Chap2: Equations, inéquations et systèmes

# Chap2: Equations, inéquations et systèmes ## Equation du 2nd degré à une inconnue(forme canonique). ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations, inéquations et systèmes ! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type particulier d'équation : l'**équation du second degré à une inconnue**. Nous explorerons notamment sa **forme canonique**, une manière très utile d'écrire ces équations qui nous aide à mieux les comprendre et à les résoudre. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation du second degré ? Une équation du second degré (ou quadratique) à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où : * \( x \) est l'inconnue. * \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels appelés **coefficients**. * Le coefficient \( a \) doit être **non nul** (\( a \neq 0 \)). Si \( a = 0 \), l'équation deviendrait \( bx+c=0 \), qui est une équation du premier degré. #### La forme développée (ou générale) La forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) est appelée la **forme développée** ou **forme générale** d'une équation du second degré. * **Exemple :** \( 2x^2 - 4x + 6 = 0 \) est une équation du second degré avec \( a=2 \), \( b=-4 \) et \( c=6 \). #### La forme canonique La forme canonique est une autre manière d'écrire une équation du second degré. Elle est particulièrement utile car elle permet de visualiser rapidement certaines propriétés de la fonction quadratique associée (parabole) et de résoudre l'équation plus facilement dans certains cas. Elle s'écrit sous la forme : \[ a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \] où \( \alpha \) et \( \beta \) sont des nombres réels liés aux coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) de la forme développée. Plus précisément : * \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) * \( \beta = a\alpha^2 + b\alpha + c \) (c'est la valeur de la fonction quand \( x=\alpha \)). On peut aussi l'écrire \( \beta = \frac{4ac-b^2}{4a} \). #### Passage de la forme développée à la forme canonique (Complétion du carré) Pour passer de la forme \( ax^2 + bx + c \) à la forme \( a(x-\alpha)^2 + \beta \), on utilise une technique appelée la **complétion du carré**. **Étapes :** 1. **Factoriser \( a \)** dans les termes contenant \( x \) : \( ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \) 2. **Utiliser une identité remarquable** : Nous savons que \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \). Nous voulons transformer \( x^2 + \frac{b}{a}x \) en le début d'un carré parfait. Pour cela, nous identifions \( A=x \) et \( 2AB = \frac{b}{a}x \), donc \( B = \frac{b}{2a} \). Ainsi, \( x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 \). 3. **Substituer et simplifier** : \( a[(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c \) \( = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c \) \( = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{ab^2}{4a^2} + c \) \( = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c \) \( = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a} \) On peut alors identifier \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = \frac{4ac-b^2}{4a} \). #### Résolution d'équations du second degré avec la forme canonique Une fois sous forme canonique \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \), la résolution devient souvent plus simple. 1. **Isoler le terme carré** : \( a(x-\alpha)^2 = -\beta \) \( (x-\alpha)^2 = -\frac{\beta}{a} \) 2. **Analyser le signe de \( -\frac{\beta}{a} \)** : * **Cas 1 :** Si \( -\frac{\beta}{a} > 0 \) (appelons cette valeur \( k^2 \) où \( k>0 \)) Alors \( (x-\alpha)^2 = k^2 \) Ce qui signifie \( x-\alpha = k \) ou \( x-\alpha = -k \) D'où deux solutions : \( x_1 = \alpha + k \) et \( x_2 = \alpha - k \). * **Cas 2 :** Si \( -\frac{\beta}{a} = 0 \) Alors \( (x-\alpha)^2 = 0 \) Ce qui signifie \( x-\alpha = 0 \) D'où une seule solution : \( x = \alpha \). * **Cas 3 :** Si \( -\frac{\beta}{a} < 0 \) Alors \( (x-\alpha)^2 = \text{nombre négatif} \) Un carré ne peut jamais être négatif dans les nombres réels. Donc, il n'y a **aucune solution réelle**. ### Vocabulaire * **Équation du second degré :** Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Inconnue :** La variable dont on cherche la valeur (souvent \( x \)). * **Coefficients :** Les nombres \( a \), \( b \) et \( c \) dans l'équation développée. * **Forme développée (ou générale) :** \( ax^2 + bx + c = 0 \). * **Forme canonique :** \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \). * **Racines / Solutions :** Les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'équation. * **Identité remarquable :** Formules algébriques utiles comme \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) ou \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \). * **Complétion du carré :** Technique algébrique utilisée pour transformer une expression quadratique en la forme canonique. ### Exemples #### Exemple 1 : Conversion et résolution Convertir l'équation \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) en forme canonique, puis la résoudre. 1. **Identification des coefficients :** \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=5 \). 2. **Calcul de \( \alpha \) :** \( \alpha = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \). 3. **Calcul de \( \beta \) :** \( \beta = 1(3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \). 4. **Forme canonique :** \( 1(x-3)^2 - 4 = 0 \) ou simplement \( (x-3)^2 - 4 = 0 \). 5. **Résolution :** \( (x-3)^2 - 4 = 0 \) \( (x-3)^2 = 4 \) \( x-3 = \sqrt{4} \) ou \( x-3 = -\sqrt{4} \) \( x-3 = 2 \) ou \( x-3 = -2 \) \( x = 3 + 2 \) ou \( x = 3 - 2 \) \( x_1 = 5 \) ou \( x_2 = 1 \) Les solutions sont \( S = \{1; 5\} \). #### Exemple 2 : Avec un coefficient \( a \) différent de 1 Convertir l'équation \( 2x^2 + 8x + 6 = 0 \) en forme canonique, puis la résoudre. 1. **Identification des coefficients :** \( a=2 \), \( b=8 \), \( c=6 \). 2. **Calcul de \( \alpha \) :** \( \alpha = -\frac{8}{2 \times 2} = -\frac{8}{4} = -2 \). 3. **Calcul de \( \beta \) :** \( \beta = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \). 4. **Forme canonique :** \( 2(x-(-2))^2 + (-2) = 0 \) ou \( 2(x+2)^2 - 2 = 0 \). 5. **Résolution :** \( 2(x+2)^2 - 2 = 0 \) \( 2(x+2)^2 = 2 \) \( (x+2)^2 = \frac{2}{2} \) \( (x+2)^2 = 1 \) \( x+2 = \sqrt{1} \) ou \( x+2 = -\sqrt{1} \) \( x+2 = 1 \) ou \( x+2 = -1 \) \( x = 1 - 2 \) ou \( x = -1 - 2 \) \( x_1 = -1 \) ou \( x_2 = -3 \) Les solutions sont \( S = \{-3; -1\} \). #### Exemple 3 : Pas de solution réelle Convertir et résoudre l'équation \( x^2 + 2x + 5 = 0 \). 1. **Identification des coefficients :** \( a=1 \), \( b=2 \), \( c=5 \). 2. **Calcul de \( \alpha \) :** \( \alpha = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \). 3. **Calcul de \( \beta \) :** \( \beta = 1(-1)^2 + 2(-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \). 4. **Forme canonique :** \( 1(x-(-1))^2 + 4 = 0 \) ou \( (x+1)^2 + 4 = 0 \). 5. **Résolution :** \( (x+1)^2 + 4 = 0 \) \( (x+1)^2 = -4 \) Comme un carré ne peut jamais être négatif, cette équation n'a **aucune solution réelle**. \( S = \emptyset \). ### Exercices #### Exercice 1 : Convertir en forme canonique Convertissez les équations du second degré suivantes en leur forme canonique : 1. \( x^2 - 10x + 21 = 0 \) 2. \( x^2 + 4x - 12 = 0 \) 3. \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \) 4. \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \) #### Exercice 2 : Résoudre en utilisant la forme canonique Résolvez les équations suivantes en les transformant d'abord en forme canonique : 1. \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) 2. \( x^2 + 6x + 9 = 0 \) 3. \( 2x^2 + 4x + 10 = 0 \) 4. \( -x^2 - 4x + 5 = 0 \) ### Devoirs #### Devoir 1 : Pratique de la conversion et résolution Pour chacune des équations suivantes, trouvez la forme canonique et déterminez les solutions réelles si elles existent : 1. \( x^2 - 12x + 32 = 0 \) 2. \( x^2 + 10x + 25 = 0 \) 3. \( 4x^2 - 8x - 12 = 0 \) 4. \( -2x^2 + 12x - 18 = 0 \) 5. \( 3x^2 + 6x + 5 = 0 \) #### Devoir 2 : Problème d'application Un agriculteur souhaite clôturer un champ rectangulaire. Il dispose de 40 mètres de clôture. La surface du champ est de \( 96 m^2 \). 1. Si \( L \) est la longueur et \( l \) la largeur du champ, écrivez les équations qui modélisent le périmètre et l'aire. 2. En déduire une équation du second degré en fonction d'une seule inconnue (par exemple, la longueur \( L \)). 3. Mettez cette équation sous forme canonique et résolvez-la pour trouver les dimensions possibles du champ. ### Résumé * Une **équation du second degré** s'écrit sous la forme développée \( ax^2 + bx + c = 0 \) (avec \( a \neq 0 \)). * Sa **forme canonique** est \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \). * Le passage de la forme développée à la forme canonique se fait par la **complétion du carré**, en utilisant \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = a\alpha^2 + b\alpha + c \). * La forme canonique permet de résoudre l'équation en isolant le carré et en prenant la racine carrée. Selon le signe de \( -\frac{\beta}{a} \), l'équation peut avoir deux solutions réelles distinctes, une seule solution réelle, ou aucune solution réelle. * La forme canonique est essentielle pour comprendre les propriétés graphiques des fonctions quadratiques et pour la résolution d'équations spécifiques. ## Equation et inéquations dont la résolution se ramène à celle du 1er degré dans IR ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons réviser la résolution des équations et inéquations du premier degré, puis découvrir comment d'autres types d'équations et d'inéquations (produits ou quotients) peuvent être transformés pour se ramener à cette forme simple. Cela nous permettra de résoudre une plus grande variété de problèmes. ### Concepts Clés #### Rappel: Équations du premier degré Une équation du premier degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale \( ax+b=0 \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels avec \( a \neq 0 \). La solution est donnée par \( x = -\frac{b}{a} \). ##### Méthode de résolution Pour résoudre une équation du premier degré, on isole l'inconnue \( x \). Exemple: \( 2x + 5 = 11 \) \( 2x = 11 - 5 \) \( 2x = 6 \) \( x = \frac{6}{2} \) \( x = 3 \) L'ensemble des solutions est \( S = \{3\} \). #### Rappel: Inéquations du premier degré Une inéquation du premier degré est une inéquation qui peut s'écrire sous une des formes suivantes: \( ax+b > 0 \), \( ax+b < 0 \), \( ax+b \geq 0 \), ou \( ax+b \leq 0 \), où \( a \neq 0 \). ##### Méthode de résolution On procède comme pour les équations, mais attention: * Si on multiplie ou divise par un nombre **négatif**, le sens de l'inégalité **change**. * Les solutions sont généralement un intervalle. Exemple: \( -3x + 4 \leq 10 \) \( -3x \leq 10 - 4 \) \( -3x \leq 6 \) \( x \geq \frac{6}{-3} \) (On divise par -3, donc on change le sens de l'inégalité) \( x \geq -2 \) L'ensemble des solutions est \( S = [-2; +\infty[ \). #### Équations-produits Une équation-produit est de la forme \( A(x) \times B(x) = 0 \). ##### Principe fondamental Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Autrement dit, \( A(x) \times B(x) = 0 \) équivaut à \( A(x) = 0 \) ou \( B(x) = 0 \). ##### Exemples de formes * \( (ax+b)(cx+d) = 0 \) * \( (ax+b)(cx+d)(ex+f) = 0 \) #### Équations-quotients Une équation-quotient est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \). ##### Principe fondamental Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Autrement dit, \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \) équivaut à \( A(x) = 0 \) et \( B(x) \neq 0 \). ##### Domaine de définition Il est crucial de déterminer le domaine de définition de l'équation avant de la résoudre. On doit s'assurer que le dénominateur ne s'annule jamais. Exemple: Pour \( \frac{2x+1}{x-3} = 0 \), le domaine de définition est \( x \neq 3 \). #### Inéquations-produits et Inéquations-quotients Pour résoudre des inéquations de type \( A(x) \times B(x) > 0 \), \( A(x) \times B(x) < 0 \), \( \frac{A(x)}{B(x)} > 0 \) ou \( \frac{A(x)}{B(x)} < 0 \), on utilise un **tableau de signes**. ##### Étapes de résolution 1. **Mettre l'inéquation sous la forme désirée:** \( A(x) \times B(x) \geq 0 \) ou \( \frac{A(x)}{B(x)} \leq 0 \), etc. Tous les termes doivent être d'un côté de l'inégalité, et 0 de l'autre. 2. **Identifier les facteurs:** Pour un produit, ce sont les facteurs. Pour un quotient, le numérateur et le dénominateur. 3. **Déterminer le signe de chaque facteur:** Résoudre \( A(x) = 0 \) et \( B(x) = 0 \) pour trouver les "valeurs critiques" qui changent le signe de chaque facteur. 4. **Construire un tableau de signes:** * Placer les valeurs critiques sur la ligne des \( x \) dans l'ordre croissant. * Définir les intervalles. * Dans chaque ligne de facteur, indiquer le signe du facteur sur chaque intervalle. * Dans la dernière ligne, utiliser la règle des signes (pour la multiplication ou la division) pour déterminer le signe du produit/quotient total. 5. **Conclure:** Lire le tableau pour trouver les intervalles qui correspondent à l'inégalité initiale. N'oubliez pas les valeurs interdites pour les quotients. ### Vocabulaire * **Équation:** Une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Inéquation:** Une inégalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Solution:** La valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité ou l'inégalité vraie. * **Ensemble de solutions:** L'ensemble de toutes les solutions d'une équation ou inéquation. * **Produit nul:** Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. * **Quotient nul:** Un quotient est nul si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. * **Domaine de définition:** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une expression est définie (ex: le dénominateur ne peut pas être nul). * **Valeur interdite:** Une valeur de l'inconnue qui rend une expression indéfinie (généralement en annulant un dénominateur). * **Tableau de signes:** Outil graphique utilisé pour déterminer le signe d'une expression sur différents intervalles. ### Exemples d'application #### 1. Résoudre l'équation \( (2x-4)(x+3) = 0 \) Cette équation est une équation-produit. \( (2x-4)(x+3) = 0 \) signifie que \( 2x-4=0 \) ou \( x+3=0 \). * \( 2x-4=0 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2 \) * \( x+3=0 \Rightarrow x=-3 \) L'ensemble des solutions est \( S = \{-3; 2\} \). #### 2. Résoudre l'équation \( \frac{3x+9}{x-1} = 0 \) Cette équation est une équation-quotient. D'abord, le domaine de définition: le dénominateur \( x-1 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq 1 \). Ensuite, le numérateur doit être nul: \( 3x+9=0 \). \( 3x = -9 \) \( x = \frac{-9}{3} \) \( x = -3 \) La valeur \( -3 \) est-elle une valeur interdite? Non (car \( -3 \neq 1 \)). L'ensemble des solutions est \( S = \{-3\} \). #### 3. Résoudre l'inéquation \( (x-2)(x+5) \geq 0 \) 1. Les facteurs sont \( (x-2) \) et \( (x+5) \). 2. On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur: * \( x-2 = 0 \Rightarrow x=2 \) * \( x+5 = 0 \Rightarrow x=-5 \) 3. On construit le tableau de signes: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -5 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | Signe de \( x-2 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | Signe de \( x+5 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( (x-2)(x+5) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( + \) | 4. On cherche où \( (x-2)(x+5) \geq 0 \). Le produit est positif ou nul sur \( ]-\infty; -5] \) et \( [2; +\infty[ \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -5] \cup [2; +\infty[ \). #### 4. Résoudre l'inéquation \( \frac{x+1}{x-3} < 0 \) 1. Domaine de définition: \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \). 2. On cherche les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur: * Numérateur: \( x+1 = 0 \Rightarrow x=-1 \) * Dénominateur: \( x-3 = 0 \Rightarrow x=3 \) 3. On construit le tableau de signes: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | Signe de \( x+1 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( x-3 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | Signe de \( \frac{x+1}{x-3} \) | \( + \) | \( 0 \) | \( || \) | \( + \) | 4. On cherche où \( \frac{x+1}{x-3} < 0 \). Le quotient est négatif sur l'intervalle \( ]-1; 3[ \). La valeur \( x=3 \) est interdite (double barre). L'ensemble des solutions est \( S = ]-1; 3[ \). ### Exercices d'application 1. Résoudre les équations suivantes: * a) \( 5x - 7 = 3x + 1 \) * b) \( (x-1)(2x+6) = 0 \) * c) \( \frac{4x-8}{x+2} = 0 \) 2. Résoudre les inéquations suivantes: * a) \( -2x + 8 < 0 \) * b) \( (3x-1)(x-4) \leq 0 \) * c) \( \frac{x-5}{2x+4} > 0 \) ### Devoirs 1. Résoudre l'équation suivante, en factorisant d'abord si nécessaire: * \( (x+2)^2 - 9 = 0 \) * Indice: Pensez à l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) 2. Résoudre l'inéquation suivante: * \( \frac{2x+3}{x-1} \geq 1 \) * Indice: N'oubliez pas de ramener tous les termes d'un côté pour avoir 0 de l'autre, puis de réduire au même dénominateur avant de faire un tableau de signes. 3. Un rectangle a pour longueur \( 2x+3 \) et pour largeur \( x-1 \). * a) Pour quelles valeurs de \( x \) ce rectangle existe-t-il (c'est-à-dire, ses dimensions sont positives)? * b) Déterminer \( x \) pour que l'aire du rectangle soit égale à \( 28 \). ### Résumé * Les **équations et inéquations du premier degré** se résolvent en isolant \( x \). Attention au changement de sens pour les inéquations en cas de multiplication/division par un négatif. * Les **équations-produits** \( A(x)B(x)=0 \) se résolvent en posant \( A(x)=0 \) ou \( B(x)=0 \). * Les **équations-quotients** \( \frac{A(x)}{B(x)}=0 \) se résolvent en posant \( A(x)=0 \) et \( B(x) \neq 0 \). N'oubliez pas le domaine de définition. * Les **inéquations-produits et inéquations-quotients** se résolvent à l'aide d'un **tableau de signes**. Il faut s'assurer que l'inéquation est ramenée à une forme comparable à 0. Pour les quotients, les valeurs qui annulent le dénominateur sont toujours interdites. ## Système d'équations linéaires dans IRxIR. · Définitions: · Propriétés: ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Dans ce chapitre de mathématiques, nous allons explorer un concept fondamental en algèbre : les **systèmes d'équations linéaires à deux inconnues**. Vous avez déjà appris à résoudre des équations avec une seule inconnue. Ici, nous allons apprendre à résoudre des problèmes où plusieurs conditions doivent être satisfaites simultanément, impliquant deux variables différentes. Comprendre ces systèmes est essentiel, car ils permettent de modéliser et de résoudre de nombreux problèmes concrets dans diverses disciplines. Nous allons commencer par définir ce qu'est une équation linéaire à deux inconnues, puis un système de telles équations, et enfin, nous aborderons leurs propriétés principales. ### Concepts Clés #### Définitions * **Équation linéaire à deux inconnues** Une équation linéaire à deux inconnues, souvent notées \( x \) et \( y \), est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax + by = c \] où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels connus, avec \( a \) et \( b \) non tous les deux nuls. Un **couple solution** \( (x_0, y_0) \) de cette équation est un couple de nombres réels qui, lorsqu'ils sont substitués à \( x \) et \( y \) dans l'équation, rendent l'égalité vraie. Graphiquement, l'ensemble des solutions d'une équation linéaire à deux inconnues forme une droite dans le plan. * **Système d'équations linéaires à deux inconnues** Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est composé de deux équations linéaires qui doivent être vérifiées simultanément. Il se présente sous la forme générale : \[ \begin{cases} ax + by = c \quad (L_1) \\ a'x + b'y = c' \quad (L_2) \end{cases} \] où \( a, b, c, a', b', c' \) sont des nombres réels donnés. Un **couple solution** \( (x_0, y_0) \) d'un tel système est un couple de nombres réels qui est solution des deux équations \( (L_1) \) et \( (L_2) \) en même temps. Graphiquement, trouver la solution d'un système revient à trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentées par les équations. #### Propriétés Les propriétés suivantes sont fondamentales pour transformer un système d'équations en un système équivalent, c'est-à-dire qui a le même ensemble de solutions. Elles sont la base des méthodes de résolution. 1. **Multiplication/Division d'une ligne par un réel non nul :** Si l'on multiplie ou divise tous les termes d'une équation du système par un même nombre réel non nul \( k \), le nouveau système obtenu est équivalent au système initial. Exemple : Le système \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 1 \end{cases} \] est équivalent au système \[ \begin{cases} 4x + 2y = 10 \quad \text{(première équation multipliée par 2)} \\ x - 3y = 1 \end{cases} \] 2. **Combinaison linéaire d'équations :** On peut remplacer une des équations d'un système par la somme ou la différence de cette équation et d'un multiple de l'autre équation. Le nouveau système obtenu est équivalent au système initial. Exemple : Dans le système \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \quad (L_1) \\ x - 3y = 1 \quad (L_2) \end{cases} \] On peut remplacer \( (L_1) \) par \( (L_1) + 2(L_2) \). \( (2x+y) + 2(x-3y) = 5 + 2(1) \) \( 2x+y+2x-6y = 5+2 \) \( 4x - 5y = 7 \) Le système devient : \[ \begin{cases} 4x - 5y = 7 \\ x - 3y = 1 \end{cases} \] Ce nouveau système est équivalent au premier. Cette propriété est à la base de la méthode par combinaisons linéaires. 3. **Substitution :** Si l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des équations, et que l'on substitue cette expression dans la deuxième équation, on obtient un système équivalent où une équation n'a plus qu'une seule inconnue. Cette propriété est à la base de la méthode par substitution. Exemple : Dans le système \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \quad (L_1) \\ x - 3y = 1 \quad (L_2) \end{cases} \] De \( (L_1) \), on peut exprimer \( y \) en fonction de \( x \) : \( y = 5 - 2x \). En substituant cette expression de \( y \) dans \( (L_2) \) : \( x - 3(5 - 2x) = 1 \) \( x - 15 + 6x = 1 \) \( 7x - 15 = 1 \) Ce nouveau système, bien que non écrit sous la même forme, permet de trouver \( x \) et est équivalent pour trouver la solution. ### Vocabulaire * **Équation linéaire :** Équation de la forme \( ax + by = c \). * **Inconnue :** Variable dont on cherche la valeur (souvent \( x \) et \( y \)). * **Couple solution :** Couple de valeurs \( (x_0, y_0) \) qui vérifie toutes les équations d'un système. * **Système équivalent :** Deux systèmes sont équivalents s'ils ont exactement le même ensemble de solutions. * **Combinaison linéaire :** Opération consistant à additionner ou soustraire des multiples d'équations entre elles. * **Substitution :** Méthode de résolution où l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre pour la remplacer dans une autre équation. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérifier un couple solution Considérons le système suivant : \[ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 3y = 9 \end{cases} \] Le couple \( (3, 2) \) est-il une solution de ce système ? **Solution :** * Vérifions la première équation : \( 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 \). L'égalité est vraie. * Vérifions la deuxième équation : \( 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9 \). L'égalité est vraie. Puisque le couple \( (3, 2) \) vérifie les deux équations, c'est bien une solution du système. #### Exemple 2 : Modéliser un problème Un fleuriste vend des roses à 2€ l'unité et des tulipes à 1.50€ l'unité. Il a vendu un total de 10 fleurs pour 18€. Combien de roses et combien de tulipes a-t-il vendues ? **Solution :** Soient \( x \) le nombre de roses et \( y \) le nombre de tulipes. 1. Le nombre total de fleurs est 10 : \( x + y = 10 \) 2. Le prix total est 18€ : \( 2x + 1.5y = 18 \) Le système d'équations linéaires est donc : \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 1.5y = 18 \end{cases} \] (Nous apprendrons à résoudre ce type de système dans les prochaines leçons.) ### Exercices 1. **Identifier une équation linéaire :** Parmi les équations suivantes, lesquelles sont des équations linéaires à deux inconnues ? a) \( 3x - 4y = 7 \) b) \( x^2 + y = 5 \) c) \( \frac{1}{x} + y = 2 \) d) \( y = -2x + 1 \) 2. **Vérifier un couple solution :** Le couple \( (-1, 3) \) est-il une solution du système suivant ? \[ \begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ -x + y = 4 \end{cases} \] 3. **Mettre en place un système :** La somme de deux nombres est 15. Leur différence est 3. Écrivez un système d'équations pour trouver ces deux nombres. ### Devoir Maison 1. **Vérifier des solutions :** Pour chacun des systèmes suivants, vérifiez si le couple donné est une solution : a) Système : \[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \] Couple à vérifier : \( (2, 1) \) b) Système : \[ \begin{cases} 4x + y = -5 \\ x - 3y = 7 \end{cases} \] Couple à vérifier : \( (-1, -1) \) 2. **Problème à modéliser :** Une boulangerie vend des pains au chocolat à 1.20€ et des croissants à 0.90€. Un client achète 8 viennoiseries en tout et paie 8.70€. Écrivez un système d'équations qui permettrait de déterminer le nombre de pains au chocolat et de croissants achetés. ### Résumé Aujourd'hui, nous avons introduit les **systèmes d'équations linéaires à deux inconnues**. Nous avons appris que : * Une équation linéaire à deux inconnues est de la forme \( ax + by = c \). * Un système d'équations linéaires est un ensemble de deux (ou plus) équations linéaires qui doivent être vérifiées simultanément. * La solution d'un système est un couple de nombres \( (x, y) \) qui satisfait toutes les équations du système. Graphiquement, c'est le point d'intersection des droites. * Les propriétés des systèmes nous permettent de manipuler les équations pour trouver des systèmes équivalents, ce qui est crucial pour les méthodes de résolution que nous explorerons prochainement (substitution et combinaisons linéaires). Continuez à pratiquer les définitions et la modélisation de problèmes pour solidifier vos bases ! ## Equations du 2nd degré à une inconnue (forme canonique). · Définitions: · Propriétés: ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les équations du second degré ! Nous allons explorer une forme très utile de ces équations, appelée la forme canonique. Les équations du second degré sont omniprésentes en mathématiques et en sciences, permettant de modéliser diverses situations comme la trajectoire d'un projectile, la forme d'un miroir parabolique, ou des problèmes d'optimisation. Comprendre la forme canonique vous fournira un outil puissant pour analyser et résoudre ces équations efficacement. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une équation du second degré Une **équation du second degré à une inconnue** est une équation qui peut s'écrire sous la **forme générale** : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où : * \( x \) est l'inconnue. * \( a \), \( b \), et \( c \) sont des nombres réels, appelés **coefficients**. * Le coefficient \( a \) doit être **non nul** (si \( a=0 \), l'équation devient une équation du premier degré, \( bx+c=0 \)). #### 2. La forme canonique Toute équation du second degré \( ax^2 + bx + c = 0 \) peut être transformée en une **forme canonique** : \[ a(x - \alpha)^2 + \beta = 0 \] où \( \alpha \) et \( \beta \) sont des nombres réels dépendants de \( a \), \( b \) et \( c \). ##### Comment passer de la forme générale à la forme canonique ? (Complétion du carré) Pour transformer \( ax^2 + bx + c \) en forme canonique, nous utilisons une technique appelée la **complétion du carré**, basée sur les identités remarquables. Voici les étapes : 1. **Factoriser \( a \)** dans les deux premiers termes : \[ ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \] 2. **Identifier une identité remarquable** : Nous voulons faire apparaître \( x^2 + \frac{b}{a}x \) comme le début d'un carré parfait \( (X+Y)^2 \) ou \( (X-Y)^2 \). On sait que \( (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 \). En comparant \( 2kx \) avec \( \frac{b}{a}x \), on trouve \( k = \frac{b}{2a} \). Donc, \( x^2 + \frac{b}{a}x = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \] 3. **Substituer** cette expression dans l'équation : \[ a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right] + c \] 4. **Développer et simplifier** : \[ a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - a \frac{b^2}{4a^2} + c \] \[ a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} \] \[ a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \] Ainsi, la forme canonique est \( a(x - \alpha)^2 + \beta = 0 \) avec : * \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) * \( \beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \) #### 3. Résolution des équations du second degré sous forme canonique La forme canonique facilite la résolution de l'équation \( a(x - \alpha)^2 + \beta = 0 \). Voici les étapes : 1. **Isoler le terme carré** : \[ a(x - \alpha)^2 = -\beta \] \[ (x - \alpha)^2 = -\frac{\beta}{a} \] 2. **Analyser le signe de \( -\frac{\beta}{a} \)** : * **Cas 1: \( -\frac{\beta}{a} > 0 \)** (deux solutions réelles distinctes) On peut prendre la racine carrée des deux côtés : \( x - \alpha = \sqrt{-\frac{\beta}{a}} \) ou \( x - \alpha = -\sqrt{-\frac{\beta}{a}} \) Donc, \( x_1 = \alpha + \sqrt{-\frac{\beta}{a}} \) et \( x_2 = \alpha - \sqrt{-\frac{\beta}{a}} \). * **Cas 2: \( -\frac{\beta}{a} = 0 \)** (une solution réelle double) \( (x - \alpha)^2 = 0 \) Donc, \( x - \alpha = 0 \), ce qui donne \( x = \alpha \). * **Cas 3: \( -\frac{\beta}{a} < 0 \)** (aucune solution réelle) Un carré ne peut jamais être négatif. Il n'y a donc pas de solution réelle dans ce cas. ### Vocabulaire * **Équation du second degré** : Équation polynomiale de degré 2 (plus haute puissance de l'inconnue est 2). * **Inconnue** : La variable dont on cherche la valeur (souvent notée \( x \)). * **Coefficients** : Les nombres réels \( a, b, c \) associés aux termes de l'équation du second degré. * **Forme générale** : \( ax^2 + bx + c = 0 \). * **Forme canonique** : \( a(x - \alpha)^2 + \beta = 0 \). * **Racine d'une équation** : Synonyme de solution. Valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation. * **Solution d'une équation** : Valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. * **Identité remarquable** : Égalités algébriques spécifiques utiles pour la factorisation et le développement (ex: \( (A+B)^2 \), \( (A-B)^2 \), \( A^2-B^2 \)). * **Complétion du carré** : Technique algébrique pour transformer une expression en une forme contenant un carré parfait, permettant de passer à la forme canonique. ### Exemples #### Exemple 1: Mettre une équation sous forme canonique Transformons l'équation \( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \) en forme canonique. Ici, \( a=2 \), \( b=-12 \), \( c=10 \). 1. Factoriser \( a=2 \) : \( 2(x^2 - 6x) + 10 = 0 \) 2. Compléter le carré pour \( x^2 - 6x \) : On a \( 2kx = -6x \), donc \( k = -3 \). Ainsi, \( x^2 - 6x = (x-3)^2 - (-3)^2 = (x-3)^2 - 9 \) 3. Substituer et développer : \( 2[(x-3)^2 - 9] + 10 = 0 \) \( 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 0 \) \( 2(x-3)^2 - 8 = 0 \) La forme canonique est donc \( 2(x-3)^2 - 8 = 0 \). On a \( \alpha = 3 \) et \( \beta = -8 \). #### Exemple 2: Résoudre une équation avec deux solutions Reprenons l'équation \( 2(x-3)^2 - 8 = 0 \) de l'exemple 1. 1. Isoler le terme carré : \( 2(x-3)^2 = 8 \) \( (x-3)^2 = \frac{8}{2} \) \( (x-3)^2 = 4 \) 2. Puisque \( 4 > 0 \), il y a deux solutions : \( x-3 = \sqrt{4} \) ou \( x-3 = -\sqrt{4} \) \( x-3 = 2 \) ou \( x-3 = -2 \) 3. Calculer \( x \) : \( x_1 = 3+2 = 5 \) \( x_2 = 3-2 = 1 \) Les solutions sont \( x=1 \) et \( x=5 \). #### Exemple 3: Résoudre une équation avec une solution double Résolvons l'équation \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 1. Mettre en forme canonique (ou remarquer l'identité remarquable) : \( x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \) Donc l'équation est \( (x+2)^2 = 0 \). Ici, \( a=1 \), \( \alpha = -2 \), \( \beta = 0 \). 2. Isoler le terme carré : \( (x+2)^2 = 0 \) 3. Puisque \( 0 \) est la valeur, il y a une solution double : \( x+2 = 0 \) \( x = -2 \) La solution est \( x=-2 \). #### Exemple 4: Résoudre une équation sans solution réelle Résolvons l'équation \( x^2 + x + 1 = 0 \). 1. Mettre en forme canonique : Ici, \( a=1 \), \( b=1 \), \( c=1 \). \( x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 \) \( = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{4}{4} \) \( = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \) L'équation devient \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \). 2. Isoler le terme carré : \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \) 3. Puisque \( -\frac{3}{4} < 0 \), un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif. Il n'y a donc **aucune solution réelle** pour cette équation. ### Exercices **Exercice 1 : Mettre en forme canonique** Transformez les équations suivantes en leur forme canonique : a) \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) b) \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \) c) \( -x^2 - 2x + 3 = 0 \) **Exercice 2 : Résoudre en utilisant la forme canonique** Résolvez les équations suivantes en utilisant la forme canonique : a) \( (x+1)^2 - 9 = 0 \) b) \( 2(x-4)^2 + 2 = 0 \) c) \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) ### Devoirs **Devoir 1 : Transformation et résolution** Pour chaque équation, mettez-la sous forme canonique puis résolvez-la : a) \( x^2 + 10x + 21 = 0 \) b) \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \) c) \( 4x^2 - 8x + 5 = 0 \) **Devoir 2 : Problème appliqué** Un carré de côté \( x \) cm a une aire égale à son périmètre augmenté de 12. Déterminez la valeur du côté \( x \) de ce carré. * **Indice :** Écrivez l'aire du carré en fonction de \( x \). Écrivez le périmètre du carré en fonction de \( x \). Formulez l'équation du second degré correspondante, puis résolvez-la. ### Résumé Nous avons exploré les équations du second degré et la puissance de leur forme canonique. Retenez les points clés suivants : * Une équation du second degré s'écrit sous la forme générale \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * La **forme canonique** est \( a(x - \alpha)^2 + \beta = 0 \), où \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \). * La transformation vers la forme canonique se fait par la **complétion du carré**. * La résolution à partir de la forme canonique \( (x - \alpha)^2 = K \) dépend du signe de \( K \): * Si \( K > 0 \), il y a **deux solutions réelles** (\( x = \alpha \pm \sqrt{K} \)). * Si \( K = 0 \), il y a **une solution réelle double** (\( x = \alpha \)). * Si \( K < 0 \), il n'y a **aucune solution réelle**. La maîtrise de la forme canonique est essentielle pour comprendre les propriétés des paraboles (fonctions du second degré) et pour résoudre efficacement de nombreux problèmes en mathématiques et en sciences. ## Résolution de problèmes se ramenant à la résolution des équations. ### Introduction Bonjour à tous les élèves de Seconde ! Dans le monde réel, nous sommes constamment confrontés à des situations que nous aimerions comprendre ou résoudre. Parfois, ces situations peuvent être traduites en langage mathématique, spécifiquement en équations. Ce chapitre est essentiel car il vous apprendra à transformer un problème concret en un problème mathématique que vous savez résoudre, puis à interpréter la solution mathématique dans le contexte du problème original. C'est une compétence clé non seulement en mathématiques, mais aussi dans de nombreuses autres disciplines scientifiques et dans la vie de tous les jours. ### Concepts Clés La résolution de problèmes par la mise en équation suit une méthodologie rigoureuse en plusieurs étapes. #### 1. Les étapes de la résolution d'un problème Pour résoudre efficacement un problème, il est conseillé de suivre les étapes suivantes : * **Étape 1 : Lire et comprendre l'énoncé.** * Identifiez ce qui est donné et ce qui est cherché. Dessinez un schéma si cela peut aider. * Repérez les mots-clés qui indiquent des opérations (somme, différence, produit, quotient, double, moitié, etc.). * **Étape 2 : Choisir l'inconnue.** * Désignez par une lettre (souvent \(x\)) la grandeur que vous cherchez à déterminer. Parfois, il peut être judicieux de choisir une autre grandeur comme inconnue si cela simplifie la mise en équation. * **Étape 3 : Mettre le problème en équation.** * Traduisez chaque information de l'énoncé en utilisant votre inconnue et les opérations mathématiques appropriées. Le but est d'arriver à une égalité reliant les données et l'inconnue. * **Étape 4 : Résoudre l'équation.** * Appliquez les techniques de résolution d'équations (du premier degré généralement) que vous avez déjà apprises pour trouver la valeur de l'inconnue. * Par exemple, pour une équation de type \(ax+b=cx+d\), le but est d'isoler \(x\). * **Étape 5 : Vérifier le résultat.** * Remplacez l'inconnue trouvée dans l'équation initiale pour s'assurer que l'égalité est respectée. * Plus important encore, vérifiez si cette solution a du sens dans le contexte du problème (une longueur ne peut pas être négative, un nombre de personnes ne peut pas être décimal, etc.). * **Étape 6 : Conclure par une phrase.** * Formulez clairement la réponse au problème posé, en utilisant les unités appropriées. #### 2. Rappel sur les équations du premier degré Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut se ramener à la forme \[ ax + b = 0 \] où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(x\) est l'inconnue. * Si \(a \neq 0\), l'unique solution est \[ x = -\frac{b}{a} \] * Si \(a = 0\) et \(b = 0\), l'équation devient \(0=0\), ce qui est toujours vrai. Il y a une infinité de solutions (tous les nombres réels). * Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l'équation devient \(b=0\), ce qui est faux. Il n'y a pas de solution. ### Vocabulaire * **Inconnue :** La valeur que l'on cherche à déterminer dans un problème, souvent représentée par une lettre comme \(x\). * **Équation :** Une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Mise en équation :** Le processus de traduction d'un problème verbal en une équation mathématique. * **Membre d'une équation :** Les expressions situées de part et d'autre du signe égal. On parle du membre de gauche et du membre de droite. * **Solution d'une équation :** La valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. * **Vérification :** Le processus consistant à substituer la solution trouvée dans l'équation originale pour confirmer qu'elle la satisfait. ### Exemples Nous allons appliquer la méthode avec quelques exemples. #### Exemple 1 : Problème d'âge **Énoncé :** L'âge de Jean est le triple de celui de Pierre. Dans 10 ans, l'âge de Jean sera le double de celui de Pierre. Quels sont leurs âges actuels ? 1. **Comprendre l'énoncé :** Deux personnes, Jean et Pierre. Relation entre leurs âges actuels et relation future. On cherche les âges actuels. 2. **Choisir l'inconnue :** Soit \(x\) l'âge actuel de Pierre. Alors, l'âge actuel de Jean est \(3x\). 3. **Mettre le problème en équation :** Dans 10 ans : * L'âge de Pierre sera : \(x+10\) * L'âge de Jean sera : \(3x+10\) L'énoncé dit que l'âge de Jean sera le double de celui de Pierre : \[ 3x + 10 = 2(x+10) \] 4. **Résoudre l'équation :** \(3x + 10 = 2x + 20\) \(3x - 2x = 20 - 10\) \(x = 10\) 5. **Vérifier le résultat :** Si \(x=10\), alors Pierre a 10 ans et Jean a \(3 \times 10 = 30\) ans. Dans 10 ans, Pierre aura \(10+10=20\) ans et Jean aura \(30+10=40\) ans. \(40\) est bien le double de \(20\). Le résultat est cohérent. 6. **Conclure :** L'âge actuel de Pierre est 10 ans et l'âge actuel de Jean est 30 ans. #### Exemple 2 : Problème de géométrie **Énoncé :** Le périmètre d'un rectangle est de 48 cm. La longueur de ce rectangle est 4 cm de plus que sa largeur. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? 1. **Comprendre l'énoncé :** Rectangle, périmètre donné, relation entre longueur et largeur. On cherche la longueur et la largeur. 2. **Choisir l'inconnue :** Soit \(l\) la largeur du rectangle en cm. Alors, la longueur \(L\) du rectangle est : \(L = l + 4\). 3. **Mettre le problème en équation :** Le périmètre \(P\) d'un rectangle est donné par la formule \[ P = 2(L+l) \] On sait que \(P = 48\) et \(L = l+4\). Donc : \(48 = 2((l+4) + l)\) \(48 = 2(2l + 4)\) 4. **Résoudre l'équation :** \(48 = 4l + 8\) \(48 - 8 = 4l\) \(40 = 4l\) \(l = \frac{40}{4}\) \(l = 10\) La largeur est 10 cm. La longueur est \(L = 10 + 4 = 14\) cm. 5. **Vérifier le résultat :** Si largeur = 10 cm et longueur = 14 cm, alors \(L = l+4\) est vrai.\ Périmètre \(P = 2(14+10) = 2(24) = 48\) cm. Le résultat est correct. 6. **Conclure :** La largeur du rectangle est 10 cm et sa longueur est 14 cm. ### Exercices Appliquez la méthode vue en cours pour résoudre les problèmes suivants. #### Exercice 1 Un père a 42 ans et sa fille a 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui de sa fille ? #### Exercice 2 Trois amis, Antoine, Benoît et Charles, se partagent 150 billes. Benoît a deux fois plus de billes qu'Antoine. Charles a 10 billes de plus que Benoît. Combien de billes chacun a-t-il ? #### Exercice 3 Je suis un nombre entier. Si on me multiplie par 3, puis qu'on ajoute 7 au résultat, on obtient 58. Qui suis-je ? ### Devoirs Continuez à pratiquer avec ces problèmes à résoudre à la maison. #### Devoir 1 Un artisan fabrique des bijoux. Il a dépensé 250 euros pour le matériel. Chaque bijou coûte 15 euros à fabriquer et il le vend 30 euros. Combien de bijoux doit-il vendre pour réaliser un bénéfice de 500 euros ? #### Devoir 2 Un club de sport propose deux formules d'abonnement : * Formule A : 100 euros d'adhésion annuelle et 5 euros par séance. * Formule B : Pas d'adhésion annuelle, mais 10 euros par séance. À partir de combien de séances la Formule A devient-elle plus avantageuse que la Formule B ? #### Devoir 3 La somme de trois nombres entiers consécutifs est 102. Quels sont ces trois nombres ? ### Résumé Pour conclure, la résolution de problèmes par la mise en équation est une compétence fondamentale en mathématiques. Rappelez-vous les étapes clés : 1. **Comprendre l'énoncé** et identifier les informations. 2. **Choisir une inconnue** pertinente. 3. **Traduire le problème en une équation** mathématique. 4. **Résoudre l'équation** de manière rigoureuse. 5. **Vérifier la solution** et s'assurer de sa cohérence. 6. **Conclure** par une réponse claire et formulée. La pratique régulière est la clé pour maîtriser cette méthode. N'hésitez pas à relire les exemples et à refaire les exercices. Bon courage ! ## Système d'équations linéaires dans IRxIR. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les systèmes d'équations linéaires ! Dans de nombreux problèmes mathématiques et situations de la vie courante, nous sommes amenés à résoudre des problèmes qui impliquent plusieurs inconnues et plusieurs conditions. C'est là que les systèmes d'équations linéaires deviennent un outil indispensable. En Seconde, nous nous concentrerons sur les systèmes de deux équations à deux inconnues. L'objectif est de trouver une paire de nombres qui vérifie simultanément toutes les équations du système. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Équation Linéaire à Deux Inconnues ? Une équation linéaire à deux inconnues, généralement \( x \) et \( y \), est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax + by = c \] où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, et \( a \) et \( b \) ne sont pas tous les deux nuls. * **Exemple :** \( 3x + 2y = 7 \) * **Interprétation Géométrique :** Dans un repère orthonormé, l'ensemble des solutions d'une équation linéaire à deux inconnues représente une ligne droite. #### Qu'est-ce qu'un Système de Deux Équations Linéaires à Deux Inconnues ? Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations linéaires que l'on doit résoudre simultanément. Il se présente sous la forme générale : \[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \] * **Solution d'un Système :** Une solution d'un tel système est un couple de nombres \( (x, y) \) qui vérifie **les deux équations en même temps**. * **Interprétation Géométrique :** Chaque équation représente une droite. Résoudre le système revient à trouver les coordonnées du ou des points d'intersection de ces deux droites. * **Un point d'intersection :** Le système a une unique solution (les droites sont sécantes). * **Aucun point d'intersection :** Le système n'a pas de solution (les droites sont parallèles et distinctes). * **Une infinité de points d'intersection :** Le système a une infinité de solutions (les droites sont confondues). #### Méthodes de Résolution Algébrique ##### 1. Méthode par Substitution Cette méthode consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir d'une des équations, puis à remplacer cette expression dans la deuxième équation. Cela réduit le système à une seule équation à une seule inconnue. * **Étapes :** 1. Dans l'une des équations, exprimez une inconnue (par exemple \( x \)) en fonction de l'autre (\( y \)). 2. Substituez cette expression dans l'autre équation. 3. Résolvez l'équation à une inconnue obtenue. 4. Utilisez la valeur trouvée pour calculer la valeur de la première inconnue. 5. Vérifiez votre solution dans les deux équations originales. ##### 2. Méthode par Élimination (ou Addition/Combinaison Linéaire) Cette méthode consiste à multiplier les équations par des nombres appropriés afin de faire disparaître l'une des inconnues lorsque l'on additionne ou soustrait les équations membres à membres. * **Étapes :** 1. Multipliez chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que les coefficients d'une des inconnues (par exemple \( x \)) deviennent opposés ou égaux. 2. Additionnez (ou soustrayez) les deux équations obtenues pour éliminer cette inconnue. 3. Résolvez l'équation à une inconnue restante. 4. Utilisez la valeur trouvée pour calculer la valeur de la première inconnue (en substituant dans l'une des équations de départ, ou en refaisant une élimination pour l'autre variable). 5. Vérifiez votre solution dans les deux équations originales. ### Vocabulaire * **Équation linéaire :** Équation dont les inconnues ne sont qu'à la puissance 1 (par exemple \( ax + by = c \)). * **Inconnue :** Variable dont on cherche la valeur (par exemple \( x \) ou \( y \)). * **Système d'équations :** Ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément. * **Solution d'un système :** Couple de valeurs qui satisfait toutes les équations du système. * **Méthode par substitution :** Technique de résolution où l'on exprime une variable en fonction de l'autre. * **Méthode par élimination (ou addition) :** Technique de résolution où l'on additionne ou soustrait des équations pour éliminer une variable. * **Coefficients :** Nombres qui multiplient les inconnues (par exemple \( a \) et \( b \) dans \( ax + by = c \)). * **Coefficient directeur (ou pente) :** Dans l'écriture \( y = mx + p \), c'est \( m \), il indique l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine :** Dans l'écriture \( y = mx + p \), c'est \( p \), c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution par Substitution Résolvons le système suivant : \[ \begin{cases} x + 2y = 7 \quad (L_1) \\ 3x - y = 0 \quad (L_2) \end{cases} \] 1. **Isoler une variable :** De \( (L_2) \), on peut facilement exprimer \( y \) en fonction de \( x \) : \( y = 3x \). 2. **Substituer :** Remplaçons \( y \) par \( 3x \) dans \( (L_1) \) : \( x + 2(3x) = 7 \) \( x + 6x = 7 \) \( 7x = 7 \) \( x = 1 \) 3. **Trouver l'autre variable :** Maintenant que nous avons \( x = 1 \), utilisons \( y = 3x \) : \( y = 3(1) \) \( y = 3 \) 4. **Vérification :** * \( (L_1) : 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7 \) (Vrai) * \( (L_2) : 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 \) (Vrai) La solution du système est le couple \( (1, 3) \). #### Exemple 2 : Résolution par Élimination Résolvons le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \quad (L_1) \\ 5x - 2y = 4 \quad (L_2) \end{cases} \] 1. **Multiplier les équations :** Pour éliminer \( y \), nous allons multiplier \( (L_1) \) par \( 2 \) et \( (L_2) \) par \( 3 \) : * \( 2 imes (2x + 3y) = 2 imes 13 \implies 4x + 6y = 26 \quad (L_3) \) * \( 3 imes (5x - 2y) = 3 imes 4 \implies 15x - 6y = 12 \quad (L_4) \) 2. **Additionner les équations :** Ajoutons \( (L_3) \) et \( (L_4) \) : \( (4x + 6y) + (15x - 6y) = 26 + 12 \) \( 19x = 38 \) \( x = 2 \) 3. **Trouver l'autre variable :** Substituons \( x = 2 \) dans \( (L_1) \) : \( 2(2) + 3y = 13 \) \( 4 + 3y = 13 \) \( 3y = 13 - 4 \) \( 3y = 9 \) \( y = 3 \) 4. **Vérification :** * \( (L_1) : 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 \) (Vrai) * \( (L_2) : 5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4 \) (Vrai) La solution du système est le couple \( (2, 3) \). #### Exemple 3 : Problème Concret Un cinéma propose deux tarifs : plein tarif à 10€ et tarif réduit à 7€. Pour une séance, 120 spectateurs ont rapporté une recette totale de 1020€. Combien de billets de chaque type ont été vendus ? 1. **Définir les inconnues :** * Soit \( x \) le nombre de billets plein tarif. * Soit \( y \) le nombre de billets tarif réduit. 2. **Écrire le système d'équations :** * Nombre total de spectateurs : \( x + y = 120 \) * Recette totale : \( 10x + 7y = 1020 \) Le système est donc : \[ \begin{cases} x + y = 120 \quad (L_1) \\ 10x + 7y = 1020 \quad (L_2) \end{cases} \] 3. **Résoudre (par exemple par substitution) :** * De \( (L_1) \), \( y = 120 - x \). * Substituons dans \( (L_2) \) : \( 10x + 7(120 - x) = 1020 \) \( 10x + 840 - 7x = 1020 \) \( 3x = 1020 - 840 \) \( 3x = 180 \) \( x = 60 \) * Maintenant, trouvons \( y \) : \( y = 120 - 60 \) \( y = 60 \) 4. **Conclusion :** Il a été vendu 60 billets plein tarif et 60 billets tarif réduit. ### Exercices Résolvez les systèmes d'équations suivants par la méthode de votre choix : 1. \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} 4x + y = 11 \\ 2x + 3y = 13 \end{cases} \] 3. \[ \begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 6x - 4y = 16 \end{cases} \] 4. \[ \begin{cases} 5x + 3y = 7 \\ 2x - 4y = 10 \end{cases} \] ### Devoirs 1. Résolvez les systèmes suivants en utilisant la méthode indiquée : a. Par substitution : \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -8 \end{cases} \] b. Par élimination : \[ \begin{cases} -3x + 5y = 1 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \] 2. **Problème :** Un fleuriste vend des bouquets de roses et des bouquets de tulipes. Un bouquet de 3 roses et 2 tulipes coûte 13€. Un bouquet de 5 roses et 1 tulipe coûte 17€. Quel est le prix d'une rose et le prix d'une tulipe ? (Posez le système d'équations avant de le résoudre). ### Résumé Nous avons exploré les systèmes d'équations linéaires à deux inconnues dans \( \mathbb{R}^2 \). Ces systèmes sont essentiels pour résoudre des problèmes complexes impliquant plusieurs conditions simultanément. Nous avons vu que la solution d'un système est le couple de valeurs \( (x, y) \) qui vérifie toutes les équations. Géométriquement, cela représente le ou les points d'intersection des droites que chaque équation modélise. Nous avons appris deux méthodes algébriques principales pour les résoudre : * La **méthode par substitution**, où l'on exprime une variable en fonction de l'autre. * La **méthode par élimination (ou addition)**, où l'on manipule les équations pour éliminer une variable. N'oubliez pas de toujours vérifier vos solutions dans les équations originales pour confirmer leur exactitude. La maîtrise de ces méthodes est une compétence précieuse en mathématiques et au-delà ! ## Résolution de problèmes se ramenat à la résolution d'équations, d"inéquations ou des systèmes d'équations étudiées. ### Introduction Les mathématiques ne sont pas qu'une suite de calculs. Elles nous offrent des outils puissants pour comprendre et résoudre des problèmes concrets qui se posent dans la vie de tous les jours, en sciences, en économie, etc. Très souvent, ces problèmes peuvent être traduits dans un langage mathématique sous forme d'équations, d'inéquations ou de systèmes d'équations. L'objectif de ce chapitre est de vous apprendre à modéliser ces situations, à résoudre les expressions mathématiques obtenues, et à interpréter les résultats dans le contexte du problème initial. ### Concepts Clés #### Étapes de la résolution d'un problème Pour résoudre un problème, nous suivons généralement une série d'étapes logiques : ##### 1. Comprendre l'énoncé * Lisez l'énoncé attentivement, plusieurs fois si nécessaire. * Identifiez clairement les informations (données) et ce qui est demandé (ce que vous cherchez). * Soulignez les mots clés et reformulez le problème avec vos propres mots pour vous assurer de bien le saisir. ##### 2. Choisir l'inconnue ou les inconnues * Désignez par une lettre (souvent \(x\), mais aussi \(y\), \(a\), \(b\), etc.) la ou les quantités que vous cherchez à déterminer. * Précisez toujours ce que représente l'inconnue, ainsi que son unité et son domaine de validité (par exemple, \(x\) est un nombre d'objets, donc \(x \ge 0\) et \(x\) est un entier). ##### 3. Mettre le problème en équation, inéquation ou système * Traduisez les relations exprimées dans l'énoncé en expressions mathématiques en utilisant l'inconnue choisie. * Formulez une équation (une égalité), une inéquation (une inégalité) ou un système d'équations qui représente la situation. ##### 4. Résoudre l'équation, l'inéquation ou le système * Utilisez les méthodes de résolution que vous avez apprises : * Équations du premier degré : \[ ax+b=0 \] * Équations produit nul : \[ A(x)B(x)=0 \] * Équations quotient nul : \[ \frac{A(x)}{B(x)}=0 \] * Inéquations du premier degré. * Systèmes de deux équations à deux inconnues (par substitution ou par combinaison). ##### 5. Interpréter le résultat et vérifier * Une fois la solution mathématique trouvée, vérifiez si elle a un sens dans le contexte du problème (par exemple, un nombre de personnes ne peut pas être négatif). * Vérifiez que la solution satisfait toutes les conditions de l'énoncé en la substituant dans les données initiales. * Rédigez une phrase de conclusion claire qui répond à la question posée dans l'énoncé. ### Vocabulaire * **Inconnue :** Une valeur dont on ne connaît pas la quantité et que l'on cherche à déterminer, souvent représentée par une lettre comme \(x\). * **Équation :** Une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues (exemple : \(3x+5=11\)). * **Inéquation :** Une inégalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues (exemple : \(2x-1 < 7\)). * **Système d'équations :** Un ensemble de plusieurs équations avec plusieurs inconnues que l'on doit résoudre simultanément pour trouver les valeurs des inconnues qui satisfont toutes les équations (exemple : \( \begin{cases} x+y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases} \)). * **Modélisation :** Le processus de traduction d'un problème réel en un modèle mathématique (équation, inéquation, système). * **Solution :** La ou les valeur(s) de l'inconnue(s) qui rendent l'équation ou l'inéquation vraie. ### Exemples #### Exemple 1 : Problème d'âge (Équation) Un père a 45 ans et son fils a 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui du fils ? * **1. Comprendre l'énoncé :** On cherche un nombre d'années futur où la relation entre les âges sera un double. * **2. Choisir l'inconnue :** Soit \(x\) le nombre d'années recherché (\(x \ge 0\)). * **3. Mettre en équation :** * Dans \(x\) années, l'âge du père sera \(45+x\). * Dans \(x\) années, l'âge du fils sera \(10+x\). * L'âge du père sera le double de l'âge du fils : \(45+x = 2(10+x)\). * **4. Résoudre l'équation :** * \(45+x = 20+2x\) * \(45-20 = 2x-x\) * \(25 = x\) * **5. Interpréter et vérifier :** Dans 25 ans, le père aura \(45+25 = 70\) ans et le fils aura \(10+25 = 35\) ans. Effectivement, \(70 = 2 \times 35\). La solution est cohérente. * **Conclusion :** Dans 25 ans, l'âge du père sera le double de celui du fils. #### Exemple 2 : Problème de production (Inéquation) Une entreprise fabrique des jouets. Le coût de production est de 8 € par jouet, auquel s'ajoutent 500 € de frais fixes mensuels. Chaque jouet est vendu 15 €. Combien de jouets l'entreprise doit-elle vendre au minimum pour réaliser un bénéfice (c'est-à-dire que la recette soit supérieure au coût total) ? * **1. Comprendre l'énoncé :** On cherche le nombre minimal de jouets à vendre pour que la recette dépasse le coût total. * **2. Choisir l'inconnue :** Soit \(x\) le nombre de jouets vendus (\(x\) est un entier, \(x \ge 0\)). * **3. Mettre en inéquation :** * Coût total : \(C(x) = 8x + 500\). * Recette totale : \(R(x) = 15x\). * Pour réaliser un bénéfice, \(R(x) > C(x)\) : \(15x > 8x + 500\). * **4. Résoudre l'inéquation :** * \(15x - 8x > 500\) * \(7x > 500\) * \(x > \frac{500}{7}\) * \(x > 71,42...\) * **5. Interpréter et vérifier :** Puisque \(x\) doit être un nombre entier de jouets, et que \(x\) doit être strictement supérieur à 71,42..., le plus petit entier qui satisfait cette condition est 72. * **Conclusion :** L'entreprise doit vendre au minimum 72 jouets pour réaliser un bénéfice. #### Exemple 3 : Problème de véhicules (Système d'équations) Un parking contient des voitures (4 roues) et des motos (2 roues). On compte un total de 20 véhicules et 64 roues. Combien y a-t-il de voitures et de motos dans ce parking ? * **1. Comprendre l'énoncé :** On cherche le nombre de voitures et le nombre de motos en connaissant le total de véhicules et le total de roues. * **2. Choisir les inconnues :** * Soit \(v\) le nombre de voitures. * Soit \(m\) le nombre de motos. * (Avec \(v \ge 0\), \(m \ge 0\) et \(v, m\) entiers). * **3. Mettre en système :** * Nombre total de véhicules : \(v + m = 20 \) (Équation 1) * Nombre total de roues : \(4v + 2m = 64 \) (Équation 2) * **4. Résoudre le système :** * De l'équation 1, on exprime \(m\) en fonction de \(v\) : \(m = 20 - v\). * Substituons cette expression de \(m\) dans l'équation 2 : * \(4v + 2(20 - v) = 64\) * \(4v + 40 - 2v = 64\) * \(2v + 40 = 64\) * \(2v = 64 - 40\) * \(2v = 24\) * \(v = 12\) * Maintenant, trouvons \(m\) en utilisant \(m = 20 - v\) : * \(m = 20 - 12\) * \(m = 8\) * **5. Interpréter et vérifier :** Il y a 12 voitures et 8 motos. Total véhicules : \(12+8=20\) (correct). Total roues : \(4 \times 12 + 2 \times 8 = 48 + 16 = 64\) (correct). La solution est cohérente. * **Conclusion :** Il y a 12 voitures et 8 motos dans le parking. ### Exercices #### Exercice 1 Un rectangle a un périmètre de 72 cm. Sa longueur est le triple de sa largeur. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? #### Exercice 2 La somme de trois nombres entiers consécutifs est 144. Quels sont ces trois nombres ? #### Exercice 3 Un cinéma propose un abonnement annuel de 30 € et un tarif réduit de 7 € par séance. Sans abonnement, le prix est de 10 € par séance. À partir de combien de séances l'abonnement devient-il plus avantageux ? #### Exercice 4 Une tirelire contient 32 pièces, uniquement des pièces de 0,20 € et de 0,50 €. La somme totale dans la tirelire est de 11,20 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ? ### Devoirs à la maison #### Problème 1 Un père a actuellement 4 fois l'âge de son fils. Dans 5 ans, il n'aura plus que 3 fois l'âge de son fils. Quels sont leurs âges actuels ? #### Problème 2 Une pâtisserie vend des tartes aux pommes à 12 € l'unité et des tartes au citron à 10 € l'unité. En une journée, elle a vendu 15 tartes au total et a réalisé une recette de 164 €. Combien de tartes de chaque sorte ont été vendues ? ### Résumé La résolution de problèmes est une compétence essentielle en mathématiques. Elle nécessite une approche méthodique en plusieurs étapes : 1. **Comprendre** précisément l'énoncé. 2. **Choisir** judicieusement l'inconnue ou les inconnues. 3. **Modéliser** la situation en une équation, une inéquation ou un système d'équations. 4. **Résoudre** l'expression mathématique obtenue en utilisant les techniques appropriées. 5. **Interpréter** le résultat dans le contexte du problème et le **vérifier** pour s'assurer de sa cohérence. N'oubliez jamais de conclure par une phrase claire qui répond à la question posée initialement. Ces méthodes vous permettront de transformer des situations complexes en problèmes solubles et de développer votre esprit logique.