Produit scalaire de deux vecteurs du plan

# Produit scalaire de deux vecteurs du plan ## Produit scalaire et ses expressions ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le produit scalaire ! Jusqu'à présent, vous avez appris à additionner et soustraire des vecteurs, ainsi qu'à les multiplier par un nombre (scalaire). Aujourd'hui, nous allons découvrir une nouvelle opération entre deux vecteurs : le **produit scalaire**. Contrairement aux opérations précédentes qui donnaient un vecteur, le produit scalaire donne un **nombre réel**. C'est un outil fondamental en géométrie et en physique qui permet de calculer des longueurs, des angles, et de déterminer si des vecteurs sont orthogonaux. ### Concepts Clés #### Définition Géométrique du Produit Scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est défini par : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \] Où : * \( \|\vec{u}\| \) est la norme (ou longueur) du vecteur \( \vec{u} \). * \( \|\vec{v}\| \) est la norme (ou longueur) du vecteur \( \vec{v} \). * \( \theta \) (thêta) est l'angle non orienté entre les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), avec \( 0 \le \theta \le \pi \) radians (ou \( 0^\circ \le \theta \le 180^\circ \)). ##### Cas Particuliers : * **Vecteurs orthogonaux :** Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux (perpendiculaires), alors \( \theta = 90^\circ \) (ou \( \frac{\pi}{2} \) radians). Puisque \( \cos(90^\circ) = 0 \), leur produit scalaire est nul : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] *Ceci est une condition très importante pour l'orthogonalité !* * **Vecteurs colinéaires et de même sens :** Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires et de même sens, alors \( \theta = 0^\circ \). Puisque \( \cos(0^\circ) = 1 \), leur produit scalaire est : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \] * **Vecteurs colinéaires et de sens opposés :** Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires et de sens opposés, alors \( \theta = 180^\circ \) (ou \( \pi \) radians). Puisque \( \cos(180^\circ) = -1 \), leur produit scalaire est : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \] * **Carré scalaire :** Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est appelé le carré scalaire : \[ \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \|\vec{u}\| \cos(0^\circ) = \|\vec{u}\|^2 \] Donc, la norme d'un vecteur est \( \|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} \). #### Expression du Produit Scalaire avec les Coordonnées Dans un repère **orthonormé** \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), si \( \vec{u} \) a pour coordonnées \( (x, y) \) et \( \vec{v} \) a pour coordonnées \( (x', y') \), alors leur produit scalaire est donné par : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \] Cette formule est extrêmement pratique pour les calculs. ##### Rappel sur les normes et distances en coordonnées : * La norme d'un vecteur \( \vec{u}(x, y) \) est \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \). * La distance entre deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) est la norme du vecteur \( \vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A) \) : \[ AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] #### Autres Expressions du Produit Scalaire (liées aux normes) À partir des identités remarquables (voir ci-dessous), on peut déduire d'autres expressions du produit scalaire, très utiles : * \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2) \) * \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2) \) #### Propriétés du Produit Scalaire Le produit scalaire possède les propriétés suivantes : * **Commutativité :** L'ordre des vecteurs n'importe pas. \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \] * **Linéarité (distributivité) :** * Par rapport à l'addition vectorielle : \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \] * Par rapport à la multiplication par un scalaire \( k \) : \[ (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) \] * **Identités remarquables (vectorielles) :** Similaires à celles des nombres réels, mais attention, \( \vec{u}^2 \) est en fait \( \|\vec{u}\|^2 \). * \( (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \) * \( (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \) * \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \) ### Vocabulaire * **Vecteur :** Un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). * **Norme d'un vecteur (\( \|\vec{u}\| \)) :** La longueur du vecteur. * **Produit scalaire (\( \vec{u} \cdot \vec{v} \)) :** Une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel. * **Angle entre deux vecteurs (\( \theta \)) :** L'angle géométrique (non orienté) formé par les représentants des vecteurs issus d'un même point. * **Vecteurs orthogonaux :** Deux vecteurs dont le produit scalaire est nul (ils sont perpendiculaires). * **Repère orthonormé :** Un repère dont les axes sont perpendiculaires et dont les vecteurs unitaires ont une longueur de 1. * **Carré scalaire (\( \vec{u}^2 \)) :** Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, égal à \( \|\vec{u}\|^2 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul avec la définition géométrique Soient deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) tels que \( \|\vec{u}\| = 5 \), \( \|\vec{v}\| = 3 \) et l'angle entre eux est \( \theta = 60^\circ \). Calculons leur produit scalaire : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 3 \times \cos(60^\circ) \) Sachant que \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), nous avons : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \times \frac{1}{2} = 7,5 \) #### Exemple 2 : Calcul avec les coordonnées et test d'orthogonalité Dans un repère orthonormé, soient \( \vec{a}(2, -3) \) et \( \vec{b}(4, 2) \). Calculons leur produit scalaire : \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b \) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(4) + (-3)(2) \) \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 8 - 6 = 2 \) Les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) sont-ils orthogonaux ? Puisque \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \ne 0 \), les vecteurs ne sont pas orthogonaux. #### Exemple 3 : Utilisation des propriétés Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs tels que \( \|\vec{u}\| = 2 \), \( \|\vec{v}\| = 3 \) et \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \). Calculons \( (\vec{u} + 2\vec{v}) \cdot (3\vec{u} - \vec{v}) \). On utilise la distributivité : \( (\vec{u} + 2\vec{v}) \cdot (3\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot (3\vec{u}) + \vec{u} \cdot (-\vec{v}) + (2\vec{v}) \cdot (3\vec{u}) + (2\vec{v}) \cdot (-\vec{v}) \) \( = 3\vec{u}^2 - \vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{v} \cdot \vec{u} - 2\vec{v}^2 \) \( = 3\|\vec{u}\|^2 - \vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{u} \cdot \vec{v} - 2\|\vec{v}\|^2 \) (car \( \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v} \)) \( = 3\|\vec{u}\|^2 + 5\vec{u} \cdot \vec{v} - 2\|\vec{v}\|^2 \) Maintenant, substituons les valeurs connues : \( = 3(2^2) + 5(-1) - 2(3^2) \) \( = 3(4) - 5 - 2(9) \) \( = 12 - 5 - 18 \) \( = 7 - 18 = -11 \) #### Exemple 4 : Détermination d'un angle Dans un repère orthonormé, soient \( \vec{u}(1, \sqrt{3}) \) et \( \vec{v}(-1, \sqrt{3}) \). 1. **Calcul du produit scalaire :** \( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = -1 + 3 = 2 \) 2. **Calcul des normes :** \( \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \) \( \|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \) 3. **Déduction du cosinus de l'angle :** Nous savons que \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \), donc \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \) \( \cos(\theta) = \frac{2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) 4. **Détermination de l'angle :** Puisque \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \) et \( 0^\circ \le \theta \le 180^\circ \), l'angle \( \theta \) est de \( 60^\circ \) (ou \( \frac{\pi}{3} \) radians). ### Exercices 1. Dans un repère orthonormé, on donne les points \( A(1, 2) \), \( B(3, 1) \) et \( C(-1, 4) \). Calculez les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \), puis calculez le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \). 2. Soient deux vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) tels que \( \|\vec{a}\| = 4 \), \( \|\vec{b}\| = 3 \) et \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \). Calculez \( (\vec{a} - \vec{b})^2 \) et \( (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) \). 3. Dans un rectangle \( ABCD \) où \( AB = 5 \) et \( BC = 2 \). Calculez : a) \( \vec{AB} \cdot \vec{AD} \) b) \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) c) \( \vec{CA} \cdot \vec{CB} \) 4. Dans un repère orthonormé, déterminez si les paires de vecteurs suivantes sont orthogonales : a) \( \vec{u}(3, -1) \) et \( \vec{v}(2, 6) \) b) \( \vec{a}(5, 2) \) et \( \vec{b}(-2, 5) \) ### Devoir à la maison 1. Soit un triangle \( ABC \) tel que \( AB = 6 \), \( AC = 8 \) et l'angle \( \widehat{BAC} = 120^\circ \). a) Calculez le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \). b) En utilisant la formule d'Al-Kashi (ou le produit scalaire \( \vec{BC}^2 \)), déterminez la longueur du côté \( BC \). 2. Dans un repère orthonormé, on donne les points \( P(1, -2) \), \( Q(5, 1) \) et \( R(3, 4) \). a) Calculez les coordonnées des vecteurs \( \vec{QP} \) et \( \vec{QR} \). b) Calculez le produit scalaire \( \vec{QP} \cdot \vec{QR} \). c) Calculez les normes \( \|\vec{QP}\| \) et \( \|\vec{QR}\| \). d) Déduisez-en la valeur de \( \cos(\angle PQR) \) et donnez une valeur approchée de l'angle \( \angle PQR \) à \( 0,1^\circ \) près. 3. Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs tels que \( \|\vec{u}\| = 5 \), \( \|\vec{v}\| = 4 \) et \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -10 \). Calculez \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \) et \( \|\vec{u} - \vec{v}\| \). ### Résumé Le produit scalaire est une opération fondamentale entre deux vecteurs qui produit un nombre. Il peut être calculé de différentes manières : * **Définition géométrique :** \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \) * **En coordonnées (repère orthonormé) :** \( \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \) pour \( \vec{u}(x, y) \) et \( \vec{v}(x', y') \). Le produit scalaire est un outil puissant pour : * Vérifier l'**orthogonalité** de deux vecteurs : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \) si et seulement si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux. * Calculer la **norme** d'un vecteur : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} \). * Déterminer des **angles** entre vecteurs ou dans un triangle en utilisant \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \). Il respecte des propriétés de commutativité et de linéarité, et des identités remarquables qui sont très utiles pour les manipulations algébriques. ## Relations métriques ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les relations métriques. En mathématiques, notamment en géométrie, il est souvent utile d'établir des liens entre les longueurs des côtés d'un triangle et la mesure de ses angles. Le produit scalaire est un outil puissant qui nous permet de faire précisément cela. Nous allons explorer comment le produit scalaire nous offre un cadre pour dériver et utiliser des formules clés telles que le théorème d'Al-Kashi et la formule de la médiane, qui sont fondamentales pour résoudre des problèmes de géométrie complexe en Seconde. ### Concepts Clés #### Rappel sur le Produit Scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est un nombre réel. Il peut être défini de plusieurs manières : * **Par les coordonnées :** Si \( \vec{u}(x, y) \) et \( \vec{v}(x', y') \), alors : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \] * **Par les normes et l'angle :** Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont non nuls, et \( \theta \) est l'angle entre eux, alors : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\theta) \] * **Par projection orthogonale :** Si A, B, C sont trois points, alors \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) est égal à \( \vec{AB} \cdot \vec{AH} \) où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Dans ce cas, \( \vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH \) si \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) ont le même sens, et \( -AB \times AH \) sinon. #### Propriétés du Produit Scalaire * **Commutativité :** \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \) * **Distributivité par rapport à l'addition vectorielle :** \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \) * **Homogénéité :** Pour un réel \( k \), \( (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) \) #### Norme d'un vecteur et Produit Scalaire Le carré de la norme d'un vecteur est égal à son produit scalaire par lui-même : \[ ||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} \] La norme est alors \( ||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} \). #### Orthogonalité de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \[ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] #### Formules importantes (Relations métriques) Ces formules sont des applications directes du produit scalaire et permettent de relier longueurs et angles dans les triangles. * **Développement de \( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 \) et \( ||\vec{u} - \vec{v}||^2 \) :** * \( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} \) * \( ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} \) * **Identité remarquable :** \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2 \) * **Théorème d'Al-Kashi (ou Loi des cosinus) :** Dans un triangle ABC, avec les notations habituelles (\( a=BC \), \( b=AC \), \( c=AB \)), nous avons : \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A}) \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\hat{B}) \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\hat{C}) \] Ce théorème généralise le théorème de Pythagore : si l'angle est droit (\( \cos(90^\circ) = 0 \)), on retrouve \( a^2 = b^2 + c^2 \). * **Formule de la médiane :** Dans un triangle ABC, si M est le milieu du segment [BC], alors : \[ AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2} \] Ou de manière équivalente : \[ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) \] ### Vocabulaire * **Produit scalaire :** Opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel (scalaire) et qui est liée aux longueurs et aux angles. * **Vecteur :** Objet mathématique ayant une direction, un sens et une longueur (norme). * **Norme (d'un vecteur) :** La longueur d'un vecteur, notée \( ||\vec{u}|| \). * **Orthogonal :** Se dit de deux vecteurs dont les directions sont perpendiculaires. Leur produit scalaire est nul. * **Projection orthogonale :** La projection d'un point sur une droite ou un segment, telle que la droite joignant le point et sa projection est perpendiculaire à la droite ou au segment. * **Théorème d'Al-Kashi :** Une généralisation du théorème de Pythagore, permettant de calculer la longueur d'un côté d'un triangle connaissant les deux autres côtés et l'angle inclus, ou de calculer un angle connaissant les trois côtés. * **Formule de la médiane :** Relation métrique qui lie les longueurs des côtés d'un triangle à la longueur de l'une de ses médianes. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul du produit scalaire Soient \( \vec{u}(2, -1) \) et \( \vec{v}(3, 4) \). Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \). \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(3) + (-1)(4) = 6 - 4 = 2 \] #### Exemple 2 : Vérification d'orthogonalité Soient \( \vec{a}(1, 2) \) et \( \vec{b}(-4, 2) \). Les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) sont-ils orthogonaux ? Calculons leur produit scalaire : \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-4) + (2)(2) = -4 + 4 = 0 \] Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) sont orthogonaux. #### Exemple 3 : Application du Théorème d'Al-Kashi Dans un triangle ABC, on donne \( AB = 5 \), \( AC = 7 \) et l'angle \( \hat{A} = 60^\circ \). Calculer la longueur du côté BC. D'après le théorème d'Al-Kashi : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\hat{A}) \] \[ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7) \cos(60^\circ) \] Comme \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) : \[ BC^2 = 25 + 49 - 2(35)(\frac{1}{2}) \] \[ BC^2 = 74 - 35 = 39 \] Donc, \( BC = \sqrt{39} \). #### Exemple 4 : Application de la formule de la médiane Dans un triangle DEF, M est le milieu de [EF]. On donne \( DE = 6 \), \( DF = 8 \) et \( EF = 10 \). Calculer la longueur de la médiane DM. D'après la formule de la médiane : \[ DE^2 + DF^2 = 2DM^2 + \frac{EF^2}{2} \] \[ 6^2 + 8^2 = 2DM^2 + \frac{10^2}{2} \] \[ 36 + 64 = 2DM^2 + \frac{100}{2} \] \[ 100 = 2DM^2 + 50 \] \[ 2DM^2 = 100 - 50 = 50 \] \[ DM^2 = 25 \] Donc, \( DM = 5 \). ### Exercices 1. Soient \( \vec{u}(-3, 5) \) et \( \vec{v}(2, 1) \). Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \). 2. Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1, 2), B(4, 1) et C(2, 5). Calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \). 3. Un triangle PQR a pour côtés \( PQ = 8 \), \( PR = 10 \) et \( QR = 12 \). Calculer la mesure de l'angle \( \hat{P} \) (arrondir au degré près). 4. Soit un triangle XYZ. La médiane issue de X, notée \( m_X \), relie X au milieu M de [YZ]. Si \( XY = 7 \), \( XZ = 9 \) et \( YZ = 12 \), calculer la longueur de \( m_X \). ### Devoirs 1. **Triangle et angles :** Un terrain de football est représenté par un triangle ABC. On sait que \( AB = 100 \) m, \( AC = 80 \) m et l'angle entre les côtés AB et AC est \( 120^\circ \). Calculer la longueur du côté BC. Quelle est la particularité de cet angle pour l'application d'Al-Kashi ? 2. **Vérification d'orthogonalité géométrique :** Soit un carré ABCD de côté \( a \). Soit I le milieu de [AB]. Montrer que les droites (DI) et (AC) sont orthogonales. (Indice : utiliser un repère ou le produit scalaire vectoriel). 3. **Avec des inconnues :** Dans un triangle ABC, on donne \( AB=x \), \( AC=x+1 \) et \( BC=x+2 \). Si l'angle \( \hat{A} = 60^\circ \), déterminer la valeur de \( x \). 4. **Application combinée :** Dans un triangle ABC, \( AB=6 \), \( AC=8 \), \( BC=10 \). On note I le milieu de [BC]. Calculer \( AI \). Que peut-on dire du triangle ABC ? ### Résumé Cette leçon nous a permis de plonger dans le monde des **relations métriques**, en utilisant le **produit scalaire** comme un pont puissant entre l'algèbre vectorielle et la géométrie euclidienne. Nous avons révisé les différentes façons de calculer le produit scalaire et ses propriétés fondamentales, y compris le lien crucial entre le produit scalaire nul et l'**orthogonalité** des vecteurs. Les formules clés à retenir sont : * Les **identités remarquables** vectorielles pour \( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 \) et \( ||\vec{u} - \vec{v}||^2 \). * Le **Théorème d'Al-Kashi** (Loi des cosinus) : \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A}) \), qui est une généralisation du théorème de Pythagore. * La **Formule de la médiane** : \( AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2} \). Ces outils sont indispensables pour résoudre des problèmes complexes impliquant des longueurs, des angles et des relations dans les triangles. Maîtriser ces concepts vous permettra d'aborder avec confiance de nombreux défis en géométrie.