Le condensateur

# Le condensateur ## Introduction Le condensateur est un composant électronique fondamental qui permet de stocker de l'énergie sous forme électrostatique. Présent dans presque tous les circuits électroniques (alimentations, filtres, horloges, mémoires), il se distingue de la résistance par sa capacité à accumuler des charges électriques sur ses armatures. Ce chapitre étudie sa structure, son comportement en régime transitoire (charge et décharge), sa caractéristique essentielle — la capacité —, le cas particulier du condensateur plan, les règles d'association et enfin l'énergie qu'il peut emmagasiner. Ces notions sont au programme officiel du MINESEC pour les séries scientifiques et constituent une base indispensable pour l'étude des circuits RLC et de l'électromagnétisme. ## I. Symbole normalisé Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices (métalliques) séparées par un isolant appelé diélectrique. L'armature reliée à la borne positive du générateur se charge positivement, l'autre négativement. La charge $q$ portée par l'armature positive est appelée charge du condensateur. Le symbole normalisé du condensateur dans un schéma électrique est constitué de deux traits parallèles : l'un droit (représentant l'armature fixe) et l'autre incurvé (représentant l'armature mobile ou variable selon le type). Pour un condensateur non polarisé, les deux armatures sont représentées par deux traits parallèles de même longueur. Pour un condensateur polarisé (électrochimique), on ajoute le signe $+$ près de l'armature positive. ```onbuch-svg <svg width="400" height="200" viewBox="0 0 400 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Ligne conductrice gauche --> <line x1="50" y1="100" x2="120" y2="100" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Armature 1 (trait vertical) --> <line x1="120" y1="60" x2="120" y2="140" stroke="black" stroke-width="3"/> <!-- Armature 2 (trait vertical) --> <line x1="160" y1="60" x2="160" y2="140" stroke="black" stroke-width="3"/> <!-- Ligne conductrice droite --> <line x1="160" y1="100" x2="230" y2="100" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Labels --> <text x="85" y="90" font-size="14" fill="black">A</text> <text x="195" y="90" font-size="14" fill="black">B</text> <text x="110" y="170" font-size="14" fill="black">Armature 1</text> <text x="150" y="170" font-size="14" fill="black">Armature 2</text> <text x="100" y="30" font-size="16" fill="black">Symbole normalisé du condensateur</text> <!-- Diélectrique (zone hachurée) --> <rect x="124" y="60" width="32" height="80" fill="none" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <text x="125" y="55" font-size="12" fill="gray">diélectrique</text> </svg> ``` La grandeur électrique associée au condensateur est sa charge $q$ (en coulombs, symbole C) et la tension $u_C$ à ses bornes (en volts, V). Par convention, on oriente le circuit : la flèche de la tension $u_C$ pointe de l'armature négative vers l'armature positive, et le courant $i$ entre par l'armature positive en convention récepteur. > **À retenir** : Le condensateur est un dipôle constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique). Son symbole normalisé est deux traits parallèles. En convention récepteur, la charge $q$ de l'armature positive et le courant $i$ satisfont la relation $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$. ## II. Charge et décharge du condensateur ### II.1. Montage expérimental On considère un circuit série comprenant un générateur de tension continue de force électromotrice $E$, une résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ et un interrupteur à deux positions (1 : charge, 2 : décharge). ```onbuch-svg <svg width="500" height="300" viewBox="0 0 500 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Générateur --> <line x1="50" y1="150" x2="100" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="100" y1="120" x2="100" y2="180" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="100" y1="120" x2="130" y2="120" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="100" y1="180" x2="130" y2="180" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="130" y1="120" x2="130" y2="180" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="60" y="140" font-size="14" fill="black">E</text> <!-- Fil vers interrupteur --> <line x1="130" y1="150" x2="200" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Interrupteur deux positions --> <line x1="200" y1="150" x2="230" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <circle cx="230" cy="150" r="3" fill="black"/> <line x1="230" y1="150" x2="260" y2="120" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="240" y="110" font-size="12" fill="black">1</text> <line x1="230" y1="150" x2="260" y2="180" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="240" y="195" font-size="12" fill="black">2</text> <!-- Ligne vers résistance --> <line x1="260" y1="120" x2="300" y2="120" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Résistance --> <rect x="300" y="105" width="50" height="30" fill="none" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="310" y="95" font-size="14" fill="black">R</text> <line x1="350" y1="120" x2="400" y2="120" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Condensateur --> <line x1="400" y1="120" x2="400" y2="90" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="380" y1="90" x2="420" y2="90" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="380" y1="70" x2="420" y2="70" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="400" y1="70" x2="400" y2="50" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="425" y="85" font-size="14" fill="black">C</text> <!-- Retour --> <line x1="400" y1="50" x2="400" y2="30" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="400" y1="30" x2="50" y2="30" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="50" y1="30" x2="50" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Flèche tension --> <line x1="430" y1="120" x2="460" y2="120" stroke="black" stroke-width="1" marker-end="url(#arrow)"/> <text x="440" y="110" font-size="14" fill="black">u_C</text> <defs> <marker id="arrow" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="black"/> </marker> </defs> </svg> ``` ### II.2. Équation différentielle de la charge En convention récepteur, la loi des mailles donne : $$E = u_R + u_C = R\,i + u_C$$ Or $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ et $q = C\,u_C$, donc $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$. En substituant : $$E = R\,C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C$$ Soit l'équation différentielle du premier ordre : $$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{RC}\,u_C = \dfrac{E}{RC}$$ ### II.3. Solution : charge du condensateur La solution de cette équation différentielle, avec la condition initiale $u_C(0) = 0$, est : $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$ où $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes (s). La charge $q(t)$ et le courant $i(t)$ s'en déduisent : $$q(t) = C\,u_C(t) = C\,E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$ $$i(t) = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$$ ### II.4. Décharge du condensateur Lorsqu'on bascule l'interrupteur en position 2, le générateur est retiré du circuit. La loi des mailles donne $u_R + u_C = 0$, soit $R\,i + u_C = 0$. Avec $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ : $$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{RC}\,u_C = 0$$ La condition initiale est $u_C(0) = E$. La solution est : $$u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$$ Le courant de décharge vaut $i(t) = -\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ (le signe négatif indique que le courant circule en sens inverse de la convention récepteur). ### II.5. Constante de temps $\tau = RC$ La constante de temps $\tau = RC$ caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge. Au bout d'un temps $t = \tau$, la tension aux bornes du condensateur vaut $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$ lors de la charge, et $u_C(\tau) = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E$ lors de la décharge. Au bout de $5\tau$, le régime permanent est atteint à plus de 99 %. > **À retenir** : La charge d'un condensateur à travers une résistance $R$ suit la loi $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right)$ et la décharge suit $u_C(t) = E\,e^{-t/RC}$. La constante de temps $\tau = RC$ (en secondes) est le temps caractéristique du régime transitoire ; le régime permanent est atteint après environ $5\tau$. **Exemple numérique** : Un condensateur de capacité $C = 10\ \mu\text{F}$ est chargé à travers une résistance $R = 2\ \text{k}\Omega$ sous une tension $E = 12\ \text{V}$. - Constante de temps : $\tau = RC = 2 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-2}\ \text{s} = 20\ \text{ms}$. - Tension après $t = 20\ \text{ms}$ : $u_C = 12(1 - e^{-1}) \approx 12 \times 0{,}632 = 7{,}58\ \text{V}$. - Tension après $t = 100\ \text{ms} = 5\tau$ : $u_C \approx 12(1 - e^{-5}) \approx 12 \times 0{,}993 = 11{,}92\ \text{V}$. - Courant initial : $i(0) = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{2000} = 6\ \text{mA}$. ## III. Capacité d'un condensateur ### III.1. Définition La capacité $C$ d'un condensateur est le quotient de la charge $q$ portée par l'armature positive par la tension $u_C$ entre ses armatures : $$C = \dfrac{q}{u_C}$$ La capacité s'exprime en farads (F). Le farad est une unité très grande ; on utilise couramment ses sous-multiples : le microfarad ($1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$), le nanofarad ($1\ \text{nF} = 10^{-9}\ \text{F}$) et le picofarad ($1\ \text{pF} = 10^{-12}\ \text{F}$). La capacité dépend uniquement de la géométrie du condensateur et de la nature du diélectrique, et non de la charge ou de la tension. Elle caractérise l'aptitude du condensateur à stocker des charges pour une tension donnée. > **À retenir** : La capacité d'un condensateur est définie par $C = \dfrac{q}{u_C}$, exprimée en farads (F). Elle est une caractéristique intrinsèque du composant, indépendante de $q$ et de $u_C$. ### III.2. Relation charge-tension et courant-tension De la définition, on tire la relation fondamentale : $$q = C\,u_C$$ En dérivant par rapport au temps, on obtient la relation courant-tension : $$i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$ Cette relation montre que le courant traversant un condensateur est proportionnel à la dérivée de la tension à ses bornes. En régime continu permanent ($u_C$ constante), le courant est nul : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. **Exemple numérique** : Un condensateur de capacité $C = 4{,}7\ \mu\text{F}$ porte une charge $q = 50\ \mu\text{C}$. La tension à ses bornes est : $$u_C = \dfrac{q}{C} = \dfrac{50 \times 10^{-6}}{4{,}7 \times 10^{-6}} \approx 10{,}6\ \text{V}$$ ## IV. Le condensateur plan ### IV.1. Structure et capacité Un condensateur plan est constitué de deux armatures planes, parallèles, de surface $S$ (en $\text{m}^2$), séparées par une distance $d$ (en m). L'espace entre les armatures est rempli d'un diélectrique de permittivité relative $\varepsilon_r$ (sans dimension). La permittivité absolue du milieu est $\varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r$, où $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{F}\cdot\text{m}^{-1}$ est la permittivité du vide. La capacité d'un condensateur plan est donnée par : $$C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{S}{d}$$ ```onbuch-svg <svg width="500" height="250" viewBox="0 0 500 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Armature supérieure --> <rect x="100" y="50" width="300" height="15" fill="#ddd" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="420" y="62" font-size="14" fill="black">Armature +</text> <!-- Armature inférieure --> <rect x="100" y="150" width="300" height="15" fill="#ddd" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="420" y="162" font-size="14" fill="black">Armature −</text> <!-- Diélectrique --> <rect x="100" y="65" width="300" height="85" fill="#eef" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <text x="220" y="110" font-size="14" fill="gray">diélectrique (ε_r)</text> <!-- Distance --> <line x1="80" y1="50" x2="80" y2="165" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="75" y1="50" x2="85" y2="50" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="75" y1="165" x2="85" y2="165" stroke="black" stroke-width="1"/> <text x="60" y="112" font-size="14" fill="black">d</text> <!-- Surface --> <line x1="100" y1="185" x2="400" y2="185" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="100" y1="180" x2="100" y2="190" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="400" y1="180" x2="400" y2="190" stroke="black" stroke-width="1"/> <text x="230" y="205" font-size="14" fill="black">S</text> <!-- Lignes de champ --> <line x1="150" y1="65" x2="150" y2="150" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"/> <line x1="250" y1="65" x2="250" y2="150" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"/> <line x1="350" y1="65" x2="350" y2="150" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"/> <text x="155" y="40" font-size="14" fill="red">Champ électrique E</text> </svg> ``` ### IV.2. Champ électrique entre les armatures Entre les armatures d'un condensateur plan, le champ électrique est uniforme (constant en tout point, en dehors des bords). Sa norme est : $$E = \dfrac{u_C}{d}$$ où $E$ s'exprime en volts par mètre ($\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$). Le champ est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative. ### IV.3. Démonstration de la formule de la capacité Le théorème de Gauss appliqué à une surface fermée entourant l'armature positive donne le flux du champ électrique : $\Phi = \dfrac{q}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}$. Pour un condensateur plan, le champ étant uniforme et perpendiculaire aux armatures, le flux à travers la surface $S$ de l'armature est $\Phi = E\,S$. On en déduit : $$E\,S = \dfrac{q}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r} \quad\Rightarrow\quad E = \dfrac{q}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,S}$$ Par ailleurs, la tension entre les armatures est $u_C = E\,d$ (champ uniforme). Donc : $$u_C = \dfrac{q\,d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,S}$$ En utilisant la définition $C = \dfrac{q}{u_C}$, on obtient : $$C = \dfrac{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,S}{d}$$ > **À retenir** : La capacité d'un condensateur plan est $C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{S}{d}$. Elle augmente avec la surface des armatures et la permittivité du diélectrique, et diminue quand la distance entre les armatures augmente. **Exemple numérique** : Un condensateur plan a des armatures de surface $S = 200\ \text{cm}^2 = 200 \times 10^{-4}\ \text{m}^2 = 2 \times 10^{-2}\ \text{m}^2$, séparées de $d = 1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}$, avec un diélectrique de permittivité relative $\varepsilon_r = 2{,}5$. $$C = 8{,}85 \times 10^{-12} \times 2{,}5 \times \dfrac{2 \times 10^{-2}}{10^{-3}} = 8{,}85 \times 10^{-12} \times 2{,}5 \times 20 = 4{,}43 \times 10^{-10}\ \text{F} = 443\ \text{pF}$$ ## V. Association de condensateurs ### V.1. Association en parallèle Deux condensateurs de capacités $C_1$ et $C_2$ sont associés en parallèle lorsqu'ils sont soumis à la même tension $u_C$. La charge totale est la somme des charges : $$q = q_1 + q_2 = C_1\,u_C + C_2\,u_C = (C_1 + C_2)\,u_C$$ La capacité équivalente $C_{\text{éq}}$ est donc : $$C_{\text{éq}} = C_1 + C_2$$ Pour $n$ condensateurs en parallèle : $$C_{\text{éq}} = \sum_{k=1}^{n} C_k$$ ### V.2. Association en série Deux condensateurs en série sont parcourus par le même courant, donc ils portent la même charge $q$ (en valeur absolue). La tension totale est la somme des tensions : $$u = u_1 + u_2 = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} = q\left(\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\right)$$ La capacité équivalente $C_{\text{éq}}$ est définie par $q = C_{\text{éq}}\,u$, donc : $$\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$$ Pour $n$ condensateurs en série : $$\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{C_k}$$ > **À retenir** : En parallèle, les capacités s'ajoutent : $C_{\text{éq}} = C_1 + C_2$. En série, ce sont les inverses des capacités qui s'ajoutent : $\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$. L'association en parallèle augmente la capacité équivalente ; l'association en série la diminue. **Exemple numérique** : On associe $C_1 = 2\ \mu\text{F}$ et $C_2 = 6\ \mu\text{F}$. - En parallèle : $C_{\text{éq}} = 2 + 6 = 8\ \mu\text{F}$. - En série : $\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3+1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$, donc $C_{\text{éq}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\ \mu\text{F}$. ## VI. Expression de l'énergie emmagasinée ### VI.1. Énergie stockée dans un condensateur Un condensateur chargé stocke de l'énergie sous forme électrostatique. Pour le démontrer, considérons la charge d'un condensateur initialement déchargé. À un instant donné, la tension est $u_C$ et la charge est $q = C\,u_C$. Pour ajouter une charge infinitésimale $\mathrm{d}q$, il faut fournir un travail : $$\delta W = u_C\,\mathrm{d}q = \dfrac{q}{C}\,\mathrm{d}q$$ L'énergie totale fournie pour passer de $q = 0$ à $q = Q$ est : $$E_{\text{em}} = \int_0^Q \dfrac{q}{C}\,\mathrm{d}q = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{Q^2}{C}$$ En utilisant $Q = C\,U$, on obtient les trois formes équivalentes : $$E_{\text{em}} = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{Q^2}{C} = \dfrac{1}{2}\,C\,U^2 = \dfrac{1}{2}\,Q\,U$$ où $E_{\text{em}}$ est en joules (J), $C$ en farads (F), $U$ en volts (V) et $Q$ en coulombs (C). ### VI.2. Densité volumique d'énergie Pour un condensateur plan, le volume entre les armatures est $V = S\,d$. En utilisant $C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{S}{d}$ et $U = E\,d$, on peut écrire : $$E_{\text{em}} = \dfrac{1}{2}\,C\,U^2 = \dfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{S}{d}\,(E\,d)^2 = \dfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,E^2\,S\,d$$ La densité volumique d'énergie électrostatique est donc : $$w_e = \dfrac{E_{\text{em}}}{S\,d} = \dfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,E^2$$ Cette expression est générale : l'énergie est localisée dans le champ électrique. > **À retenir** : L'énergie emmagasinée par un condensateur chargé est $E_{\text{em}} = \dfrac{1}{2}\,C\,U^2 = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{Q^2}{C} = \dfrac{1}{2}\,Q\,U$. Elle est stockée dans le champ électrique entre les armatures, avec une densité volumique $w_e = \dfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,E^2$. **Exemple numérique** : Un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$ est chargé sous une tension $U = 50\ \text{V}$. $$E_{\text{em}} = \dfrac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = \dfrac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times 2500 = 0{,}125\ \text{J}$$ ## Conclusion Le condensateur est un dipôle essentiel de l'électronique, capable de stocker de l'énergie électrostatique. Sa caractéristique principale, la capacité $C$, dépend de sa géométrie et du diélectrique utilisé, comme le montre la formule du condensateur plan $C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{S}{d}$. Lors de la charge et de la décharge à travers une résistance, la tension évolue exponentiellement avec une constante de temps $\tau = RC$. Les associations en série et en parallèle obéissent à des règles simples qui permettent de calculer la capacité équivalente. Enfin, l'énergie emmagasinée, $E_{\text{em}} = \dfrac{1}{2}\,C\,U^2$, est une notion fondamentale pour l'étude des circuits oscillants, des alimentations à découpage et de nombreux systèmes électroniques. Ces acquis seront mobilisés dans le chapitre suivant consacré aux circuits RLC et aux oscillations électriques.