Systèmes de projection (partie 1/2)

## Représentation plane de l'ellipsoïde : (définition et objet, Théorème de Legendre, Indicatrice de Tissot, représentation d'une ligne géodésique sur le plan de projection) ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la représentation plane de l'ellipsoïde ! Vous êtes-vous déjà demandé comment on transforme la surface courbée de la Terre, qui est en 3D, en une carte plate en 2D ? C'est un défi majeur en cartographie et en géodésie. La Terre n'est pas une sphère parfaite, mais un ellipsoïde, ce qui complique encore la tâche. Dans ce cours, nous allons explorer les techniques et les concepts clés qui nous permettent de réaliser ces représentations, tout en comprenant les inévitables distorsions qu'elles engendrent. Nous aborderons la définition et l'objectif de cette projection, le rôle du Théorème de Legendre pour les petites surfaces, l'Indicatrice de Tissot pour visualiser les déformations, et la manière dont les chemins les plus courts (lignes géodésiques) sont représentés. ### Concepts Clés #### Définition et objet de la représentation plane de l'ellipsoïde ##### Qu'est-ce qu'un ellipsoïde de référence ? L'ellipsoïde de référence est un modèle mathématique qui se rapproche le plus de la forme réelle de la Terre. Contrairement à une sphère parfaite, l'ellipsoïde est légèrement aplati aux pôles et bombé à l'équateur. Cette forme, appelée ellipsoïde de révolution (ou sphéroïde), est essentielle pour les calculs précis en géodésie et pour la création de cartes précises. ##### Pourquoi projeter sur un plan ? Les globes terrestres sont fidèles à la réalité, mais ils ne sont pas pratiques pour de nombreuses utilisations (transport, stockage, mesures précises sur de petites zones). C'est pourquoi nous avons besoin de cartes planes. Le passage d'une surface 3D courbée à une surface 2D plane est ce qu'on appelle la **projection cartographique**. ##### Le concept de projection cartographique Une projection cartographique est une méthode systématique pour transformer les coordonnées (latitude et longitude) d'un point de la surface de l'ellipsoïde en coordonnées (x, y) sur un plan. Il est important de comprendre qu'il est impossible de faire cela sans introduire des **distorsions**. C'est le théorème de Gauss (Theorema Egregium) qui le prouve : une surface non développable (comme un ellipsoïde) ne peut pas être transformée en une surface développable (comme un plan) sans déformer les distances, les angles ou les aires. L'objectif est donc de choisir une projection qui minimise la distorsion pour l'usage spécifique de la carte. #### Théorème de Legendre ##### Contexte et utilité Le Théorème de Legendre est particulièrement utile en géodésie pour simplifier les calculs de petits triangles à la surface de la Terre (ellipsoïde ou sphère). Pour les triangles dont les côtés sont relativement courts (par exemple, moins de 15-20 km), il permet de substituer des calculs sphériques complexes par des calculs planaires plus simples. ##### Énoncé du théorème Le théorème de Legendre stipule que, pour un triangle sphérique dont les côtés sont suffisamment petits par rapport au rayon de la sphère (ou de l'ellipsoïde), on peut le calculer comme un triangle plan. Pour cela, les angles du triangle plan sont obtenus en soustrayant à chacun des angles du triangle sphérique un tiers de l'**excès sphérique**. L'excès sphérique \(E\) d'un triangle sphérique est la différence entre la somme de ses angles et 180 degrés (ou \(\pi\) radians) : \[ E = (A + B + C) - \pi \] Où \(A, B, C\) sont les angles du triangle sphérique. Si \(A', B', C'\) sont les angles correspondants du triangle plan équivalent, alors : \[ A' = A - \frac{E}{3} \] \[ B' = B - \frac{E}{3} \] \[ C' = C - \frac{E}{3} \] ##### Limitations Ce théorème est une approximation et n'est valable que pour de ## Classification des systèmes de projection : (selon les principes; les propriétés, et les aspects) ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les systèmes de projection ! Lorsque nous observons le monde, il est en trois dimensions (3D). Cependant, pour représenter ce monde sur une carte, un écran d'ordinateur ou une feuille de papier, nous devons le transformer en deux dimensions (2D). C'est le rôle des systèmes de projection. Un système de projection est une méthode mathématique permettant de représenter la surface courbe de la Terre (ou d'un autre corps céleste) sur une surface plane. Cette transformation entraîne inévitablement des distorsions. Pour mieux comprendre ces systèmes et choisir la meilleure projection pour une tâche donnée, nous allons les classer selon leurs principes de construction, leurs propriétés et leurs aspects. ### Concepts Clés #### 1. Classification selon les Principes de Projection Les systèmes de projection sont souvent imaginés comme si une source lumineuse projetait l'image de la Terre sur une surface développable (qui peut être déroulée à plat sans déformation). Ces surfaces sont au nombre de trois principales : ##### a. Projections Coniques * **Principe :** La surface de projection est un cône tangent ou sécant à la sphère terrestre. La source lumineuse peut être au centre de la Terre, sur un pôle, ou à l'infini. Une fois le cône ## Activités d'intégration ### Introduction Bienvenue à cette séance d'activités d'intégration sur les systèmes de projection ! Après avoir étudié les concepts fondamentaux des projections cartographiques, nous allons maintenant consolider vos connaissances et apprendre à les appliquer dans des contextes variés. Comprendre comment la surface tridimensionnelle de la Terre est représentée sur une carte bidimensionnelle est essentiel pour toute personne travaillant avec des données géographiques. Nous réviserons les types de projections, leurs propriétés, les inévitables distorsions, et comment choisir le bon système de projection pour une tâche donnée. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Systèmes de Projection ##### Qu'est-ce qu'un système de projection ? Un système de projection est une méthode mathématique utilisée pour transformer les coordonnées d'un point de la surface sphérique (ou ellipsoïdale) de la Terre vers une surface plane (une carte). Ce processus est indispensable car une carte est plate, alors que la Terre est une sphère (approximativement). ##### Les Principales Familles de Projections Les systèmes de projection sont souvent classés en trois grandes familles, basées sur la surface développable utilisée pour la projection: ###### Projections Cylindriques * **Mécanisme:** La surface terrestre est projetée sur un cylindre tangent ou sécant à l'équateur (ou à un autre parallèle). Le cylindre est ensuite