Equations et inéquations (suite)

# Equations et inéquations (suite) ## Équations et inéquations du 2nd degré dans ℝ ### Introduction Après avoir exploré les équations et inéquations du premier degré, nous allons maintenant nous pencher sur celles du second degré. Ces outils mathématiques sont fondamentaux et apparaissent dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Une équation du second degré, également appelée trinôme du second degré, est une équation où l'inconnue est élevée à la puissance 2. La résolution de ces équations et inéquations demande des méthodes spécifiques que nous allons découvrir ensemble. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une Équation du Second Degré Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où \( x \) est l'inconnue, et \( a, b, c \) sont des nombres réels, avec la condition essentielle que \( a \neq 0 \). Si \( a \) était égal à zéro, l'équation deviendrait du premier degré. #### 2. Résolution d'Équations du Second Degré ##### A. La méthode du discriminant (\( \Delta \)) La méthode générale pour résoudre une équation du second degré repose sur le calcul du **discriminant**, noté \( \Delta \) (delta). Le discriminant est donné par la formule : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Les solutions (ou racines) de l'équation dépendent du signe de \( \Delta \): * **Cas 1 : \( \Delta > 0 \)** L'équation a **deux solutions réelles distinctes** : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Cas 2 : \( \Delta = 0 \)** L'équation a **une unique solution réelle (dite "double")** : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Cas 3 : \( \Delta < 0 \)** L'équation n'a **aucune solution réelle**. L'ensemble des solutions est vide (\( S = \emptyset \)). ##### B. Cas particuliers (sans discriminant) Il est parfois possible de résoudre une équation du second degré plus simplement, sans passer par le discriminant, dans les cas où \( b=0 \) ou \( c=0 \). * **Si \( b = 0 \)** : L'équation devient \( ax^2 + c = 0 \). On isole \( x^2 \) : \[ ax^2 = -c \implies x^2 = -\frac{c}{a} \] * Si \( -\frac{c}{a} > 0 \), alors \( x = \sqrt{-\frac{c}{a}} \) ou \( x = -\sqrt{-\frac{c}{a}} \). * Si \( -\frac{c}{a} = 0 \), alors \( x = 0 \). * Si \( -\frac{c}{a} < 0 \), alors pas de solution réelle. * **Si \( c = 0 \)** : L'équation devient \( ax^2 + bx = 0 \). On factorise par \( x \) : \[ x(ax + b) = 0 \] Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc : * \( x = 0 \) * ou \( ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a} \) #### 3. Factorisation d'un Trinôme du Second Degré Un trinôme \( P(x) = ax^2 + bx + c \) peut être factorisé sur \( \mathbb{R} \) si et seulement s'il a des racines réelles. * **Si \( \Delta > 0 \)** (deux racines \( x_1, x_2 \)) : \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \] * **Si \( \Delta = 0 \)** (une racine double \( x_0 \)) : \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \] * **Si \( \Delta < 0 \)** (aucune racine réelle) : Le trinôme ne peut pas être factorisé sur \( \mathbb{R} \). #### 4. Signe d'un Trinôme du Second Degré Connaître le signe d'un trinôme \( ax^2 + bx + c \) est essentiel pour résoudre les inéquations. Le signe dépend du discriminant \( \Delta \) et du signe de \( a \). * **Si \( \Delta < 0 \)** : Le trinôme a toujours le **même signe que \( a \)** pour tout \( x \in \mathbb{R} \). * **Si \( \Delta = 0 \)** (racine double \( x_0 \)) : Le trinôme a toujours le **même signe que \( a \)** pour tout \( x \neq x_0 \), et il est nul en \( x_0 \). * **Si \( \Delta > 0 \)** (deux racines \( x_1 < x_2 \)) : * Entre les racines \( x_1 \) et \( x_2 \), le trinôme a le **signe opposé à celui de \( a \)**. * À l'extérieur des racines (pour \( x < x_1 \) ou \( x > x_2 \)), le trinôme a le **même signe que \( a \)**. Ce comportement est souvent résumé dans un **tableau de signes**. #### 5. Inéquations du Second Degré Pour résoudre une inéquation du second degré du type \( ax^2 + bx + c > 0 \), \( ax^2 + bx + c < 0 \), \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) ou \( ax^2 + bx + c \le 0 \) : 1. Ramener l'inéquation à la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \) (ou \( < 0 \), etc.). 2. Calculer le discriminant \( \Delta \) et trouver les racines de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). 3. Établir le tableau de signes du trinôme \( ax^2 + bx + c \). 4. En déduire l'ensemble des solutions en fonction du signe recherché. ### Vocabulaire * **Équation du second degré** : Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Trinôme du second degré** : Expression polynomiale de la forme \( ax^2 + bx + c \). * **Discriminant (\( \Delta \))** : Valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de solutions réelles de l'équation. * **Racines (ou solutions)** : Valeurs de \( x \) qui satisfont l'équation du second degré. * **Racine double** : Solution unique obtenue lorsque le discriminant est nul. * **Factorisation** : Écriture d'une expression sous forme de produit de facteurs. * **Inéquation du second degré** : Inéquation comportant un trinôme du second degré. * **Tableau de signes** : Tableau permettant de visualiser le signe d'une expression en fonction des valeurs de l'inconnue. ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) Ici, \( a=2, b=-5, c=3 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1 \). 2. Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions distinctes : \( x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) \( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) L'ensemble des solutions est \( S = \{1, \frac{3}{2}\} \). #### Exemple 2 : Résoudre \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) Ici, \( a=1, b=-4, c=4 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \). 2. Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une solution double : \( x_0 = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \) L'ensemble des solutions est \( S = \{2\} \). #### Exemple 3 : Résoudre \( x^2 + x + 1 = 0 \) Ici, \( a=1, b=1, c=1 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \). 2. Puisque \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \). #### Exemple 4 : Résoudre \( x^2 - 9 = 0 \) (cas \( b=0 \)) On a \( x^2 = 9 \). Donc \( x = \sqrt{9} \) ou \( x = -\sqrt{9} \). \( x = 3 \) ou \( x = -3 \). L'ensemble des solutions est \( S = \{-3, 3\} \). #### Exemple 5 : Résoudre \( 3x^2 + 6x = 0 \) (cas \( c=0 \)) On factorise par \( x \) : \( x(3x + 6) = 0 \). Donc \( x = 0 \) ou \( 3x + 6 = 0 \). \( 3x = -6 \implies x = -2 \). L'ensemble des solutions est \( S = \{-2, 0\} \). #### Exemple 6 : Résoudre l'inéquation \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) 1. Considérons l'équation associée \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). Ici, \( a=1, b=-3, c=-4 \). 2. Calcul du discriminant : \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \). 3. Les racines sont : \( x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) \( x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) 4. Établissons le tableau de signes pour \( x^2 - 3x - 4 \). Puisque \( a=1 \) (positif) et \( \Delta > 0 \), le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 4 \) | \( +\infty \) | |---|---|---|---|---| | \( x^2-3x-4 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | 5. Nous cherchons les valeurs pour lesquelles \( x^2 - 3x - 4 < 0 \). D'après le tableau, cela correspond à l'intervalle où le signe est négatif. L'ensemble des solutions est \( S = ]-1, 4[ \). ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : 1. \( x^2 + 6x + 9 = 0 \) 2. \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \) 3. \( -x^2 + 3x - 5 = 0 \) 4. \( 4x^2 - 16 = 0 \) 5. \( x^2 + 7x = 0 \) 6. \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \) 7. \( -2x^2 + x + 1 < 0 \) ### Devoirs 1. Résolvez l'équation \( (2x-1)^2 = (x+3)^2 \) en la ramenant à une équation du second degré. 2. Déterminez les valeurs de \( k \) pour lesquelles l'équation \( x^2 + kx + 4 = 0 \) possède exactement une solution réelle. 3. Une entreprise fabrique \( x \) objets par jour. Le coût de production quotidien est donné par \( C(x) = x^2 - 60x + 1000 \) euros. L'entreprise vend chaque objet 20 euros. Quel doit être le nombre d'objets produits pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 200 euros ? (Rappel : Bénéfice = Recette - Coût). 4. Factorisez le trinôme \( P(x) = 3x^2 - 10x + 8 \). ### Résumé Les équations et inéquations du second degré, de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) (avec \( a \neq 0 \)), sont résolues principalement grâce au **discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \)**. Selon le signe de \( \Delta \) : * **\( \Delta > 0 \)** : deux solutions réelles distinctes. * **\( \Delta = 0 \)** : une solution réelle double. * **\( \Delta < 0 \)** : aucune solution réelle. Des cas particuliers existent lorsque \( b=0 \) ou \( c=0 \), permettant des résolutions simplifiées. La factorisation d'un trinôme dépend également de ses racines. Pour les inéquations, l'étude du **tableau de signes** du trinôme est indispensable, en se basant sur le signe de \( a \) et la position des racines. Maîtriser ces concepts est crucial pour la suite de vos études en mathématiques et sciences. ## Équations et Inéquations rationnelles dans ℝ ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les équations et inéquations rationnelles. Après avoir étudié les équations et inéquations du premier et second degré, nous allons explorer des types d'équations et d'inéquations plus complexes qui impliquent des fractions où l'inconnue apparaît au dénominateur. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour résoudre des problèmes variés en mathématiques et dans d'autres sciences. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une expression rationnelle ? Une expression rationnelle est le quotient de deux polynômes, c'est-à-dire une fraction de la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des polynômes et \( Q(x) \) n'est pas le polynôme nul. #### Domaine de Définition Pour qu'une expression rationnelle soit définie, son dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Les valeurs de \( x \) qui rendent le dénominateur nul sont appelées **valeurs interdites**. Le **domaine de définition** est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression est définie. **Exemple :** Pour l'expression \( \frac{3x+1}{x-2} \), la valeur interdite est \( x=2 \) car \( x-2=0 \). Le domaine de définition est donc \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). #### Équations Rationnelles Une équation rationnelle est une équation où l'inconnue \( x \) apparaît dans au moins un dénominateur. Pour résoudre une équation rationnelle, suivez ces étapes : 1. **Déterminer le domaine de définition :** Identifiez toutes les valeurs interdites pour \( x \) en annulant les dénominateurs. 2. **Ramener à une seule fraction :** Mettez tous les termes d'un même côté de l'équation pour obtenir une expression de la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \). 3. **Résoudre l'équation du numérateur :** Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (à condition que son dénominateur ne le soit pas). Résolvez donc \( P(x) = 0 \). 4. **Vérifier les solutions :** Chaque solution trouvée pour \( P(x) = 0 \) doit être vérifiée par rapport au domaine de définition. Si une solution est une valeur interdite, elle doit être rejetée. **Exemple :** Résoudre \( \frac{x+1}{x-2} = 3 \) 1. Domaine de définition : \( x \ne 2 \). 2. \( \frac{x+1}{x-2} - 3 = 0 \) \( \frac{x+1 - 3(x-2)}{x-2} = 0 \) \( \frac{x+1 - 3x + 6}{x-2} = 0 \) \( \frac{-2x + 7}{x-2} = 0 \) 3. \( -2x + 7 = 0 \Rightarrow -2x = -7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} \) 4. Vérification : \( \frac{7}{2} \ne 2 \). La solution est \( x = \frac{7}{2} \). #### Inéquations Rationnelles Les inéquations rationnelles sont des inéquations où l'inconnue \( x \) apparaît au dénominateur. Pour les résoudre, vous ne pouvez pas simplement multiplier par le dénominateur, car son signe peut changer la direction de l'inégalité. La méthode du tableau de signes est la plus fiable : 1. **Déterminer le domaine de définition :** Identifiez les valeurs interdites. 2. **Ramener à une seule fraction :** Mettez tous les termes d'un même côté de l'inégalité pour obtenir une expression de la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \), \( \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0 \), \( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \) ou \( \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 \). 3. **Trouver les racines des numérateur et dénominateur :** Résolvez \( P(x) = 0 \) et \( Q(x) = 0 \). 4. **Construire un tableau de signes :** * Placez les valeurs interdites et les racines du numérateur sur la première ligne, par ordre croissant. * Analysez le signe de \( P(x) \) dans chaque intervalle. * Analysez le signe de \( Q(x) \) dans chaque intervalle. * Déduisez le signe du quotient \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) en utilisant la règle des signes (attention aux valeurs interdites où le quotient n'est pas défini). 5. **Lire la solution :** Lisez l'ensemble des intervalles qui satisfont l'inégalité originale. N'oubliez pas d'exclure les valeurs interdites. **Exemple :** Résoudre \( \frac{x-3}{x+1} \le 2 \) 1. Domaine de définition : \( x \ne -1 \). 2. \( \frac{x-3}{x+1} - 2 \le 0 \) \( \frac{x-3 - 2(x+1)}{x+1} \le 0 \) \( \frac{x-3 - 2x - 2}{x+1} \le 0 \) \( \frac{-x - 5}{x+1} \le 0 \) On peut aussi écrire \( \frac{x+5}{x+1} \ge 0 \) en multipliant par -1 et en changeant le sens de l'inégalité. 3. Racines : \( x+5 = 0 \Rightarrow x = -5 \) et \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \). 4. Tableau de signes pour \( \frac{x+5}{x+1} \) : | \( x \) | \( -\infty \) | \( -5 \) | \( -1 \) | \( +\infty \) | | :---------------- | :----------- | :---------------: | :---------------: | :----------- | | Signe de \( x+5 \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( x+1 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | | Signe de \( \frac{x+5}{x+1} \) | \( + \) | \( 0 \) \( - \) | \( || \) \( + \) | \( + \) | 5. On cherche \( \frac{x+5}{x+1} \ge 0 \). Les intervalles où le quotient est positif ou nul sont \( (-\infty, -5] \) et \( (-1, +\infty) \). Notez que -5 est inclus car l'inégalité est \( \ge \) et -1 est exclu car c'est une valeur interdite. L'ensemble solution est \( S = ]-\infty, -5] \cup ]-1, +\infty[ \). ### Vocabulaire * **Expression rationnelle :** Un quotient de deux polynômes. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une expression est définie. * **Valeur interdite :** Une valeur de \( x \) qui annule le dénominateur d'une expression rationnelle. * **Numérateur :** La partie supérieure d'une fraction (le polynôme \( P(x) \) dans \( \frac{P(x)}{Q(x)} \)). * **Dénominateur :** La partie inférieure d'une fraction (le polynôme \( Q(x) \) dans \( \frac{P(x)}{Q(x)} \)). * **Tableau de signes :** Un outil graphique pour déterminer le signe d'une expression sur différents intervalles. ### Exercices 1. Déterminer le domaine de définition des expressions suivantes : a. \( \frac{2x}{x+5} \) b. \( \frac{x^2+1}{2x-3} \) c. \( \frac{x-4}{x^2-9} \) 2. Résoudre les équations suivantes : a. \( \frac{3x-1}{x-1} = 2 \) b. \( \frac{x^2-4}{x+2} = 0 \) c. \( \frac{5}{x} = \frac{2}{x-1} \) 3. Résoudre les inéquations suivantes : a. \( \frac{x+2}{x-3} > 0 \) b. \( \frac{x-1}{2x+4} \le 0 \) c. \( \frac{x}{x-2} \ge 1 \) ### Devoirs 1. Résoudre l'équation : \( \frac{x+2}{x-1} - \frac{3}{x} = 0 \) 2. Résoudre l'inéquation : \( \frac{2x-5}{x^2-4} < 0 \) 3. Trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression \( \frac{3x+1}{x^2-2x-3} \) est définie et positive. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à manipuler les équations et inéquations rationnelles. Les points clés à retenir sont : * Toujours commencer par déterminer le **domaine de définition** en identifiant les valeurs qui annulent le dénominateur. * Pour les **équations rationnelles**, ramenez l'équation à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \), résolvez \( P(x)=0 \), puis vérifiez que les solutions ne sont pas des valeurs interdites. * Pour les **inéquations rationnelles**, ramenez l'inéquation à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \text{ signe } 0 \). Utilisez un **tableau de signes** pour \( P(x) \) et \( Q(x) \) afin de trouver le signe du quotient. N'oubliez pas d'exclure les valeurs interdites de l'ensemble solution. ## Système d’équations et d’inéquations dans ℝ2 ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon sur les équations et inéquations ! En classe de Seconde, nous avons déjà exploré les équations et inéquations à une seule variable. Aujourd'hui, nous allons faire un pas de plus en découvrant comment résoudre des problèmes impliquant **deux variables** simultanément, ce que l'on appelle des **systèmes**. Nous allons nous concentrer sur les systèmes d'équations et d'inéquations dans le plan, noté \( \mathbb{R}^2 \), ce qui signifie que nos solutions seront des couples de nombres \( (x, y) \). ### Concepts Clés #### I. Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues ##### A. Qu'est-ce qu'une équation linéaire à deux inconnues ? Une équation linéaire à deux inconnues \( x \) et \( y \) est une équation qui peut s'écrire sous la forme \( ax + by = c \), où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, et \( a \) et \( b \) ne sont pas tous les deux nuls. * Chaque solution d'une telle équation est un couple \( (x, y) \) de nombres réels. * Graphiquement, l'ensemble des solutions d'une équation linéaire \( ax + by = c \) représente une **droite** dans le plan. ##### B. Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires à deux inconnues ? Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations que nous voulons résoudre simultanément. Il se présente sous la forme : \[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \] * Une **solution** d'un tel système est un couple \( (x, y) \) qui vérifie *les deux* équations en même temps. * Graphiquement, la solution d'un système correspond au(x) point(s) d'**intersection** des deux droites représentées par les équations. * Si les droites sont sécantes, il y a une unique solution (un couple \( (x, y) \)). * Si les droites sont parallèles et distinctes, il n'y a pas de solution. * Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions (tous les points de la droite). ##### C. Méthodes de résolution algébrique ###### 1. Méthode par substitution Cette méthode consiste à : 1. Exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations. 2. Substituer cette expression dans l'autre équation. 3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue. 4. Remplacer la valeur trouvée dans l'expression du point 1 pour trouver la seconde inconnue. ###### 2. Méthode par addition (ou combinaison linéaire) Cette méthode consiste à : 1. Multiplier chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (par exemple, \( 2x \) et \( -2x \)). 2. Additionner les deux équations membre à membre pour éliminer une des inconnues. 3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue. 4. Remplacer la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver la seconde inconnue. #### II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues ##### A. Qu'est-ce qu'une inéquation linéaire à deux inconnues ? Une inéquation linéaire à deux inconnues \( x \) et \( y \) est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme \( ax + by < c \), \( ax + by \le c \), \( ax + by > c \) ou \( ax + by \ge c \). * Graphiquement, l'ensemble des solutions d'une inéquation linéaire représente un **demi-plan** délimité par la droite d'équation \( ax + by = c \). * Si l'inégalité est stricte (\( < \) ou \( > \)), la droite est en pointillés (les points de la droite ne sont pas inclus dans la solution). * Si l'inégalité est large (\( \le \) ou \( \ge \)), la droite est pleine (les points de la droite sont inclus). ##### B. Comment déterminer le demi-plan solution ? 1. Tracez la droite d'équation \( ax + by = c \) (pleine ou en pointillés selon l'inégalité). 2. Choisissez un **point test** qui n'est pas sur la droite (souvent l'origine \( (0, 0) \) si elle n'est pas sur la droite). 3. Substituez les coordonnées de ce point dans l'inéquation. 4. Si l'inégalité est vérifiée, le demi-plan contenant le point test est la solution. Sinon, c'est l'autre demi-plan. 5. Hachurez ou colorez la région qui représente l'ensemble des solutions. ##### C. Qu'est-ce qu'un système d'inéquations linéaires à deux inconnues ? Un système d'inéquations linéaires à deux inconnues est un ensemble de plusieurs inéquations que nous voulons résoudre simultanément. Il se présente sous la forme : \[ \begin{cases} ax + by < c \\ dx + ey \ge f \end{cases} \] * La solution d'un tel système est l'ensemble des couples \( (x, y) \) qui vérifient *toutes* les inéquations du système. * Graphiquement, l'ensemble des solutions est l'**intersection des demi-plans** solutions de chaque inéquation. C'est une région du plan. ### Vocabulaire * **Système d'équations :** Un ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément. * **Inconnue :** Variable dont on cherche la valeur (ici, \( x \) et \( y \)). * **Solution (d'un système d'équations) :** Le(s) couple(s) \( (x, y) \) qui vérifie(nt) toutes les équations du système. * **Équation linéaire :** Équation dont les termes sont de degré 1 (e.g., \( ax+by=c \)). Représentée par une droite. * **Inéquation linéaire :** Inégalité dont les termes sont de degré 1 (e.g., \( ax+by < c \)). Représentée par un demi-plan. * **Demi-plan :** Région du plan délimitée par une droite. * **Intersection :** Région commune à plusieurs ensembles. Pour les systèmes d'inéquations, c'est la zone où tous les demi-plans se superposent. * **Région des solutions :** L'ensemble de tous les points \( (x, y) \) qui satisfont toutes les inéquations d'un système, généralement représentée par une zone hachurée ou colorée. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'un système d'équations Résolvons le système suivant : \[ \begin{cases} x + y = 5 \quad (L_1) \\ 2x - y = 1 \quad (L_2) \end{cases} \] ##### Méthode par addition : Additionnons \( L_1 \) et \( L_2 \) : \( (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \) \( 3x = 6 \) \( x = 2 \) Substituons \( x = 2 \) dans \( L_1 \) : \( 2 + y = 5 \) \( y = 3 \) La solution du système est le couple \( (2, 3) \). ##### Vérification graphique : * Pour \( L_1 : x + y = 5 \). Si \( x=0, y=5 \). Si \( y=0, x=5 \). La droite passe par \( (0, 5) \) et \( (5, 0) \). * Pour \( L_2 : 2x - y = 1 \). Si \( x=0, y=-1 \). Si \( y=0, x=0.5 \). La droite passe par \( (0, -1) \) et \( (0.5, 0) \). Si vous tracez ces deux droites, elles se coupent au point \( (2, 3) \). #### Exemple 2 : Résolution graphique d'un système d'inéquations Résolvons graphiquement le système suivant : \[ \begin{cases} x + y \ge 3 \quad (I_1) \\ y \le x + 1 \quad (I_2) \end{cases} \] 1. **Pour \( I_1 : x + y \ge 3 \)** * Traçons la droite \( D_1 : x + y = 3 \). Elle passe par \( (3, 0) \) et \( (0, 3) \). C'est une droite pleine car l'inégalité est \( \ge \). * Point test \( (0, 0) \) : \( 0 + 0 \ge 3 \implies 0 \ge 3 \). C'est Faux. Donc, la solution de \( I_1 \) est le demi-plan ne contenant pas l'origine. Hachurez la région au-dessus de \( D_1 \). 2. **Pour \( I_2 : y \le x + 1 \)** * Traçons la droite \( D_2 : y = x + 1 \). Elle a pour pente 1 et ordonnée à l'origine 1. Elle passe par \( (0, 1) \) et \( (-1, 0) \). C'est une droite pleine car l'inégalité est \( \le \). * Point test \( (0, 0) \) : \( 0 \le 0 + 1 \implies 0 \le 1 \). C'est Vrai. Donc, la solution de \( I_2 \) est le demi-plan contenant l'origine. Hachurez la région en dessous de \( D_2 \). La solution du système est la région du plan où les deux hachures se superposent (l'intersection des deux demi-plans). C'est un polygone non borné. ### Exercices 1. Résolvez algébriquement les systèmes d'équations suivants : a) \( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 0 \end{cases} \) b) \( \begin{cases} 4x - 3y = 10 \\ 2x + y = 0 \end{cases} \) 2. Représentez graphiquement l'ensemble des solutions des inéquations suivantes : a) \( y > -2x + 4 \) b) \( 3x - 2y \le 6 \) 3. Résolvez graphiquement le système d'inéquations suivant : \( \begin{cases} x + y < 4 \\ y \ge x - 1 \end{cases} \) ### Devoir 1. Un boulanger vend des croissants à 1,20€ l'unité et des pains au chocolat à 1,50€ l'unité. À la fin de la journée, il a vendu 150 viennoiseries pour un total de 207€. Combien de croissants et de pains au chocolat a-t-il vendus ? (Utilisez un système d'équations pour résoudre le problème). 2. Représentez graphiquement l'ensemble des solutions du système d'inéquations suivant, en indiquant clairement la région solution : \( \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 10 \\ 3x + y \le 15 \end{cases} \) *(Indice : Il s'agit d'une application classique en optimisation linéaire, délimitez le domaine des solutions dans le premier quadrant.)* ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à travailler avec des systèmes d'équations et d'inéquations à deux inconnues dans \( \mathbb{R}^2 \). * Pour les **systèmes d'équations linéaires**, nous avons vu deux méthodes algébriques (substitution et addition) et leur interprétation graphique comme l'intersection de deux droites. La solution est un couple \( (x, y) \). * Pour les **systèmes d'inéquations linéaires**, la résolution est principalement graphique. Chaque inéquation représente un demi-plan. La solution du système est la région d'intersection de tous les demi-plans, qui est une zone du plan. Nous utilisons un point test pour déterminer le bon demi-plan. Ces concepts sont fondamentaux en mathématiques et trouvent de nombreuses applications en sciences, économie et ingénierie.