Chap4: Fonctions usuelles

# Chap4: Fonctions usuelles ## Fonctions affines et fonctions affines par intervalles. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions usuelles ! Nous allons aujourd'hui explorer un type de fonction très courant et fondamental en mathématiques : les fonctions affines. Vous apprendrez à les reconnaître, à les représenter graphiquement et à comprendre leurs propriétés. Nous verrons également comment combiner ces fonctions pour former des fonctions "par intervalles", utilisées pour modéliser des situations plus complexes. ### Concepts Clés #### La fonction affine Une fonction \(f\) est dite **affine** si elle peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels donnés, avec \(a \neq 0\). * **\(a\)** est appelé le **coefficient directeur** (ou pente) de la droite. Il indique la direction et l'inclinaison de la droite. * **\(b\)** est appelé l'**ordonnée à l'origine**. C'est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\) (le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées). ##### Représentation graphique La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une **droite**. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points qui lui appartiennent. Par exemple, pour \(f(x) = ax + b\): * Un premier point est \((0, b)\) (l'ordonnée à l'origine). * Un deuxième point peut être trouvé en calculant \(f(1)\), ce qui donne \((1, a+b))\), ou tout autre point en choisissant une valeur de \(x\). ##### Détermination de l'expression d'une fonction affine Si vous connaissez deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) appartenant à la droite représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\), vous pouvez trouver \(a\) et \(b\) : 1. **Calcul du coefficient directeur \(a\) :** \[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \] 2. **Calcul de l'ordonnée à l'origine \(b\) :** Une fois \(a\) trouvé, utilisez l'une des équations \(y_1 = ax_1 + b\) ou \(y_2 = ax_2 + b\) pour isoler \(b\). Par exemple, \(b = y_1 - ax_1\). ##### Sens de variation Le signe du coefficient directeur \(a\) détermine le sens de variation de la fonction affine : * Si \(a > 0\), la fonction est **croissante** (la droite "monte" de gauche à droite). * Si \(a < 0\), la fonction est **décroissante** (la droite "descend" de gauche à droite). * Si \(a = 0\), la fonction est **constante** (la droite est horizontale). #### Cas particuliers de fonctions affines * **Fonction linéaire :** C'est un cas particulier où \(b = 0\). L'expression est de la forme \(f(x) = ax\). La droite passe toujours par l'origine \((0,0)\) du repère. * **Fonction constante :** C'est un cas particulier où \(a = 0\). L'expression est de la forme \(f(x) = b\). La droite est horizontale. #### Fonctions affines par intervalles Une fonction est dite **affine par intervalles** si son expression change selon les intervalles de valeurs de \(x\). Elle est définie par différentes formules affines sur différents intervalles de son domaine de définition. Sa représentation graphique est composée de plusieurs segments de droite ou demi-droites "collés" les uns aux autres. **Exemple :** La fonction valeur absolue \(f(x) = |x|\) est une fonction affine par intervalles : \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] ### Vocabulaire * **Fonction affine :** Fonction de la forme \(f(x) = ax + b\). * **Coefficient directeur (pente) :** Le nombre \(a\) dans \(f(x) = ax + b\), qui indique l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine :** Le nombre \(b\) dans \(f(x) = ax + b\), qui est la valeur de \(y\) quand \(x=0\) (point d'intersection avec l'axe des ordonnées). * **Fonction linéaire :** Fonction affine où \(b=0\) (\(f(x) = ax\)). Sa représentation graphique passe par l'origine. * **Fonction constante :** Fonction affine où \(a=0\) (\(f(x) = b\)). Sa représentation graphique est une droite horizontale. * **Fonction affine par intervalles :** Fonction dont l'expression algébrique change sur différents intervalles de son domaine de définition. * **Intervalle de définition :** L'ensemble des valeurs que la variable \(x\) peut prendre. * **Représentation graphique :** La courbe qui représente la fonction dans un repère cartésien. ### Exemples #### Exemple 1 : Tracer une fonction affine Traçons la fonction \(f(x) = 2x - 1\). * Ici, \(a = 2\) et \(b = -1\). * L'ordonnée à l'origine est \(-1\), donc la droite passe par \((0, -1))\). * Pour trouver un deuxième point, calculons \(f(1) = 2(1) - 1 = 1\). La droite passe donc par \((1, 1))\). * Puisque \(a = 2 > 0\), la fonction est croissante. #### Exemple 2 : Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points Déterminons l'expression de la fonction affine \(f\) dont la représentation graphique passe par les points \(A(1, 3)\) et \(B(3, 7))\). 1. **Calcul de \(a\) :** \[ a = \frac{f(x_B) - f(x_A)}{x_B - x_A} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \] 2. **Calcul de \(b\) :** On utilise \(f(x) = 2x + b\) et le point \(A(1, 3)\) : \(3 = 2(1) + b\) \(3 = 2 + b\) \(b = 3 - 2 = 1\) L'expression de la fonction affine est donc \(f(x) = 2x + 1\). #### Exemple 3 : Fonction affine par intervalles Considérons la fonction \(g\) définie par : \[ g(x) = \begin{cases} x+2 & \text{si } x < 0 \\ -2x+2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \] * **Calcul de quelques points :** * Si \(x = -1\) (donc \(x < 0\)) : \(g(-1) = -1 + 2 = 1\). * Si \(x = 0\) (donc \(x \ge 0\)) : \(g(0) = -2(0) + 2 = 2\). * Si \(x = 1\) (donc \(x \ge 0\)) : \(g(1) = -2(1) + 2 = 0\). * **Représentation graphique :** * Pour \(x < 0\), c'est une droite de coefficient directeur \(1\) et d'ordonnée à l'origine \(2\) (mais uniquement la partie pour \(x < 0\)). Elle passe par \((0,2)\) et \((-1,1))\). * Pour \(x \ge 0\), c'est une droite de coefficient directeur \(-2\) et d'ordonnée à l'origine \(2\). Elle passe par \((0,2)\) et \((1,0))\). La courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent en \((0,2))\). ### Exercices 1. **Analyse d'une fonction affine :** Soit la fonction \(f(x) = -3x + 5\). * Quelle est la nature de cette fonction ? * Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. * Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-2))\). * La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justifiez. 2. **Tracé graphique :** Sur un même repère orthonormé, tracez les fonctions suivantes : * \(f(x) = x + 3\) * \(g(x) = -x + 1\) * \(h(x) = 2\) 3. **Détermination d'expression :** Déterminez l'expression de la fonction affine \(f\) telle que \(f(2) = 5\) et \(f(-1) = -4\). 4. **Fonction valeur absolue :** Considérons la fonction \(h(x) = |x - 1|\). * Réécrire \(h(x)\) comme une fonction affine par intervalles. * Calculer \(h(0)\), \(h(1)\) et \(h(2))\). ### Devoirs 1. **Problème de taxi :** Un service de taxi facture une prise en charge de 2,50€ et un coût de 1,50€ par kilomètre parcouru. * Modélisez le coût \(C(x)\) d'une course en fonction du nombre \(x\) de kilomètres parcourus par une fonction affine. * Calculez le coût d'une course de 10 km. * Quel est le nombre maximum de kilomètres que l'on peut parcourir pour un budget de 20€ ? 2. **Tracé de fonction par intervalles :** Tracez la fonction \(k\) définie par : \[ k(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x \le -1 \\ 2 & \text{si } -1 < x < 2 \\ -x+4 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \] * Calculez \(k(-2)\), \(k(0)\), \(k(2)\) et \(k(3))\). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les fonctions affines et les fonctions affines par intervalles. Voici les points essentiels à retenir : * Une **fonction affine** est de la forme \(f(x) = ax + b\). Sa représentation graphique est une droite. * Le nombre \(a\) est le **coefficient directeur** (ou pente), et \(b\) est l'**ordonnée à l'origine**. * Si \(a > 0\), la fonction est croissante ; si \(a < 0\), elle est décroissante ; si \(a = 0\), elle est constante. * Les **fonctions linéaires** (\(b=0\)) et les **fonctions constantes** (\(a=0\)) sont des cas particuliers de fonctions affines. * Une **fonction affine par intervalles** est définie par différentes expressions affines sur différents intervalles. Sa représentation graphique est composée de plusieurs segments de droite ou demi-droites. Ces fonctions sont très utiles pour modéliser des situations où les règles changent selon certaines conditions. ## Fonctions: x associe x². ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions usuelles ! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur une fonction très importante en mathématiques : la fonction qui à tout nombre \(x\) associe son carré, notée \(x \mapsto x^2\). Cette fonction, appelée fonction carré, est fondamentale et apparaît dans de nombreux domaines, de la physique à l'ingénierie. Nous allons explorer sa définition, ses propriétés et sa représentation graphique. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la fonction carré La fonction carré est la fonction \(f\) qui, à tout nombre réel \(x\), associe le nombre \(x^2\). On la note souvent \(f(x) = x^2\). * **Image :** L'image d'un nombre \(x\) par la fonction carré est \(x^2\). * Exemple : L'image de 3 est \(3^2 = 9\). * Exemple : L'image de -2 est \((-2)^2 = 4\). * **Antécédent :** Un antécédent d'un nombre \(y\) par la fonction carré est un nombre \(x\) tel que \(x^2 = y\). * Si \(y > 0\), alors \(y\) a deux antécédents : \(\sqrt{y}\) et \(-\sqrt{y}\). * Si \(y = 0\), alors \(0\) a un seul antécédent : \(0\). * Si \(y < 0\), alors \(y\) n'a pas d'antécédent. #### 2. Tableau de valeurs Pour mieux comprendre la fonction, il est utile de construire un tableau de valeurs. | \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-------|----|----|----|---|---|---|---| | \(x^2\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | #### 3. Représentation graphique : la parabole La courbe représentative de la fonction carré est appelée une **parabole**. * **Forme :** Elle a une forme de U. * **Sommet :** Le sommet de la parabole est le point le plus bas (ou le plus haut pour \(-x^2\)). Pour \(f(x) = x^2\), le sommet est le point \((0, 0)\), l'origine du repère. * **Axe de symétrie :** La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe \(y\)). Cela signifie que pour tout \(x\), \(f(-x) = f(x)\) car \((-x)^2 = x^2\). #### 4. Variations de la fonction carré * **Sur \(]-\infty; 0]\) :** La fonction carré est **décroissante**. Plus \(x\) est petit (négatif), plus \(x^2\) est grand. * Exemple : \((-3)^2 = 9\) et \((-1)^2 = 1\). De -3 à -1, la fonction décroît. * **Sur \([0; +\infty[) :** La fonction carré est **croissante**. Plus \(x\) est grand (positif), plus \(x^2\) est grand. * Exemple : \(1^2 = 1\) et \(3^2 = 9\). De 1 à 3, la fonction croît. * **Minimum :** La fonction atteint son minimum en \(x=0\), où \(f(0)=0^2=0\). Le tableau de variations de la fonction carré est le suivant : | \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(+\infty\) | |-------|------------|---|------------| | \(f(x) = x^2\) | \(+\infty\) \(\searrow\) | 0 | \(\nearrow\) \(+\infty\) | ### Vocabulaire * **Fonction carré :** La fonction qui à tout nombre réel \(x\) associe son carré \(x^2\). * **Parabole :** La courbe représentative de la fonction carré. * **Sommet :** Le point où la parabole change de sens de variation (pour \(x^2\), c'est \((0,0)\)). * **Axe de symétrie :** La droite par rapport à laquelle la courbe est symétrique (pour \(x^2\), c'est l'axe des ordonnées, d'équation \(x=0\)). * **Image :** Le résultat \(f(x)\) lorsque l'on applique la fonction \(f\) à un nombre \(x\). * **Antécédent :** Un nombre \(x\) tel que \(f(x)\) soit égal à une valeur donnée. ### Exemples 1. **Calcul d'images :** * Calculer l'image de 5 par la fonction carré : \(f(5) = 5^2 = 25\). * Calculer l'image de \(-1/2\) par la fonction carré : \(f(-1/2) = (-1/2)^2 = 1/4\). 2. **Recherche d'antécédents :** * Trouver les antécédents de 16 par la fonction carré : Nous cherchons \(x\) tel que \(x^2 = 16\). Les solutions sont \(x = \sqrt{16}\) ou \(x = -\sqrt{16}\), donc \(x = 4\) ou \(x = -4\). * Trouver les antécédents de -9 par la fonction carré : Nous cherchons \(x\) tel que \(x^2 = -9\). Il n'y a pas de solution réelle, donc -9 n'a pas d'antécédent par la fonction carré. 3. **Comparaison de nombres :** * Sans calculer, comparer \((-3,5)^2\) et \((-2,1)^2\). Sur l'intervalle \(]-\infty; 0]\), la fonction carré est décroissante. Comme \(-3,5 < -2,1\), alors \((-3,5)^2 > (-2,1)^2\). * Sans calculer, comparer \((1,8)^2\) et \((2,3)^2\). Sur l'intervalle \([0; +\infty[)\), la fonction carré est croissante. Comme \(1,8 < 2,3\), alors \((1,8)^2 < (2,3)^2\). ### Exercices 1. Calculer l'image de \(-7\) et de \(\frac{3}{4}\) par la fonction carré. 2. Déterminer les antécédents, s'ils existent, de 49 et de -25 par la fonction carré. 3. Compléter le tableau de valeurs suivant pour la fonction \(f(x) = x^2\) : | \(x\) | -4 | -1,5 | 0 | 2,5 | 5 | |-------|------|------|---|-----|---| | \(x^2\) | | | | | | 4. Sans les calculer, comparer \((5,2)^2\) et \((4,9)^2\). Justifier votre réponse. 5. Sans les calculer, comparer \((-6,7)^2\) et \((-7,2)^2\). Justifier votre réponse. ### Devoir à la maison 1. Tracer la courbe représentative de la fonction carré sur l'intervalle \([-3; 3]\) dans un repère orthogonal. 2. À l'aide du graphique que vous avez tracé, estimer les antécédents de 6 par la fonction carré. Vérifier par le calcul. 3. Résoudre les équations suivantes : * a) \(x^2 = 81\) * b) \(x^2 = 0\) * c) \(x^2 = -16\) 4. On considère un carré de côté \(c\). Exprimer son aire \(A\) en fonction de \(c\). Si l'aire est de \(36 \text{ cm}^2\), quelle est la longueur du côté ? ### Résumé La fonction carré, définie par \(f(x) = x^2\), est une fonction usuelle essentielle en Seconde. Sa courbe représentative est une **parabole** dont le **sommet** est à l'origine \((0,0)\) et l'**axe de symétrie** est l'axe des ordonnées. La fonction est **décroissante** sur \(]-\infty; 0]\) et **croissante** sur \([0; +\infty[)\). Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Comprendre cette fonction est crucial pour aborder d'autres fonctions et concepts en mathématiques. ## Fonctions affines et fonctions affines par intervalles. ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les fonctions affines et les fonctions affines par intervalles. Les fonctions sont des outils fondamentaux en mathématiques qui nous permettent de modéliser et de comprendre de nombreuses situations du monde réel, que ce soit en physique, en économie ou dans la vie quotidienne. Parmi elles, les fonctions affines jouent un rôle très important grâce à leur simplicité et leur représentation graphique en ligne droite. Nous allons explorer leur définition, leurs propriétés, et apprendre à les utiliser. Nous aborderons également les fonctions affines par intervalles, qui sont une extension pour décrire des situations plus complexes où les règles changent selon les conditions. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction affine Une fonction \( f \) est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = ax + b \] où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels fixés, et \( x \) est une variable réelle. * **\( a \)** est appelé le **coefficient directeur** ou la **pente**. Il indique la direction et la « raideur » de la droite représentative de la fonction. * **\( b \)** est appelé l'**ordonnée à l'origine**. C'est la valeur de \( f(x) \) lorsque \( x = 0 \), et graphiquement, c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. ##### Cas particuliers : * **Fonction linéaire :** Si \( b = 0 \), la fonction est de la forme \( f(x) = ax \). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère (0,0). * **Fonction constante :** Si \( a = 0 \), la fonction est de la forme \( f(x) = b \). Sa représentation graphique est une droite horizontale. #### 2. Représentation graphique d'une fonction affine La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère orthogonal est toujours une **droite**. * Pour tracer la droite, il suffit de connaître deux points qui lui appartiennent. * L'ordonnée à l'origine \( b \) nous donne un premier point : \( (0, b) \). * Le coefficient directeur \( a \) indique que si \( x \) augmente de 1, \( f(x) \) augmente (ou diminue) de \( a \). #### 3. Sens de variation d'une fonction affine Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur \( a \) : * Si \( a > 0 \), la fonction \( f \) est **strictement croissante**. La droite "monte" de gauche à droite. * Si \( a < 0 \), la fonction \( f \) est **strictement décroissante**. La droite "descend" de gauche à droite. * Si \( a = 0 \), la fonction \( f \) est **constante**. La droite est horizontale. #### 4. Détermination d'une fonction affine Pour déterminer l'expression \( f(x) = ax + b \) d'une fonction affine, on a généralement besoin de deux informations : * **À partir de deux points :** Si vous connaissez les images de deux nombres, par exemple \( f(x_1) = y_1 \) et \( f(x_2) = y_2 \), alors le coefficient directeur \( a \) peut être calculé par la formule : \[ a = rac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = rac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \] Une fois \( a \) trouvé, on remplace \( a \), \( x \) et \( y \) par les coordonnées de l'un des points dans \( y = ax + b \) pour trouver \( b \). #### 5. Fonctions affines par intervalles Une fonction affine par intervalles est une fonction dont l'expression change selon les intervalles de son domaine de définition. * Elle est définie par plusieurs expressions de fonctions affines, chacune valable sur un intervalle spécifique. * La fonction valeur absolue \( f(x) = |x| \) est un exemple classique : * \( f(x) = x \) si \( x \[ge\] 0 \) * \( f(x) = -x \) si \( x < 0 \) * Sa représentation graphique est une succession de segments de droites. ### Vocabulaire * **Fonction affine :** Fonction de la forme \( f(x) = ax + b \). * **Coefficient directeur (pente) :** Le nombre \( a \) dans l'expression \( ax + b \). Il détermine la direction de la droite. * **Ordonnée à l'origine :** Le nombre \( b \) dans l'expression \( ax + b \). C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. * **Fonction linéaire :** Fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle (\( f(x) = ax \)). * **Fonction constante :** Fonction affine dont le coefficient directeur est nul (\( f(x) = b \)). * **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. * **Représentation graphique :** La courbe qui représente une fonction dans un repère. * **Sens de variation :** Indique si une fonction est croissante, décroissante ou constante. ### Exemples #### Exemple 1 : Représentation graphique d'une fonction affine Soit la fonction \( f(x) = -2x + 3 \). * Le coefficient directeur est \( a = -2 \). * L'ordonnée à l'origine est \( b = 3 \). Pour la tracer : 1. Placer le point \( (0, 3) \) (ordonnée à l'origine). 2. Utiliser la pente : quand \( x \) augmente de 1, \( f(x) \) diminue de 2. Donc, à partir de \( (0, 3) \), on avance de 1 vers la droite et on descend de 2 pour obtenir un deuxième point : \( (1, 1) \). 3. Tracer la droite passant par ces deux points. #### Exemple 2 : Détermination d'une fonction affine à partir de deux points Trouver l'expression de la fonction affine \( f \) telle que \( f(1) = 5 \) et \( f(3) = 11 \). 1. Calcul du coefficient directeur \( a \) : \[ a = rac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = rac{11 - 5}{2} = rac{6}{2} = 3 \] 2. La fonction est de la forme \( f(x) = 3x + b \). Utilisons \( f(1) = 5 \) pour trouver \( b \) : \( 5 = 3(1) + b \) \( 5 = 3 + b \) \( b = 5 - 3 = 2 \) 3. L'expression de la fonction est donc \( f(x) = 3x + 2 \). #### Exemple 3 : Problème concret avec une fonction affine Le coût d'une course en taxi est de 2,50€ de prise en charge, plus 1,50€ par kilomètre parcouru. Exprimez le coût \( C(x) \) en fonction de la distance \( x \) parcourue en kilomètres. * Le coût de prise en charge est fixe : c'est l'ordonnée à l'origine \( b = 2,50 \). * Le coût par kilomètre est le coefficient directeur : \( a = 1,50 \). * Donc, \( C(x) = 1,50x + 2,50 \). #### Exemple 4 : Fonction affine par intervalles Un parking propose les tarifs suivants : * 3€ pour la première heure (ou toute heure entamée). * 2€ par heure supplémentaire (ou toute heure entamée) à partir de la deuxième heure. Soit \( C(x) \) le coût pour \( x \) heures de stationnement. * Si \( 0 < x \le 1 \), alors \( C(x) = 3 \). * Si \( 1 < x \le 2 \), alors \( C(x) = 3 + 2 = 5 \). * Si \( 2 < x \le 3 \), alors \( C(x) = 3 + 2 + 2 = 7 \). Ceci est un exemple de fonction en escalier, qui peut être modélisée par des segments affines constants sur chaque intervalle. ### Exercices 1. Pour chacune des fonctions affines suivantes, identifiez le coefficient directeur \( a \) et l'ordonnée à l'origine \( b \), puis précisez son sens de variation : a) \( f(x) = 5x - 8 \) b) \( g(x) = -x + 10 \) c) \( h(x) = rac{1}{2}x \) d) \( k(x) = -3 \) 2. Tracez la représentation graphique de la fonction \( f(x) = -x + 4 \) dans un repère orthogonal. 3. Déterminez l'expression de la fonction affine \( f \) dont la représentation graphique passe par les points \( A(-1, 7) \) et \( B(2, 1) \). 4. Une entreprise de livraison facture 10€ pour l'envoi d'un colis, plus 0,50€ par kilogramme. Soit \( P(x) \) le prix à payer pour un colis de \( x \) kilogrammes. Écrivez l'expression de \( P(x) \). ### Devoir à la maison 1. Un club de sport propose deux formules d'abonnement : * **Formule A :** 30€ d'inscription annuelle, puis 5€ par séance. * **Formule B :** Pas de frais d'inscription, mais 7€ par séance. Soit \( x \) le nombre de séances effectuées dans l'année. a) Exprimez le coût annuel \( C_A(x) \) pour la formule A et \( C_B(x) \) pour la formule B en fonction de \( x \). b) Pour quel nombre de séances les deux formules sont-elles équivalentes ? c) À partir de combien de séances la formule A devient-elle plus avantageuse que la formule B ? 2. La fonction \( g \) est représentée par la droite passant par les points \( C(0, -2) \) et \( D(4, 0) \). a) Déterminez l'expression de \( g(x) \). b) Calculez \( g(-2) \) et \( g(6) \). 3. Tracez la représentation graphique de la fonction \( f \) définie par intervalles : * \( f(x) = x + 3 \) si \( x < -1 \) * \( f(x) = -x + 1 \) si \( x \ge -1 \) ### Résumé Nous avons exploré les fonctions affines, caractérisées par leur forme \( f(x) = ax + b \) et leur représentation graphique qui est une droite. Le coefficient directeur \( a \) détermine la pente et le sens de variation de la fonction (croissante si \( a > 0 \), décroissante si \( a < 0 \), constante si \( a = 0 \)). L'ordonnée à l'origine \( b \) indique le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Nous avons appris à déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points. Enfin, nous avons découvert les fonctions affines par intervalles, dont l'expression change sur différents intervalles, permettant de modéliser des situations plus complexes avec des règles qui évoluent. Ces fonctions sont essentielles pour comprendre de nombreux phénomènes mathématiques et réels. ## Fonctions: x associe ax²; ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer un type particulier de fonctions appelé fonctions quadratiques, spécifiquement celles de la forme \( f(x) = ax^2 \). Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreuses applications pratiques, de la physique à l'ingénierie. Nous allons apprendre à les reconnaître, à comprendre leur comportement graphique et à étudier leurs propriétés. ### Concepts Clés #### Définition d'une fonction \( x \mapsto ax^2 \) Une fonction qui, à chaque nombre réel \( x \), associe le nombre \( ax^2 \) (où \( a \) est un nombre réel non nul) est appelée une fonction quadratique simple. Elle s'écrit sous la forme: \[ f(x) = ax^2 \] ou \[ y = ax^2 \] Le nombre \( a \) est appelé le **coefficient directeur**. Il joue un rôle crucial dans l'orientation et l'ouverture de la courbe représentative de la fonction. #### Représentation graphique : La parabole La courbe représentative d'une fonction de la forme \( f(x) = ax^2 \) est une **parabole**. Toutes ces paraboles passent par l'origine du repère \( (0,0) \), qui est également leur **sommet**. Elles ont l'axe des ordonnées \( (Oy) \) comme **axe de symétrie**. #### Influence du coefficient \( a \) La valeur et le signe de \( a \) déterminent l'allure de la parabole: * **Si \( a > 0 \) (\( a \) est positif):** * La parabole est ouverte vers le haut. On dit qu'elle est "tournée vers le ciel". * Le sommet \( (0,0) \) est un **minimum** pour la fonction. La fonction atteint sa valeur minimale \( 0 \) en \( x=0 \). * Plus la valeur absolue de \( a \) est grande, plus la parabole est "resserrée" autour de l'axe \( Oy \). * **Si \( a < 0 \) (\( a \) est négatif):** * La parabole est ouverte vers le bas. On dit qu'elle est "tournée vers la terre". * Le sommet \( (0,0) \) est un **maximum** pour la fonction. La fonction atteint sa valeur maximale \( 0 \) en \( x=0 \). * Plus la valeur absolue de \( a \) est grande, plus la parabole est "resserrée" autour de l'axe \( Oy \). #### Tableau de variations Le tableau de variations décrit comment la fonction évolue. * **Si \( a > 0 \):** * La fonction est décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty; 0] \). * La fonction est croissante sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \). * Elle admet un minimum en \( x=0 \), qui est \( f(0) = 0 \). | \( x \) | \( - \infty \) | 0 | \( + \infty \) | | :---------------- | :-------------: | :-: | :------------: | | Variations de \( f \)| \( \searrow \) | 0 | \( \nearrow \) | * **Si \( a < 0 \):** * La fonction est croissante sur l'intervalle \( ]-\infty; 0] \). * La fonction est décroissante sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \). * Elle admet un maximum en \( x=0 \), qui est \( f(0) = 0 \). | \( x \) | \( - \infty \) | 0 | \( + \infty \) | | :---------------- | :-------------: | :-: | :------------: | | Variations de \( f \)| \( \nearrow \) | 0 | \( \searrow \) | ### Vocabulaire * **Fonction quadratique:** Une fonction polynomiale du second degré. Dans notre cas, de la forme \( f(x) = ax^2 \). * **Coefficient directeur (\( a \)):** Le nombre qui multiplie \( x^2 \). Son signe détermine l'orientation de la parabole. * **Parabole:** La courbe représentative d'une fonction quadratique. * **Sommet:** Le point le plus bas (si \( a > 0 \)) ou le plus haut (si \( a < 0 \)) de la parabole. Pour \( f(x) = ax^2 \), le sommet est l'origine \( (0,0) \). * **Axe de symétrie:** La droite verticale qui divise la parabole en deux parties identiques. Pour \( f(x) = ax^2 \), c'est l'axe des ordonnées (la droite d'équation \( x=0 \)). * **Minimum:** La plus petite valeur que la fonction peut atteindre (lorsque \( a > 0 \)). * **Maximum:** La plus grande valeur que la fonction peut atteindre (lorsque \( a < 0 \)). * **Variations:** L'étude de l'intervalle où la fonction est croissante ou décroissante. ### Exemples #### Exemple 1: La fonction carrée \( f(x) = x^2 \) Ici, \( a=1 \), donc \( a > 0 \). La parabole est ouverte vers le haut. | \( x \) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---- | :--: | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | \( x^2 \)| 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | Le sommet est \( (0,0) \), qui est un minimum. L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. #### Exemple 2: La fonction \( g(x) = 2x^2 \) Ici, \( a=2 \), donc \( a > 0 \). La parabole est aussi ouverte vers le haut, mais elle est plus resserrée que \( f(x)=x^2 \) car \( |2| > |1| \). | \( x \) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | :---- | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | | \( 2x^2 \)| 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | #### Exemple 3: La fonction \( h(x) = -x^2 \) Ici, \( a=-1 \), donc \( a < 0 \). La parabole est ouverte vers le bas. | \( x \) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---- | :---: | :---: | :---: | :-: | :---: | :---: | :---: | | \( -x^2 \)| -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | Le sommet est \( (0,0) \), qui est un maximum. L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. ### Exercices 1. Pour chaque fonction, indiquez si sa parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas, et si le sommet est un minimum ou un maximum: * a) \( f(x) = 0.5x^2 \) * b) \( g(x) = -3x^2 \) * c) \( h(x) = \frac{1}{4}x^2 \) * d) \( k(x) = -\sqrt{2}x^2 \) 2. Classez les fonctions suivantes par ordre croissant de la "largeur" de leur parabole (de la plus resserrée à la plus ouverte): * \( f_1(x) = 5x^2 \) * \( f_2(x) = -0.1x^2 \) * \( f_3(x) = 2x^2 \) * \( f_4(x) = -\frac{1}{2}x^2 \) 3. Construisez un tableau de valeurs pour la fonction \( f(x) = -2x^2 \) pour \( x \) allant de -2 à 2 avec un pas de 1. Représentez ensuite ces points sur un repère et tracez l'allure de la parabole. Décrivez son tableau de variations. ### Devoir 1. Soit la fonction \( f(x) = ax^2 \). * a) Déterminez la valeur de \( a \) sachant que le point \( (2, 8) \) appartient à la courbe de \( f \). * b) Quel est le tableau de variations de cette fonction \( f \) ? 2. Une balle est lancée verticalement vers le haut. Sa hauteur \( h(t) \) (en mètres) après \( t \) secondes est approximativement donnée par la fonction \( h(t) = -5t^2 + 20t \). (Ceci est une fonction quadratique plus complexe, mais elle illustre l'usage. Concentrez-vous sur la partie \( -5t^2 \)). * a) Dans cette formule, quel est le coefficient \( a \) de la partie \( at^2 \)? Quel est le signe de ce coefficient? Qu'est-ce que cela signifie pour la forme de la trajectoire si l'on ne considérait que le terme \( -5t^2 \) ? * b) Sans tracer la courbe, pouvez-vous dire si le point \( (0,0) \) est un maximum ou un minimum si l'on considérait la fonction \( k(t)=-5t^2 \)? 3. On considère les fonctions \( f(x) = 0.8x^2 \) et \( g(x) = -0.8x^2 \). * a) Que pouvez-vous dire de leurs courbes représentatives l'une par rapport à l'autre? * b) Tracez les deux courbes dans le même repère et vérifiez votre réponse. ### Résumé Les fonctions de la forme \( f(x) = ax^2 \) sont des fonctions quadratiques dont la représentation graphique est une **parabole** passant par l'origine \( (0,0) \) et ayant l'axe \( (Oy) \) comme axe de symétrie. Le **coefficient \( a \)** est déterminant: * Si \( a > 0 \), la parabole est ouverte vers le haut, le sommet \( (0,0) \) est un **minimum**. * Si \( a < 0 \), la parabole est ouverte vers le bas, le sommet \( (0,0) \) est un **maximum**. La valeur absolue de \( a \) influe sur l'ouverture de la parabole: plus \( |a| \) est grand, plus la parabole est resserrée. Comprendre ces propriétés est essentiel pour aborder des fonctions quadratiques plus complexes par la suite. ## Représentation graphique des fonctions usuelles point par point dans une fenêtre donnée. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions usuelles ! Dans ce cours, nous allons apprendre à visualiser des fonctions en les représentant graphiquement. Comprendre le comportement d'une fonction à travers sa courbe est une compétence essentielle en mathématiques. Nous allons nous concentrer sur la méthode de construction point par point et sur l'importance de travailler dans une "fenêtre" ou un "cadre" graphique défini. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fonction et sa représentation graphique ? * **Rappel sur les fonctions:** Une fonction, notée \( f \), est un processus qui associe à chaque nombre \( x \) (appelé antécédent) de son ensemble de définition un unique nombre \( y \) (appelé image), noté \( f(x) \). * **Repère Cartésien:** Pour représenter graphiquement une fonction, nous utilisons un repère cartésien, composé d'un axe des abscisses (horizontal, pour les valeurs de \( x \)) et d'un axe des ordonnées (vertical, pour les valeurs de \( f(x) \) ou \( y \)). L'intersection des axes est l'origine \( O(0;0) \). * **Courbe Représentative:** La courbe représentative d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( M \) de coordonnées \( (x; f(x)) \) dans le plan. Chaque point de la courbe est de la forme \( (antécédent; image) \). #### Méthode de construction point par point Pour tracer la courbe représentative d'une fonction \( f \): 1. **Choisir des valeurs de \( x \):** Sélectionnez plusieurs valeurs de \( x \) dans l'intervalle donné ou la fenêtre d'affichage. Il est souvent judicieux de choisir des nombres entiers ou des fractions simples. 2. **Calculer les images \( f(x) \):** Pour chaque valeur de \( x \) choisie, calculez l'image correspondante \( f(x) \) en utilisant la formule de la fonction. 3. **Former des couples de points:** Créez une liste de couples de coordonnées \( (x; f(x)) \). 4. **Placer les points:** Représentez ces points dans le repère cartésien. 5. **Relier les points:** Si la fonction est continue (ce qui est le cas pour la plupart des fonctions que vous étudierez en Seconde), reliez les points pour former une courbe lisse. Soyez attentifs aux cas particuliers (comme les valeurs interdites). #### Fonctions usuelles Nous allons nous concentrer sur la représentation de quelques fonctions fondamentales : * **Fonction affine:** De la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes. Sa représentation graphique est une **droite**. * **Fonction linéaire:** Un cas particulier de la fonction affine où \( b = 0 \), donc \( f(x) = ax \). Sa représentation graphique est une **droite passant par l'origine**. * **Fonction carrée:** De la forme \( f(x) = x^2 \). Sa représentation graphique est une **parabole** dont le sommet est à l'origine (pour \( f(x) = x^2 \)). * **Fonction inverse:** De la forme \( f(x) = rac{1}{x} \). Sa représentation graphique est une **hyperbole**. Attention, \( x \) ne peut pas être égal à 0 (valeur interdite). #### Fenêtre graphique (ou d'affichage) La fenêtre graphique définit la partie du plan que nous allons observer. Elle est généralement spécifiée par des intervalles pour \( x \) et \( y \): * **\( x_{min} \) et \( x_{max} \):** L'intervalle des abscisses \( [x_{min}, x_{max}] \). * **\( y_{min} \) et \( y_{max} \):** L'intervalle des ordonnées \( [y_{min}, y_{max}] \). Il est crucial de choisir des points à tracer qui se situent dans cette fenêtre pour que la partie pertinente de la courbe soit visible. ### Vocabulaire * **Fonction:** Une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ à un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Antécédent:** La valeur \( x \) pour laquelle on calcule l'image par une fonction. * **Image:** La valeur \( f(x) \) obtenue pour un antécédent \( x \). * **Courbe représentative:** La représentation visuelle d'une fonction dans un repère. * **Repère cartésien:** Un système de coordonnées (axes des abscisses et des ordonnées) utilisé pour localiser des points dans un plan. * **Abscisse:** La coordonnée horizontale d'un point (valeur sur l'axe des \( x \)). * **Ordonnée:** La coordonnée verticale d'un point (valeur sur l'axe des \( y \)). * **Fenêtre graphique:** La plage de valeurs pour les axes \( x \) et \( y \) qui est affichée sur un graphique. * **Parabole:** La forme de la courbe représentative de la fonction carrée. * **Hyperbole:** La forme de la courbe représentative de la fonction inverse. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction affine \( f(x) = 2x - 1 \) Tracer la courbe de \( f(x) = 2x - 1 \) dans la fenêtre où \( x \in [-3, 3] \) et \( y \in [-7, 5] \). | \( x \) | \( f(x) = 2x - 1 \) | Point \( (x; f(x)) \) | |---|---|---| | -3 | \( 2(-3) - 1 = -7 \) | \( (-3; -7) \) | | -2 | \( 2(-2) - 1 = -5 \) | \( (-2; -5) \) | | -1 | \( 2(-1) - 1 = -3 \) | \( (-1; -3) \) | | 0 | \( 2(0) - 1 = -1 \) | \( (0; -1) \) | | 1 | \( 2(1) - 1 = 1 \) | \( (1; 1) \) | | 2 | \( 2(2) - 1 = 3 \) | \( (2; 3) \) | | 3 | \( 2(3) - 1 = 5 \) | \( (3; 5) \) | Placez ces points dans un repère et reliez-les pour obtenir une droite. #### Exemple 2: Fonction carrée \( g(x) = x^2 \) Tracer la courbe de \( g(x) = x^2 \) dans la fenêtre où \( x \in [-2, 2] \) et \( y \in [0, 4] \). | \( x \) | \( g(x) = x^2 \) | Point \( (x; g(x)) \) | |---|---|---| | -2 | \( (-2)^2 = 4 \) | \( (-2; 4) \) | | -1 | \( (-1)^2 = 1 \) | \( (-1; 1) \) | | 0 | \( 0^2 = 0 \) | \( (0; 0) \) | | 1 | \( 1^2 = 1 \) | \( (1; 1) \) | | 2 | \( 2^2 = 4 \) | \( (2; 4) \) | Placez ces points et reliez-les pour former une parabole. #### Exemple 3: Fonction inverse \( h(x) = rac{1}{x} \) Tracer la courbe de \( h(x) = rac{1}{x} \) dans la fenêtre où \( x \in [-4, -0.5] \cup [0.5, 4] \) et \( y \in [-2, 2] \). Notez que \( x \neq 0 \). | \( x \) | \( h(x) = rac{1}{x} \) | Point \( (x; h(x)) \) | |---|---|---| | -4 | \( -0.25 \) | \( (-4; -0.25) \) | | -2 | \( -0.5 \) | \( (-2; -0.5) \) | | -1 | \( -1 \) | \( (-1; -1) \) | | -0.5 | \( -2 \) | \( (-0.5; -2) \) | | 0.5 | \( 2 \) | \( (0.5; 2) \) | | 1 | \( 1 \) | \( (1; 1) \) | | 2 | \( 0.5 \) | \( (2; 0.5) \) | | 4 | \( 0.25 \) | \( (4; 0.25) \) | Placez ces points. Vous remarquerez qu'il y a deux branches distinctes, car la fonction n'est pas définie en \( x=0 \). Ne reliez jamais les points qui traverseraient l'axe \( y \) à \( x=0 \). ### Exercices Pour chaque fonction, construisez un tableau de valeurs, placez les points et tracez la courbe représentative dans la fenêtre donnée. 1. Tracez la fonction \( f(x) = -x + 3 \) pour \( x \in [-2, 4] \) et \( y \in [-1, 5] \). 2. Tracez la fonction \( g(x) = x^2 - 1 \) pour \( x \in [-3, 3] \) et \( y \in [-1, 8] \). 3. Tracez la fonction \( h(x) = rac{1}{x} + 1 \) pour \( x \in [-2, -0.5] \cup [0.5, 2] \) et \( y \in [-1, 3] \). ### Devoir À faire à la maison, sur une feuille de papier millimétré ou dans votre cahier. 1. Tracez la fonction \( f(x) = 0.5x + 2 \) pour \( x \in [-5, 5] \) et \( y \in [-0.5, 4.5] \). 2. Tracez la fonction \( g(x) = -x^2 \) pour \( x \in [-3, 3] \) et \( y \in [-9, 0] \). 3. Tracez la fonction racine carrée \( k(x) = \sqrt{x} \) pour \( x \in [0, 9] \) et \( y \in [0, 3] \). (N'oubliez pas que \( x \) doit être positif pour la fonction racine carrée). ### Résumé Pour représenter graphiquement une fonction \( f \) point par point dans une fenêtre donnée, suivez ces étapes cruciales : 1. Identifiez la **fenêtre graphique** (les intervalles pour \( x \) et \( y \)). 2. Choisissez un ensemble de **valeurs de \( x \) pertinentes** au sein de cette fenêtre. 3. Calculez les **images \( f(x) \)** correspondantes pour obtenir des couples de coordonnées \( (x; f(x)) \). 4. **Placez ces points** précisément dans un repère cartésien. 5. **Reliez les points** pour esquisser la courbe représentative de la fonction, en respectant les spécificités de chaque type de fonction (droite pour affine, parabole pour carrée, hyperbole pour inverse, etc.). Cette méthode est fondamentale pour comprendre le lien entre l'expression algébrique d'une fonction et sa représentation visuelle. Une bonne maîtrise des fonctions usuelles vous servira de base pour des études plus avancées.