Le circuit RLC

# Le circuit RLC ## Introduction Le circuit RLC, constitué d'un résistor (R), d'une bobine d'inductance (L) et d'un condensateur de capacité (C), est le circuit fondamental de l'électrotechnique et de l'électronique. Il permet d'étudier les phénomènes d'oscillations électriques, qu'elles soient libres (amorties) ou forcées (entretenues par un générateur). Ce chapitre synthétise les comportements des circuits RC, LC et RLC, introduit la notion d'impédance et analyse les transferts de puissance en régime sinusoïdal. Ces concepts sont essentiels pour la compréhension des filtres, des résonateurs et des systèmes de transmission d'énergie. ## I. Circuits RC, LC, RLC : étude comparative ### I.1. Le circuit RC (résistor-condensateur) #### I.1.1. Charge d'un condensateur à travers un résistor Considérons un circuit série comprenant un générateur idéal de force électromotrice $E$, un résistor de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé. À la fermeture de l'interrupteur (à $t = 0$), la loi des mailles donne : $$E = u_R(t) + u_C(t) = R\,i(t) + u_C(t)$$ Or $i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt} = C\dfrac{du_C(t)}{dt}$. En substituant : $$E = RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C$$ Cette équation différentielle du premier ordre admet pour solution (avec la condition initiale $u_C(0) = 0$) : $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$ où $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes (s). > **À retenir** : La constante de temps $\tau = RC$ caractérise la rapidité de charge (ou de décharge) d'un condensateur. Au bout d'une durée $t = 5\tau$, le condensateur est considéré comme chargé à plus de 99 %. Le courant de charge est : $$i(t) = C\dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$$ #### I.1.2. Décharge d'un condensateur Lorsque le condensateur chargé sous une tension $E$ est relié à un résistor $R$ (le générateur étant retiré), la loi des mailles donne $u_C + Ri = 0$, soit : $$\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{1}{RC}u_C = 0$$ La solution est : $$u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}, \qquad i(t) = -\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$$ #### I.1.3. Réponse en régime sinusoïdal forcé En régime sinusoïdal forcé, le générateur délivre une tension $u(t) = U_m\cos(\omega t)$. En notation complexe, l'impédance du condensateur est $Z_C = \dfrac{1}{jC\omega}$ et celle du résistor est $Z_R = R$. L'impédance totale du circuit série est : $$\underline{Z} = R + \dfrac{1}{jC\omega} = R - \dfrac{j}{C\omega}$$ Le module et l'argument (déphasage) sont : $$|Z| = \sqrt{R^2 + \left(\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}, \qquad \varphi = -\arctan\left(\dfrac{1}{RC\omega}\right)$$ > **À retenir** : En régime sinusoïdal, le condensateur introduit un déphasage négatif (le courant est en avance sur la tension) et son impédance diminue lorsque la fréquence augmente : $|Z_C| = \dfrac{1}{C\omega}$. ### I.2. Le circuit LC (bobine-condensateur) : oscillations libres non amorties #### I.2.1. Mise en équation Un circuit LC série idéal (sans résistance) est constitué d'une bobine d'inductance $L$ et d'un condensateur de capacité $C$. Le condensateur étant initialement chargé sous une tension $U_0$, on ferme le circuit à $t = 0$. La loi des mailles donne : $$u_C(t) + u_L(t) = 0$$ avec $u_L = L\dfrac{di}{dt}$ et $i = C\dfrac{du_C}{dt}$. On obtient : $$u_C + LC\dfrac{d^2u_C}{dt^2} = 0$$ soit : $$\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}u_C = 0$$ #### I.2.2. Solution et période propre L'équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique. Sa solution est : $$u_C(t) = U_0\cos(\omega_0 t)$$ avec la pulsation propre : $$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$$ La période propre est : $$T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$$ Le courant est : $$i(t) = C\dfrac{du_C}{dt} = -CU_0\omega_0\sin(\omega_0 t) = -\dfrac{U_0}{L\omega_0}\sin(\omega_0 t)$$ > **À retenir** : Le circuit LC idéal est le siège d'oscillations électriques sinusoïdales non amorties de période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. L'énergie totale $E = \dfrac{1}{2}Cu_C^2 + \dfrac{1}{2}Li^2$ reste constante (conservation de l'énergie). #### I.2.3. Échange d'énergie L'énergie électrique stockée dans le condensateur est $E_C = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$ et l'énergie magnétique stockée dans la bobine est $E_L = \dfrac{1}{2}Li^2$. L'énergie totale : $$E_T = E_C + E_L = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \text{constante}$$ L'énergie oscille périodiquement entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique) à la pulsation $2\omega_0$. ### I.3. Le circuit RLC série : oscillations libres amorties #### I.3.1. Équation différentielle Dans un circuit RLC série réel, la résistance $R$ dissipe de l'énergie par effet Joule. La loi des mailles donne : $$u_C + Ri + L\dfrac{di}{dt} = 0$$ Avec $i = C\dfrac{du_C}{dt}$, on obtient : $$\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{1}{LC}u_C = 0$$ #### I.3.2. Régimes de fonctionnement Le discriminant de l'équation caractéristique associée $r^2 + \dfrac{R}{L}r + \dfrac{1}{LC} = 0$ est : $$\Delta = \left(\dfrac{R}{L}\right)^2 - \dfrac{4}{LC}$$ Trois régimes sont possibles : - **Régime pseudo-périodique** ($\Delta < 0$, soit $R < 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$) : la tension $u_C(t)$ oscille avec une amplitude décroissante exponentiellement. La pseudo-période est : $$T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{1}{LC} - \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}} \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \quad \text{si } R \text{ est faible}$$ La solution s'écrit : $$u_C(t) = U_0 e^{-\frac{R}{2L}t}\cos\left(\omega t + \varphi\right), \qquad \omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}$$ - **Régime critique** ($\Delta = 0$, soit $R = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$) : retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation. - **Régime apériodique** ($\Delta > 0$, soit $R > 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$) : retour à l'équilibre sans oscillation, de manière exponentielle. > **À retenir** : La résistance $R$ amortit les oscillations. La résistance critique $R_c = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ sépare le régime pseudo-périodique du régime apériodique. Le décrément logarithmique $\delta = \dfrac{RT}{2L}$ mesure l'amortissement par période. #### I.3.3. Bilan énergétique L'énergie totale décroît au cours du temps à cause de l'effet Joule : $$\dfrac{dE_T}{dt} = -Ri^2 < 0$$ L'énergie dissipée entre $t = 0$ et $t$ est : $$E_{\text{dissipée}} = \int_0^t R\,i^2(t')\,dt'$$ ## II. Oscillations électriques libres et forcées ### II.1. Oscillations libres Les oscillations libres sont celles qui se produisent lorsque le circuit, après avoir reçu une énergie initiale (condensateur chargé ou courant initial dans la bobine), évolue sans apport extérieur d'énergie. - **Circuit LC idéal** : oscillations non amorties, sinusoïdales, de période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. - **Circuit RLC réel** : oscillations amorties (pseudo-périodiques), l'amplitude décroît exponentiellement avec un temps d'amortissement $\tau = \dfrac{2L}{R}$. La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ : $$T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{R}{2L\omega_0}\right)^2}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{1}{LC} - \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}}$$ > **À retenir** : Les oscillations libres d'un circuit RLC sont toujours amorties en raison de la dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance. Pour entretenir des oscillations non amorties, il faut compenser cette perte d'énergie par un apport extérieur : on parle alors d'oscillations forcées ou entretenues. ### II.2. Oscillations forcées : entretien des oscillations #### II.2.1. Principe Pour entretenir les oscillations, on ajoute un dispositif (générateur basse fréquence, amplificateur à réaction positive, etc.) qui compense exactement l'énergie dissipée. Le circuit est alors soumis à une tension sinusoïdale : $$u(t) = U_m\cos(\omega t)$$ où $\omega$ est la pulsation imposée par le générateur (pulsation d'excitation ou de forçage). #### II.2.2. Équation différentielle du circuit RLC forcé La loi des mailles pour le circuit RLC série soumis à $u(t)$ donne : $$u(t) = Ri + L\dfrac{di}{dt} + \dfrac{q}{C}$$ En dérivant par rapport au temps et en utilisant $i = \dfrac{dq}{dt}$ : $$\dfrac{du}{dt} = R\dfrac{di}{dt} + L\dfrac{d^2i}{dt^2} + \dfrac{i}{C}$$ Soit : $$L\dfrac{d^2i}{dt^2} + R\dfrac{di}{dt} + \dfrac{1}{C}i = \dfrac{du}{dt}$$ En régime sinusoïdal forcé, la solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène (régime transitoire, qui s'amortit) et d'une solution particulière (régime permanent sinusoïdal). Après un temps suffisamment long, seul le régime permanent subsiste. #### II.2.3. Régime permanent sinusoïdal En régime permanent, toutes les grandeurs sont sinusoïdales de même pulsation $\omega$ que l'excitation. On utilise la notation complexe : $$\underline{u} = U_m e^{j\omega t}, \qquad \underline{i} = I_m e^{j(\omega t + \varphi_i)}$$ L'équation du circuit devient : $$\underline{u} = \left(R + jL\omega + \dfrac{1}{jC\omega}\right)\underline{i} = \underline{Z}\,\underline{i}$$ où $\underline{Z}$ est l'impédance complexe du circuit RLC série. > **À retenir** : En régime forcé sinusoïdal, le régime transitoire s'amortit et le circuit atteint un régime permanent où toutes les grandeurs oscillent à la pulsation $\omega$ du générateur. L'amplitude et la phase du courant dépendent de la fréquence : c'est le phénomène de résonance. ### II.3. Résonance d'intensité #### II.3.1. Condition de résonance L'amplitude du courant est : $$I_m = \dfrac{U_m}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}$$ L'intensité est maximale lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire lorsque : $$L\omega - \dfrac{1}{C\omega} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \omega = \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$$ À la résonance, $I_{m,\max} = \dfrac{U_m}{R}$. > **À retenir** : La résonance d'intensité se produit à la pulsation $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, indépendante de $R$. À la résonance, l'impédance du circuit est minimale et égale à $R$, et le courant est maximal et en phase avec la tension. #### II.3.2. Largeur de bande et facteur de qualité La bande passante est définie par les pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ pour lesquelles $I_m = \dfrac{I_{m,\max}}{\sqrt{2}}$ (puissance moitié). La largeur de bande est : $$\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \dfrac{R}{L}$$ Le facteur de qualité (ou coefficient de surtension) est : $$Q = \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$$ Plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë (sélective). > **À retenir** : Le facteur de qualité $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ caractérise la sélectivité du circuit. Un circuit avec un grand $Q$ a une résonance aiguë et une bande passante étroite. #### II.3.3. Surtension aux bornes du condensateur À la résonance, les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur peuvent être très supérieures à la tension d'alimentation : $$U_{C,\max} = \dfrac{U_m}{RC\omega_0} = Q\,U_m$$ Cette surtension peut atteindre plusieurs dizaines de fois la tension d'entrée, d'où le nom de "facteur de surtension" pour $Q$. ## III. Réponse en intensité d'un circuit RLC ### III.1. Étude théorique complète #### III.1.1. Expression de l'intensité en régime forcé Considérons le circuit RLC série alimenté par une tension sinusoïdale $u(t) = U_m\cos(\omega t)$. En notation complexe : $$\underline{i} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{Z}} = \dfrac{U_m e^{j\omega t}}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}$$ Le module de l'intensité est : $$I_m(\omega) = \dfrac{U_m}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}$$ La phase de l'intensité par rapport à la tension est : $$\varphi(\omega) = -\arctan\left(\dfrac{L\omega - \dfrac{1}{C\omega}}{R}\right)$$ #### III.1.2. Comportement asymptotique - **Basse fréquence** ($\omega \to 0$) : $I_m \approx U_m C\omega \to 0$. Le condensateur bloque le courant continu. - **Haute fréquence** ($\omega \to \infty$) : $I_m \approx \dfrac{U_m}{L\omega} \to 0$. La bobine bloque les hautes fréquences. - **À la résonance** ($\omega = \omega_0$) : $I_m = \dfrac{U_m}{R}$, valeur maximale. > **À retenir** : Le circuit RLC série se comporte comme un filtre passe-bande : il laisse passer préférentiellement les fréquences proches de $\omega_0$ et atténue les fréquences éloignées. ### III.2. Démonstration de la réponse en intensité **Démonstration** : À partir de l'équation différentielle en régime forcé : $$L\dfrac{d^2i}{dt^2} + R\dfrac{di}{dt} + \dfrac{1}{C}i = \dfrac{du}{dt}$$ En régime sinusoïdal permanent, on cherche $i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi_i)$. En notation complexe, $\dfrac{d}{dt} \to j\omega$ et $\dfrac{d^2}{dt^2} \to -\omega^2$. L'équation devient : $$\left(-L\omega^2 + Rj\omega + \dfrac{1}{C}\right)\underline{i} = j\omega\,\underline{u}$$ D'où : $$\underline{i} = \dfrac{j\omega\,\underline{u}}{-L\omega^2 + Rj\omega + \dfrac{1}{C}} = \dfrac{\underline{u}}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}$$ Ce qui confirme l'expression de l'impédance complexe. Le module donne bien l'amplitude $I_m(\omega)$ et l'argument donne la phase $\varphi(\omega)$. ### III.3. Exemple numérique entièrement résolu **Énoncé** : Un circuit RLC série est constitué de $R = 10\ \Omega$, $L = 0,1\ \text{H}$, $C = 10\ \mu\text{F}$. Il est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur maximale $U_m = 5\ \text{V}$ et de fréquence variable. 1. Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et la fréquence de résonance $f_0$. 2. Calculer le facteur de qualité $Q$. 3. Déterminer l'intensité maximale à la résonance. 4. Calculer l'intensité maximale pour $f = 100\ \text{Hz}$ et pour $f = 1000\ \text{Hz}$. **Solution** : 1. La pulsation propre est : $$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = 1000\ \text{rad/s}$$ La fréquence de résonance : $$f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1000}{2\pi} \approx 159,15\ \text{Hz}$$ 2. Le facteur de qualité : $$Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} = \dfrac{1}{10}\sqrt{\dfrac{0,1}{10^{-5}}} = \dfrac{1}{10}\sqrt{10^4} = \dfrac{100}{10} = 10$$ 3. À la résonance : $$I_{m,\max} = \dfrac{U_m}{R} = \dfrac{5}{10} = 0,5\ \text{A}$$ 4. Pour $f = 100\ \text{Hz}$, $\omega = 2\pi f = 628,3\ \text{rad/s}$ : $$L\omega = 0,1 \times 628,3 = 62,83\ \Omega, \qquad \dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{10^{-5} \times 628,3} = 159,15\ \Omega$$ $$I_m = \dfrac{5}{\sqrt{10^2 + (62,83 - 159,15)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{100 + 9278}} = \dfrac{5}{96,84} \approx 0,0516\ \text{A}$$ Pour $f = 1000\ \text{Hz}$, $\omega = 6283\ \text{rad/s}$ : $$L\omega = 0,1 \times 6283 = 628,3\ \Omega, \qquad \dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{10^{-5} \times 6283} = 15,92\ \Omega$$ $$I_m = \dfrac{5}{\sqrt{100 + (628,3 - 15,92)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{100 + 375000}} = \dfrac{5}{612,4} \approx 0,00816\ \text{A}$$ **Interprétation** : L'intensité est maximale à la résonance ($0,5\ \text{A}$) et décroît fortement lorsqu'on s'éloigne de $f_0$. Le circuit est sélectif. ### III.4. Représentation graphique de la réponse en intensité ```onbuch-svg <svg width="600" height="400" viewBox="0 0 600 400" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Axes --> <line x1="60" y1="350" x2="560" y2="350" stroke="black" stroke-width="2"/> <line x1="60" y1="350" x2="60" y2="30" stroke="black" stroke-width="2"/> <!-- Labels des axes --> <text x="300" y="390" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold">ω (rad/s)</text> <text x="30" y="190" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold" transform="rotate(-90,30,190)">I_m (A)</text> <!-- Graduations axe x --> <line x1="60" y1="350" x2="60" y2="355" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="60" y="370" text-anchor="middle" font-size="12">0</text> <line x1="185" y1="350" x2="185" y2="355" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="185" y="370" text-anchor="middle" font-size="12">ω₀/2</text> <line x1="310" y1="350" x2="310" y2="355" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="310" y="370" text-anchor="middle" font-size="12">ω₀</text> <line x1="435" y1="350" x2="435" y2="355" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="435" y="370" text-anchor="middle" font-size="12">2ω₀</text> <!-- Graduations axe y --> <line x1="55" y1="350" x2="60" y2="350" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="50" y="354" text-anchor="end" font-size="12">0</text> <line x1="55" y1="190" x2="60" y2="190" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="50" y="194" text-anchor="end" font-size="12">I_max/2</text> <line x1="55" y1="90" x2="60" y2="90" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="50" y="94" text-anchor="end" font-size="12">I_max</text> <!-- Courbe de résonance (courbe de Lorentz) --> <path d="M 60 348 Q 100 347 150 345 Q 200 340 250 320 Q 280 290 300 100 Q 310 90 320 100 Q 340 290 350 320 Q 400 340 450 345 Q 500 347 560 348" fill="none" stroke="blue" stroke-width="3"/> <!-- Ligne pointillée pour I_max/2 --> <line x1="60" y1="190" x2="560" y2="190" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <!-- Points de bande passante --> <circle cx="270" cy="190" r="4" fill="red"/> <circle cx="350" cy="190" r="4" fill="red"/> <!-- Annotations --> <text x="270" y="175" text-anchor="middle" font-size="12" fill="red">ω₁</text> <text x="350" y="175" text-anchor="middle" font-size="12" fill="red">ω₂</text> <text x="310" y="75" text-anchor="middle" font-size="14" fill="blue">Courbe de résonance</text> <text x="310" y="110" text-anchor="middle" font-size="12" fill="blue">I_max = U_m/R</text> <!-- Flèche pour la bande passante --> <line x1="270" y1="210" x2="350" y2="210" stroke="green" stroke-width="2"/> <text x="310" y="230" text-anchor="middle" font-size="12" fill="green">Δω = R/L</text> <!-- Titre --> <text x="300" y="25" text-anchor="middle" font-size="18" font-weight="bold">Réponse en intensité d'un circuit RLC série</text> </svg> ``` ## IV. Notion d'impédance ### IV.1. Définition générale En régime sinusoïdal forcé, l'impédance d'un dipôle est le rapport de la tension complexe à ses bornes par le courant complexe qui le traverse : $$\underline{Z} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{i}}$$ L'impédance s'exprime en ohms ($\Omega$). C'est un nombre complexe : $$\underline{Z} = R + jX$$ où $R$ est la résistance (partie réelle, en $\Omega$) et $X$ la réactance (partie imaginaire, en $\Omega$). Le module de l'impédance est : $$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$$ et l'argument (déphasage entre tension et courant) : $$\varphi = \arctan\left(\dfrac{X}{R}\right)$$ > **À retenir** : L'impédance généralise la notion de résistance au régime sinusoïdal. Elle dépend de la pulsation $\omega$ et caractérise l'opposition d'un dipôle au passage du courant alternatif. ### IV.2. Impédances des dipôles élémentaires | Dipôle | Impédance complexe | Module | Déphasage $\varphi$ | |--------|-------------------|--------|---------------------| | Résistor | $\underline{Z}_R = R$ | $R$ | $0$ | | Bobine (inductance) | $\underline{Z}_L = jL\omega$ | $L\omega$ | $+\dfrac{\pi}{2}$ | | Condensateur | $\underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega} = -\dfrac{j}{C\omega}$ | $\dfrac{1}{C\omega}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | ### IV.3. Impédance du circuit RLC série Pour le circuit RLC série : $$\underline{Z} = R + jL\omega + \dfrac{1}{jC\omega} = R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)$$ Le module : $$|Z| = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}$$ L'argument : $$\varphi = \arctan\left(\dfrac{L\omega - \dfrac{1}{C\omega}}{R}\right)$$ **Cas particuliers** : - Si $L\omega > \dfrac{1}{C\omega}$ (haute fréquence) : $\varphi > 0$, le circuit est inductif (le courant est en retard sur la tension). - Si $L\omega < \dfrac{1}{C\omega}$ (basse fréquence) : $\varphi < 0$, le circuit est capacitif (le courant est en avance sur la tension). - Si $L\omega = \dfrac{1}{C\omega}$ (résonance) : $\varphi = 0$, le circuit est résistif pur. > **À retenir** : À la résonance, les réactances inductive $L\omega_0$ et capacitive $\dfrac{1}{C\omega_0}$ se compensent exactement : l'impédance du circuit RLC série se réduit à sa résistance $R$. ### IV.4. Associations d'impédances - **Association série** : $\underline{Z}_{eq} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \cdots + \underline{Z}_n$ - **Association parallèle** : $\dfrac{1}{\underline{Z}_{eq}} = \dfrac{1}{\underline{Z}_1} + \dfrac{1}{\underline{Z}_2} + \cdots + \dfrac{1}{\underline{Z}_n}$ ### IV.5. Exemple numérique **Énoncé** : Calculer l'impédance d'un circuit RLC série avec $R = 50\ \Omega$, $L = 0,2\ \text{H}$, $C = 20\ \mu\text{F}$ à la fréquence $f = 50\ \text{Hz}$. **Solution** : $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 314,16\ \text{rad/s}$ $$L\omega = 0,2 \times 314,16 = 62,83\ \Omega$$ $$\dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{20 \times 10^{-6} \times 314,16} = \dfrac{1}{6,283 \times 10^{-3}} = 159,15\ \Omega$$ $$X = L\omega - \dfrac{1}{C\omega} = 62,83 - 159,15 = -96,32\ \Omega$$ $$|Z| = \sqrt{50^2 + (-96,32)^2} = \sqrt{2500 + 9278} = \sqrt{11778} \approx 108,53\ \Omega$$ $$\varphi = \arctan\left(\dfrac{-96,32}{50}\right) = \arctan(-1,926) \approx -62,6^\circ$$ Le circuit est capacitif : le courant est en avance de $62,6^\circ$ sur la tension. ## V. Puissance en régime sinusoïdal ### V.1. Puissance instantanée Pour un dipôle soumis à une tension $u(t) = U_m\cos(\omega t)$ et parcouru par un courant $i(t) = I_m\cos(\omega t - \varphi)$ (le courant est en retard de phase $\varphi$ par rapport à la tension), la puissance instantanée est : $$p(t) = u(t) \cdot i(t) = U_m I_m \cos(\omega t)\cos(\omega t - \varphi)$$ En utilisant l'identité trigonométrique $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$ : $$p(t) = \dfrac{U_m I_m}{2}\left[\cos(2\omega t - \varphi) + \cos\varphi\right]$$ ### V.2. Puissance active (ou puissance moyenne) La puissance active est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période : $$P = \langle p(t) \rangle = \dfrac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt = \dfrac{U_m I_m}{2}\cos\varphi$$ En introduisant les valeurs efficaces $U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}$ et $I = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}}$ : $$P = UI\cos\varphi$$ > **À retenir** : La puissance active $P = UI\cos\varphi$ est la puissance réellement consommée (transformée en chaleur, travail mécanique, etc.). Elle s'exprime en watts (W). Le terme $\cos\varphi$ est appelé facteur de puissance. ### V.3. Puissance apparente et puissance réactive - **Puissance apparente** : $S = UI$, exprimée en volt-ampères (VA). C'est la puissance que devrait fournir le générateur si le déphasage était nul. - **Puissance réactive** : $Q = UI\sin\varphi$, exprimée en volt-ampères réactifs (VAR). Elle correspond à l'énergie stockée et restituée périodiquement par les éléments réactifs (bobine et condensateur) sans être consommée. La relation entre ces puissances est : $$S^2 = P^2 + Q^2$$ ### V.4. Puissance dans le circuit RLC série Pour le circuit RLC série, on a : $$U = |Z| \cdot I, \qquad \cos\varphi = \dfrac{R}{|Z|}, \qquad \sin\varphi = \dfrac{X}{|Z|}$$ La puissance active est : $$P = UI\cos\varphi = |Z|I^2 \cdot \dfrac{R}{|Z|} = RI^2$$ C'est bien la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance. La puissance réactive est : $$Q = UI\sin\varphi = |Z|I^2 \cdot \dfrac{X}{|Z|} = XI^2 = \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)I^2$$ > **À retenir** : Dans un circuit RLC série, seule la résistance consomme de la puissance active ($P = RI^2$). La bobine et le condensateur échangent de la puissance réactive sans en consommer. À la résonance, $X = 0$, donc $Q = 0$ et $\cos\varphi = 1$ : le facteur de puissance est maximal. ### V.5. Facteur de puissance et relèvement Le facteur de puissance $\cos\varphi$ est un paramètre important en électrotechnique. Un facteur de puissance faible (proche de 0) signifie qu'une part importante de la puissance apparente n'est pas utilisée. Pour un même transfert de puissance active $P$, un faible $\cos\varphi$ impose un courant plus élevé : $$I = \dfrac{P}{U\cos\varphi}$$ Ce courant supplémentaire augmente les pertes Joule dans les lignes de transport. On "relève" le facteur de puissance en ajoutant des condensateurs en parallèle sur les charges inductives. ### V.6. Exemple numérique entièrement résolu **Énoncé** : Un circuit RLC série est alimenté par une tension efficace $U = 230\ \text{V}$ à la fréquence $f = 50\ \text{Hz}$. On donne $R = 30\ \Omega$, $L = 0,15\ \text{H}$, $C = 50\ \mu\text{F}$. 1. Calculer l'impédance du circuit. 2. Calculer le courant efficace. 3. Calculer le facteur de puissance. 4. Calculer les puissances active, réactive et apparente. **Solution** : 1. $\omega = 2\pi \times 50 = 314,16\ \text{rad/s}$ $$L\omega = 0,15 \times 314,16 = 47,12\ \Omega$$ $$\dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{50 \times 10^{-6} \times 314,16} = \dfrac{1}{0,01571} = 63,66\ \Omega$$ $$X = 47,12 - 63,66 = -16,54\ \Omega$$ $$|Z| = \sqrt{30^2 + (-16,54)^2} = \sqrt{900 + 273,6} = \sqrt{1173,6} \approx 34,26\ \Omega$$ 2. Le courant efficace : $$I = \dfrac{U}{|Z|} = \dfrac{230}{34,26} \approx 6,71\ \text{A}$$ 3. Le facteur de puissance : $$\cos\varphi = \dfrac{R}{|Z|} = \dfrac{30}{34,26} \approx 0,876$$ 4. Les puissances : $$P = UI\cos\varphi = 230 \times 6,71 \times 0,876 \approx 1352\ \text{W}$$ $$Q = UI\sin\varphi = 230 \times 6,71 \times (-0,483) \approx -745\ \text{VAR}$$ (Le signe négatif indique que le circuit est capacitif.) $$S = UI = 230 \times 6,71 \approx 1543\ \text{VA}$$ **Vérification** : $S^2 = P^2 + Q^2$ : $1543^2 = 2380849$ et $1352^2 + 745^2 = 1827904 + 555025 = 2382929$. Les valeurs sont cohérentes (légères différences dues aux arrondis). ## Conclusion Le circuit RLC constitue le modèle fondamental pour l'étude des oscillations électriques et des phénomènes de résonance. L'étude comparative des circuits RC, LC et RLC a mis en évidence le rôle de chaque composant : le condensateur stocke l'énergie sous forme électrique, la bobine sous forme magnétique, et la résistance dissipe l'énergie par effet Joule. Les oscillations libres d'un circuit RLC sont amorties, avec une pseudo-période proche de la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ lorsque l'amortissement est faible. En régime forcé, le circuit présente une résonance d'intensité à la pulsation $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, caractérisée par un facteur de qualité $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ qui mesure la sélectivité du circuit. La notion d'impédance complexe permet de traiter les circuits en régime sinusoïdal de manière algébrique, généralisant la loi d'Ohm. Enfin, l'analyse des puissances montre que seule la résistance consomme de la puissance active, tandis que les éléments réactifs échangent de la puissance réactive. Ces concepts trouvent des applications directes dans le filtrage des signaux, la sélection de fréquences en radiocommunication, et l'optimisation du transport de l'énergie électrique.