Statique des solides

## L12 EQUILIBRE D'UN SOLIDE SOUMIS A DEUX OU TROIS FORCES ### 1. Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Dans cette leçon, nous allons explorer un concept fondamental en physique : l'équilibre des solides. Que ce soit un livre posé sur une table, un pont suspendu ou un tableau accroché au mur, de nombreux objets autour de nous sont immobiles et en équilibre. Comprendre comment les forces agissent sur ces objets est crucial pour expliquer pourquoi ils restent en place. Nous allons voir les conditions nécessaires pour qu'un solide reste en équilibre lorsqu'il est soumis à deux ou trois forces. C'est une application directe du principe d'inertie que nous avons étudié précédemment. ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Rappel sur les forces Une **force** est une action mécanique capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. Chaque force est caractérisée par : * **Son point d'application** : l'endroit où la force agit sur le corps. * **Sa direction** : la droite le long de laquelle la force s'exerce. * **Son sens** : l'orientation de la force le long de sa direction. * **Son intensité (ou valeur)** : mesurée en Newtons (N) à l'aide d'un dynamomètre. On la note \( F \) ou \( ||\vec{F}|| \). Une force est représentée par un **vecteur** \( \vec{F} \). #### 2.2. Principe d'inertie (Première loi de Newton) Enoncé : "*Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent*." Un solide est en **équilibre** si : * Il est **immobile** (sa vitesse est nulle). * Il est en **mouvement rectiligne uniforme** (sa vitesse est constante et non nulle). La condition d'équilibre est que la **somme vectorielle des forces** s'exerçant sur le solide est nulle : \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] Ceci signifie que si \( n \) forces \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, ..., \vec{F_n} \) s'appliquent sur le solide, alors : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + ... + \vec{F_n} = \vec{0} \] #### 2.3. Equilibre d'un solide soumis à deux forces Un solide est en équilibre sous l'action de **deux forces** \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \) si et seulement si ces deux forces sont : * **Colinéaires** : elles ont la même droite d'action. * **De même intensité** : \( F_1 = F_2 \). * **De sens opposés**. Ces trois conditions peuvent se résumer par la relation vectorielle : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \implies \vec{F_1} = -\vec{F_2} \] #### 2.4. Equilibre d'un solide soumis à trois forces Un solide est en équilibre sous l'action de **trois forces** \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3} \) si : 1. **Conditions des droites d'action** : * Les droites d'action des trois forces sont **concourantes** (elles se coupent en un même point). * *Cas particulier* : Si deux forces sont parallèles, la troisième l'est aussi. 2. **Condition de la somme vectorielle nulle (fermeture du dynamique)** : * La somme vectorielle des trois forces est nulle : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] * Graphiquement : Lorsque les vecteurs représentant les trois forces sont mis bout à bout, ils forment un **polygone fermé** (un triangle dans ce cas). ### 3. Vocabulaire * **Force** : Action capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. * **Equilibre** : Etat d'un corps qui est au repos (vitesse nulle) ou en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante). * **Vecteur force** : Représentation graphique d'une force avec ses caractéristiques (point d'application, direction, sens, intensité). * **Colinéaires** : Qui sont sur la même droite ou sur des droites parallèles. * **Concourantes** : Se dit de droites qui se coupent en un seul point. * **Polygone des forces (ou dynamique)** : Construction graphique où les vecteurs forces sont mis bout à bout. Pour l'équilibre, le polygone doit être fermé. ### 4. Exemples #### 4.1. Solide soumis à deux forces Considérons un livre posé sur une table. * **Forces agissantes** : * Le **poids** du livre \( \vec{P} \) : force d'attraction terrestre, verticale, dirigée vers le bas, appliquée au centre de gravité du livre. * La **réaction du support** \( \vec{R} \) : force exercée par la table sur le livre, verticale, dirigée vers le haut, appliquée au point de contact avec la table. * **Conditions d'équilibre** : * Les deux forces sont verticales (colinéaires). * Leur intensité est égale (\( P = R \)). * Elles sont de sens opposés. Le livre est donc en équilibre : \( \vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \). #### 4.2. Solide soumis à trois forces Un tableau de masse \( m \) est accroché au mur par deux fils non parallèles (fil 1 et fil 2). * **Forces agissantes** : * Le **poids** du tableau \( \vec{P} \) : vertical, vers le bas, appliqué au centre de gravité du tableau. * La **tension du fil 1** \( \vec{T_1} \) : le long du fil 1, dirigée vers le point d'attache au mur. * La **tension du fil 2** \( \vec{T_2} \) : le long du fil 2, dirigée vers le point d'attache au mur. * **Conditions d'équilibre** : * Les droites d'action des trois forces (verticale pour \( \vec{P} \), et selon les fils pour \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \)) doivent être concourantes. Elles se coupent au point d'accrochage du tableau aux fils. * La somme vectorielle des trois forces est nulle : \( \vec{P} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = \vec{0} \). Graphiquement, si on les place bout à bout, elles forment un triangle fermé. ### 5. Exercices 1. **Question de cours** : * Décrivez les trois conditions que doivent remplir deux forces pour qu'un solide soumis à ces deux forces soit en équilibre. * Décrivez les deux conditions principales (sur les droites d'action et la somme vectorielle) pour qu'un solide soumis à trois forces soit en équilibre. 2. **Application 1** : Un sac de farine de 5 kg est posé sur une étagère. Calculez l'intensité de la force exercée par l'étagère sur le sac. (Prenez \( g = 9,8 \text{ N/kg} \) pour l'intensité de la pesanteur). 3. **Application 2** : Un anneau est en équilibre, soumis à trois forces \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \). Les intensités de \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \) sont respectivement de 4 N et 3 N. L'angle entre \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \) est de 90°. Représentez graphiquement ces deux forces à l'échelle (ex: 1 cm pour 1 N) puis déterminez graphiquement l'intensité et la direction de \( \vec{F_3} \) pour que l'anneau soit en équilibre. (N'oubliez pas la règle du polygone fermé). ### 6. Devoirs 1. **Problème** : Un pendule est constitué d'une petite bille de masse \( m = 200 \text{ g} \) suspendue à un fil. On écarte la bille de sa position d'équilibre vertical en lui appliquant une force horizontale \( \vec{F_H} \) d'intensité \( 1,5 \text{ N} \). Le pendule est alors en équilibre. Représentez les trois forces qui s'exercent sur la bille : le poids (\( \vec{P} \)), la tension du fil (\( \vec{T} \)) et la force horizontale (\( \vec{F_H} \)). * Montrez graphiquement que les droites d'action des forces sont concourantes. * À l'aide d'une échelle adaptée, représentez le dynamique des forces et vérifiez qu'il est fermé. * Déduisez-en, graphiquement, l'intensité de la tension du fil \( \vec{T} \). 2. **Recherche** : Faites une courte recherche (quelques lignes) sur un exemple concret d'application des conditions d'équilibre des solides dans un domaine comme l'architecture ou l'ingénierie civile (ex: conception de ponts, de bâtiments, de grues). Expliquez pourquoi il est essentiel de maîtriser ces concepts. ### 7. Résumé En résumé, la notion d'équilibre d'un solide est une pierre angulaire de la mécanique. Nous avons appris que : * Un solide est en équilibre si la somme vectorielle de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nulle (\( \sum \vec{F} = \vec{0} \)). * Pour un solide soumis à **deux forces** : celles-ci doivent être colinéaires, de même intensité et de sens opposés. * Pour un solide soumis à **trois forces** : leurs droites d'action doivent être concourantes (ou parallèles) et leur somme vectorielle doit former un polygone fermé (un triangle). Ces principes nous permettent d'analyser et de prédire le comportement des objets immobiles autour de nous, une compétence essentielle en sciences physiques. ## L13 EQUILIBRE DES SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'équilibre des solides en rotation. Nous avons déjà étudié l'équilibre des solides soumis à des forces coplanaires, où la condition était que la somme des forces soit nulle. Cependant, un objet peut ne pas bouger en translation, mais il peut quand même tourner. Dans cette leçon, nous allons découvrir ce qui provoque ou empêche un mouvement de rotation, et comment un solide peut être en équilibre même lorsqu'il est soumis à des forces qui tentent de le faire tourner autour d'un axe fixe. Cela nous aidera à comprendre comment fonctionnent des objets du quotidien comme les portes, les balances ou les outils. ### Concepts Clés #### 1. Le Moment d'une Force par rapport à un Axe Lorsqu'une force est appliquée à un objet qui peut tourner autour d'un axe, cette force peut provoquer une rotation. La capacité d'une force à provoquer une rotation est mesurée par son *moment*. Le moment \( M \) d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un axe est une grandeur qui dépend de l'intensité de la force et de la distance à laquelle elle est appliquée par rapport à l'axe de rotation. Plus précisément, c'est le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et l'axe de rotation. Cette distance est appelée le *bras de levier*. * **Définition :** Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un axe \( \Delta \) est le produit de l'intensité de la force \( F \) par la longueur \( d \) du bras de levier. \[ M = F \cdot d \] * **Unités :** Le moment s'exprime en newton-mètre (N·m) dans le Système International d'Unités. * **Bras de levier (d) :** C'est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et l'axe de rotation. Pour qu'une force ait un moment, sa ligne d'action ne doit pas passer par l'axe de rotation. * **Sens de rotation :** Par convention, on attribue un signe au moment : positif si la force tend à faire tourner l'objet dans un sens (souvent le sens trigonométrique ou anti-horaire), et négatif si elle tend à le faire tourner dans le sens inverse (horaire). #### 2. Condition d'Équilibre en Rotation (Théorème des Moments) Pour qu'un solide, mobile autour d'un axe fixe, soit en équilibre de rotation, il faut que la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur lui soit nulle par rapport à cet axe. * **Formulation :** La somme des moments des forces qui tendent à faire tourner le solide dans un sens doit être égale à la somme des moments des forces qui tendent à le faire tourner dans l'autre sens. \[ \sum M_{ext} = 0 \] Où \( \sum M_{ext} \) représente la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures agissant sur le solide par rapport à l'axe de rotation. #### 3. Conditions Générales d'Équilibre d'un Solide Pour qu'un solide soit en équilibre complet (ni translation, ni rotation), deux conditions doivent être remplies : 1. **Équilibre de translation :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au solide est nulle. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] 2. **Équilibre de rotation :** La somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures appliquées au solide est nulle par rapport à un axe de rotation quelconque (souvent l'axe fixe). \[ \sum M_{ext} = 0 \] ### Vocabulaire * **Moment d'une force :** Grandeur qui mesure l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour d'un axe. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire entre la ligne d'action d'une force et l'axe de rotation. * **Axe de rotation :** Ligne imaginaire ou réelle autour de laquelle un corps tourne ou peut tourner. * **Force coplanaire :** Forces dont les lignes d'action se trouvent dans le même plan. * **Équilibre de rotation :** État d'un solide où la somme des moments des forces agissant sur lui est nulle, l'empêchant de tourner. * **Sens horaire :** Sens de rotation des aiguilles d'une montre. * **Sens anti-horaire (ou trigonométrique) :** Sens inverse des aiguilles d'une montre. ### Exemples 1. **Ouverture d'une porte :** Pour ouvrir une porte (qui tourne autour de ses gonds, l'axe de rotation), il est plus facile d'appliquer une force loin des gonds (grand bras de levier) et perpendiculairement à la porte. Appliquer la force près des gonds ou parallèlement à la porte rend son ouverture difficile, voire impossible, car le bras de levier serait faible ou nul. 2. **Utilisation d'une clé plate :** Pour desserrer un écrou avec une clé, on applique une force à l'extrémité du manche. Plus le manche est long, plus le bras de levier est grand, et donc plus le moment appliqué à l'écrou est important, ce qui facilite le desserrage. 3. **La balançoire à bascule (Tape-cul) :** Deux enfants de masses différentes veulent s'équilibrer sur une balançoire. L'enfant le plus lourd devra se placer plus près de l'axe de rotation (plus petit bras de levier) tandis que l'enfant plus léger devra s'éloigner de l'axe (plus grand bras de levier) pour que leurs moments respectifs s'annulent et que la balançoire reste horizontale. Si l'enfant 1 a une masse \( m_1 \) et se place à une distance \( d_1 \) et l'enfant 2 a une masse \( m_2 \) et se place à une distance \( d_2 \), l'équilibre est atteint si \( m_1 g d_1 = m_2 g d_2 \), ce qui se simplifie en \( m_1 d_1 = m_2 d_2 \) (où \( g \) est l'accélération de la pesanteur). ### Exercices 1. Une force de 20 N est appliquée à l'extrémité d'une barre de 0,5 m de long, perpendiculairement à la barre. L'autre extrémité de la barre est fixée par un axe. Calculez le moment de cette force par rapport à l'axe. 2. Un volant a un rayon de 0,3 m. On applique une force tangentielle de 15 N sur son bord. Quel est le moment de cette force par rapport au centre du volant ? 3. Une poutre de 2 m de long est articulée à une de ses extrémités. Une force \( F_1 = 30 \text{ N} \) est appliquée à 1,5 m de l'articulation, tendant à faire tourner la poutre dans le sens horaire. Une autre force \( F_2 \) est appliquée à 0,8 m de l'articulation, tendant à la faire tourner dans le sens anti-horaire. Pour que la poutre soit en équilibre, quelle doit être l'intensité de \( F_2 \) ? ### Devoir à la maison 1. Une planche de 3 m de long est posée sur un pivot central. Un enfant de 25 kg est assis à 1 m de l'extrémité gauche. Où un enfant de 30 kg doit-il s'asseoir de l'autre côté du pivot pour équilibrer la planche ? Dessinez un schéma de la situation. 2. Une roue de vélo (rayon 0,35 m) doit être mise en rotation par un couple de forces (deux forces égales et opposées, non colinéaires, créant un moment pur). Si chaque force a une intensité de 10 N, agissant tangentiellement sur le bord de la roue, quel est le moment total exercé sur la roue ? 3. Un levier de 1,2 m est utilisé pour soulever une charge. Le point d'appui (axe de rotation) est placé à 0,2 m de la charge. Si la charge exerce une force de 500 N, quelle force doit-on appliquer à l'autre extrémité du levier pour soulever la charge (c'est-à-dire juste avant l'équilibre) ? ### Résumé En résumé, l'équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe est un concept fondamental en physique. Pour qu'un objet reste immobile en rotation, la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures qui agissent sur lui doit être nulle. Le moment d'une force, qui est sa capacité à provoquer une rotation, dépend de l'intensité de la force et de la distance perpendiculaire à l'axe (le bras de levier), comme le montre la formule \( M = F \cdot d \). Comprendre ces principes nous permet d'analyser et de concevoir de nombreux systèmes mécaniques, des outils simples aux structures complexes.