PROJECTIONS D'UN POINT, D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

# PROJECTIONS D'UN POINT, D'UNE DROITE ET D'UN PLAN ## Projection d'une droite ### Introduction Dans le cours précédent, nous avons appris à projeter un point sur un plan ou une droite. Aujourd'hui, nous allons étendre ce concept à la projection d'une droite entière. Comprendre comment les droites se projettent est fondamental en dessin technique, en architecture et en géométrie descriptive, car cela permet de représenter des objets en trois dimensions sur des surfaces planes. ### Concepts Clés #### Rappel sur la projection d'un point La projection orthogonale d'un point sur un plan (ou une droite) est le point d'intersection de la perpendiculaire menée du point au plan (ou à la droite) avec ce même plan (ou droite). #### Projection d'une droite sur un plan La projection d'une droite sur un plan est l'ensemble de toutes les projections des points de cette droite sur ce plan. ##### Comment projeter une droite sur un plan Pour projeter une droite (infinie ou un segment), il suffit de projeter deux points distincts de cette droite sur le plan. La droite (ou le segment) projetée sera la droite qui passe par ces deux points projetés. ##### Cas particuliers * ### Droite parallèle au plan de projection Si une droite est parallèle au plan de projection, sa projection est une droite qui lui est parallèle et de même longueur (si c'est un segment). Elle conserve sa forme et sa taille par rapport au plan. * ### Droite perpendiculaire au plan de projection Si une droite est perpendiculaire au plan de projection, sa projection est un **point**. Ce point est l'intersection de la droite avec le plan de projection. * ### Droite oblique au plan de projection Si une droite est oblique au plan de projection (ni parallèle, ni perpendiculaire), sa projection est une droite. La longueur du segment projeté sera toujours inférieure à la longueur du segment original. La relation entre la longueur du segment original \(L\) et la longueur de sa projection \(L'\) sur un plan, lorsque l'angle entre le segment et le plan est \(\theta\), est donnée par : \[ L' = L \times \cos(\theta) \] #### Projection d'une droite sur une autre droite La projection d'une droite sur une autre droite est également l'ensemble des projections de tous ses points. C'est un concept plus spécifique souvent utilisé pour déterminer des longueurs ou des positions relatives. ##### Cas particuliers * ### Droite perpendiculaire à la droite de projection Si la droite à projeter est perpendiculaire à la droite de projection, sa projection est un **point**. Ce point est l'intersection des deux droites si elles sont sécantes, ou le pied de la perpendiculaire si elles sont gauches (dans un espace 3D). * ### Droite non perpendiculaire à la droite de projection Si la droite n'est pas perpendiculaire à la droite de projection, la projection d'un segment sera un segment. Si l'on projette une droite infinie sur une autre droite infinie non perpendiculaire, la projection est la droite de projection elle-même. ### Vocabulaire * **Projection orthogonale** : Projection où les rayons de projection sont perpendiculaires au plan de projection. * **Plan de projection** : La surface sur laquelle les objets sont projetés. * **Droite projetée** : La représentation d'une droite après sa projection. * **Perpendiculaire** : Qui forme un angle de 90 degrés. * **Parallèle** : Qui est équidistant en tout point et ne se rencontre jamais. * **Oblique** : Qui n'est ni parallèle, ni perpendiculaire. * **Segment** : Une portion de droite limitée par deux points. ### Exemples #### Exemple 1 : Projection d'un segment sur un plan Imaginons un segment AB de 5 cm de long. 1. **Segment AB parallèle au plan P** : La projection A'B' sur P est un segment de 5 cm, parallèle à AB. 2. **Segment AB perpendiculaire au plan P** : La projection A'B' sur P est un point (l'intersection de AB avec P). 3. **Segment AB oblique au plan P** : Le segment AB forme un angle de 45° avec le plan P. Sa projection A'B' sera plus courte que 5 cm. Utilisons la formule: \( L' = L \times \cos(\theta) \). Donc, \( L' = 5 \times \cos(45°) \approx 5 \times 0.707 \approx 3.535 \text{ cm} \). #### Exemple 2 : L'ombre d'un poteau Considérez un poteau vertical planté dans le sol. Sous la lumière directe du soleil (que l'on peut considérer comme des rayons parallèles), l'ombre du poteau sur le sol est sa projection. Si le soleil est au zénith (rayons perpendiculaires au sol), l'ombre est un point (la base du poteau). Si le soleil est bas sur l'horizon (rayons obliques), l'ombre est un segment plus long que le poteau lui-même (dans le cas de projection non orthogonale) ou plus court que le poteau si la projection est orthogonale et que le poteau est oblique au sol. ### Exercices 1. Définissez avec vos propres mots ce qu'est la projection d'une droite sur un plan. 2. Dessinez un plan P et un segment AB. Représentez la projection orthogonale du segment AB sur le plan P dans les trois cas suivants : a. AB est parallèle à P. b. AB est perpendiculaire à P. c. AB est oblique à P, formant un angle de 60° avec le plan. 3. Un segment de 8 cm de long forme un angle de 30° avec un plan de projection. Calculez la longueur de sa projection orthogonale sur ce plan. ### Devoir 1. Dans un repère en 3D (O;x,y,z), un segment a pour extrémités les points A(1,2,3) et B(4,5,6). Représentez la projection de ce segment sur le plan (O;x,y). 2. Recherchez comment les projections de droites sont utilisées en architecture pour créer des plans et des élévations de bâtiments. Trouvez un exemple concret et décrivez-le. 3. Pensez à un objet de votre quotidien (par exemple, une chaise ou une table). Dessinez sa projection sur le sol (plan horizontal) et sur un mur (plan vertical). Mettez en évidence les projections des arêtes (qui sont des segments de droite). ### Résumé La projection d'une droite est une compétence essentielle en géométrie descriptive. Elle nous permet de représenter des objets tridimensionnels sur des surfaces planes. Nous avons vu que la nature de la projection (un point, une droite de même longueur ou une droite plus courte) dépend de l'orientation de la droite par rapport au plan de projection (parallèle, perpendiculaire ou oblique). La compréhension de ces concepts est fondamentale pour toute forme de conception technique et artistique. ## Projection d'un plan ### Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons appris à projeter des points et des droites sur les différents plans de projection. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en abordant la projection des plans. Comprendre comment représenter un plan dans l'espace à travers ses projections est une compétence essentielle en dessin technique et en géométrie descriptive. Cela vous permettra de visualiser et de communiquer des formes tridimensionnelles de manière précise. ### Concepts Clés #### Les Plans de Projection Nous utilisons principalement trois plans de projection pour représenter un objet en trois dimensions sur des surfaces bidimensionnelles: * **Plan Horizontal de Projection (PHP ou \( \Pi_1 \)):** Souvent appelé vue de dessus ou plan. * **Plan Frontal de Projection (PFP ou \( \Pi_2 \)):** Souvent appelé vue de face ou élévation. * **Plan Latéral de Projection (PLP ou \( \Pi_3 \)):** Souvent appelé vue de côté ou de profil. L'intersection de ces plans forme les **lignes de terre (LT)**, qui sont des repères fondamentaux pour l'alignement des projections. #### Définition d'un Plan Un plan dans l'espace peut être défini de plusieurs manières: * Par trois points non alignés. * Par une droite et un point extérieur à cette droite. * Par deux droites sécantes. * Par deux droites parallèles. #### Projection d'un Plan Quelconque La projection d'un plan est déterminée par la projection des éléments qui le définissent (points, droites). La méthode la plus courante et la plus rigoureuse est de déterminer les **traces du plan** sur les plans de projection. * **Traces d'un plan:** Ce sont les lignes d'intersection entre le plan que l'on souhaite projeter et les plans de projection. * **Trace Horizontale (\( T_h \) ou \( P_h \)):** Intersection du plan avec le PHP. C'est une droite située sur le PHP. * **Trace Frontale (\( T_f \) ou \( P_f \)):** Intersection du plan avec le PFP. C'est une droite située sur le PFP. * **Trace Latérale (\( T_l \) ou \( P_l \)):** Intersection du plan avec le PLP. C'est une droite située sur le PLP. Les traces d'un même plan doivent se couper sur la ligne de terre respective. Par exemple, \( T_h \) et \( T_f \) se coupent sur la ligne de terre \( L_{12} \) (intersection de \( \Pi_1 \) et \( \Pi_2 \)). #### Cas Particuliers de Plans Certains plans ont des projections simplifiées en raison de leur orientation par rapport aux plans de projection. ##### Plans Parallèles à un Plan de Projection * **Plan Horizontal:** Parallèle au PHP. Sa projection horizontale est en **vraie grandeur (VG)**. Ses projections frontale et latérale sont des droites parallèles aux lignes de terre. * **Plan Frontal:** Parallèle au PFP. Sa projection frontale est en VG. Ses projections horizontale et latérale sont des droites parallèles aux lignes de terre. * **Plan Latéral:** Parallèle au PLP. Sa projection latérale est en VG. Ses projections horizontale et frontale sont des droites parallèles aux lignes de terre. ##### Plans Perpendiculaires (ou de Bout) à un Plan de Projection * **Plan de Champ (ou Vertical):** Perpendiculaire au PHP. Sa projection horizontale est une droite. Ses projections frontale et latérale sont des surfaces (en vraie grandeur si le plan est aussi parallèle à un autre plan de projection, par exemple un plan frontal ou latéral). * **Plan Vertical:** Perpendiculaire au PFP. Sa projection frontale est une droite. Ses projections horizontale et latérale sont des surfaces. * **Plan de Profil:** Perpendiculaire au PLP. Sa projection latérale est une droite. Ses projections horizontale et frontale sont des surfaces. ##### Plan Passant par la Ligne de Terre Dans ce cas, les traces du plan sont confondues avec la ligne de terre elle-même. ### Vocabulaire * **Plan Horizontal de Projection (PHP):** Plan de référence pour la vue de dessus. * **Plan Frontal de Projection (PFP):** Plan de référence pour la vue de face. * **Plan Latéral de Projection (PLP):** Plan de référence pour la vue de côté. * **Ligne de Terre (LT):** Intersection de deux plans de projection. * **Trace d'un plan:** Intersection d'un plan avec un plan de projection (horizontale, frontale, latérale). * **Plan quelconque:** Un plan qui n'est ni parallèle ni perpendiculaire à aucun des plans de projection. * **Plan de bout:** Plan perpendiculaire à un plan de projection, apparaissant comme une droite dans cette projection. * **Vraie Grandeur (VG):** Dimension réelle d'une forme ou d'une surface, non déformée par la projection. ### Exemples #### Exemple 1: Projection d'un Triangle Quelconque Soit un triangle ABC défini par les points \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \) et \( C(x_C, y_C, z_C) \). Pour projeter le plan du triangle: 1. Projetez chaque point \( A \), \( B \), \( C \) sur le PHP, le PFP et le PLP pour obtenir \( A_h, B_h, C_h \), \( A_f, B_f, C_f \) et \( A_l, B_l, C_l \). 2. Reliez les projections des points sur chaque plan pour former les projections du triangle: \( A_hB_hC_h \), \( A_fB_fC_f \) et \( A_lB_lC_l \). #### Exemple 2: Détermination des Traces d'un Plan Considérons un plan \( P \) défini par deux droites sécantes \( d_1 \) et \( d_2 \). Pour trouver les traces de ce plan: 1. Déterminez les traces de chaque droite \( d_1 \) et \( d_2 \) (points où elles traversent les plans de projection). 2. Les traces horizontales de \( d_1 \) et \( d_2 \) définissent la trace horizontale \( T_h \) du plan \( P \). 3. De même, les traces frontales de \( d_1 \) et \( d_2 \) définissent la trace frontale \( T_f \) du plan \( P \). 4. Vérifiez que \( T_h \) et \( T_f \) se coupent sur la ligne de terre \( L_{12} \). #### Exemple 3: Projection d'un Plan Horizontal Imaginez un plateau de table carré posé à une certaine hauteur. Sa projection horizontale sera un carré en vraie grandeur. Ses projections frontale et latérale seront des segments de droite horizontaux, indiquant la hauteur du plateau. ### Exercices 1. Un plan \( P \) est défini par les points \( A(20, 30, 10) \), \( B(50, 10, 40) \) et \( C(70, 60, 20) \). Dessinez les projections (horizontale et frontale) du triangle ABC et déterminez les traces \( T_h \) et \( T_f \) du plan \( P \). 2. On vous donne la projection horizontale d'un plan qui est une droite. Que pouvez-vous en déduire sur l'orientation de ce plan par rapport au PHP? 3. Décrivez comment vous pourriez représenter les projections d'un mur (considéré comme un plan vertical) sur les trois plans de projection. Quelles traces aurait-il? ### Devoir 1. Choisissez un objet simple de votre environnement (ex: une boîte, un livre). Identifiez trois de ses surfaces (plans) et dessinez leurs projections sur les plans horizontal, frontal et latéral. Indiquez les traces de ces plans si possible. 2. Recherchez la définition d'un « plan de pente » en géométrie descriptive. Expliquez ses caractéristiques et donnez un exemple de situation où il serait utilisé. ### Résumé La projection d'un plan est une étape cruciale pour la représentation des volumes en deux dimensions. Nous avons vu que les plans sont définis par leurs éléments constitutifs et que leurs **traces** sur les plans de projection sont des outils puissants pour les représenter. Les **plans particuliers** (parallèles ou perpendiculaires aux plans de projection) ont des projections simplifiées. La maîtrise de ces concepts vous permettra de lire et de créer des dessins techniques précis et de mieux appréhender la géométrie spatiale. ## Vraies grandeurs d'une droite ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les vraies grandeurs d'une droite. En dessin technique et en géométrie descriptive, un objet en trois dimensions est souvent représenté par ses projections sur des plans bidimensionnels (par exemple, des vues de dessus et de face). Cependant, ces projections ne montrent pas toujours la "vraie" longueur des éléments obliques. Comprendre comment déterminer la vraie grandeur d'une droite est essentiel pour mesurer avec précision et pour visualiser correctement les objets dans l'espace. Cette leçon vous guidera à travers les concepts et les méthodes pour y parvenir. ### Concepts clés #### Qu'est-ce que la vraie grandeur (VG) ? La vraie grandeur d'un segment de droite est sa longueur réelle dans l'espace. Lorsque nous projetons un segment de droite sur un plan, sa longueur projetée est généralement plus courte que sa vraie grandeur, sauf si le segment est parallèle au plan de projection. #### Cas particuliers : Droites parallèles aux plans de projection Lorsque la droite est parallèle à l'un des plans de projection, sa projection sur ce plan est directement sa vraie grandeur. * **Droite frontale (ou parallèle au plan frontal de projection) :** Sa projection verticale (sur le plan frontal) est en vraie grandeur. Sa projection horizontale est parallèle à l'axe des x. * **Droite horizontale (ou parallèle au plan horizontal de projection) :** Sa projection horizontale est en vraie grandeur. Sa projection verticale est parallèle à l'axe des x. * **Droite de profil (ou parallèle au plan de profil) :** Sa projection sur le plan de profil est en vraie grandeur. Les projections horizontale et verticale sont des segments parallèles à l'axe des x ou des points si elles sont perpendiculaires à l'axe. #### Méthode générale pour trouver la vraie grandeur d'un segment oblique (méthode du rabattement ou du triangle rectangle) Pour un segment de droite qui n'est parallèle à aucun plan de projection (segment oblique), nous devons utiliser une méthode constructive pour trouver sa vraie grandeur. La méthode la plus courante consiste à construire un triangle rectangle auxiliaire. 1. **Préparer les projections :** Assurez-vous d'avoir les projections horizontale et verticale du segment (par exemple, A'B' pour l'horizontale et A''B'' pour la verticale). 2. **Choisir une projection :** Prenez la longueur d'une des projections, par exemple, la projection horizontale \( d_h = \overline{A'B'} \). Ce sera un des côtés de l'angle droit de votre triangle. 3. **Calculer la différence d'altitude (ou d'éloignement) :** * Si vous utilisez la projection horizontale (\( d_h \)), vous aurez besoin de la différence d'altitude (cotes) entre les deux points : \( \Delta z = |z_B - z_A| \). Ce sera l'autre côté de l'angle droit. * Si vous utilisez la projection verticale (\( d_v = \overline{A''B''} \)), vous aurez besoin de la différence d'éloignement (profondeur) entre les deux points : \( \Delta y = |y_B - y_A| \). Ce sera l'autre côté de l'angle droit. 4. **Construire le triangle rectangle :** * Sur votre feuille, tracez un segment égal à la longueur de la projection choisie (par exemple, \( d_h \)). * À l'une des extrémités de ce segment, tracez une droite perpendiculaire. * Sur cette perpendiculaire, reportez la valeur de la différence d'altitude (\( \Delta z \)). * Reliez les deux extrémités des segments (l'extrémité du segment \( d_h \) et l'extrémité du segment \( \Delta z \)). Ce nouveau segment est l'hypoténuse du triangle et représente la vraie grandeur (VG) de la droite. 5. **Formule de Pythagore :** La vraie grandeur (VG) peut être calculée mathématiquement en utilisant le théorème de Pythagore : * En utilisant la projection horizontale et la différence d'altitude: \[ VG = \sqrt{d_h^2 + (\Delta z)^2} \] * En utilisant la projection verticale et la différence d'éloignement: \[ VG = \sqrt{d_v^2 + (\Delta y)^2} \] ### Vocabulaire * **Vraie grandeur (VG) :** Longueur réelle et non déformée d'un segment dans l'espace. * **Projection :** Représentation d'un objet tridimensionnel sur un plan bidimensionnel. * **Plan horizontal de projection (P_1 ou H) :** Plan sur lequel est représentée la vue de dessus (projection horizontale). * **Plan frontal de projection (P_2 ou F) :** Plan sur lequel est représentée la vue de face (projection verticale). * **Cote (z) :** Coordonnée verticale d'un point par rapport au plan horizontal de projection (altitude). * **Éloignement (y) :** Coordonnée de profondeur d'un point par rapport au plan frontal de projection. * **Abscisse (x) :** Coordonnée horizontale latérale d'un point (distance par rapport au plan de profil). * **Rabattement :** Technique géométrique consistant à faire pivoter un plan (ou une partie d'un plan) autour d'une charnière (droite) pour le ramener dans un plan de projection, permettant ainsi de voir les vraies grandeurs. ### Exemples #### Exemple 1 : Segment horizontal Soient les points A(10, 20, 30) et B(40, 20, 30). * **Projection horizontale A'B' :** A'(10, 20), B'(40, 20). La longueur est \( d_h = \sqrt{(40-10)^2 + (20-20)^2} = \sqrt{30^2} = 30 \). * **Projection verticale A''B'' :** A''(10, 30), B''(40, 30). La longueur est \( d_v = \sqrt{(40-10)^2 + (30-30)^2} = \sqrt{30^2} = 30 \). * Puisque les cotes (z) de A et B sont identiques (30), le segment AB est horizontal. Sa projection horizontale A'B' est en vraie grandeur. \( VG = 30 \). #### Exemple 2 : Segment oblique Soient les points E(10, 20, 30) et F(40, 50, 60). 1. **Projections :** * Projection horizontale E'F' : E'(10, 20) et F'(40, 50). * Projection verticale E''F'' : E''(10, 30) et F''(40, 60). 2. **Calcul de la longueur de la projection horizontale :** \( d_h = \overline{E'F'} = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2} \) \( d_h = \sqrt{(40-10)^2 + (50-20)^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} \approx 42.43 \) 3. **Calcul de la différence d'altitude :** \( \Delta z = |z_F - z_E| = |60 - 30| = 30 \) 4. **Calcul de la vraie grandeur (VG) :** En utilisant la formule de Pythagore: \[ VG = \sqrt{d_h^2 + (\Delta z)^2} \] \[ VG = \sqrt{(\sqrt{1800})^2 + 30^2} = \sqrt{1800 + 900} = \sqrt{2700} \approx 51.96 \] Pour la construction graphique: * Dessinez un segment de longueur \( \approx 42.43 \) mm (représentant \( \overline{E'F'} \)). * À une extrémité, tracez une perpendiculaire. * Reportez une longueur de 30 mm (représentant \( \Delta z \)) sur cette perpendiculaire. * La longueur de l'hypoténuse (le segment qui relie les deux extrémités) sera la vraie grandeur, \( \approx 51.96 \) mm. ### Exercices 1. **Exercice 1 :** Soient les points A(5, 10, 20) et B(35, 10, 20). * Dessinez leurs projections horizontale et verticale. * Déterminez la vraie grandeur du segment AB. Justifiez votre réponse. 2. **Exercice 2 :** Soient les points C(10, 15, 25) et D(10, 15, 55). * Dessinez leurs projections horizontale et verticale. * Déterminez la vraie grandeur du segment CD. Justifiez votre réponse. 3. **Exercice 3 :** Soient les points P(20, 30, 40) et Q(60, 40, 80). * Calculez la longueur de la projection horizontale \( \overline{P'Q'} \). * Calculez la différence d'altitude entre P et Q. * Calculez la vraie grandeur du segment PQ en utilisant la méthode du triangle rectangle. ### Devoir à la maison 1. **Exercice 1 :** Soient les points G(15, 25, 35) et H(60, 30, 80). * Dessinez avec précision les projections horizontale et verticale du segment GH. * En utilisant la méthode de votre choix (rabattement graphique ou calcul par formule), déterminez la vraie grandeur du segment GH. * Expliquez clairement les étapes de votre démarche pour trouver la vraie grandeur. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept fondamental de la vraie grandeur d'une droite en géométrie descriptive. Nous avons appris que les projections d'un segment ne reflètent sa vraie grandeur que s'il est parallèle au plan de projection. Pour les segments obliques, la méthode du triangle rectangle (basée sur le théorème de Pythagore) est essentielle pour déterminer leur longueur réelle. Maîtriser ces techniques est crucial pour la précision dans le dessin technique et la compréhension spatiale. ## Vraies grandeurs d'un plan ### Introduction Dans le domaine du traçage et de la géométrie descriptive, nous représentons souvent des objets tridimensionnels sur des plans bidimensionnels. Ces représentations, appelées projections, peuvent déformer les formes et les tailles réelles des objets. Pour pouvoir travailler avec précision sur ces objets, notamment en architecture, en ingénierie ou en design, il est essentiel de connaître leurs *vraies grandeurs*. Cette leçon vous apprendra à déterminer la vraie grandeur d'un plan à partir de ses projections. Comprendre la vraie grandeur d'un plan signifie pouvoir visualiser sa forme et ses dimensions réelles, comme si on le regardait perpendiculairement à sa surface, sans aucune distorsion due à la perspective ou à la projection. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Vraie Grandeur ? La *vraie grandeur* d'une figure géométrique est sa dimension et sa forme réelles. Lorsqu'une figure est projetée sur un plan, elle n'apparaît en vraie grandeur que si cette figure est parallèle au plan de projection. Si la figure est inclinée par rapport au plan de projection, ses projections seront déformées et ne représenteront pas ses dimensions réelles. Pour un plan, déterminer sa vraie grandeur revient à le rendre parallèle à un plan de projection (ou à imaginer une projection sur un plan qui lui est parallèle) afin de voir sa forme et ses dimensions sans distorsion. #### Méthodes pour déterminer la Vraie Grandeur d'un plan Il existe principalement deux méthodes pour obtenir la vraie grandeur d'un plan: ##### 1. Méthode par Changement de Plan Cette méthode consiste à créer de nouveaux plans de projection auxiliaires qui sont successivement parallèles au plan dont on cherche la vraie grandeur. Le principe est de ramener le plan à une position où il est parallèle à un plan de projection, ce qui permet de le voir en vraie grandeur. **Étapes générales :** 1. **Rendre le plan de bout :** On commence par projeter le plan sur un plan de projection auxiliaire (\( P_3 \)) de telle sorte qu'il apparaisse comme une ligne (appelée « ligne de bout »). Pour ce faire, le plan \( P_3 \) doit être perpendiculaire à une droite contenue dans le plan original et parallèle à l'un des plans de projection principaux (par exemple, une ligne horizontale ou frontale du plan). Toutes les droites contenues dans le plan \( P_3 \) qui sont perpendiculaires à la projection de bout du plan formeront un angle de 90 degrés avec la ligne de bout du plan. 2. **Rendre le plan parallèle :** Ensuite, on crée un quatrième plan de projection (\( P_4 \)) parallèle à la ligne de bout obtenue à l'étape précédente. Lors de la projection du plan sur \( P_4 \), il apparaîtra en vraie grandeur, car il sera parallèle à ce plan de projection. ##### 2. Méthode par Rabattement La méthode par rabattement consiste à faire pivoter le plan autour d'une de ses droites (appelée « charnière » ou « axe de rabattement ») jusqu'à ce qu'il se confonde avec l'un des plans de projection principaux (par exemple, le plan horizontal ou frontal). **Étapes générales :** 1. **Choisir une charnière :** Sélectionnez une droite du plan qui est parallèle à un plan de projection principal (par exemple, une droite horizontale ou frontale du plan). Cette droite servira d'axe de rotation. 2. **Rabattre les points :** Pour chaque point du plan dont on veut trouver la vraie grandeur, on le fait pivoter autour de la charnière jusqu'à ce qu'il atteigne le plan de projection principal. Le chemin parcouru par le point pendant le rabattement est un arc de cercle dont le centre est sur la charnière et dont le rayon est la distance vraie du point à la charnière. Pour trouver cette distance vraie, on utilise souvent une construction auxiliaire (par exemple, en créant un triangle rectangle où l'hypoténuse représente la vraie distance et les cathètes représentent la différence d'altitude et la distance projetée). 3. **Former la vraie grandeur :** Une fois que tous les points clés du plan ont été rabattus sur le plan de projection principal, les relier formera la figure du plan en vraie grandeur. #### Formules Clés (si applicable) Bien que la géométrie descriptive implique principalement des constructions graphiques, la détermination de distances vraies peut parfois s'appuyer sur le théorème de Pythagore. Si \( ext{proj} \) est la longueur projetée d'un segment et \( ext{alt} \) est la différence d'altitude entre ses extrémités, alors la vraie grandeur \( VG \) du segment est donnée par: \[ VG = \sqrt{( ext{proj})^2 + ( ext{alt})^2} \] Cette formule est fondamentale pour trouver les distances réelles utilisées dans le rabattement. ### Vocabulaire * **Vraie grandeur :** Dimensions et forme réelles d'une figure sans distorsion de projection. * **Projection :** Représentation d'un objet tridimensionnel sur un plan bidimensionnel. * **Plan de projection :** Le plan sur lequel un objet est projeté. * **Rabattement :** Méthode consistant à faire pivoter un plan autour d'une de ses droites pour le rendre parallèle à un plan de projection principal. * **Changement de plan :** Méthode consistant à introduire de nouveaux plans de projection auxiliaires pour obtenir la vraie grandeur. * **Charnière (ou axe de rabattement) :** La droite autour de laquelle un plan est pivoté lors du rabattement. * **Ligne horizontale d'un plan :** Une droite contenue dans le plan, parallèle au plan horizontal de projection (sa projection horizontale est en vraie grandeur). * **Ligne frontale d'un plan :** Une droite contenue dans le plan, parallèle au plan frontal de projection (sa projection frontale est en vraie grandeur). * **Trace d'un plan :** L'intersection d'un plan avec un plan de projection principal (horizontal ou frontal). ### Exemples #### Exemple 1: Vraie Grandeur d'un triangle par Rabattement Soit un triangle ABC défini par ses projections horizontale \( (A_h, B_h, C_h) \) et frontale \( (A_f, B_f, C_f) \). 1. **Choix de la charnière :** Traçons une droite horizontale \( h \) du plan ABC passant par le point A. La projection \( h_f \) sera parallèle à la ligne de terre (LT) et \( h_h \) sera la droite en vraie grandeur. 2. **Rabattement du point B :** * À partir de \( B_h \), abaissons une perpendiculaire à \( h_h \). * Mesurons la différence de côte entre \( B_f \) et le point d'intersection de la projection \( h_f \) avec la ligne de rappel de B. Soit \( riangle z_B \) cette différence. * Sur un axe auxiliaire perpendiculaire à \( h_h \) passant par le point \( B_h \) (ou toute autre construction équivalente), portons la distance horizontale \( d_h(B, h) \) (distance de \( B_h \) à \( h_h \) ) et la différence d'altitude \( riangle z_B \). L'hypoténuse de ce triangle rectangle est la vraie distance de B à la charnière \( h \). * Avec le point de \( h_h \) où la perpendiculaire de \( B_h \) rencontre \( h_h \) comme centre, et cette vraie distance comme rayon, rabattons \( B_h \) sur le plan horizontal (dans notre cas, autour de \( h_h \)). On obtient \( B'_h \). 3. **Rabattement du point C :** Répétons la même procédure pour le point C pour obtenir \( C'_h \). 4. **Vraie grandeur :** En reliant \( A_h \), \( B'_h \) et \( C'_h \), nous obtenons le triangle ABC en vraie grandeur. #### Exemple 2: Vraie Grandeur d'un quadrilatère par Changement de Plan Soit un quadrilatère ABCD donné par ses projections. 1. **Premier changement de plan (rendre le plan de bout) :** * Identifions une droite horizontale du plan, par exemple, la droite \( D_h \) passant par un point du plan et parallèle à la ligne de terre. Projetons cette droite en vraie grandeur sur le plan horizontal. Son \( D_f \) sera parallèle à la ligne de terre. * Traçons une nouvelle ligne de terre \( LT_1 \) perpendiculaire à la projection horizontale de cette droite horizontale (\( D_h \)). * Projeter les points A, B, C, D sur le nouveau plan \( P_3 \) en utilisant les cotes des points par rapport à la \( LT \) originale. Le plan ABCD apparaîtra comme une ligne (ligne de bout) sur \( P_3 \). 2. **Deuxième changement de plan (rendre le plan parallèle) :** * Traçons une deuxième nouvelle ligne de terre \( LT_2 \) parallèle à la ligne de bout du plan obtenue à l'étape précédente. * Projeter les points A, B, C, D sur le nouveau plan \( P_4 \) en utilisant les distances des points à la \( LT_1 \) du plan \( P_3 \). Le quadrilatère ABCD apparaîtra alors en vraie grandeur. ### Exercices 1. Soit un triangle EFG dont les coordonnées sont \( E(10, 20, 30) \), \( F(40, 10, 50) \) et \( G(20, 50, 20) \) (x, y, z). Déterminez sa vraie grandeur en utilisant la méthode par rabattement sur le plan horizontal. 2. Décrivez pas à pas comment vous utiliseriez la méthode par changement de plan pour trouver la vraie grandeur d'un parallélogramme. Pourquoi cette méthode nécessite-t-elle souvent deux changements de plan ? 3. Un carré est projeté sur un plan frontal. Si le carré est incliné de 45° par rapport à ce plan, comment sa projection apparaîtra-t-elle par rapport à sa vraie grandeur ? Utilisez un croquis pour illustrer votre explication. ### Devoir 1. Prenez un polygone irrégulier (par exemple, un pentagone) de votre choix. Dessinez ses projections horizontale et frontale. Ensuite, déterminez sa vraie grandeur en utilisant **les deux méthodes** (changement de plan et rabattement). Comparez les résultats et discutez des avantages et inconvénients de chaque méthode. 2. Recherchez et décrivez au moins deux applications pratiques concrètes où la détermination de la vraie grandeur d'un plan est cruciale (par exemple, en charpenterie, en tôlerie, en architecture navale). 3. Si l'on vous donnait la vraie grandeur d'un trapèze et qu'on vous demandait de trouver ses projections horizontale et frontale avec une inclinaison spécifique, quelle serait votre démarche ? Esquissez les étapes principales. ### Résumé Les *vraies grandeurs* sont essentielles en géométrie descriptive pour comprendre les dimensions réelles d'objets projetés. Nous avons exploré deux méthodes principales pour déterminer la vraie grandeur d'un plan : 1. **Le rabattement :** Faire pivoter le plan autour d'une charnière (droite parallèle à un plan de projection) jusqu'à ce qu'il se confonde avec un plan de projection principal. 2. **Le changement de plan :** Introduire des plans de projection auxiliaires successifs pour d'abord voir le plan comme une ligne (de bout), puis le voir en vraie grandeur en le rendant parallèle à un plan de projection. Ces techniques permettent de passer des projections déformées aux dimensions réelles, ce qui est fondamental pour la conception et la construction dans de nombreux domaines techniques. ## Projection d'un point ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la projection d'un point! En géométrie, la projection est une opération fondamentale qui nous permet de représenter des objets tridimensionnels sur des surfaces bidimensionnelles, comme une feuille de papier ou un écran. Comprendre comment projeter un point est la première étape essentielle pour maîtriser le traçage et la représentation spatiale. Nous allons nous concentrer sur la projection orthogonale, la plus couramment utilisée. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une projection ? Une projection est l'action de faire correspondre un point de l'espace (ou d'une figure) à un point sur une droite ou un plan. Le point résultant s'appelle le **projeté** du point original. #### Types de projections Il existe plusieurs types de projections, mais nous allons nous concentrer sur la **projection orthogonale**, qui est la plus intuitive et la plus utilisée en géométrie descriptive. #### Projection Orthogonale La projection orthogonale d'un point sur une droite ou un plan est obtenue en traçant une droite perpendiculaire (ou orthogonale) depuis le point jusqu'à la droite ou le plan. Le point d'intersection est le projeté. ##### Projection d'un point sur une droite Pour projeter un point \( P \) sur une droite \( D \) : 1. Tracez une droite passant par \( P \) et qui est perpendiculaire à la droite \( D \). 2. Le point d'intersection de cette perpendiculaire avec la droite \( D \) est le projeté orthogonal de \( P \) sur \( D \), souvent noté \( P' \). Si le point \( P \) se trouve déjà sur la droite \( D \), alors son projeté \( P' \) est le point \( P \) lui-même. ##### Projection d'un point sur un plan Pour projeter un point \( P \) sur un plan \( \\mathcal{P} \) : 1. Tracez une droite passant par \( P \) et qui est perpendiculaire au plan \( \mathcal{P} \). 2. Le point d'intersection de cette droite avec le plan \( \mathcal{P} \) est le projeté orthogonal de \( P \) sur \( \mathcal{P} \), noté \( P' \). Si le point \( P \) se trouve déjà dans le plan \( \mathcal{P} \), alors son projeté \( P' \) est le point \( P \) lui-même. #### Propriétés de la projection orthogonale * **Unicité :** Pour un point donné et une droite (ou un plan) donné, il n'existe qu'un seul projeté orthogonal. \( P' \) est unique. * **Distance minimale :** La distance entre un point \( P \) et son projeté orthogonal \( P' \) sur une droite ou un plan est la plus courte distance entre \( P \) et cette droite ou ce plan. \[ PP' \le PX \] où \( X \) est un autre point quelconque de la droite ou du plan. ### Vocabulaire * **Point :** Un emplacement précis dans l'espace, sans dimension. * **Droite :** Une ligne infinie, sans épaisseur, qui s'étend dans deux directions opposées. * **Plan :** Une surface plate et infinie, sans épaisseur, qui s'étend dans toutes les directions. * **Projection :** Le processus de faire correspondre un point (ou une figure) à un point (ou une figure) sur une surface donnée. * **Projeté :** Le point résultant d'une projection. * **Orthogonale :** Qui forme un angle droit (90°) avec une autre ligne ou surface. Synonyme de perpendiculaire. * **Perpendiculaire :** Se dit de deux droites (ou d'une droite et un plan) qui se coupent en formant un angle de 90°. ### Exemples #### Exemple 1 : Projection d'un point sur une droite horizontale Imaginez un point \( A \) situé au-dessus d'une ligne horizontale \( D \) tracée sur le sol. Si une goutte d'eau tombe verticalement de \( A \) sur le sol, l'endroit où elle touche la ligne \( D \) est la projection orthogonale de \( A \) sur \( D \). #### Exemple 2 : Projection d'un point sur une droite verticale Considérons un point \( B \) à droite d'une ligne verticale \( D' \). Si vous déplacez le point \( B \) horizontalement jusqu'à ce qu'il touche \( D' \) à angle droit, le point atteint sur \( D' \) est le projeté orthogonal de \( B \) sur \( D' \). #### Exemple 3 : Projection d'un point sur un plan Supposons une lampe suspendue au plafond (point \( L \)) au-dessus d'une table (plan \( \mathcal{T} \)). L'ombre la plus nette que la lampe projette sur la table, si la lumière vient directement du haut, représente le projeté orthogonal du point \( L \) sur le plan \( \mathcal{T} \). ### Exercices #### Exercice 1 Tracez une droite \( D \) et un point \( M \) qui n'appartient pas à cette droite. Construisez le projeté orthogonal \( M' \) du point \( M \) sur la droite \( D \). #### Exercice 2 Soit un point \( K \) et un plan \( \mathcal{P} \). Le projeté orthogonal de \( K \) sur \( \mathcal{P} \) est \( K' \). Que pouvez-vous dire de la droite \( (KK') \) par rapport au plan \( \mathcal{P} \) ? a) Elle est parallèle au plan \( \mathcal{P} \). b) Elle est perpendiculaire au plan \( \mathcal{P} \). c) Elle est contenue dans le plan \( \mathcal{P} \). d) Elle est sécante au plan \( \mathcal{P} \) sans être perpendiculaire. #### Exercice 3 Si un point \( S \) appartient à une droite \( L \), quel est le projeté orthogonal de \( S \) sur \( L \) ? ### Devoirs #### Devoir 1 Dessinez une pyramide à base carrée. Nommez le sommet \( S \) et le centre de la base \( O \). Quelle est la projection orthogonale du sommet \( S \) sur le plan de la base de la pyramide ? Justifiez votre réponse. #### Devoir 2 On vous donne les coordonnées d'un point \( P(3, 5) \) et l'équation d'une droite \( D : y = 2x - 1 \) dans un repère cartésien. Expliquez les étapes que vous suivriez pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal \( P' \) de \( P \) sur \( D \). (Vous n'avez pas besoin de calculer \( P' \), juste d'expliquer la méthode). ### Résumé La projection d'un point est une opération géométrique fondamentale. Nous avons appris que le **projeté orthogonal** d'un point \( P \) sur une droite ou un plan est le point \( P' \) obtenu en traçant une droite perpendiculaire de \( P \) à la droite ou au plan. Cette projection est unique et représente la distance la plus courte entre le point et la droite/le plan. Maîtriser ce concept est essentiel pour la compréhension des représentations en 2D et 3D.