line x1="350" y1="210" x2="280" y2="118" stroke="gray" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/> <text x="30" y="280" font-size="11" fill="black">Lentille divergente : image virtuelle droite réduite</text> </svg> ``` ### V.4. Tableau récapitulatif des cas (lentille convergente) | Position de l'objet | Position de l'image | Nature | Sens | Taille | |---|---|---|---|---| | $-\infty < \overline{OA} < 2f'$ | $f' < \overline{OA'} < 2f'$ | Réelle | Renversée | Réduite | | $\overline{OA} = 2f'$ | $\overline{OA'} = 2f'$ | Réelle | Renversée | Identique | | $2f' < \overline{OA} < f'$ | $\overline{OA'} > 2f'$ | Réelle | Renversée | Agrandie | | $\overline{OA} = f'$ | $\overline{OA'} \to \pm\infty$ | À l'infini | — | — | | $f' < \overline{OA} < 0$ | $\overline{OA'} < 0$ | Virtuelle | Droite | Agrandie | > **À RETENIR** : Pour construire l'image d'un point $B$, on utilise au moins deux rayons particuliers : le rayon passant par $O$ (non dévié), le rayon parallèle à l'axe (émergeant par $F'$), et le rayon passant par $F$ (émergeant parallèle à l'axe). L'intersection des rayons émergents (ou de leurs prolongements) donne l'image $B'$. --- ## VI. Image à travers un système de deux lentilles ### VI.1. Principe général Pour un système de deux lentilles minces $L_1$ et $L_2$ de centres optiques $O_1$ et $O_2$, séparées par une distance $d = \overline{O_1O_2}$, on procède en deux étapes : 1. **Première étape** : On cherche l'image $A_1B_1$ de l'objet $AB$ à travers la première lentille $L_1$ (en utilisant les formules ou la construction). 2. **Deuxième étape** : L'image $A_1B_1$ sert d'objet pour la deuxième lentille $L_2$. On cherche son image $A'B'$ à travers $L_2$. L'image finale est $A'B'$. Le grandissement total est le produit des grandissements : $$\gamma_{\text{total}} = \gamma_1 \times \gamma_2$$ ### VI.2. Méthode algébrique Pour la première lentille $L_1$ : $$\frac{1}{\overline{O_1A_1}} - \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{f'_1}$$ $$\gamma_1 = \frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}}$$ Pour la deuxième lentille $L_2$, l'objet est $A_1$ (qui peut être réel ou virtuel pour $L_2$) : $$\overline{O_2A_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1A_1} = -d + \overline{O_1A_1}$$ $$\frac{1}{\overline{O_2A'}} - \frac{1}{\overline{O_2A_1}} = \frac{1}{f'_2}$$ $$\gamma_2 = \frac{\overline{O_2A'}}{\overline{O_2A_1}}$$ ### VI.3. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Un objet $AB$ de hauteur $1,0 \text{ cm}$ est placé à $20 \text{ cm}$ devant une lentille convergente $L_1$ de distance focale $f'_1 = 10 \text{ cm}$. Une deuxième lentille convergente $L_2$ de distance focale $f'_2 = 5,0 \text{ cm}$ est placée $15 \text{ cm}$ après $L_1$. Déterminer la position et la taille de l'image finale. **Solution** : **Étape 1** : Image par $L_1$. $\overline{O_1A} = -20 \text{ cm} = -0,20 \text{ m}$, $f'_1 = +10 \text{ cm} = +0,10 \text{ m}$. $$\frac{1}{\overline{O_1A_1}} = \frac{1}{f'_1} + \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{0,10} + \frac{1}{-0,20} = 10 - 5 = 5 \ \text{m}^{-1}$$ $$\overline{O_1A_1} = 0,20 \text{ m} = +20 \text{ cm}$$ L'image intermédiaire $A_1$ est à $20 \text{ cm}$ après $L_1$. $$\gamma_1 = \frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}} = \frac{+0,20}{-0,20} = -1$$ $\overline{A_1B_1} = -1 \times 1,0 \text{ cm} = -1,0 \text{ cm}$ (image renversée, même taille). **Étape 2** : Image par $L_2$. $d = \overline{O_1O_2} = 15 \text{ cm} = 0,15 \text{ m}$. $$\overline{O_2A_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1A_1} = -0,15 + 0,20 = +0,05 \text{ m} = +5,0 \text{ cm}$$ L'objet pour $L_2$ est virtuel (situé après $L_2$ dans le sens de propagation, donc $\overline{O_2A_1} > 0$). $$\frac{1}{\overline{O_2A'}} = \frac{1}{f'_2} + \frac{1}{\overline{O_2A_1}} = \frac{1}{0,05} + \frac{1}{0,05} = 20 + 20 = 40 \ \text{m}^{-1}$$ $$\overline{O_2A'} = \frac{1}{40} = 0,025 \text{ m} = +2,5 \text{ cm}$$ L'image finale est réelle, à $2,5 \text{ cm}$ après $L_2$. $$\gamma_2 = \frac{\overline{O_2A'}}{\overline{O_2A_1}} = \frac{+0,025}{+0,05} = +0,5$$ $$\gamma_{\text{total}} = \gamma_1 \times \gamma_2 = (-1) \times (+0,5) = -0,5$$ $$\overline{A'B'} = \gamma_{\text{total}} \times \overline{AB} = -0,5 \times 1,0 \text{ cm} = -0,5 \text{ cm}$$ L'image finale est réelle, renversée, de hauteur $0,5 \text{ cm}$. ### VI.4. Construction graphique pour deux lentilles ```onbuch-svg <svg width="700" height="350" viewBox="0 0 700 350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">  <line x1="20" y1="175" x2="680" y2="175" stroke="black" stroke-width="1.5"/> <polygon points="680,175 672,170 672,180" fill="black"/>  <line x1="200" y1="60" x2="200" y2="290" stroke="blue" stroke-width="3"/> <polygon points="200,60 195,70 205,70" fill="blue"/> <polygon points="200,290 195,280 205,280" fill="blue"/> <text x="210" y="65" font-size="12" fill="blue">L₁</text> <circle cx="200" cy="175" r="3" fill="red"/> <text x="205" y="170" font-size="12" fill="red">O₁</text>  <line x1="450" y1="60" x2="450" y2="290" stroke="blue" stroke-width="3"/> <polygon points="450,60 445,70 455,70" fill="blue"/> <polygon points="450,290 445,280 455,280" fill="blue"/> <text x="460" y="65" font-size="12" fill="blue">L₂</text> <circle cx="450" cy="175" r="3" fill="red"/> <text x="455" y="170" font-size="12" fill="red">O₂</text>  <circle cx="100" cy="175" r="3" fill="green"/> <text x="85" y="165" font-size="12" fill="green">F₁</text> <circle cx="300" cy="175" r="3" fill="green"/> <text x="305" y="165" font-size="12" fill="green">F₁'</text>  <circle cx="350" cy="175" r="3" fill="green"/> <text x="335" y="165" font-size="12" fill="green">F₂</text> <circle cx="550" cy="175" r="3" fill="green"/> <text x="555" y="165" font-size="12" fill="green">F₂'</text>  <line x1="60" y1="175" x2="60" y2="125" stroke="red" stroke-width="2.5"/> <text x="45" y="120" font-size="12" fill="red">A</text> <text x="45" y="140" font-size="12" fill="red">B</text>  <line x1="400" y1="175" x2="400" y2="225" stroke="purple" stroke-width="2.5"/> <text x="405" y="170" font-size="12" fill="purple">A₁</text> <text x="405" y="230" font-size="12" fill="purple">B₁</text>  <line x1="500" y1="175" x2="500" y2="200" stroke="darkred" stroke-width="2.5"/> <text x="505" y="170" font-size="12" fill="darkred">A'</text> <text x="505" y="205" font-size="12" fill="darkred">B'</text>  <line x1="60" y1="125" x2="200" y2="175" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="200" y1="175" x2="400" y2="225" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="60" y1="125" x2="200" y2="125" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="200" y1="125" x2="300" y2="175" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="300" y1="175" x2="400" y2="225" stroke="brown" stroke-width="1.5"/>  <line x1="400" y1="225" x2="450" y2="175" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="450" y1="175" x2="500" y2="200" stroke="orange" stroke-width="1.5"/> <line x1="400" y1="225" x2="450" y2="225" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="450" y1="225" x2="550" y2="175" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <line x1="550" y1="175" x2="500" y2="200" stroke="brown" stroke-width="1.5"/> <text x="30" y="330" font-size="11" fill="black">Système de deux lentilles : l'image intermédiaire A₁B₁ sert d'objet pour L₂</text> </svg> ``` > **À RETENIR** : Pour un système de deux lentilles, on traite successivement chaque lentille : l'image formée par la première lentille devient l'objet pour la deuxième. Le grandissement total est le produit des grandissements : $\gamma_{\text{total}} = \gamma_1 \times \gamma_2$. --- ## VII. Théorème des vergences ### VII.1. Lentilles accolées (en contact) Considérons deux lentilles minces $L_1$ et $L_2$ de vergences $C_1$ et $C_2$, accolées (leurs centres optiques sont confondus : $O_1 = O_2 = O$). Le système équivalent est une lentille mince unique de vergence : $$C = C_1 + C_2$$ La distance focale équivalente est : $$f' = \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1 + C_2} = \frac{f'_1 \cdot f'_2}{f'_1 + f'_2}$$ ### VII.2. Démonstration Soit un objet $A$ sur l'axe optique. Pour la première lentille : $$\frac{1}{\overline{OA_1}} - \frac{1}{\overline{OA}} = C_1$$ Pour la deuxième lentille, l'objet est $A_1$ (avec $O_2 = O$) : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA_1}} = C_2$$ En additionnant les deux équations : $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = C_1 + C_2$$ Le système se comporte donc comme une lentille unique de vergence $C = C_1 + C_2$. ### VII.3. Lentilles séparées par une distance $d$ Pour deux lentilles séparées par une distance $d = \overline{O_1O_2}$, la vergence équivalente du système est : $$C = C_1 + C_2 - d \cdot C_1 \cdot C_2$$ Cette formule se démontre en utilisant les relations de conjugaison successives et en éliminant la position de l'image intermédiaire. ### VII.4. Exemple numérique **Énoncé** : On accole une lentille convergente de distance focale $f'_1 = 20 \text{ cm}$ et une lentille divergente de distance focale $f'_2 = -10 \text{ cm}$. Déterminer la vergence et la distance focale du système. **Solution** : $$C_1 = \frac{1}{f'_1} = \frac{1}{0,20} = +5 \ \delta$$ $$C_2 = \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{-0,10} = -10 \ \delta$$ $$C = C_1 + C_2 = 5 - 10 = -5 \ \delta$$ $$f' = \frac{1}{C} = \frac{1}{-5} = -0,20 \text{ m} = -20 \text{ cm}$$ Le système équivalent est une lentille divergente de distance focale $-20 \text{ cm}$. > **À RETENIR** : Pour deux lentilles minces accolées, la vergence équivalente est la somme des vergences : $C = C_1 + C_2$. Pour deux lentilles séparées par une distance $d$ : $C = C_1 + C_2 - d \cdot C_1 \cdot C_2$. --- ## VIII. Reconnaissance des lentilles par leur aspect ### VIII.1. Reconnaissance au toucher et à la vue - **Lentille convergente** : plus épaisse au centre qu'aux bords. Au toucher, on sent un renflement central. - **Lentille divergente** : plus mince au centre qu'aux bords. Au toucher, on sent un creux central. ### VIII.2. Reconnaissance par observation d'un objet éloigné - **Lentille convergente** : donne d'un objet éloigné (à l'infini) une image réelle renversée. En regardant à travers, on peut voir une image renversée d'un objet lointain. - **Lentille divergente** : donne toujours une image virtuelle droite et réduite. En regardant à travers, l'objet paraît plus petit. ### VIII.3. Reconnaissance par la méthode de l'écran On place la lentille face au soleil (ou une source éloignée) et on cherche à concentrer les rayons sur un écran : - **Lentille convergente** : on observe un point lumineux intense (foyer) sur l'écran. La distance lentille-écran donne la distance focale. - **Lentille divergente** : les rayons divergent, on ne peut pas concentrer la lumière en un point réel. ### VIII.4. Reconnaissance par la méthode de la page imprimée On place la lentille sur une page imprimée et on observe les caractères à travers : - **Lentille convergente** : les caractères paraissent agrandis (effet loupe) si on regarde de près. - **Lentille divergente** : les caractères paraissent réduits. ### VIII.5. Reconnaissance par la méthode de la tache lumineuse On projette la lumière d'une lampe à travers la lentille sur un écran : - **Lentille convergente** : la tache lumineuse se rétrécit puis s'élargit en s'éloignant (il y a un point de convergence). - **Lentille divergente** : la tache lumineuse s'élargit continuellement en s'éloignant. > **À RETENIR** : Une lentille convergente est plus épaisse au centre qu'aux bords ; elle donne d'un objet lointain une image réelle renversée et concentre les rayons du soleil en un point. Une lentille divergente est plus mince au centre ; elle donne toujours une image virtuelle droite réduite et fait diverger les rayons. --- ## IX. Vérification expérimentale de la formule de position et détermination de la vergence ### IX.1. Montage expérimental Le montage classique comprend : - Un banc d'optique gradué. - Une source lumineuse (lampe) éclairant un objet (diapositive ou objet lumineux). - La lentille à étudier, montée sur un support mobile. - Un écran blanc pour recueillir l'image. ### IX.2. Méthode de mesure On place l'objet à une distance $p = \overline{OA}$ de la lentille. On déplace l'écran jusqu'à obtenir une image nette. On mesure $p' = \overline{OA'}$. On répète l'opération pour différentes positions de l'objet. ### IX.3. Exploitation des résultats — Méthode graphique On trace la courbe $\dfrac{1}{p'}$ en fonction de $\dfrac{1}{p}$. D'après la formule de Descartes : $$\frac{1}{p'} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}$$ La courbe est une droite de pente $+1$ et d'ordonnée à l'origine $\dfrac{1}{f'}$. ```onbuch-plot {"title":"1/p' en fonction de 1/p pour une lentille convergente (f' = 10 cm)","type":"line","series":[{"label":"1/p' = 1/p + 1/f'","points":[[-12,-2],[-10,0],[-8,2],[-6,4],[-4,6],[-2,8],[0,10],[2,12],[4,14],[6,16],[8,18],[10,20],[12,22],[14,24],[16,26],[18,28],[20,30]]}]} ``` L'ordonnée à l'origine donne $\dfrac{1}{f'}$, d'où l'on déduit $f'$ et $C = \dfrac{1}{f'}$. ### IX.4. Méthode de Bessel (ou méthode des deux positions conjuguées) Pour une distance fixe $D = \overline{AA'}$ entre l'objet et l'écran (avec $D > 4f'$), il existe deux positions de la lentille qui donnent une image nette sur l'écran. Si $d$ est la distance entre ces deux positions : $$f' = \frac{D^2 - d^2}{4D}$$ **Démonstration** : Soient $p_1$ et $p_1'$ les positions pour la première conjugaison, et $p_2$ et $p_2'$ pour la seconde. On a $p_1 + p_1' = D$ et $p_2 + p_2' = D$. Par symétrie, $p_2 = p_1'$ et $p_2' = p_1$. La distance entre les deux positions est $d = |p_1 - p_2| = |p_1 - p_1'|$. En utilisant la formule de Descartes avec $p_1 + p_1' = D$ et $p_1 - p_1' = d$, on obtient : $$\frac{1}{p_1'} - \frac{1}{p_1} = \frac{1}{f'} \Rightarrow \frac{p_1 - p_1'}{p_1 p_1'} = \frac{1}{f'}$$ Avec $p_1 p_1' = \dfrac{D^2 - d^2}{4}$, on obtient : $$\frac{d}{\frac{D^2 - d^2}{4}} = \frac{1}{f'} \Rightarrow f' = \frac{D^2 - d^2}{4D}$$ ### IX.5. Méthode de Silbermann (cas particulier $D = 4f'$) Si la distance objet-écran est exactement $D = 4f'$, il n'y a qu'une seule position de la lentille qui donne une image nette, avec $p = p' = 2f'$ et $\gamma = -1$. ### IX.6. Exemple numérique de la méthode de Bessel **Énoncé** : Un objet et un écran sont distants de $D = 80 \text{ cm}$. On trouve deux positions de la lentille, distantes de $d = 40 \text{ cm}$, qui donnent une image nette. Calculer la distance focale et la vergence. **Solution** : $$f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} = \frac{0,80^2 - 0,40^2}{4 \times 0,80} = \frac{0,64 - 0,16}{3,20} = \frac{0,48}{3,20} = 0,15 \text{ m} = 15 \text{ cm}$$ $$C = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,15} \approx 6,67 \ \delta$$ ### IX.7. Méthode de l'objet à l'infini On forme l'image d'un objet très éloigné (le soleil, un objet au loin) sur un écran. La distance lentille-écran donne directement $f'$ (l'image se forme dans le plan focal image). ### IX.8. Précision et incertitudes L'incertitude sur la distance focale dépend de la méthode : - Méthode de l'objet à l'infini : $\Delta f' \approx \Delta p'$ (incertitude sur la lecture de position). - Méthode de Bessel : $\Delta f' = \dfrac{1}{4}\left|\dfrac{2D}{4D} - \dfrac{2d}{4D}\right| \Delta D + \dots$ (calcul complet avec les dérivées partielles). > **À RETENIR** : La méthode de Bessel permet de déterminer la distance focale d'une lentille convergente par la formule $f' = \dfrac{D^2 - d^2}{4D}$, où $D$ est la distance objet-écran et $d$ la distance entre les deux positions de la lentille donnant une image nette. La vergence est $C = \dfrac{1}{f'}$. --- ## Conclusion L'étude des lentilles minces permet de comprendre et de prévoir la formation des images dans les instruments d'optique. Les notions de foyers, de distance focale et de vergence constituent les outils fondamentaux de l'optique géométrique. Les conditions de Gauss garantissent la validité des formules de conjugaison (Descartes et Newton) et du grandissement. La construction géométrique des images à l'aide des rayons particuliers offre une méthode intuitive et rapide. Pour les systèmes de deux lentilles, on procède par étapes successives, et le théorème des vergences simplifie le cas des lentilles accolées. Enfin, les méthodes expérimentales (objet à l'infini, Bessel, Silbermann) permettent de déterminer avec précision la vergence d'une lentille, compétence essentielle pour tout physicien. Ces acquis trouveront des prolongements directs dans l'étude des instruments d'optique (loupe, microscope, lunette astronomique) et dans la compréhension de l'œil et de ses défauts.

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Lentilles minces : formation des images

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