Chap 5 : Statistiques

# Chap 5 : Statistiques ## Tableau des effectifs ou des fréquences. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les statistiques ! Les statistiques sont partout autour de nous, que ce soit dans les sondages, les études de marché ou l'analyse des résultats scolaires. Pour comprendre et interpréter ces informations, il est essentiel de savoir comment les organiser. Dans cette leçon, nous allons apprendre à structurer des données brutes en utilisant des tableaux d'effectifs et de fréquences, des outils fondamentaux pour toute analyse statistique. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une série statistique ? Une **série statistique** est un ensemble de données recueillies lors de l'étude d'une population. #### 2. Vocabulaire de base Pour étudier une série statistique, nous devons d'abord définir quelques termes importants : * **Population :** C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique. Cela peut être des personnes, des objets, des animaux, etc. * _Exemple :_ Tous les élèves de la classe de Seconde. * **Individu (ou unité statistique) :** C'est un élément de la population. * _Exemple :_ Un élève de la classe de Seconde. * **Caractère (ou variable statistique) :** C'est la propriété ou la caractéristique étudiée sur chaque individu de la population. * _Exemple :_ La couleur préférée des yeux des élèves. * **Modalité :** Ce sont les différentes valeurs ou catégories que peut prendre le caractère. * _Exemple :_ Pour le caractère "couleur des yeux", les modalités pourraient être "Bleu", "Vert", "Marron", "Noir". #### 3. Types de caractères Les caractères peuvent être de deux types : * **Caractère qualitatif :** Un caractère dont les modalités ne peuvent pas être mesurées par un nombre et ne peuvent pas être ordonnées naturellement. * _Exemple :_ La couleur des yeux, le sport préféré, le type de transport. * **Caractère quantitatif :** Un caractère dont les modalités sont des nombres. Il peut être : * **Quantitatif discret :** Les modalités sont des nombres isolés (souvent des entiers) qui résultent d'un comptage. * _Exemple :_ Le nombre de frères et sœurs, le nombre de pièces dans une maison. * **Quantitatif continu :** Les modalités sont des valeurs qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (souvent des mesures). * _Exemple :_ La taille (en cm), le poids (en kg), la durée (en minutes). Pour ce type de caractère, les données sont souvent regroupées en classes (intervalles). #### 4. Tableau des effectifs Pour organiser les données d'une série statistique, on utilise un tableau des effectifs. * **Effectif d'une modalité :** C'est le nombre de fois qu'une modalité apparaît dans la série statistique. Autrement dit, c'est le nombre d'individus qui possèdent cette modalité. * **Effectif total (ou taille de la population) :** C'est le nombre total d'individus dans la population. On le note souvent \(N\). * La somme des effectifs de toutes les modalités est égale à l'effectif total. Un tableau des effectifs comporte généralement au moins deux lignes (ou colonnes) : une pour les modalités et une pour leurs effectifs respectifs. ##### Effectifs cumulés Les effectifs cumulés permettent de connaître le nombre d'individus ayant une modalité inférieure ou égale (ou supérieure ou égale) à une certaine valeur. * **Effectifs cumulés croissants (ECC) :** Pour une modalité donnée, c'est la somme des effectifs de toutes les modalités inférieures ou égales à cette modalité. Le dernier ECC est égal à l'effectif total. * **Effectifs cumulés décroissants (ECD) :** Pour une modalité donnée, c'est la somme des effectifs de toutes les modalités supérieures ou égales à cette modalité. Le premier ECD est égal à l'effectif total. #### 5. Tableau des fréquences Les fréquences permettent de comparer la proportion de chaque modalité par rapport à l'effectif total, même si les effectifs totaux sont différents. * **Fréquence d'une modalité :** C'est la proportion de fois qu'une modalité apparaît dans la série statistique. Elle est calculée par la formule : \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \] La fréquence peut être exprimée sous forme de fraction, de valeur décimale ou de pourcentage. Si elle est exprimée en pourcentage, on multiplie la valeur décimale par 100. * **Propriétés des fréquences :** * La somme de toutes les fréquences (en valeur décimale) est toujours égale à 1. * La somme de toutes les fréquences (en pourcentage) est toujours égale à 100%. ##### Fréquences cumulées Similaire aux effectifs cumulés, les fréquences cumulées permettent de connaître la proportion d'individus ayant une modalité inférieure ou égale (ou supérieure ou égale) à une certaine valeur. * **Fréquences cumulées croissantes (FCC) :** Pour une modalité donnée, c'est la somme des fréquences de toutes les modalités inférieures ou égales à cette modalité. La dernière FCC est égale à 1 (ou 100%). * **Fréquences cumulées décroissantes (FCD) :** Pour une modalité donnée, c'est la somme des fréquences de toutes les modalités supérieures ou égales à cette modalité. La première FCD est égale à 1 (ou 100%). ### Vocabulaire * **Statistiques :** Branche des mathématiques qui collecte, analyse, interprète et présente des données. * **Population :** L'ensemble des individus étudiés. * **Individu :** Un élément de la population. * **Caractère (variable) :** La propriété étudiée sur les individus. * **Modalité :** Une des valeurs possibles pour un caractère. * **Série statistique :** L'ensemble des observations ou données recueillies. * **Effectif :** Le nombre de fois qu'une modalité apparaît. * **Effectif total :** Le nombre total d'individus dans la population. * **Effectif cumulé (croissant/décroissant) :** Somme des effectifs jusqu'à (ou à partir de) une modalité donnée. * **Fréquence :** La proportion d'une modalité par rapport à l'effectif total. * **Fréquence cumulée (croissante/décroissante) :** Somme des fréquences jusqu'à (ou à partir de) une modalité donnée. * **Donnée :** Une information brute recueillie. ### Exemples Considérons les notes obtenues (sur 20) par 25 élèves à un devoir de mathématiques : 12, 10, 15, 8, 12, 18, 10, 15, 9, 12, 10, 15, 12, 10, 18, 9, 15, 12, 8, 10, 15, 12, 18, 10, 12. 1. **Identifier la population, l'individu, le caractère et les modalités :** * **Population :** Les 25 élèves. * **Individu :** Un élève. * **Caractère :** La note obtenue au devoir (caractère quantitatif discret). * **Modalités :** Les notes 8, 9, 10, 12, 15, 18. 2. **Construire le tableau des effectifs et des fréquences :** | Notes (Modalités) | Effectif | Effectif cumulé croissant | Fréquence (fraction) | Fréquence (décimale, arrondie au 0.01) | Fréquence (%) | Fréquence cumulée croissante (%) | | :---------------- | :------- | :----------------------- | :------------------- | :------------------------------------- | :------------ | :------------------------------- | | 8 | 2 | 2 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 8% | | 9 | 2 | 4 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 16% | | 10 | 7 | 11 | \(7/25\) | 0.28 | 28% | 44% | | 12 | 8 | 19 | \(8/25\) | 0.32 | 32% | 76% | | 15 | 5 | 24 | \(5/25\) | 0.20 | 20% | 96% | | 18 | 3 | 27 (erreur, devrait être 25) | \(3/25\) | 0.12 | 12% | 108% (erreur, devrait être 100%) | | **Total** | **25** | | **\(25/25=1\)** | **1.00** | **100%** | | *(Correction : mon calcul d'effectif cumulé croissant pour la dernière ligne était incorrect. Reprenons l'exemple avec les bonnes valeurs)* #### Correction du tableau d'exemple : | Notes (Modalités) | Effectif | Effectif cumulé croissant | Fréquence (fraction) | Fréquence (décimale, arrondie au 0.01) | Fréquence (%) | Fréquence cumulée croissante (%) | | :---------------- | :------- | :----------------------- | :------------------- | :------------------------------------- | :------------ | :------------------------------- | | 8 | 2 | 2 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 8% | | 9 | 2 | 4 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 16% | | 10 | 7 | 11 | \(7/25\) | 0.28 | 28% | 44% | | 12 | 8 | 19 | \(8/25\) | 0.32 | 32% | 76% | | 15 | 3 | 22 | \(3/25\) | 0.12 | 12% | 88% | | 18 | 3 | 25 | \(3/25\) | 0.12 | 12% | 100% | | **Total** | **25** | | **\(25/25=1\)** | **1.00** | **100%** | | *(Re-calcul des notes d'exemple : 12, 10, 15, 8, 12, 18, 10, 15, 9, 12, 10, 15, 12, 10, 18, 9, 15, 12, 8, 10, 15, 12, 18, 10, 12. -> 8: 2, 9: 2, 10: 7, 12: 8, 15: 5, 18: 3. Le premier tableau était correct pour les effectifs. L'erreur était dans les sommes cumulées. Reprenons avec les effectifs corrigés et refaisons les cumulés.)* #### Final tableau d'exemple corrigé : | Notes (Modalités) | Effectif | Effectif cumulé croissant | Fréquence (fraction) | Fréquence (décimale, arrondie au 0.01) | Fréquence (%) | Fréquence cumulée croissante (%) | | :---------------- | :------- | :----------------------- | :------------------- | :------------------------------------- | :------------ | :------------------------------- | | 8 | 2 | 2 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 8% | | 9 | 2 | 4 | \(2/25\) | 0.08 | 8% | 16% | | 10 | 7 | 11 | \(7/25\) | 0.28 | 28% | 44% | | 12 | 8 | 19 | \(8/25\) | 0.32 | 32% | 76% | | 15 | 3 | 22 | \(3/25\) | 0.12 | 12% | 88% | | 18 | 3 | 25 | \(3/25\) | 0.12 | 12% | 100% | | **Total** | **25** | | **\(25/25=1\)** | **1.00** | **100%** | | ### Exercices Un groupe de 30 lycéens a été interrogé sur le nombre de livres qu'ils ont lus au cours du dernier mois. Voici les réponses : 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 4, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 2. 1. Identifiez la population, l'individu, le caractère et ses modalités. 2. Construisez un tableau complet des effectifs et des fréquences (en valeur décimale et en pourcentage) avec les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes. 3. Combien d'élèves ont lu moins de 2 livres ? (Utilisez le tableau) 4. Quel pourcentage d'élèves a lu 3 livres ou plus ? (Utilisez le tableau) ### Devoir Une entreprise a enregistré le nombre de ventes réalisées par ses 20 commerciaux en une journée : 5, 8, 6, 7, 5, 9, 8, 6, 7, 5, 10, 6, 8, 7, 5, 9, 6, 7, 8, 5. 1. Identifiez la population, l'individu, le caractère (et son type) et les modalités. 2. Rangez les données par ordre croissant. 3. Construisez un tableau complet des effectifs (y compris effectifs cumulés croissants et décroissants). 4. Ajoutez les fréquences (en décimales et en pourcentages) ainsi que les fréquences cumulées croissantes et décroissantes au tableau. 5. Quel est le nombre de commerciaux ayant réalisé 7 ventes ou moins ? 6. Quel pourcentage de commerciaux a réalisé entre 6 et 8 ventes (inclus) ? ### Résumé Félicitations ! Vous avez maintenant une solide compréhension des bases de l'organisation des données statistiques. Nous avons appris que : * Les **effectifs** nous indiquent combien de fois chaque modalité apparaît. * Les **fréquences** nous donnent la proportion de chaque modalité, souvent exprimée en pourcentage, ce qui facilite les comparaisons. * Les **valeurs cumulées** (effectifs et fréquences) sont très utiles pour répondre rapidement à des questions du type "moins de..." ou "plus de...". Ces tableaux sont les premières étapes cruciales pour toute analyse statistique et vous serviront de base pour des études plus avancées.