Chap9: Droites, cercles dans le plan

# Chap9: Droites, cercles dans le plan ## Droites du plan ### 1. Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les droites dans le plan ! Les droites sont des objets fondamentaux en géométrie et leur étude est essentielle pour comprendre de nombreux concepts mathématiques. Dans ce cours, nous allons explorer les différentes manières de représenter une droite dans un repère cartésien, de manipuler leurs équations et de comprendre leurs relations (parallélisme, perpendicularité). ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Vecteur directeur d'une droite Une droite est entièrement déterminée par deux points distincts ou par un point et une direction. La direction d'une droite est donnée par un **vecteur directeur**. * **Définition**: Un vecteur \( \vec{u} \) est un vecteur directeur d'une droite \( (d) \) si \( \vec{u} \) est non nul et si \( (d) \) est parallèle à la droite portant \( \vec{u} \). * Si \( A \) et \( B \) sont deux points distincts de la droite \( (d) \), alors le vecteur \( \vec{AB} \) est un vecteur directeur de \( (d) \). * **Propriété**: Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires. #### 2.2. Représentation paramétrique d'une droite Une droite peut être définie par un point et un vecteur directeur. * Soit une droite \( (d) \) passant par un point \( A(x_A, y_A) \) et ayant pour vecteur directeur \( \vec{u}(a, b) \). Un point \( M(x, y) \) appartient à la droite \( (d) \) si et seulement si les vecteurs \( \vec{AM} \) et \( \vec{u} \) sont colinéaires. * Cela signifie qu'il existe un nombre réel \( t \) (appelé **paramètre**) tel que \( \vec{AM} = t \vec{u} \). * En coordonnées, cela donne: \[ \begin{cases} x - x_A = ta \\ y - y_A = tb \end{cases} \] Soit la **représentation paramétrique** de la droite \( (d) \): \[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \] avec \( t \in \mathbb{R} \). #### 2.3. Équation cartésienne d'une droite Une autre façon de représenter une droite est par son équation cartésienne. * **Définition**: Une droite \( (d) \) admet une **équation cartésienne** de la forme \( ax + by + c = 0 \), où \( a, b, c \) sont des nombres réels, et \( a \) et \( b \) ne sont pas tous les deux nuls. * **Relation avec le vecteur directeur**: Si \( ax + by + c = 0 \) est l'équation cartésienne d'une droite, alors le vecteur \( \vec{u}(-b, a) \) est un vecteur directeur de cette droite. * **Vérification**: Pour savoir si un point \( M(x_M, y_M) \) appartient à une droite d'équation \( ax + by + c = 0 \), il suffit de remplacer \( x \) par \( x_M \) et \( y \) par \( y_M \) dans l'équation. Si l'égalité est vérifiée, le point appartient à la droite. #### 2.4. Pente (ou coefficient directeur) d'une droite Pour les droites non verticales, on peut définir la pente. * **Équation réduite**: Toute droite non verticale peut s'écrire sous la forme \( y = mx + p \). * \( m \) est la **pente** (ou coefficient directeur) de la droite. Elle indique l'inclinaison de la droite. * \( p \) est l'**ordonnée à l'origine**. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (c'est-à-dire quand \( x=0 \)). * **Calcul de la pente**: Si une droite passe par deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) avec \( x_A \neq x_B \), sa pente \( m \) est donnée par: \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \] * **Droites verticales**: Une droite verticale a une équation de la forme \( x = k \) (où \( k \) est un nombre réel). Elle n'a pas de pente définie. #### 2.5. Droites parallèles et perpendiculaires Les positions relatives de deux droites sont importantes. * **Droites parallèles**: Deux droites sont parallèles si et seulement si: * Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. * (Pour les droites non verticales) Elles ont la même pente (\( m_1 = m_2 \)). * Leurs équations cartésiennes \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) et \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) vérifient la condition \( a_1b_2 - a_2b_1 = 0 \). * **Droites perpendiculaires**: Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si: * Leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si \( \vec{u_1}(a_1, b_1) \) et \( \vec{u_2}(a_2, b_2) \) sont des vecteurs directeurs, alors \( a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \). * (Pour les droites non verticales) Le produit de leurs pentes est égal à -1 (\( m_1 \times m_2 = -1 \)). * Attention: Une droite verticale \( (x=k) \) est perpendiculaire à une droite horizontale \( (y=c) \). ### 3. Vocabulaire * **Vecteur directeur**: Vecteur non nul qui donne la direction d'une droite. * **Paramètre**: Variable réelle utilisée dans une représentation paramétrique. * **Équation cartésienne**: Équation de la forme \( ax + by + c = 0 \) décrivant une droite. * **Pente (Coefficient directeur)**: Nombre \( m \) qui caractérise l'inclinaison d'une droite dans son équation réduite \( y = mx + p \). * **Ordonnée à l'origine**: Point \( p \) de l'équation réduite \( y = mx + p \), qui est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des \( y \). * **Droites parallèles**: Droites qui ne se coupent jamais ou sont confondues. * **Droites perpendiculaires**: Droites qui se coupent à angle droit (90 degrés). * **Colinéaire**: Se dit de vecteurs qui ont la même direction. * **Orthogonal**: Se dit de vecteurs dont les directions sont perpendiculaires. ### 4. Exemples #### Exemple 1: Équations d'une droite passant par deux points Soient les points \( A(1, 2) \) et \( B(3, 8) \). 1. **Vecteur directeur**: \( \vec{AB}(3-1, 8-2) = \vec{AB}(2, 6) \). 2. **Représentation paramétrique**: En utilisant le point \( A(1, 2) \) et \( \vec{u}(2, 6) \): \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 6t \end{cases} \] 3. **Équation cartésienne**: Un vecteur directeur est \( \vec{u}(2, 6) \). Donc l'équation cartésienne est de la forme \( -6x + 2y + c = 0 \). On utilise le point \( A(1, 2) \) pour trouver \( c \): \( -6(1) + 2(2) + c = 0 \implies -6 + 4 + c = 0 \implies -2 + c = 0 \implies c = 2 \). L'équation est \( -6x + 2y + 2 = 0 \), ou en simplifiant par \( -2 \): \( 3x - y - 1 = 0 \). 4. **Équation réduite et pente**: De \( 3x - y - 1 = 0 \), on a \( y = 3x - 1 \). La pente est \( m=3 \) et l'ordonnée à l'origine est \( p=-1 \). #### Exemple 2: Vérifier si un point appartient à une droite Le point \( C(0, 1) \) appartient-il à la droite \( (d) \) d'équation \( 3x - y - 1 = 0 \)? On remplace \( x=0 \) et \( y=1 \): \( 3(0) - (1) - 1 = 0 - 1 - 1 = -2 \). Puisque \( -2 \neq 0 \), le point \( C \) n'appartient pas à la droite \( (d) \). #### Exemple 3: Droites parallèles et perpendiculaires Soient \( (d_1) \) d'équation \( y = 2x + 3 \) et \( (d_2) \) d'équation \( y = 2x - 1 \) et \( (d_3) \) d'équation \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \). * \( (d_1) \) et \( (d_2) \) ont la même pente \( m=2 \), donc elles sont parallèles. * La pente de \( (d_1) \) est \( m_1 = 2 \). La pente de \( (d_3) \) est \( m_3 = -\frac{1}{2} \). Le produit des pentes est \( m_1 \times m_3 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1 \). Donc \( (d_1) \) et \( (d_3) \) sont perpendiculaires. ### 5. Exercices 1. Soient les points \( P(2, -1) \) et \( Q(-3, 4) \). a. Déterminez un vecteur directeur de la droite \( (PQ) \). b. Donnez une représentation paramétrique de \( (PQ) \). c. Écrivez une équation cartésienne de \( (PQ) \). d. Donnez l'équation réduite de \( (PQ) \) si elle existe. 2. La droite \( (L) \) a pour équation \( 5x - 2y + 7 = 0 \). a. Donnez les coordonnées d'un vecteur directeur de \( (L) \). b. Calculez la pente de \( (L) \). c. Le point \( R(1, 6) \) appartient-il à \( (L) \)? Justifiez. 3. Considérez les droites \( (D_1) \) : \( y = 3x - 2 \), \( (D_2) \) : \( y = -\frac{1}{3}x + 4 \) et \( (D_3) \) : \( 6x - 2y + 1 = 0 \). a. Les droites \( (D_1) \) et \( (D_2) \) sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? b. Les droites \( (D_1) \) et \( (D_3) \) sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? ### 6. Devoirs 1. Soit un triangle \( ABC \) avec \( A(-1, 2) \), \( B(3, 0) \) et \( C(1, 5) \). a. Déterminez l'équation cartésienne de la droite \( (AB) \). b. Déterminez l'équation de la hauteur issue de \( C \) (c'est-à-dire la droite passant par \( C \) et perpendiculaire à \( (AB) \)). 2. Donnez l'équation cartésienne de la droite \( (d) \) qui passe par le point \( E(4, -1) \) et qui est parallèle à la droite \( (d') \) d'équation \( x + 3y - 6 = 0 \). 3. Trouvez les coordonnées du point d'intersection des droites \( (d_1) \) : \( 2x + y - 5 = 0 \) et \( (d_2) \) : \( x - y + 2 = 0 \). ### 7. Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les droites dans le plan cartésien. Nous avons appris à les représenter de différentes manières : * **Représentation paramétrique**: \( \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \) avec un point \( A \) et un vecteur directeur \( \vec{u}(a, b) \). * **Équation cartésienne**: \( ax + by + c = 0 \) où \( \vec{u}(-b, a) \) est un vecteur directeur. * **Équation réduite**: \( y = mx + p \) pour les droites non verticales, où \( m \) est la pente et \( p \) l'ordonnée à l'origine. Nous avons également étudié les conditions de **parallélisme** (mêmes pentes ou vecteurs directeurs colinéaires) et de **perpendicularité** (produit des pentes égal à -1 ou vecteurs directeurs orthogonaux). La maîtrise de ces concepts est fondamentale pour la suite de votre parcours en géométrie et en analyse. ## Cercles du plan. ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer les propriétés fondamentales des cercles dans un plan. Les cercles sont des figures géométriques omniprésentes en mathématiques et dans le monde réel, des roues aux orbites planétaires. Nous allons apprendre à les définir précisément, à écrire leur équation mathématique et à analyser leurs caractéristiques. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'un Cercle Un cercle est l'ensemble de tous les points d'un plan qui sont à une distance fixe (appelée **rayon**) d'un point donné (appelé **centre**). * **Centre (\( \Omega \) ou \( O \))**: Le point fixe dont tous les points du cercle sont équidistants. * **Rayon (\( R \))**: La distance constante entre le centre et n'importe quel point du cercle. Le rayon est toujours une valeur positive (\( R > 0 \)). #### 2. Équation Cartésienne d'un Cercle L'équation cartésienne permet de décrire un cercle en utilisant les coordonnées des points dans un repère orthonormé. ##### 2.1. Cercle de centre \( O(0,0) \) et de rayon \( R \) Si le centre du cercle est l'origine du repère \( O(0,0) \) et son rayon est \( R \), alors un point \( M(x,y) \) appartient à ce cercle si et seulement si sa distance à l'origine est égale à \( R \). En utilisant la formule de distance (dérivée du théorème de Pythagore): \( OM^2 = x^2 + y^2 \) Donc, l'équation est: \[ x^2 + y^2 = R^2 \] ##### 2.2. Cercle de centre \( \Omega(a,b) \) et de rayon \( R \) Si le centre du cercle est un point \( \Omega(a,b) \) quelconque et son rayon est \( R \), un point \( M(x,y) \) appartient à ce cercle si et seulement si sa distance à \( \Omega \) est égale à \( R \). La formule de distance entre deux points \( M(x,y) \) et \( \Omega(a,b) \) est: \( \Omega M^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 \) Donc, l'équation est: \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \] Cette forme est appelée la **forme canonique** de l'équation du cercle. En développant cette équation, on obtient la **forme développée**: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \) \( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2 \) \[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0 \] Toute équation de la forme \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) peut représenter un cercle, un point ou l'ensemble vide, en fonction de la valeur du "rayon" que l'on peut déduire après complétion du carré. #### 3. Déterminer l'équation d'un cercle ##### 3.1. À partir du centre et du rayon C'est la méthode la plus directe, il suffit d'appliquer la formule \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \). ##### 3.2. À partir des extrémités d'un diamètre Si les points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) sont les extrémités d'un diamètre, alors: * Le centre \( \Omega \) est le milieu du segment \( [AB] \): \( \Omega\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) \) * Le rayon \( R \) est la moitié de la longueur du segment \( [AB] \): \( R = \frac{1}{2} \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \) D'où \( R^2 = \frac{1}{4} ((x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2) \) #### 4. Position relative d'un point et d'un cercle Soit un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( \Omega(a,b) \) et de rayon \( R \), et un point \( M(x_M, y_M) \). On calcule la distance \( d = \Omega M \). * Si \( d < R \): \( M \) est à l'**intérieur** du cercle. * Si \( d = R \): \( M \) est **sur** le cercle. * Si \( d > R \): \( M \) est à l'**extérieur** du cercle. #### 5. Position relative d'une droite et d'un cercle Soit un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( \Omega \) et de rayon \( R \), et une droite \( d \). On calcule la distance \( d(\Omega, d) \) du centre \( \Omega \) à la droite \( d \). * Si \( d(\Omega, d) > R \): La droite est **extérieure** au cercle (pas de point d'intersection). * Si \( d(\Omega, d) = R \): La droite est **tangente** au cercle (un seul point d'intersection). * Si \( d(\Omega, d) < R \): La droite est **sécante** au cercle (deux points d'intersection). ### Vocabulaire * **Cercle**: Ensemble des points équidistants d'un point central. * **Centre**: Le point fixe à égale distance de tous les points du cercle. * **Rayon (\( R \))**: La distance entre le centre et un point quelconque du cercle. * **Diamètre**: Un segment de droite passant par le centre et dont les extrémités sont sur le cercle. Sa longueur est \( 2R \). * **Corde**: Un segment de droite dont les extrémités sont sur le cercle. * **Tangente**: Une droite qui touche le cercle en un seul point (le point de tangence). La tangente est perpendiculaire au rayon au point de tangence. * **Sécante**: Une droite qui coupe le cercle en deux points distincts. * **Équation cartésienne**: Une équation qui décrit une figure géométrique dans un système de coordonnées cartésiennes. ### Exemples #### Exemple 1: Équation d'un cercle Trouver l'équation du cercle de centre \( \Omega(-2, 3) \) et de rayon \( R = 4 \). On utilise la formule \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \). Ici, \( a = -2 \), \( b = 3 \) et \( R = 4 \). \( (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \) \[ (x+2)^2 + (y-3)^2 = 16 \] #### Exemple 2: Identifier centre et rayon Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation \( (x-1)^2 + (y+5)^2 = 25 \). En comparant avec \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \): * \( x-a = x-1 \implies a = 1 \) * \( y-b = y+5 \implies y-b = y - (-5) \implies b = -5 \) * \( R^2 = 25 \implies R = \sqrt{25} = 5 \) Le centre est \( \Omega(1, -5) \) et le rayon est \( R = 5 \). #### Exemple 3: Vérifier l'appartenance d'un point Le point \( A(1, 4) \) appartient-il au cercle d'équation \( (x-1)^2 + y^2 = 16 \)? On remplace \( x \) par \( 1 \) et \( y \) par \( 4 \) dans l'équation: \( (1-1)^2 + 4^2 = 0^2 + 16 = 16 \) Comme le résultat est égal à \( 16 \), le point \( A(1,4) \) appartient bien au cercle. #### Exemple 4: Cercle défini par un diamètre Trouver l'équation du cercle dont \( [AB] \) est un diamètre, avec \( A(0, 0) \) et \( B(6, 8) \). 1. **Centre \( \Omega \) (milieu de \( [AB] \)):** \( \Omega\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = \Omega(3, 4) \) 2. **Rayon \( R \) (moitié de la longueur de \( [AB] \)):** \( AB = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) \( R = \frac{10}{2} = 5 \) 3. **Équation du cercle:** \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2 \) \[ (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \] ### Exercices 1. Écrire l'équation cartésienne du cercle: a. De centre \( O(0,0) \) et de rayon \( R = 7 \). b. De centre \( C(3, -1) \) et de rayon \( R = \sqrt{10} \). 2. Déterminer le centre et le rayon des cercles d'équations suivantes: a. \( x^2 + y^2 = 81 \) b. \( (x+4)^2 + (y-2)^2 = 144 \) 3. Le point \( P(-1, 5) \) appartient-il au cercle d'équation \( (x+1)^2 + (y-3)^2 = 4 \)? Justifier. 4. Trouver l'équation du cercle ayant pour diamètre le segment \( [RS] \) avec \( R(-3, 0) \) et \( S(3, 0) \). ### Devoir à la maison 1. Un cercle a pour équation \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \). a. Montrer que cette équation est bien celle d'un cercle en la mettant sous forme canonique \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \). b. Déterminer les coordonnées de son centre et la valeur de son rayon. 2. Soit le cercle \( \mathcal{C} \) d'équation \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \). a. Déterminer la position relative des points suivants par rapport à \( \mathcal{C} \): i. \( A(2, 2) \) ii. \( B(5, -1) \) iii. \( D(0, -5) \) b. La droite d'équation \( y = 2 \) est-elle sécante, tangente ou extérieure au cercle \( \mathcal{C} \)? Justifier votre réponse (vous pouvez utiliser la méthode algébrique ou géométrique en calculant la distance). 3. Déterminer l'équation du cercle qui passe par le point \( P(1, -2) \) et dont le centre est \( \Omega(3, 1) \). ### Résumé Nous avons appris que: * Un cercle est défini par son **centre** et son **rayon**. * L'équation canonique d'un cercle de centre \( \Omega(a,b) \) et de rayon \( R \) est \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \]. * Pour un cercle centré à l'origine \( O(0,0) \), l'équation est \[ x^2 + y^2 = R^2 \]. * Nous pouvons déterminer si un point est à l'intérieur, sur ou à l'extérieur d'un cercle en comparant sa distance au centre avec le rayon. * La position d'une droite par rapport à un cercle (sécante, tangente, extérieure) dépend de la distance du centre du cercle à la droite par rapport au rayon. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour aborder des problèmes plus complexes en géométrie et en analyse.