Chap3 Fonctions: Généralités

# Chap3 Fonctions: Généralités ## Notion d'extrémums ### Introduction En mathématiques, et particulièrement dans l'étude des fonctions, il est souvent très utile de savoir où une fonction atteint ses valeurs les plus grandes ou les plus petites. Ces points sont appelés des **extrémums**. Comprendre la notion d'extrémums nous permet d'analyser le comportement d'une fonction, de résoudre des problèmes d'optimisation (par exemple, maximiser un profit ou minimiser un coût) et de mieux interpréter des phénomènes modélisés par des fonctions. Dans ce chapitre, nous allons définir ce que sont les extrémums et apprendre à les identifier graphiquement ou à partir d'un tableau de variations. ### Concepts Clés #### Maximum et Minimum Globaux (ou Absolus) Un **maximum global** (ou absolu) est la plus grande valeur que la fonction peut prendre sur l'ensemble de son domaine de définition. Un **minimum global** (ou absolu) est la plus petite valeur que la fonction peut prendre sur l'ensemble de son domaine de définition. * **Définition Formelle:** * Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) admet un **maximum global** \( M \) en \( x_0 \in I \) si pour tout \( x \in I \), \( f(x) \le M \) et \( f(x_0) = M \). * On dit que \( f \) admet un **minimum global** \( m \) en \( x_0 \in I \) si pour tout \( x \in I \), \( f(x) \ge m \) et \( f(x_0) = m \). #### Maximum et Minimum Locaux (ou Relatifs) Une fonction peut avoir des points où elle atteint une valeur maximale ou minimale non pas sur tout son domaine, mais seulement dans un certain "voisinage" de ce point. Ce sont les **extrémums locaux** (ou relatifs). * **Définition Formelle:** * Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) admet un **maximum local** \( M \) en \( x_0 \in I \) s'il existe un intervalle ouvert \( J \) contenant \( x_0 \) (et inclus dans \( I \)) tel que pour tout \( x \in J \), \( f(x) \le M \) et \( f(x_0) = M \). * On dit que \( f \) admet un **minimum local** \( m \) en \( x_0 \in I \) s'il existe un intervalle ouvert \( J \) contenant \( x_0 \) (et inclus dans \( I \)) tel que pour tout \( x \in J \), \( f(x) \ge m \) et \( f(x_0) = m \). * **Distinction important :** Un extrémum global est toujours un extrémum local. Cependant, un extrémum local n'est pas nécessairement un extrémum global. #### Identification des Extrémums Les extrémums peuvent être identifiés de plusieurs manières : 1. **À partir de la courbe représentative :** Sur le graphique d'une fonction, les extrémums correspondent aux "pics" (maximums) et aux "vallées" (minimums) de la courbe. * Le point le plus haut de la courbe sur tout le graphique est le maximum global. * Le point le plus bas de la courbe sur tout le graphique est le minimum global. * Les "sommets" et "creux" de la courbe sont les extrémums locaux. 2. **À partir du tableau de variations :** Les extrémums se trouvent aux points où le sens de variation de la fonction change. * Si la fonction est croissante puis décroissante, il y a un maximum (local ou global). * Si la fonction est décroissante puis croissante, il y a un minimum (local ou global). Exemple de tableau de variations pour une fonction \( f \): | \( x \) | \( - \infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( + \infty \) | | :-------------- | :------- | :-------- | :--------- | :------- | | Variation de \( f \) | \( \nearrow \) | \( 5 \) | \( -3 \) | \( \nearrow \) | Dans cet exemple, \( f \) a un maximum local de \( 5 \) en \( x = -2 \) et un minimum local de \( -3 \) en \( x = 1 \). ### Vocabulaire * **Extrémum (pluriel : extrémums) :** Terme générique désignant un maximum ou un minimum d'une fonction. * **Maximum (global/local) :** La valeur la plus élevée que la fonction peut atteindre (sur l'ensemble du domaine ou sur un intervalle local). * **Minimum (global/local) :** La valeur la plus basse que la fonction peut atteindre (sur l'ensemble du domaine ou sur un intervalle local). * **Tableau de variation :** Tableau récapitulant les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante, et indiquant ses extrémums. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction quadratique Considérons la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Pour trouver ses extrémums, on peut commencer par tracer sa courbe représentative ou étudier son tableau de variations. La courbe de \( f \) est une parabole ouverte vers le haut. Son sommet est un minimum global. * Le sommet a pour abscisse \( x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 \). * L'ordonnée est \( f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \). Donc, la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) admet un **minimum global** de \( -1 \) en \( x = 2 \). Elle n'a pas de maximum global car \( f(x) \to +\infty \) lorsque \( x \to \pm\infty \). #### Exemple 2 : Optimisation d'aire Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire en utilisant 100 mètres de clôture. Quelle est la plus grande aire qu'il peut clôturer ? Soit \( L \) la longueur et \( l \) la largeur du champ. Le périmètre est \( 2L + 2l = 100 \), donc \( L + l = 50 \). On peut exprimer \( l = 50 - L \). L'aire \( A \) du champ est \( A = L \times l = L(50 - L) = 50L - L^2 \). Nous cherchons le maximum de la fonction \( A(L) = -L^2 + 50L \). C'est une parabole ouverte vers le bas. * L'abscisse du sommet (où l'aire est maximale) est \( L_S = -\frac{50}{2 \times (-1)} = 25 \). * Si \( L = 25 \) m, alors \( l = 50 - 25 = 25 \) m. * L'aire maximale est \( A(25) = 25 \times 25 = 625 \) m\(^2 \). La fonction \( A(L) \) admet un **maximum global** de \( 625 \) m\(^2 \) lorsque \( L = 25 \) m. ### Exercices 1. **Analyse graphique :** Observez la courbe représentative ci-dessous d'une fonction \( g \) définie sur \( [-4, 6] \). * Identifiez les abscisses des points où \( g \) admet un maximum local et donnez la valeur de ce maximum. * Identifiez les abscisses des points où \( g \) admet un minimum local et donnez la valeur de ce minimum. * La fonction \( g \) admet-elle un maximum global ? Si oui, quelle est sa valeur et en quel point l'atteint-elle ? * La fonction \( g \) admet-elle un minimum global ? Si oui, quelle est sa valeur et en quel point l'atteint-elle ? (Imaginez une courbe avec des variations, par exemple, un maximum local à \( x=-2, y=3 \), un minimum local à \( x=1, y=-1 \), et aux bornes, \( g(-4)=1 \) et \( g(6)=4 \)) 2. **Tableau de variations :** Le tableau suivant donne les variations d'une fonction \( h \) sur \( [-5, 7] \). | \( x \) | \( -5 \) | \( -1 \) | \( 4 \) | \( 7 \) | | :-------------- | :-------- | :-------- | :--------- | :-------- | | Variation de \( h \) | \( 2 \) | \( \searrow \) | \( -3 \) | \( \nearrow \) | \( 5 \) | * Quels sont les extrémums locaux de \( h \) ? Précisez leur nature (maximum ou minimum) et la valeur de \( x \) où ils sont atteints. * Quel est le maximum global de \( h \) sur \( [-5, 7] \) ? * Quel est le minimum global de \( h \) sur \( [-5, 7] \) ? ### Devoir Maison 1. **Fonction cubique :** Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) définie sur l'intervalle \( [-2, 2] \). * Complétez le tableau de valeurs pour \( x = -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2 \). * Tracez la courbe représentative de \( f \) sur cet intervalle. * À l'aide du graphique, déterminez approximativement les coordonnées des extrémums locaux de \( f \). * Donnez les valeurs du maximum global et du minimum global de \( f \) sur \( [-2, 2] \). 2. **Problème d'optimisation :** Une entreprise fabrique des boîtes de conserve cylindriques d'un volume de \( 1 \) litre (soit \( 1000 \) cm\(^3 \)). Le coût de fabrication dépend de la surface de métal utilisée. On cherche à minimiser cette surface. * Soit \( r \) le rayon de la base et \( h \) la hauteur du cylindre. Le volume est donné par \( V = \pi r^2 h \). La surface totale du cylindre est \( S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \). * Exprimez \( h \) en fonction de \( r \) et de \( V \). * Remplacez \( h \) dans l'expression de \( S \) pour obtenir \( S \) en fonction de \( r \) uniquement (en utilisant \( V = 1000 \) cm\(^3 \)). Vous devriez obtenir \( S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} \). * (Question bonus pour les plus avancés) Sans calculatrice graphique, comment pourriez-vous estimer le rayon \( r \) qui minimise cette surface ? (Indice : Pensez à l'observation des variations d'une fonction). ### Résumé Les extrémums sont des points cruciaux pour comprendre le comportement d'une fonction. Ils peuvent être : * **Globaux :** La valeur la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum) que la fonction prend sur l'ensemble de son domaine de définition. * **Locaux :** La valeur la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum) que la fonction prend dans un petit intervalle autour d'un point donné. On les identifie visuellement sur une **courbe représentative** (pics et vallées) ou en analysant les **changements de variation** dans un **tableau de variations**. Un maximum est atteint lorsque la fonction passe de croissante à décroissante, et un minimum lorsque la fonction passe de décroissante à croissante. La connaissance des extrémums est essentielle en mathématiques et dans de nombreuses applications pratiques. ## Sens de variation ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer comment les fonctions changent et évoluent. Comprendre le sens de variation d'une fonction, c'est savoir si sa courbe "monte" ou "descend" sur différents intervalles. C'est une notion fondamentale en mathématiques qui nous permet de mieux analyser le comportement des fonctions et de résoudre des problèmes concrets. ### Concepts clés #### Fonction croissante Une fonction \( f \) est dite **croissante** sur un intervalle \( I \) si, pour tous nombres réels \( a \) et \( b \) appartenant à \( I \): Si \( a < b \), alors \( f(a) \le f(b) \). En d'autres termes, lorsque les valeurs de \( x \) augmentent, les valeurs de \( f(x) \) augmentent (ou restent les mêmes). Graphiquement, la courbe "monte" de gauche à droite. #### Fonction strictement croissante Si \( a < b \) implique \( f(a) < f(b) \), on dit que la fonction est **strictement croissante**. #### Fonction décroissante Une fonction \( f \) est dite **décroissante** sur un intervalle \( I \) si, pour tous nombres réels \( a \) et \( b \) appartenant à \( I \): Si \( a < b \), alors \( f(a) \ge f(b) \). En d'autres termes, lorsque les valeurs de \( x \) augmentent, les valeurs de \( f(x) \) diminuent (ou restent les mêmes). Graphiquement, la courbe "descend" de gauche à droite. #### Fonction strictement décroissante Si \( a < b \) implique \( f(a) > f(b) \), on dit que la fonction est **strictement décroissante**. #### Fonction monotone Une fonction est dite **monotone** sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle. #### Tableau de variation Le tableau de variation est un outil essentiel pour résumer le comportement d'une fonction. Il indique les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs importantes (maximums et minimums locaux). **Construction d'un tableau de variation:** * La première ligne du tableau contient les valeurs de \( x \) qui marquent les changements de variation (les bornes des intervalles, et les points où la fonction atteint un extremum local). * La deuxième ligne contient des flèches: * Une flèche \( \nearrow \) indique que la fonction est croissante. * Une flèche \( \searrow \) indique que la fonction est décroissante. * Aux extrémités des flèches, on inscrit les valeurs de la fonction aux points correspondants. #### Maximum et Minimum (Extrema) * Un **maximum local** (ou relatif) est la plus grande valeur que prend la fonction dans un petit intervalle autour d'un point. * Un **minimum local** (ou relatif) est la plus petite valeur que prend la fonction dans un petit intervalle autour d'un point. * Un **maximum global** (ou absolu) est la plus grande valeur que prend la fonction sur tout son domaine de définition. * Un **minimum global** (ou absolu) est la plus petite valeur que prend la fonction sur tout son domaine de définition. Les maximums et minimums sont appelés **extrema**. ### Vocabulaire * **Fonction croissante:** Fonction dont les valeurs augmentent lorsque \( x \) augmente. * **Fonction décroissante:** Fonction dont les valeurs diminuent lorsque \( x \) augmente. * **Fonction monotone:** Fonction qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante sur un intervalle donné. * **Intervalle:** Une portion de la droite réelle. * **Tableau de variation:** Représentation schématique du sens de variation d'une fonction. * **Maximum (local/global):** La valeur la plus élevée que peut atteindre une fonction (sur un intervalle ou sur son domaine). * **Minimum (local/global):** La valeur la plus basse que peut atteindre une fonction (sur un intervalle ou sur son domaine). * **Extremum:** Terme général désignant un maximum ou un minimum. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Soit la fonction \( f(x) = 2x - 3 \). Si nous prenons \( a < b \), alors \( 2a < 2b \), et donc \( 2a - 3 < 2b - 3 \). Cela signifie que \( f(a) < f(b) \). Donc, la fonction \( f(x) = 2x - 3 \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). **Tableau de variation:** | \( x \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | | :--------- | :-----------: | :-----------: | | Variation | \( \nearrow \) | | #### Exemple 2: Fonction carrée Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). * Sur l'intervalle \( ]-\infty; 0] \): Si \( a < b \le 0 \), alors \( a^2 > b^2 \) (par exemple, si \( -3 < -2 \), alors \( (-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4 \)). Donc, \( f(a) > f(b) \). La fonction est strictement décroissante sur \( ]-\infty; 0] \). * Sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \): Si \( 0 \le a < b \), alors \( a^2 < b^2 \) (par exemple, si \( 2 < 3 \), alors \( 2^2 = 4 < 3^2 = 9 \)). Donc, \( f(a) < f(b) \). La fonction est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \). Le minimum global de la fonction est \( 0 \) atteint en \( x = 0 \). **Tableau de variation:** | \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | | :--------- | :-----------: | :------------: | :-----------: | | Variation | \( \searrow \) | \( 0 \) | \( \nearrow \) | #### Exemple 3: Lecture d'un tableau de variation Considérons le tableau de variation suivant: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | | :--------- | :-----------: | :------------: | :------------: | :------------: | :-----------: | | Variation | \( \nearrow \) | \( 5 \) | \( -1 \) | \( 2 \) | \( \searrow \) | * La fonction est croissante sur \( ]-\infty; -2] \) et sur \( [1; 3] \). * La fonction est décroissante sur \( [-2; 1] \) et sur \( [3; +\infty[ \). * Un maximum local est \( 5 \) (atteint en \( x = -2 \)). * Un minimum local est \( -1 \) (atteint en \( x = 1 \)). * Un autre maximum local est \( 2 \) (atteint en \( x = 3 \)). ### Exercices 1. Indiquez le sens de variation des fonctions suivantes sur \( \mathbb{R} \) et justifiez votre réponse: a. \( f(x) = -3x + 7 \) b. \( g(x) = 5x - 2 \) 2. Soit la fonction \( h(x) = -x^2 + 4x - 1 \). a. Démontrez que \( h(x) = -(x-2)^2 + 3 \). b. Étudiez le sens de variation de \( h \) sur \( ]-\infty; 2] \) et sur \( [2; +\infty[ \). c. Construisez le tableau de variation de \( h \). 3. À partir du tableau de variation suivant, déterminez: a. Les intervalles sur lesquels la fonction est croissante. b. Les intervalles sur lesquels la fonction est décroissante. c. Les maximums et minimums locaux, et les valeurs de \( x \) où ils sont atteints. | \( x \) | \( -4 \) | \( -1 \) | \( 2 \) | \( 5 \) | | :--------- | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: | | Variation | \( 3 \) | \( -2 \) | \( 4 \) | \( -\infty \) | ### Devoirs 1. Construisez un tableau de variation pour la fonction \( k(x) = x^2 - 6x + 5 \) sur son domaine de définition. 2. On considère la fonction \( g \) définie par son graphique ci-dessous (imaginez un graphique de fonction avec un maximum local en x=2, y=4 et un minimum local en x=5, y=1, partant de l'infini négatif, montant jusqu'à (2,4), descendant jusqu'à (5,1) puis remontant à l'infini positif). a. Déterminez le domaine de définition de \( g \). b. Construisez le tableau de variation de \( g \). c. Quels sont les extrema locaux de \( g \)? 3. Vrai ou Faux? Justifiez vos réponses. a. Si une fonction est croissante sur \( [0; 5] \), alors \( f(1) < f(4) \). b. Si \( f(x) = -x^3 \), alors \( f \) est décroissante sur \( \mathbb{R} \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à caractériser le sens de variation d'une fonction. Une fonction est **croissante** si sa courbe "monte" et **décroissante** si sa courbe "descend". Le **tableau de variation** est un outil puissant pour synthétiser ces informations, montrant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les **extrema** (maximums et minimums locaux) de la fonction. Ces concepts sont fondamentaux pour l'analyse des fonctions et pour la résolution de problèmes en mathématiques. ## : ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les fonctions ! Les fonctions sont un des concepts les plus fondamentaux et les plus puissants en mathématiques. Elles nous permettent de décrire des relations entre différentes quantités et de modéliser des phénomènes réels, qu'il s'agisse de la trajectoire d'un projectile, de l'évolution du prix d'un produit, ou de la croissance d'une population. Comprendre les fonctions est essentiel pour la suite de votre parcours en mathématiques et dans d'autres sciences. Dans ce cours, nous allons découvrir ce qu'est une fonction, comment la représenter de différentes manières, et comment manipuler ses éléments fondamentaux. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction Une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ (appelé **antécédent**), associe **un unique** nombre d'arrivée (appelé **image**). * **Notation :** * On note souvent une fonction avec une lettre comme \( f \), \( g \), \( h \). * Si \( x \) est l'antécédent, son image par la fonction \( f \) est notée \( f(x) \) (lire "f de x"). * On écrit \( f: x \mapsto f(x) \). Cela signifie "la fonction \( f \) qui à \( x \) associe \( f(x) \)". * L'égalité \( y = f(x) \) signifie que \( y \) est l'image de \( x \) par la fonction \( f \), ou que \( x \) est un antécédent de \( y \) par la fonction \( f \). #### 2. Ensemble de définition L'**ensemble de définition** d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de tous les nombres \( x \) pour lesquels la fonction \( f(x) \) est calculable (ou définie). * **Exemples :** * Pour \( f(x) = x^2 \), \( D_f = \mathbb{R} \) (tous les nombres réels). * Pour \( g(x) = \frac{1}{x} \), \( D_g = \mathbb{R}^* \) (tous les réels sauf 0) car on ne peut pas diviser par zéro. * Pour \( h(x) = \sqrt{x} \), \( D_h = [0, +\infty[ \) (tous les réels positifs ou nuls) car la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans les réels. #### 3. Représentations d'une fonction Une fonction peut être représentée de différentes manières : ##### a) Par une phrase (description verbale) Décrire la règle de la fonction avec des mots. * Exemple : "À un nombre, on ajoute 3, puis on multiplie le résultat par 2." ##### b) Par une formule (expression algébrique) La forme la plus courante. Elle donne la règle de calcul de \( f(x) \) en fonction de \( x \). * Exemple : \( f(x) = 2(x+3) \) ou \( f(x) = 2x + 6 \). ##### c) Par un tableau de valeurs Liste des couples \( (x, f(x)) \). | \( x \) | \( -2 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | |---|---|---|---|---| | \( f(x) \) | \( -4 \) | \( 2 \) | \( 4 \) | \( 10 \) | ##### d) Par une courbe représentative (graphique) La courbe représentative d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \) dans un repère orthogonal. Chaque point a pour abscisse \( x \) (antécédent) et pour ordonnée \( f(x) \) (image). #### 4. Calcul d'images et d'antécédents ##### a) Calculer l'image d'un nombre Pour trouver l'image d'un nombre \( a \) par une fonction \( f \): * **Avec une formule :** On remplace \( x \) par \( a \) dans l'expression algébrique de \( f(x) \) et on calcule. * **Avec un tableau :** On cherche \( a \) dans la ligne des \( x \) et on lit la valeur correspondante dans la ligne des \( f(x) \). * **Avec un graphique :** On place \( a \) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées. ##### b) Calculer l'antécédent(s) d'un nombre Pour trouver le ou les antécédents d'un nombre \( b \) par une fonction \( f \): * **Avec une formule :** On résout l'équation \( f(x) = b \). * **Avec un tableau :** On cherche \( b \) dans la ligne des \( f(x) \) et on lit la ou les valeurs correspondantes dans la ligne des \( x \). * **Avec un graphique :** On place \( b \) sur l'axe des ordonnées, on trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit la ou les abscisses correspondantes sur l'axe des abscisses. * Attention : un nombre peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents. ### Vocabulaire * **Fonction :** Procédé qui associe à chaque nombre de départ un unique nombre d'arrivée. * **Variable :** Le nombre \( x \) qui varie (l'entrée de la fonction). * **Antécédent :** Un nombre de départ \( x \) pour lequel on cherche l'image. * **Image :** Le nombre d'arrivée \( f(x) \) obtenu après application de la fonction à un antécédent \( x \). * **Ensemble de définition (ou Domaine de définition) :** L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est définie. * **Courbe représentative (ou Représentation graphique) :** L'ensemble des points \( (x, f(x)) \) dans un repère. * **Abscisse :** La coordonnée horizontale d'un point (correspond à \( x \)). * **Ordonnée :** La coordonnée verticale d'un point (correspond à \( y \) ou \( f(x) \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Utilisation d'une formule Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = -3x + 7 \). 1. **Calculer l'image de 2 par \( f \).** On remplace \( x \) par 2 : \( f(2) = -3(2) + 7 = -6 + 7 = 1 \). L'image de 2 est 1. 2. **Calculer l'image de \( -1 \) par \( f \).** On remplace \( x \) par \( -1 \) : \( f(-1) = -3(-1) + 7 = 3 + 7 = 10 \). L'image de \( -1 \) est 10. 3. **Déterminer l'antécédent de 4 par \( f \).** On résout l'équation \( f(x) = 4 \) : \[ -3x + 7 = 4 \] \[ -3x = 4 - 7 \] \[ -3x = -3 \] \[ x = \frac{-3}{-3} \] \[ x = 1 \] L'antécédent de 4 est 1. #### Exemple 2 : Utilisation d'un tableau de valeurs Soit une fonction \( g \) donnée par le tableau suivant : | \( x \) | \( -3 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 5 \) | |---|---|---|---|---|---| | \( g(x) \) | \( 9 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 4 \) | \( 25 \) | 1. **Quelle est l'image de \( -1 \) par \( g \)?** En lisant le tableau, pour \( x = -1 \), \( g(x) = 1 \). L'image de \( -1 \) est 1. 2. **Quel(s) est/sont le ou les antécédents de 9 par \( g \)?** En lisant le tableau, pour \( g(x) = 9 \), \( x = -3 \). L'antécédent de 9 est \( -3 \). #### Exemple 3 : Détermination de l'ensemble de définition 1. Pour \( f(x) = 5x^2 - 2x + 1 \), il n'y a aucune restriction. \( D_f = \mathbb{R} \). 2. Pour \( g(x) = \frac{1}{x-3} \), le dénominateur ne doit pas être nul. \( x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 \). Donc \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). 3. Pour \( h(x) = \sqrt{4-x} \), l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. \( 4-x \ge 0 \implies 4 \ge x \). Donc \( D_h = ]-\infty, 4] \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 2x^2 - 5x + 3 \). a. Calculer l'image de 0, de 1, et de \( -2 \) par \( f \). b. Montrer que 1 est un antécédent de 0 par \( f \). c. Montrer que 2 n'est pas un antécédent de 0 par \( f \). 2. Voici la représentation graphique d'une fonction \( h \). (Imaginez un graphique avec une courbe passant par les points (-2,1), (0,3), (1,2), (3,-1)) a. Déterminer \( h(0) \). b. Quelle est l'image de 1 par \( h \)? c. Quel(s) est/sont le ou les antécédents de 1 par \( h \)? d. Quel(s) est/sont le ou les antécédents de \( -1 \) par \( h \)? 3. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. \( k(x) = \frac{2x+1}{x+5} \) b. \( l(x) = \sqrt{x-7} \) c. \( m(x) = 3x^3 - x^2 + 4 \) ### Devoir Maison 1. On considère la fonction \( f \) définie par \( f(x) = (x-3)^2 - 4 \). a. Calculer les images de 0, 3, et \( -1 \) par \( f \). b. Déterminer les antécédents de 5 par \( f \). c. Vérifier que \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \). 2. Un automobiliste roule à une vitesse moyenne de 80 km/h. On note \( d(t) \) la distance parcourue en \( t \) heures. a. Exprimer \( d(t) \) en fonction de \( t \). b. Quelle distance a-t-il parcourue en 2h30 ? c. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 200 km ? 3. Le tableau ci-dessous donne la température (en °C) au cours d'une journée. | Heure (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Température (°C) | 5 | 3 | 2 | 1 | 4 | 8 | 12 | 15 | 14 | 10 | 7 | 6 | 5 | a. À quelle heure la température était-elle de 12°C ? b. Quelle était la température à 18h ? c. Donner les antécédents de 5 par la fonction qui modélise cette température. ### Résumé * Une fonction associe à un nombre \( x \) (antécédent) un unique nombre \( f(x) \) (image). * L'**ensemble de définition** \( D_f \) est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) peut être calculé. * Les fonctions peuvent être représentées par une **formule algébrique**, un **tableau de valeurs**, ou une **courbe représentative**. * Calculer une **image** consiste à remplacer \( x \) dans la formule, lire dans le tableau ou sur le graphique l'ordonnée d'un point dont l'abscisse est donnée. * Trouver un **antécédent** consiste à résoudre l'équation \( f(x) = y \), lire dans le tableau ou sur le graphique l'abscisse ou les abscisses d'un point dont l'ordonnée est donnée. * Un antécédent peut être unique, multiple ou inexistant, tandis qu'une image est toujours unique pour un antécédent donné. Continuez à pratiquer ces concepts pour maîtriser les bases des fonctions, qui vous seront très utiles pour la suite ! ## Ensemble de définition ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur l'ensemble de définition d'une fonction. Lorsque nous travaillons avec des fonctions en mathématiques, il est essentiel de savoir quelles valeurs on peut "injecter" dans la fonction sans rencontrer de problèmes. L'ensemble de définition, ou domaine de définition, est précisément l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour la variable \( x \) pour lesquelles la fonction \( f(x) \) est bien définie et renvoie un nombre réel. Comprendre l'ensemble de définition est une étape fondamentale pour l'étude et la représentation graphique des fonctions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Ensemble de Définition ? * L'ensemble de définition d'une fonction \( f \), noté \( D_f \) ou simplement \( D \), est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels \( f(x) \) existe et est un nombre réel. * En d'autres termes, ce sont toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles le calcul de \( f(x) \) est possible. #### Restrictions Courantes pour les Fonctions Certaines opérations mathématiques ne sont pas définies pour toutes les valeurs réelles. C'est ce qui crée des restrictions sur l'ensemble de définition d'une fonction. ##### 1. Division par zéro * On ne peut **jamais diviser par zéro**. Si votre fonction contient une fraction de la forme \( \frac{N(x)}{D(x)} \), le dénominateur \( D(x) \) ne doit pas être égal à zéro. * Condition : \( D(x) \neq 0 \) ##### 2. Racine carrée d'un nombre négatif * On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif dans l'ensemble des nombres réels. Si votre fonction contient une expression de la forme \( \sqrt{A(x)} \), l'expression sous la racine \( A(x) \) doit être positive ou nulle. * Condition : \( A(x) \ge 0 \) ##### 3. Cas des fonctions polynomiales * Une fonction polynomiale est une fonction qui s'écrit sous la forme \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \). Pour ces fonctions, il n'y a aucune restriction connue en Seconde (pas de division, pas de racine carrée). * L'ensemble de définition est alors l'ensemble de tous les nombres réels, noté \( \mathbb{R} \). #### Comment déterminer l'ensemble de définition ? 1. **Identifier les problèmes :** Regardez la fonction et repérez s'il y a des dénominateurs (et donc des divisions) ou des racines carrées. 2. **Poser les conditions :** Écrivez les inégalités ou les équations qui découlent de ces problèmes (dénominateur non nul, expression sous la racine positive ou nulle). 3. **Résoudre les conditions :** Résolvez ces inégalités ou équations pour trouver les valeurs de \( x \) qui satisfont les conditions. 4. **Exprimer l'ensemble :** Écrivez l'ensemble de définition sous forme d'intervalle(s) ou d'union d'intervalles. ### Vocabulaire * **Fonction :** Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble (l'ensemble de départ) un unique élément d'un autre ensemble (l'ensemble d'arrivée). * **Variable :** Une quantité qui peut prendre différentes valeurs. En général, \( x \) est la variable indépendante et \( y \) ou \( f(x) \) est la variable dépendante. * **Image :** La valeur \( f(x) \) que prend la fonction pour une valeur de \( x \) donnée. * **Antécédent :** Une valeur de \( x \) pour laquelle la fonction \( f(x) \) a une image donnée. * **Ensemble de définition (Domaine) :** L'ensemble de toutes les valeurs \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Nombre Réel (\( \mathbb{R} \)) :** Tout nombre qui peut être représenté sur une ligne numérique. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en Seconde. * **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Exemple : \( [a; b] \), \( ]a; b[ \), \( [a; +\infty[ \), etc. * **Racine carrée :** L'opération inverse de la mise au carré d'un nombre. La racine carrée d'un nombre \( A \) est le nombre positif \( B \) tel que \( B^2 = A \). * **Dénominateur :** La partie inférieure d'une fraction. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction polynomiale Soit la fonction \( f(x) = 2x^3 - 5x + 7 \). * Cette fonction ne contient ni fraction, ni racine carrée. * Par conséquent, elle est définie pour toutes les valeurs réelles de \( x \). * L'ensemble de définition est \( D_f = \mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[ \). #### Exemple 2 : Fonction rationnelle (avec une fraction) Soit la fonction \( g(x) = \frac{3x+1}{x-5} \). * Cette fonction contient une fraction. Le dénominateur ne doit pas être nul. * Condition : \( x-5 \neq 0 \) * Résolution : \( x \neq 5 \) * L'ensemble de définition est \( D_g = ]-\infty; 5[ \cup ]5; +\infty[ \) ou \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \). #### Exemple 3 : Fonction avec une racine carrée Soit la fonction \( h(x) = \sqrt{x+3} \). * Cette fonction contient une racine carrée. L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. * Condition : \( x+3 \ge 0 \) * Résolution : \( x \ge -3 \) * L'ensemble de définition est \( D_h = [-3; +\infty[ \). #### Exemple 4 : Combinaison de restrictions Soit la fonction \( k(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \). * Il y a deux restrictions ici : 1. Une racine carrée : \( x-2 \ge 0 \). 2. Un dénominateur : \( \sqrt{x-2} \neq 0 \), ce qui signifie \( x-2 \neq 0 \). * En combinant ces deux conditions, \( x-2 \) doit être strictement positif. * Condition : \( x-2 > 0 \) * Résolution : \( x > 2 \) * L'ensemble de définition est \( D_k = ]2; +\infty[ \). ### Exercices Déterminez l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = -4x^2 + x - 10 \) 2. \( g(x) = \frac{x-7}{2x+8} \) 3. \( h(x) = \sqrt{x-9} \) 4. \( k(x) = \frac{x+5}{x^2-16} \) 5. \( m(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+6}} \) ### Devoir à la maison Déterminez l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes et exprimez-le sous forme d'intervalle(s) : 1. \( f(x) = \frac{3x+2}{x^2+1} \) 2. \( g(x) = \sqrt{5-x} \) 3. \( h(x) = \frac{x}{\sqrt{x+7}} \) 4. \( k(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x-3} \) 5. \( p(x) = \frac{x-1}{(x-2)(x+4)} \) ### Résumé * L'**ensemble de définition** d'une fonction est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est calculable et renvoie un nombre réel. * Les deux principales restrictions à surveiller en Seconde sont : * **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul (\( D(x) \neq 0 \)). * **Racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle (\( A(x) \ge 0 \)). * Pour les fonctions polynomiales, l'ensemble de définition est toujours \( \mathbb{R} \). * Il est crucial d'exprimer l'ensemble de définition sous forme d'intervalles ou d'union d'intervalles. ## Programme de calcul de l'image ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions, un concept fondamental en mathématiques. Pour aborder les fonctions de manière concrète, nous allons commencer par étudier les programmes de calcul. Un programme de calcul est une suite d'instructions claires qui, appliquées à un nombre de départ, produisent un unique résultat. Comprendre comment ces programmes fonctionnent nous aidera à saisir la notion d'image d'un nombre par une fonction. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un programme de calcul ? Un programme de calcul est une liste d'opérations mathématiques à effectuer dans un ordre précis sur un nombre de départ. Chaque étape est une instruction qui modifie le nombre précédent. **Exemple simple :** 1. Choisir un nombre. 2. Lui ajouter 3. 3. Multiplier le résultat par 2. #### Appliquer un programme de calcul Pour appliquer un programme de calcul, il faut suivre les étapes une par une, en respectant l'ordre des opérations. **Exemple avec le programme ci-dessus :** * Si le nombre de départ est 5 : 1. Choisir 5. 2. Lui ajouter 3 : \( 5 + 3 = 8 \). 3. Multiplier le résultat par 2 : \( 8 \times 2 = 16 \). Le résultat final est 16. #### Lien avec les fonctions Un programme de calcul est une façon de représenter une fonction. Une fonction est un processus qui associe à chaque nombre de départ (appelé l'antécédent) un unique nombre d'arrivée (appelé l'image). * Le **nombre de départ** est la variable, souvent notée \( x \). * Le **programme de calcul** est la fonction, souvent notée \( f \). * Le **résultat final** est l'image de \( x \) par la fonction \( f \), notée \( f(x) \). On peut écrire une fonction de différentes manières : * Par une phrase (le programme de calcul). * Par une expression algébrique : \( f(x) = ext{expression} \). * Par une flèche : \( f: x o ext{expression} \). **Reprenons l'exemple :** Le programme : 1. Choisir un nombre (\( x \)). 2. Lui ajouter 3 (\( x+3 \)). 3. Multiplier le résultat par 2 (\( 2 \times (x+3) \)). La fonction associée est \( f(x) = 2(x+3) \). Si \( x = 5 \), alors \( f(5) = 2(5+3) = 2 \times 8 = 16 \). #### Image et antécédent * **L'image :** C'est le résultat obtenu après avoir appliqué la fonction (ou le programme de calcul) à un nombre de départ. Si \( y = f(x) \), alors \( y \) est l'image de \( x \) par \( f \). * **Exemple :** Pour \( f(x) = 2(x+3) \), l'image de 5 est 16. On écrit \( f(5) = 16 \). * **L'antécédent :** C'est le(s) nombre(s) de départ qui, une fois soumis à la fonction, produit(ent) une image donnée. Si \( y = f(x) \), alors \( x \) est un antécédent de \( y \) par \( f \). * Une fonction associe **un unique** image à chaque antécédent. * Un nombre peut avoir **plusieurs** antécédents, **un seul** antécédent, ou **aucun** antécédent par une fonction donnée. * **Exemple :** Pour \( f(x) = 2(x+3) \), si l'image est 16, quel est l'antécédent ? On résout \( 2(x+3) = 16 \). \( x+3 = 8 \), donc \( x = 5 \). L'antécédent de 16 est 5. ### Vocabulaire * **Programme de calcul :** Une suite ordonnée d'opérations mathématiques à appliquer à un nombre de départ. * **Fonction :** Un processus mathématique qui associe à chaque nombre d'entrée (antécédent) un et un seul nombre de sortie (image). * **Variable :** Une lettre (souvent \( x \)) qui représente un nombre dont la valeur peut changer. C'est l'entrée de la fonction. * **Image :** Le résultat unique obtenu en appliquant une fonction à un nombre donné. Si \( y = f(x) \), \( y \) est l'image de \( x \) par \( f \). * **Antécédent :** Le nombre de départ qui, appliqué à la fonction, produit une image donnée. Si \( y = f(x) \), \( x \) est un antécédent de \( y \) par \( f \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'images avec un programme Soit le programme de calcul suivant : 1. Choisir un nombre. 2. Le multiplier par -2. 3. Ajouter 7 au résultat. * **a) Calculer l'image de 4 par ce programme.** 1. Choisir 4. 2. Multiplier par -2 : \( 4 \times (-2) = -8 \). 3. Ajouter 7 : \( -8 + 7 = -1 \). L'image de 4 est -1. * **b) Calculer l'image de -3 par ce programme.** 1. Choisir -3. 2. Multiplier par -2 : \( (-3) \times (-2) = 6 \). 3. Ajouter 7 : \( 6 + 7 = 13 \). L'image de -3 est 13. * **c) Écrire la fonction \( f(x) \) associée à ce programme.** Si \( x \) est le nombre de départ : \( f(x) = -2x + 7 \) #### Exemple 2 : Trouver un antécédent Reprenons la fonction \( f(x) = -2x + 7 \) de l'exemple 1. * **Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 1 comme résultat ? Autrement dit, trouver l'antécédent de 1 par la fonction \( f \).** Nous cherchons \( x \) tel que \( f(x) = 1 \). Cela revient à résoudre l'équation : \[ -2x + 7 = 1 \] \[ -2x = 1 - 7 \] \[ -2x = -6 \] \[ x = \frac{-6}{-2} \] \[ x = 3 \] L'antécédent de 1 par \( f \) est 3. ### Exercices #### Exercice 1 Soit le programme de calcul : 1. Choisir un nombre. 2. Lui ajouter 5. 3. Élever le résultat au carré. 4. Soustraire 10 au résultat final. * a) Calculer l'image de 2 par ce programme. * b) Calculer l'image de -5 par ce programme. * c) Écrire la fonction \( g(x) \) associée à ce programme. #### Exercice 2 Soit la fonction \( h(x) = x^2 - 4 \). * a) Calculer \( h(0) \). * b) Calculer \( h(-3) \). * c) Déterminer le(s) antécédent(s) de 0 par \( h \). #### Exercice 3 Soit la fonction \( k(x) = 3x + 1 \). * a) Calculer l'image de 5 par \( k \). * b) Trouver l'antécédent de 10 par \( k \). ### Devoir Maison #### Problème 1 Un programme de calcul propose les étapes suivantes : 1. Choisir un nombre. 2. Multiplier ce nombre par 3. 3. Soustraire 4 au résultat. 4. Prendre l'inverse du nombre obtenu. * a) Quelle est l'image de 2 par ce programme ? * b) Quelle est l'image de \( \frac{1}{3} \) par ce programme ? * c) Écrire la fonction \( p(x) \) associée à ce programme. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) cette fonction n'est-elle pas définie ? #### Problème 2 Soit la fonction \( f(x) = (x-1)(x+2) \). * a) Calculer \( f(1) \). * b) Calculer \( f(-2) \). * c) Quels sont les antécédents de 0 par \( f \) ? * d) En développant l'expression, montrer que \( f(x) = x^2 + x - 2 \). #### Problème 3 (Challenge) On donne le programme de calcul suivant : 1. Choisir un nombre. 2. Ajouter 10 à ce nombre. 3. Multiplier le résultat par 5. 4. Soustraire le nombre de départ multiplié par 5. 5. Soustraire 50 au résultat final. * Que peut-on dire du résultat de ce programme, quel que soit le nombre choisi au départ ? Prouvez votre réponse en écrivant la fonction associée et en la simplifiant. ### Résumé * Un **programme de calcul** est une séquence d'opérations appliquées à un nombre de départ. * Chaque programme de calcul peut être représenté par une **fonction** \( f \) qui, à un nombre \( x \) (l'antécédent), associe un unique résultat \( f(x) \) (l'image). * **Calculer une image** revient à remplacer la variable \( x \) par une valeur numérique dans l'expression de la fonction et d'effectuer les calculs. * **Trouver un antécédent** d'un nombre donné \( y \) revient à résoudre l'équation \( f(x) = y \). * Il est essentiel de comprendre que pour chaque antécédent, il n'y a qu'une seule image, mais qu'une image peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun. ## Représentation graphique point par point dans une fenêtre donnée, ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions! Aujourd'hui, nous allons apprendre une technique fondamentale pour visualiser le comportement d'une fonction: la représentation graphique point par point. Cela consiste à "dessiner" une fonction en plaçant des points calculés sur un graphique, puis en les reliant, le tout dans une zone spécifique appelée "fenêtre donnée" ou "intervalle". C'est une compétence essentielle pour comprendre comment les fonctions évoluent. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fonction? Une fonction est un processus mathématique qui, à chaque nombre d'entrée (appelé **antécédent**), associe un et un seul nombre de sortie (appelé **image**). On la note souvent \( f(x) \), où \( x \) est l'antécédent et \( f(x) \) son image. * **Exemple:** Si \( f(x) = 2x+1 \): * L'image de 3 par \( f \) est \( f(3) = 2(3)+1 = 7 \). * L'antécédent dont l'image est 5 est la solution de \( 2x+1 = 5 \), donc \( 2x=4 \), soit \( x=2 \). #### Qu'est-ce qu'une représentation graphique? La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points \( (x, y) \) dans un repère où \( y = f(x) \). Ces points forment une courbe ou une droite qui permet de visualiser le comportement de la fonction. * **Le plan cartésien:** C'est un plan muni de deux axes perpendiculaires: l'axe horizontal (axe des abscisses, pour les valeurs de \( x \)) et l'axe vertical (axe des ordonnées, pour les valeurs de \( y \) ou \( f(x) \)). L'intersection des deux axes est l'origine \( (0, 0) \). #### Comment représenter graphiquement une fonction point par point? Pour représenter une fonction \( f \) graphiquement point par point dans une fenêtre donnée (un intervalle spécifique pour \( x \)), suivez ces étapes: 1. **Choisir un intervalle (la "fenêtre").** * C'est la plage de valeurs pour \( x \) sur laquelle vous souhaitez dessiner la fonction. Cet intervalle est souvent noté \( [a, b] \), ce qui signifie que \( x \) prendra des valeurs entre \( a \) et \( b \), inclus. * **Exemple:** Si l'intervalle est \( [-2, 3] \), vous choisirez des valeurs de \( x \) entre -2 et 3. 2. **Choisir des valeurs de \( x \) dans l'intervalle.** * Sélectionnez plusieurs valeurs de \( x \) à l'intérieur de votre intervalle. Plus vous choisissez de points, plus votre graphique sera précis. Il est souvent utile de choisir des valeurs régulièrement espacées (par exemple, de 0,5 en 0,5 ou de 1 en 1). 3. **Calculer les images correspondantes \( f(x) \).** * Pour chaque valeur de \( x \) choisie, calculez l'image \( f(x) \) en utilisant la formule de la fonction. Vous pouvez organiser ces calculs dans un tableau de valeurs. 4. **Placer les points dans un repère.** * Chaque couple \( (x, f(x)) \) correspond à un point dans votre repère. La première coordonnée est sur l'axe des abscisses, la seconde sur l'axe des ordonnées. Tracez ces points sur votre feuille. 5. **Relier les points.** * Si la fonction est continue (ce qui est souvent le cas en Seconde), vous pouvez relier les points que vous avez placés par une courbe lisse. Si la fonction n'est définie que pour des valeurs spécifiques de \( x \) (cas discret), vous laissez simplement les points sans les relier. ### Vocabulaire * **Fonction:** Une relation qui associe chaque entrée à une seule sortie. * **Antécédent:** La valeur d'entrée de la fonction (souvent notée \( x \)). * **Image:** La valeur de sortie de la fonction (souvent notée \( f(x) \) ou \( y \)). * **Représentation graphique / Courbe représentative:** Le dessin d'une fonction dans un repère, constitué de tous les points \( (x, f(x)) \). * **Repère (orthonormé):** Un système d'axes perpendiculaires (abscisses et ordonnées) gradués pour localiser des points. * **Axe des abscisses:** L'axe horizontal, correspondant aux valeurs de \( x \). * **Axe des ordonnées:** L'axe vertical, correspondant aux valeurs de \( y \) ou \( f(x) \). * **Intervalle:** Une portion de la droite réelle, par exemple \( [a, b] \) pour toutes les valeurs entre \( a \) et \( b \) incluses. * **Fenêtre graphique:** La partie du plan cartésien que l'on choisit de visualiser, souvent définie par un intervalle pour \( x \) et un intervalle pour \( y \). ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Représentons la fonction \( f(x) = 2x - 1 \) sur l'intervalle \( [-2, 3] \). 1. **Intervalle:** \( [-2, 3] \). 2. **Valeurs de \( x \) choisies:** \( -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). 3. **Tableau de valeurs:** | \( x \) | \( f(x) = 2x - 1 \) | |---|---| | -2 | \( 2(-2) - 1 = -5 \) | | -1 | \( 2(-1) - 1 = -3 \) | | 0 | \( 2(0) - 1 = -1 \) | | 1 | \( 2(1) - 1 = 1 \) | | 2 | \( 2(2) - 1 = 3 \) | | 3 | \( 2(3) - 1 = 5 \) | 4. **Points à placer:** \( (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5) \). 5. **Tracé:** Placez ces points dans un repère et reliez-les par une droite (c'est une fonction linéaire, donc sa représentation est une droite). #### Exemple 2: Fonction quadratique Représentons la fonction \( g(x) = x^2 - 3 \) sur l'intervalle \( [-3, 3] \). 1. **Intervalle:** \( [-3, 3] \). 2. **Valeurs de \( x \) choisies:** \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). 3. **Tableau de valeurs:** | \( x \) | \( g(x) = x^2 - 3 \) | |---|---| | -3 | \( (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \) | | -2 | \( (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \) | | -1 | \( (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \) | | 0 | \( (0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 \) | | 1 | \( (1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \) | | 2 | \( (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \) | | 3 | \( (3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \) | 4. **Points à placer:** \( (-3, 6), (-2, 1), (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1), (3, 6) \). 5. **Tracé:** Placez ces points dans un repère et reliez-les par une courbe douce. Vous devriez obtenir une parabole. ### Exercices 1. Soit la fonction \( f(x) = 3x + 2 \). * Construisez un tableau de valeurs pour \( x \) appartenant à l'intervalle \( [-3, 2] \), en choisissant au moins 5 valeurs entières de \( x \). * Représentez graphiquement cette fonction point par point dans un repère. 2. Soit la fonction \( h(x) = -x^2 + 4 \). * Établissez son tableau de valeurs pour \( x \) allant de -3 à 3 (incluant les entiers). * Tracez sa représentation graphique dans un repère. ### Devoirs 1. Soit la fonction \( k(x) = rac{1}{x} \). * Créez son tableau de valeurs pour \( x \) sur les intervalles \( [-4, -0.5] \) et \( [0.5, 4] \) (utilisez des pas de 0.5). * Tracez sa représentation graphique. Expliquez pourquoi vous avez dû utiliser deux intervalles distincts pour la représenter. 2. Un professeur de sciences a mesuré la température d'une solution toutes les heures. Les résultats sont modélisés par la fonction \( T(h) = 0.5h^2 - 2h + 10 \), où \( h \) est le nombre d'heures écoulées et \( T(h) \) la température en degrés Celsius. * Construisez un tableau de valeurs pour \( h \) allant de 0 à 6 heures (par pas de 1 heure). * Représentez graphiquement l'évolution de la température sur cet intervalle. Quelle était la température initiale? À quel moment la température a-t-elle été la plus basse selon votre graphique? ### Résumé La représentation graphique point par point est une méthode essentielle pour visualiser une fonction. Elle implique de choisir un intervalle pour \( x \), de calculer les images \( f(x) \) correspondantes, de placer ces points \( (x, f(x)) \) dans un repère, puis de les relier. Cette technique permet de comprendre visuellement comment une fonction évolue et d'identifier ses caractéristiques importantes comme les points d'intersection avec les axes, les maximums, les minimums ou sa croissance et décroissance, le tout dans une fenêtre d'observation bien définie. ## Utilisation d'une représentation graphique # Utilisation d'une représentation graphique\n\n## Introduction\nLes fonctions sont un outil fondamental en mathématiques pour modéliser des phénomènes variés. Une des manières les plus intuitives de les comprendre est à travers leur représentation graphique. Cette leçon vous apprendra à lire et interpréter toutes les informations essentielles d'une fonction directement depuis son graphique, ce qui est une compétence cruciale en Seconde.\n\n## Concepts Clés\n\n### 1. La représentation graphique d'une fonction\nLa représentation graphique d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( M(x, y) \) du plan dont les coordonnées vérifient l'équation \( y = f(x) \). On l'appelle aussi la courbe représentative de \( f \). Chaque point de la courbe correspond à une paire (antécédent, image).\n\n### 2. Lire une image à partir d'un graphique\nPour un nombre \( x \) donné (appelé antécédent), son image par la fonction \( f \) est le nombre \( y = f(x) \). C'est la valeur de la fonction en ce point \( x \).\n* **Méthode:**\n 1. Localiser \( x \) sur l'axe des abscisses (axe horizontal).\n 2. Monter ou descendre verticalement depuis \( x \) jusqu'à rencontrer la courbe.\n 3. Lire la valeur \( y \) correspondante sur l'axe des ordonnées (axe vertical).\n\n### 3. Lire un ou des antécédent(s) à partir d'un graphique\nPour un nombre \( y \) donné (appelé image), un antécédent de \( y \) par la fonction \( f \) est un nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \).\n* **Méthode:**\n 1. Localiser \( y \) sur l'axe des ordonnées.\n 2. Tracer une droite horizontale passant par \( y \) jusqu'à rencontrer la courbe.\n 3. À chaque point d'intersection, descendre verticalement pour lire la ou les valeur(s) de \( x \) sur l'axe des abscisses.\n * Attention: une image peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.\n\n### 4. Ensemble de définition et ensemble image\n* **Ensemble de définition (ou Domaine de définition):** C'est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie et pour lesquelles on peut tracer la courbe. Sur un graphique, c'est l'intervalle (ou la réunion d'intervalles) des abscisses couvertes par la courbe.\n* **Ensemble image (ou Plage):** C'est l'ensemble de toutes les valeurs de \( y \) que la fonction peut prendre. Sur un graphique, c'est l'intervalle (ou la réunion d'intervalles) des ordonnées couvertes par la courbe.\n\n### 5. Variations d'une fonction (Sens de variation)\nObserver le sens de variation d'une fonction revient à déterminer sur quels intervalles elle est croissante, décroissante ou constante.\n* **Fonction croissante:** La courbe