Chap 1 : Calculs dans IR (suite)

# Chap 1 : Calculs dans IR (suite) ## Comparaisons - Encadrement d’un réel. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre de mathématiques qui fait suite à nos calculs dans l'ensemble des nombres réels, \( \mathbb{R} \). Aujourd'hui, nous allons approfondir notre compréhension des nombres en apprenant à les comparer efficacement et à les "enfermer" entre d'autres valeurs. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des problèmes, analyser des fonctions et comprendre les marges d'erreur en sciences. Préparez-vous à maîtriser les inégalités et les encadrements ! ### Concepts Clés #### 1. Comparaison de Nombres Réels Comparer deux nombres réels, c'est déterminer s'ils sont égaux, ou si l'un est strictement plus grand (ou plus petit) que l'autre. * **Définition :** Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. * \(a = b\) si \(a\) et \(b\) sont la même valeur. * \(a < b\) (\(a\) est strictement inférieur à \(b\)) si \(a-b < 0\). * \(a > b\) (\(a\) est strictement supérieur à \(b\)) si \(a-b > 0\). * \(a \le b\) (\(a\) est inférieur ou égal à \(b\)) si \(a-b \le 0\). * \(a \ge b\) (\(a\) est supérieur ou égal à \(b\)) si \(a-b \ge 0\). * **Règles de Comparaison :** * **Différence :** Pour comparer \(a\) et \(b\), on étudie le signe de \(a-b\). * Si \(a-b > 0\), alors \(a > b\). * Si \(a-b < 0\), alors \(a < b\). * **Addition et Soustraction :** Ajouter ou soustraire un même nombre à chaque membre d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité. * Si \(a < b\), alors \(a+c < b+c\) et \(a-c < b-c\). * **Multiplication et Division :** * Multiplier ou diviser par un nombre *positif* ne change pas le sens de l'inégalité. * Si \(a < b\) et \(c > 0\), alors \(ac < bc\) et \(a/c < b/c\). * Multiplier ou diviser par un nombre *négatif* **change** le sens de l'inégalité. * Si \(a < b\) et \(c < 0\), alors \(ac > bc\) et \(a/c > b/c\). * **Inverse :** * Si \(a\) et \(b\) sont de *même signe* et non nuls, l'ordre de leurs inverses est inversé. * Si \(0 < a < b\), alors \(1/a > 1/b > 0\). * Si \(a < b < 0\), alors \(0 > 1/a > 1/b\). * Si \(a\) et \(b\) sont de signes différents, il n'y a pas de règle générale simple sans d'abord considérer les signes. * **Carré :** * Si \(0 \le a < b\), alors \(a^2 < b^2\). * Si \(a < b \le 0\), alors \(a^2 > b^2\). * Si \(a < 0 < b\), on ne peut pas comparer \(a^2\) et \(b^2\) sans informations supplémentaires (ex: \(-3 < 2 \implies (-3)^2 = 9 > 2^2 = 4\), mais \(-2 < 3 \implies (-2)^2 = 4 < 3^2 = 9\)). #### 2. Encadrement d'un Réel Encadrer un nombre réel \(x\), c'est trouver deux nombres \(a\) et \(b\) tels que \(x\) soit compris entre \(a\) et \(b\) (inclusivement ou exclusivement). * **Définition :** Un encadrement de \(x\) est une expression de la forme \(a \le x \le b\) ou \(a < x < b\) (ou toute combinaison). * **Amplitude :** L'amplitude d'un encadrement \(a \le x \le b\) est \(b-a\). Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis. * **Intervalles :** Un encadrement correspond à un intervalle sur la droite numérique. Par exemple, \(a \le x \le b\) correspond à l'intervalle fermé \([a, b]\). * \([a, b]\) : ensemble des réels \(x\) tels que \(a \le x \le b\). * \(]a, b[\) : ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x < b\). * \([a, b[\) : ensemble des réels \(x\) tels que \(a \le x < b\). * \(]a, b]\) : ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x \le b\). * **Opérations sur les Encadrements :** * **Addition :** Si \(a \le x \le b\) et \(c \le y \le d\), alors on peut additionner les inégalités terme à terme : \[ a+c \le x+y \le b+d \] * **Soustraction :** Pour encadrer \(x-y\), on encadre d'abord \(-y\). Si \(c \le y \le d\), alors \(-d \le -y \le -c\). Ensuite, on additionne : \[ a-d \le x-y \le b-c \] * **Multiplication :** La multiplication est plus complexe et dépend des signes des bornes. * Si \(0 \le a \le x \le b\) et \(0 \le c \le y \le d\), alors : \[ ac \le xy \le bd \] * Dans le cas général (avec des nombres négatifs), on doit considérer les quatre produits possibles des bornes et prendre le minimum et le maximum : \(min(ac, ad, bc, bd) \le xy \le max(ac, ad, bc, bd)\) * **Division :** Pour encadrer \(x/y\), on encadre d'abord \(1/y\). Si \(0 < c \le y \le d\), alors \(1/d \le 1/y \le 1/c\). Ensuite, on multiplie \(x\) par \(1/y\) en respectant les règles de multiplication. #### 3. Valeur Absolue La valeur absolue d'un nombre réel est sa distance à zéro sur la droite numérique. * **Définition :** Pour tout réel \(x\) : * \(|x| = x\) si \(x \ge 0\). * \(|x| = -x\) si \(x < 0\). * **Propriétés :** * \(|x| \ge 0\). * \(|x| = |-x|\). * \(\sqrt{x^2} = |x|\). * \(|xy| = |x||y|\). * \(|x/y| = |x|/|y|\) (si \(y \ne 0\)). * **Inégalité triangulaire :** \(|x+y| \le |x|+|y|\). * **Lien avec les encadrements :** Pour \(a > 0\) : * \(|x| \le a \iff -a \le x \le a\). * \(|x| \ge a \iff x \le -a \text{ ou } x \ge a\). ### Vocabulaire * **Inégalité :** Relation entre deux nombres réels indiquant que l'un est plus grand ou plus petit que l'autre (ex: \(<, >, \le, \ge\)). * **Encadrement :** Expression qui limite un nombre réel entre deux autres valeurs (ex: \(a \le x \le b\)). * **Intervalle :** Un sous-ensemble de nombres réels qui contient tous les nombres entre deux bornes spécifiées. Il peut être ouvert, fermé ou semi-ouvert. * **Amplitude :** La différence entre la borne supérieure et la borne inférieure d'un encadrement (\(b-a\)). * **Valeur absolue :** La distance d'un nombre à zéro, toujours positive ou nulle. * **Ordre :** Fait référence à la relation de grandeur entre les nombres (ex: ordre croissant, ordre décroissant). ### Exemples 1. **Comparer \(\sqrt{2}\) et 1.41 :** On sait que \(1.41^2 = 1.9881\) et \(1.42^2 = 2.0164\). Puisque \(1.41^2 < 2 < 1.42^2\), et comme la fonction carrée est croissante sur \( [0, +\infty[ \), on a \(1.41 < \sqrt{2} < 1.42\). Donc, \(\sqrt{2} > 1.41\). 2. **Encadrer \(x+y\) et \(x-y\) :** Soit \(1 \le x \le 2\) et \(3 \le y \le 4\). * Pour \(x+y\) : \[ 1+3 \le x+y \le 2+4 \implies 4 \le x+y \le 6 \] * Pour \(x-y\), on encadre d'abord \(-y\) : \(-4 \le -y \le -3\). Puis, on additionne \(x\) et \(-y\) : \[ 1+(-4) \le x-y \le 2+(-3) \implies -3 \le x-y \le -1 \] 3. **Encadrer \(xy\) et \(x/y\) :** Soit \(2 \le x \le 3\) et \(4 \le y \le 5\). * Pour \(xy\) (tous positifs) : \[ 2 \times 4 \le xy \le 3 \times 5 \implies 8 \le xy \le 15 \] * Pour \(x/y\), on encadre \(1/y\) : \(1/5 \le 1/y \le 1/4\). Puis, on multiplie \(x\) par \(1/y\) (tous positifs) : \[ 2 \times (1/5) \le x/y \le 3 \times (1/4) \implies 2/5 \le x/y \le 3/4 \] Soit \(0.4 \le x/y \le 0.75\). 4. **Résoudre \(|x-3| \le 2\) :** Utilisons la propriété \(|X| \le a \iff -a \le X \le a\). Ici \(X = x-3\) et \(a = 2\). \[ -2 \le x-3 \le 2 \] Ajoutons 3 à chaque partie de l'inégalité : \[ -2+3 \le x-3+3 \le 2+3 \implies 1 \le x \le 5 \] La solution est l'intervalle \([1, 5]\). ### Exercices 1. **Vrai ou Faux :** a. Si \(a < b\), alors \(a-5 < b-5\). (Vrai/Faux) b. Si \(a < b\), alors \(-2a < -2b\). (Vrai/Faux) c. Si \(x \in [-3, 2]\), alors \(x^2 \in [0, 9]\). (Vrai/Faux) d. L'amplitude de l'encadrement \(1.41 < \sqrt{2} < 1.42\) est 0.01. (Vrai/Faux) 2. **Donner un encadrement de :** a. \(x^2\) si \(x \in [-2, 3]\). b. \(1/x\) si \(x \in [0.5, 2]\). c. \(3x-2\) si \(x \in [-1, 4]\). 3. **Résoudre les inégalités suivantes et donner les solutions sous forme d'intervalle :** a. \(2x+1 < 7\) b. \(5-3x \ge 11\) c. \(|x+4| < 3\) ### Devoirs 1. Soient \(x \in [-1, 2]\) et \(y \in [3, 5]\). Donner un encadrement de : a. \(2x+y\) b. \(x-3y\) c. \(xy\) d. \(x/y\) 2. La température \(T\) (en degrés Celsius) dans une pièce est encadrée par \(18 \le T \le 22\). a. Si l'on exprime la température en degrés Fahrenheit \(F\) par la formule \[ F = 1.8T + 32 \]. Donnez un encadrement de \(F\). b. Quel est l'amplitude de l'encadrement de \(T\) ? Et de \(F\) ? 3. Trouver tous les nombres réels \(x\) tels que : a. \(|2x-1| \ge 5\) b. \(|x-2| = 4\) ### Résumé Ce chapitre nous a permis de consolider nos connaissances sur les nombres réels en apprenant à les comparer et à les encadrer. Nous avons revu les règles fondamentales des inégalités, notamment l'importance du signe lors de la multiplication ou de la division. L'encadrement et l'utilisation des intervalles sont des outils puissants pour situer des valeurs inconnues avec précision. Enfin, la valeur absolue, qui représente une distance, est cruciale pour résoudre certaines inégalités et comprendre la notion d'écart. Maîtriser ces concepts est essentiel pour progresser en mathématiques et dans de nombreuses applications scientifiques. ## Valeur absolue d’un réel: · Définitions: · Propriétés: ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la valeur absolue d'un nombre réel ! En mathématiques, la valeur absolue est un concept fondamental qui trouve des applications dans de nombreux domaines. Elle est étroitement liée à la notion de distance sur la droite numérique. Comprendre la valeur absolue vous aidera à résoudre des équations, des inéquations et à mieux appréhender certaines fonctions. Nous allons définir ce qu'est la valeur absolue, explorer ses propriétés clés et voir comment l'appliquer dans divers contextes. ### Concepts Clés #### Définition de la valeur absolue ##### Définition algébrique La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(|x|\), est sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique, sans tenir compte de son signe. Elle est définie formellement comme suit : \[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] * Si le nombre est positif ou nul, sa valeur absolue est le nombre lui-même. * Si le nombre est négatif, sa valeur absolue est l'opposé de ce nombre (ce qui le rend positif). ##### Interprétation géométrique Géométriquement, la valeur absolue de \(x\), \(|x|\), représente la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine (le point \(0\)) sur la droite numérique. La distance est toujours une valeur positive ou nulle. De manière plus générale, la distance entre deux nombres réels \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est donnée par \(|a - b|\) ou \(|b - a|\). #### Propriétés de la valeur absolue Voici les principales propriétés de la valeur absolue que vous devez connaître : ##### Propriétés fondamentales * **Non-négativité :** Pour tout réel \(x\), \(|x| \ge 0\). * La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. * **Nullité :** \(|x| = 0\) si et seulement si \(x = 0\). * **Symétrie :** Pour tout réel \(x\), \(|-x| = |x|\). * Par exemple, \(|-5| = 5\) et \(|5| = 5\). * **Lien avec la racine carrée :** Pour tout réel \(x\), on a \(\sqrt{x^2} = |x|\). * Attention : \(\sqrt{x^2}\) n'est pas toujours \(x\) ! Si \(x = -3\), alors \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\). ##### Propriétés opératoires Soient \(x\) et \(y\) des nombres réels : * **Produit :** \(|xy| = |x||y|\). * La valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues. * **Quotient :** \(|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}\), pour \(y \ne 0\). * La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues. * **Inégalité triangulaire :** \(|x + y| \le |x| + |y|\). * La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. L'égalité est vraie si \(x\) et \(y\) ont le même signe ou si l'un est nul. * **Conséquence :** \(|x - y| \le |x| + |y|\). #### Équations et inéquations avec la valeur absolue Pour résoudre des équations et des inéquations impliquant la valeur absolue, il est souvent utile d'utiliser les propriétés suivantes, pour \(a > 0\) : * **Équation :** \(|x| = a \iff x = a \text{ ou } x = -a\). * Les nombres dont la distance à zéro est \(a\) sont \(a\) et \(-a\). * **Inéquation (inférieur ou égal) :** \(|x| \le a \iff -a \le x \le a\). * Les nombres dont la distance à zéro est inférieure ou égale à \(a\) sont ceux compris entre \(-a\) et \(a\) (inclus). * **Inéquation (supérieur ou égal) :** \(|x| \ge a \iff x \le -a \text{ ou } x \ge a\). * Les nombres dont la distance à zéro est supérieure ou égale à \(a\) sont ceux qui sont \(a\) ou plus, ou \(-a\) ou moins. ### Vocabulaire * **Valeur absolue :** La distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique, toujours positive ou nulle. * **Réel :** Un nombre appartenant à l'ensemble des nombres réels (\(\mathbb{R}\)), qui comprend les nombres rationnels et irrationnels. * **Distance :** Mesure de l'écart entre deux points, toujours une valeur positive. * **Origine :** Le point d'abscisse \(0\) sur la droite numérique. * **Opposé :** L'opposé d'un nombre \(x\) est \(-x\). Par exemple, l'opposé de \(5\) est \(-5\). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de valeurs absolues * \(|7| = 7\) (car \(7 \ge 0\)) * \(|-4| = -(-4) = 4\) (car \(-4 < 0\)) * \(|0| = 0\) * \(|\pi| = \pi\) * \(|1 - \sqrt{2}| = - (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1\) (car \(1 - \sqrt{2} < 0\)) #### Exemple 2 : Résoudre une équation simple Résoudre l'équation \(|x| = 5\). En utilisant la propriété \(|x| = a \iff x = a \text{ ou } x = -a\) : \(x = 5\) ou \(x = -5\). L'ensemble des solutions est \(\{-5, 5\}\). #### Exemple 3 : Résoudre une équation plus complexe Résoudre l'équation \(|x - 3| = 2\). Cela signifie que la distance entre \(x\) et \(3\) est \(2\). Donc, \(x - 3 = 2\) ou \(x - 3 = -2\). * Si \(x - 3 = 2\), alors \(x = 2 + 3 = 5\). * Si \(x - 3 = -2\), alors \(x = -2 + 3 = 1\). L'ensemble des solutions est \(\{1, 5\}\). #### Exemple 4 : Résoudre une inéquation (inférieur ou égal) Résoudre l'inéquation \(|x| \le 4\). En utilisant la propriété \(|x| \le a \iff -a \le x \le a\) : \(-4 \le x \le 4\). L'ensemble des solutions est l'intervalle \([-4, 4]\). #### Exemple 5 : Résoudre une inéquation (supérieur ou égal) Résoudre l'inéquation \(|x + 1| > 3\). Cela signifie que la distance entre \(x\) et \(-1\) est strictement supérieure à \(3\). En utilisant la propriété \(|X| > a \iff X < -a \text{ ou } X > a\) (ici \(X = x + 1\) et \(a = 3\)) : \(x + 1 < -3\) ou \(x + 1 > 3\). * Si \(x + 1 < -3\), alors \(x < -3 - 1\), soit \(x < -4\). * Si \(x + 1 > 3\), alors \(x > 3 - 1\), soit \(x > 2\). L'ensemble des solutions est \(]-\infty, -4[ \cup ]2, +\infty[\). ### Exercices Résolvez les problèmes suivants : 1. Calculez : a. \(|-12|\) b. \(|2\pi - 7|\) c. \(|\frac{1}{3} - \frac{1}{2}|\) 2. Résolvez les équations suivantes : a. \(|x| = 8\) b. \(|x - 5| = 3\) c. \(|2x + 4| = 10\) 3. Résolvez les inéquations suivantes et donnez les solutions sous forme d'intervalle : a. \(|x| < 6\) b. \(|x + 2| \le 1\) c. \(|3x - 6| > 9\) ### Devoirs 1. Soit la fonction \(f(x) = |x - 4|\). a. Calculez \(f(2)\) et \(f(6)\). b. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) = 0\) ? c. Résolvez l'inéquation \(f(x) < 3\). 2. Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse. a. \(|x^2| = x^2\) pour tout réel \(x\). b. \(|x + y| = |x| + |y|\) pour tout réel \(x\) et \(y\). c. Si \(x < 0\), alors \(|x| = x\). 3. Résolvez l'équation \(|2x - 1| = |x + 5|\). *(Indice : élevez les deux membres au carré ou utilisez la définition de la valeur absolue par cas.)* ### Résumé En résumé, la valeur absolue \(|x|\) d'un nombre réel \(x\) représente sa distance à zéro. Elle est égale à \(x\) si \(x \ge 0\) et à \(-x\) si \(x < 0\). Ses propriétés fondamentales incluent la non-négativité (\(|x| \ge 0\)), la symétrie (\(|-x| = |x|\)) et le lien avec la racine carrée (\(\sqrt{x^2} = |x|\)). Pour résoudre des équations et inéquations de la forme \(|X| = a\), \(|X| \le a\) ou \(|X| \ge a\) (avec \(a \ge 0\)), il faut bien comprendre que la valeur absolue se rapporte à une distance et donc à deux cas possibles (positif et négatif) pour \(X\). La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la suite de votre parcours en mathématiques.