La representation graphique (partie 2/2)

## Répresentation graphiique des caractères quantitatifs continu: l'histogramme et le polygone ### Introduction Dans le domaine de l'élevage, comme dans beaucoup d'autres sciences, nous rencontrons souvent des données qui varient de manière continue. Par exemple, le poids des poulets, la taille de leurs œufs, ou la quantité d'aliments consommée ne prennent pas des valeurs fixes et distinctes, mais peuvent prendre n'importe quelle valeur au sein d'un intervalle donné. Pour représenter ces **caractères quantitatifs continus**, les diagrammes en bâtons ou les diagrammes circulaires que nous utilisons pour les données discrètes ou qualitatives ne sont pas adaptés. Nous avons besoin d'outils spécifiques : l'**histogramme** et le **polygone des fréquences**. Ces outils graphiques nous permettent de visualiser la distribution de ces données continues, d'identifier les tendances, et de comparer des groupes de données de manière efficace. Ils sont essentiels pour toute analyse statistique descriptive dans la gestion de l'élevage. ### Concepts Clés #### 1. Caractères Quantitatifs Continus Un caractère est dit **quantitatif continu** lorsqu'il peut prendre n'importe quelle valeur numérique dans un intervalle donné. Contrairement aux caractères discrets (qui prennent des valeurs isolées, comme le nombre de poulets), les caractères continus mesurent des grandeurs qui peuvent être divisées à l'infini (comme le poids : 2 kg, 2,1 kg, 2,15 kg, etc.). * **Exemples en élevage :** Poids des animaux, taille, température corporelle, durée de vie, quantité de lait produite. #### 2. Groupement en Classes Étant donné qu'un caractère continu peut prendre une infinité de valeurs, il est impossible de représenter chaque valeur individuellement. Pour cela, nous regroupons les données en **classes** ou **intervalles**. * **Classe :** Un intervalle de valeurs qui regroupe plusieurs observations. Par exemple, [200g ; 250g[. * **Amplitude de classe \(a_i\) :** C'est l'étendue des valeurs comprises dans une classe. Elle est calculée par la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de la classe. \[ a_i = \text{Borne Supérieure} - \text{Borne Inférieure} \] * **Centre de classe \(C_i\) :** C'est le point médian de la classe, souvent utilisé pour représenter la classe dans certains calculs ou graphiques. Il est calculé comme la moyenne des bornes inférieure et supérieure. \[ C_i = \frac{\text{Borne Inférieure} + \text{Borne Supérieure}}{2} \] * **Fréquence \(N_i\) :** Le nombre d'observations qui tombent dans une classe donnée. * **Fréquence relative \(f_i\) :** La proportion des observations qui tombent dans une classe donnée, par rapport au total des observations. Elle est calculée par \(f_i = N_i / N_{\text{total}}\) où \(N_{\text{total}}\) est le nombre total d'observations. * **Densité de fréquence \(d_i\) :** C'est la fréquence par unité d'amplitude de classe. Elle est particulièrement utile lorsque les classes n'ont pas la même amplitude. L'aire du rectangle de l'histogramme est proportionnelle à la fréquence. \[ d_i = \frac{N_i}{a_i} \] #### 3. L'Histogramme L'histogramme est un graphique composé de rectangles adjacents (collés les uns aux autres) qui représentent la distribution d'un caractère quantitatif continu. * **Construction :** * L'axe des abscisses (horizontal) représente les classes de valeurs du caractère continu. * L'axe des ordonnées (vertical) représente les fréquences, les effectifs ou, plus couramment, les **densités de fréquence**. * Chaque rectangle a une base égale à l'amplitude de la classe qu'il représente. * La hauteur de chaque rectangle est telle que son **aire est proportionnelle à la fréquence (ou à l'effectif) de la classe**. Si toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur peut être directement la fréquence ou l'effectif. Si les amplitudes sont différentes, la hauteur doit être la densité de fréquence \(d_i\). * **Utilité :** Il permet d'apprécier la forme de la distribution (symétrique, asymétrique), la dispersion des données et les classes les plus fréquentes. #### 4. Le Polygone des Fréquences Le polygone des fréquences est un graphique en ligne qui relie les centres des sommets des rectangles de l'histogramme. * **Construction :** * Il est obtenu en reliant les points ayant pour coordonnées \((C_i ; N_i)\) ou \((C_i ; f_i)\), où \(C_i\) est le centre de la classe et \(N_i\) (ou \(f_i\)) est la fréquence (ou fréquence relative) de cette classe. * Pour « fermer » le polygone et le ramener à l'axe des abscisses, on ajoute souvent une classe fictive de fréquence nulle avant la première classe et après la dernière classe. Les points à relier sont alors \((C_{0} ; 0)\), \((C_1 ; N_1)\), ..., \((C_k ; N_k)\), \((C_{k+1} ; 0)\). * **Utilité :** Il est particulièrement utile pour comparer deux ou plusieurs distributions sur un même graphique, car les lignes sont moins "encombrantes" que les rectangles des histogrammes superposés. Il donne une idée plus lisse de la forme de la distribution. ### Vocabulaire * **Caractère quantitatif continu :** Variable dont les valeurs peuvent prendre n'importe quel nombre réel dans un intervalle (ex: poids, taille). * **Classe :** Intervalle de valeurs dans lequel sont regroupées les données continues. * **Amplitude de classe :** Écart entre la borne supérieure et la borne inférieure d'une classe. * **Centre de classe :** Milieu de l'intervalle d'une classe. * **Fréquence :** Nombre d'observations dans une classe. * **Densité de fréquence :** Fréquence par unité d'amplitude de classe, utilisée pour la hauteur des rectangles d'un histogramme lorsque les amplitudes de classes sont différentes. * **Histogramme :** Représentation graphique d'un caractère quantitatif continu par des rectangles adjacents. * **Polygone des fréquences :** Graphique en ligne reliant les centres des sommets des rectangles d'un histogramme. ### Exemples #### Exemple 1: Poids des poulets à 6 semaines Imaginons que nous ayons mesuré le poids (en grammes) de 100 poulets à 6 semaines. Voici les données regroupées en classes: | Classes de poids (g) | Centre de classe \(C_i\) | Effectif \(N_i\) | Fréquence relative \(f_i\) | Amplitude de classe \(a_i\) | Densité de fréquence \(d_i = N_i/a_i\) | |-----------------------|-------------------------|-----------------|-----------------------------|---------------------------|----------------------------------------| | [1000 ; 1200[ | 1100 | 10 | 0.10 | 200 | 0.05 | | [1200 ; 1400[ | 1300 | 30 | 0.30 | 200 | 0.15 | | [1400 ; 1600[ | 1500 | 45 | 0.45 | 200 | 0.225 | | [1600 ; 1800[ | 1700 | 15 | 0.15 | 200 | 0.075 | | **Total** | | **100** | **1.00** | | | **Construction de l'histogramme :** 1. Tracez l'axe des abscisses pour les poids (classes). Graduez-le de 1000 à 1800. 2. Tracez l'axe des ordonnées pour la densité de fréquence. Graduez-le en fonction des valeurs maximales (ici 0.225). 3. Pour chaque classe, dessinez un rectangle dont la base correspond à l'intervalle de la classe et la hauteur à la densité de fréquence correspondante (par exemple, pour la classe [1200 ; 1400[, la hauteur est 0.15). Les rectangles doivent être adjacents. **Construction du polygone des fréquences :** 1. Ajoutez des classes fictives de fréquence nulle : [800 ; 1000[ (centre 900) et [1800 ; 2000[ (centre 1900). 2. Placez les points au centre de chaque classe et à la hauteur de sa fréquence (ou densité de fréquence). Par exemple, (1100 ; 0.10), (1300 ; 0.30), etc. 3. Reliez ces points par des segments de droite. Commencez et finissez par les points des classes fictives (900 ; 0) et (1900 ; 0) pour fermer le polygone sur l'axe des abscisses. ### Exercices **Exercice 1 :** Un éleveur a mesuré la quantité de lait (en litres) produite par 50 vaches laitières en une journée. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous : | Classes de production (litres) | Effectif \(N_i\) | |--------------------------------|-----------------| | [15 ; 20[ | 8 | | [20 ; 25[ | 15 | | [25 ; 30[ | 18 | | [30 ; 35[ | 7 | | [35 ; 40[ | 2 | 1. Calculez le centre de chaque classe. 2. Calculez la fréquence relative \(f_i\) pour chaque classe. 3. Calculez l'amplitude de chaque classe. 4. Calculez la densité de fréquence \(d_i\) pour chaque classe. 5. Construisez l'histogramme de cette distribution. 6. Sur le même graphique, tracez le polygone des fréquences. ### Devoir **Devoir 1 :** On a relevé le temps de gestation (en jours) de 80 truies dans un élevage porcin. Les données sont les suivantes : | Classes de temps (jours) | Effectif \(N_i\) | |--------------------------|-----------------| | [110 ; 112[ | 5 | | [112 ; 114[ | 15 | | [114 ; 116[ | 30 | | [116 ; 118[ | 20 | | [118 ; 120[ | 10 | 1. Préparez un tableau complet incluant les centres de classe, les fréquences relatives, les amplitudes de classe et les densités de fréquence. 2. Dessinez l'histogramme des temps de gestation. 3. Dessinez le polygone des fréquences sur le même graphique. 4. En observant le graphique, quelle classe de temps de gestation semble être la plus fréquente ? 5. Si un temps de gestation de 110 jours est considéré comme prématuré et 120 jours comme tardif, combien de truies ont eu une gestation dans la norme (entre 112 et 118 jours, bornes exclues) ? ### Résumé Pour représenter graphiquement les **caractères quantitatifs continus**, nous utilisons l'**histogramme** et le **polygone des fréquences**. L'histogramme est constitué de rectangles adjacents dont l'aire est proportionnelle à la fréquence de la classe, et dont la hauteur représente la densité de fréquence si les amplitudes de classes sont différentes. Le polygone des fréquences relie les centres des sommets des rectangles de l'histogramme, offrant une vue plus lisse de la distribution et facilitant la comparaison entre plusieurs séries de données. Ces outils sont fondamentaux pour l'analyse descriptive et la compréhension des distributions de données continues. ## Le polygone cumulatif croissant et décroissant ### Introduction En statistique, il est souvent utile de visualiser comment les données s'accumulent. Pour cela, nous utilisons des représentations graphiques appelées polygones cumulatifs. Il en existe deux types : le polygone cumulatif croissant et le polygone cumulatif décroissant. Ces outils nous aident à comprendre la répartition des valeurs dans une série statistique et à identifier rapidement des informations comme la proportion d'individus ayant une valeur inférieure ou supérieure à un certain seuil. Cette leçon vous guidera à travers leur construction et leur interprétation. ### Concepts Clés #### La Fréquence Cumulée Croissante (FCC) La fréquence cumulée croissante (FCC) pour une classe donnée est la proportion d'observations dont la valeur est *inférieure ou égale* à la borne supérieure de cette classe. Elle s'obtient en additionnant les fréquences des classes successives, en partant de la première. * **Calcul de la FCC:** Pour chaque classe, on ajoute sa fréquence à la fréquence cumulée croissante de la classe précédente. La première FCC est égale à la fréquence de la première classe. La dernière FCC doit être égale à 1 (ou 100% si en pourcentage) ou à l'effectif total. \[ FCC_i = FCC_{i-1} + f_i \] où \( FCC_{i-1} \) est la fréquence cumulée croissante de la classe précédente et \( f_i \) est la fréquence de la classe actuelle. #### La Fréquence Cumulée Décroissante (FCD) La fréquence cumulée décroissante (FCD) pour une classe donnée est la proportion d'observations dont la valeur est *supérieure ou égale* à la borne inférieure de cette classe. Elle s'obtient en additionnant les fréquences de cette classe et de toutes les classes suivantes, en remontant depuis la fin de la série ou en soustrayant progressivement depuis le total. * **Calcul de la FCD:** Pour chaque classe \( i \), la FCD est la somme des fréquences de la classe \( i \) et de toutes les classes suivantes. La FCD de la première classe est égale à 1 (ou 100%) ou à l'effectif total. La FCD de la dernière classe est égale à la fréquence de cette dernière classe. \[ FCD_i = \sum_{j=i}^{k} f_j \] où \( f_j \) est la fréquence de la classe \( j \) et \( k \) est le nombre total de classes. #### Construction du Polygone Cumulatif Croissant 1. **Préparer les données:** Calculez les fréquences cumulées croissantes. 2. **Graduer les axes:** * L'axe horizontal (abscisses) représente les valeurs des classes (bornes). * L'axe vertical (ordonnées) représente les fréquences cumulées croissantes (de 0 à 1 ou de 0% à 100%). 3. **Placer les points:** Pour chaque classe, placez un point dont l'abscisse est la **borne supérieure** de la classe et l'ordonnée est sa fréquence cumulée croissante. Ajoutez un point initial à la borne inférieure de la première classe avec une fréquence cumulée de 0. 4. **Relier les points:** Reliez les points consécutifs par des segments de droite pour former le polygone. #### Construction du Polygone Cumulatif Décroissant 1. **Préparer les données:** Calculez les fréquences cumulées décroissantes. 2. **Graduer les axes:** * L'axe horizontal (abscisses) représente les valeurs des classes (bornes). * L'axe vertical (ordonnées) représente les fréquences cumulées décroissantes (de 0 à 1 ou de 0% à 100%). 3. **Placer les points:** Pour chaque classe, placez un point dont l'abscisse est la **borne inférieure** de la classe et l'ordonnée est sa fréquence cumulée décroissante. Ajoutez un point final à la borne supérieure de la dernière classe avec une fréquence cumulée de 0. 4. **Relier les points:** Reliez les points consécutifs par des segments de droite pour former le polygone. ### Vocabulaire * **Classe:** Intervalle de valeurs dans lequel sont regroupées les données. Ex: [0; 10[. * **Effectif:** Nombre d'observations appartenant à une classe. * **Fréquence:** Proportion d'observations dans une classe par rapport à l'effectif total. \( f_i = \frac{n_i}{N} \). * **Fréquence Cumulée Croissante (FCC):** Proportion des observations ayant une valeur inférieure ou égale à la borne supérieure de la classe. * **Fréquence Cumulée Décroissante (FCD):** Proportion des observations ayant une valeur supérieure ou égale à la borne inférieure de la classe. * **Polygone Cumulatif:** Représentation graphique des fréquences cumulées. ### Exemples Considérons les notes sur 20 obtenues par 20 élèves à un contrôle, regroupées en classes: | Classes de notes | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence (\(f_i\)) | FCC | FCD | |------------------|---------------------|-----------------------|-------|-------| | [0; 5[ | 2 | 0.10 | 0.10 | 1.00 | | [5; 10[ | 5 | 0.25 | 0.35 | 0.90 | | [10; 15[ | 8 | 0.40 | 0.75 | 0.65 | | [15; 20[ | 5 | 0.25 | 1.00 | 0.25 | | **Total** | **20** | **1.00** | | | #### Calculs Détaillés: * **FCC:** * Classe [0; 5[: \( FCC_1 = f_1 = 0.10 \) * Classe [5; 10[: \( FCC_2 = FCC_1 + f_2 = 0.10 + 0.25 = 0.35 \) * Classe [10; 15[: \( FCC_3 = FCC_2 + f_3 = 0.35 + 0.40 = 0.75 \) * Classe [15; 20[: \( FCC_4 = FCC_3 + f_4 = 0.75 + 0.25 = 1.00 \) * **FCD:** * Classe [15; 20[: \( FCD_4 = f_4 = 0.25 \) * Classe [10; 15[: \( FCD_3 = f_3 + f_4 = 0.40 + 0.25 = 0.65 \) * Classe [5; 10[: \( FCD_2 = f_2 + f_3 + f_4 = 0.25 + 0.40 + 0.25 = 0.90 \) * Classe [0; 5[: \( FCD_1 = f_1 + f_2 + f_3 + f_4 = 0.10 + 0.25 + 0.40 + 0.25 = 1.00 \) #### Points à placer pour le graphique: * **Polygone Cumulatif Croissant:** (borne supérieure, FCC) * (0, 0) - point initial pour le démarrage du polygone * (5, 0.10) * (10, 0.35) * (15, 0.75) * (20, 1.00) * **Polygone Cumulatif Décroissant:** (borne inférieure, FCD) * (0, 1.00) * (5, 0.90) * (10, 0.65) * (15, 0.25) * (20, 0) - point final pour terminer le polygone ### Exercices Une enquête sur la taille de 30 arbres (en mètres) a donné les résultats suivants: | Classes de taille (m) | Effectif (\(n_i\)) | |-----------------------|---------------------| | [2; 4[ | 4 | | [4; 6[ | 9 | | [6; 8[ | 12 | | [8; 10[ | 5 | 1. Calculez les fréquences (en proportion décimale) pour chaque classe. 2. Calculez les fréquences cumulées croissantes (FCC). 3. Calculez les fréquences cumulées décroissantes (FCD). 4. Listez les points que vous utiliseriez pour tracer le polygone cumulatif croissant. 5. Listez les points que vous utiliseriez pour tracer le polygone cumulatif décroissant. ### Devoirs 1. À partir des données de l'exercice précédent, tracez sur un même graphique: * Le polygone cumulatif croissant. * Le polygone cumulatif décroissant. *(N'oubliez pas d'indiquer les axes et les unités.)* 2. En utilisant votre graphique, estimez: * La proportion d'arbres dont la taille est inférieure à 7 mètres. * La proportion d'arbres dont la taille est supérieure ou égale à 5 mètres. ### Résumé Les polygones cumulatifs sont des représentations graphiques essentielles en statistiques pour visualiser la répartition des données. Le **polygone cumulatif croissant** utilise les fréquences cumulées croissantes, reliant les bornes supérieures des classes à leurs FCC respectives, et nous montre la proportion d'observations *inférieures ou égales* à une certaine valeur. Le **polygone cumulatif décroissant** utilise les fréquences cumulées décroissantes, reliant les bornes inférieures des classes à leurs FCD respectives, et nous montre la proportion d'observations *supérieures ou égales* à une certaine valeur. Leur construction rigoureuse et leur interprétation permettent une compréhension approfondie de la distribution des données.