Spectre lumineux

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir et distinguer un spectre d’émission et un spectre d’absorption. - Expliquer les lois de Kirchhoff relatives au rayonnement des corps. - Décrire la décomposition de la lumière blanche par un prisme ou un réseau de diffraction et identifier le spectre continu associé. - Situer le domaine des ondes électromagnétiques dans le spectre global et utiliser la relation $c=\lambda \nu$. - Appliquer la loi de Wien du déplacement pour déterminer la longueur d’onde maximale d’émission d’un corps noir en fonction de sa température. - Réaliser des calculs numériques liés aux longueurs d’onde, fréquences et énergies des photons. - Interpréter expérimentalement un spectre d’absorption ou d’émission observé à l’aide d’un spectromètre. **Prérequis** : - Notions d’onde mécanique (vitesse, fréquence, longueur d’onde). - Concepts de réflexion, réfraction et dispersion de la lumière. - Notion de corps idéal (corps noir) et d’équilibre thermique. - Manipulation des grandeurs physiques en unités SI (mètre, hertz, joule, kelvin). - Utilisation de la constante de Planck $h=6,626\times10^{-34}\ \text{J·s}$ et de la vitesse de la lumière $c=2,998\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$. > **À retenir** : Les objectifs ci‑dessus sont ceux attendus pour l’épreuve du Probatoire (série C, D, E, TI) selon le programme officiel MINESEC/IGE. --- ## Introduction contextualisée La lumière que nous percevons n’est pas une entité homogène : elle est composée d’une multitude de radiations électromagnétiques de longueurs d’onde différentes. Lorsque cette lumière traverse un milieu dispersif (prisme, réseau de diffraction) ou interagit avec la matière (gaz, solide, plasma), elle se décompose en un **spectre** qui révèle la composition chimique, la température ou l’état physique de la source. Dans le domaine de la physique au lycée, l’étude du spectre lumineux permet de relier des phénomènes macroscopiques (couleur d’une flamme, teinte d’une étoile) à des lois microscopiques (transitions électroniques, rayonnement du corps noir). Ce chapitre s’inscrit dans la logique de l’approche par compétences : l’élève doit non seulement connaître les définitions, mais aussi être capable de **déduire**, **calculer** et **interpréter** des spectres réels ou simulés. Nous aborderons successivement : 1. Les spectres d’émission et d’absorption, fondés sur les lois de Kirchhoff. 2. La décomposition de la lumière blanche et la notion de spectre continu. 3. Le positionnement du spectre visible dans l’ensemble des ondes électromagnétiques et l’application de la loi de Wien du déplacement. Chaque partie sera illustrée par des démonstrations mathématiques, des exemples numériques entièrement résolus et des notes pédagogiques sous forme de blocs `> ` afin de faciliter la mémorisation. --- ## I. Spectre d’absorption et d’émission ### A. Définitions > **Définition** : Un **spectre d’émission** est l’ensemble des longueurs d’onde (ou fréquences) auxquelles un corps émet de la lumière lorsqu’il est excité (thermiquement, électriquement, par collision, etc.). > **Définition** : Un **spectre d’absorption** est l’ensemble des longueurs d’onde auxquelles un corps absorbe de la lumière lorsqu’il est placé devant une source de rayonnement continu. Ces deux spectres sont complémentaires : les raies manquantes dans un spectre d’absorption correspondent exactement aux raies présentes dans le spectre d’émission du même matériau, sous réserve d’équilibre thermique (loi de Kirchhoff). ### B. Spectre d’émission #### 1. Origine des raies d’émission Lorsque un atome passe d’un niveau d’énergie supérieur $E_i$ à un niveau inférieur $E_f$, il émet un photon dont l’énergie est donnée par la relation d’Einstein : $$ \Delta E = E_i - E_f = h \nu $$ où $h$ est la constante de Planck et $\nu$ la fréquence du photon. La longueur d’onde associée est $\lambda = c/\nu$. > **Propriété** : Dans un gaz dilué à basse pression, les collisions sont rares ; les émissions sont donc discrètes et donnent un **spectre en raies** (ou spectre linéaire). #### 2. Spectre continu d’un corps chaud Un corps solide ou liquide chauffé à haute température émet un rayonnement qui dépend uniquement de sa température (corps noir). Ce rayonnement forme un **spectre continu** dont la répartition en énergie versus longueur d’onde est décrite par la loi de Planck. > **À retenir** : Le spectre d’émission d’un corps noir ne présente pas de raies ; il est caractérisé par une courbe bell‑shaped dont le maximum se déplace vers les longueurs d’onde plus courtes lorsque la température augmente (loi de Wien). ### C. Spectre d’absorption #### 1. Principe d’absorption sélective Un gaz ou une matière placée devant une source de lumière blanche absorbe préférentiellement les photons dont l’énergie correspond exactement à une transition possible entre deux niveaux énergétiques de ses constituants. Les longueurs d’onde absorbées apparaissent alors comme des **raies noires** superposées au spectre continu de la source incidente. #### 2. Loi de Kirchhoff (1859) > **Loi de Kirchhoff** : À l’équilibre thermique, la puissance émise par unité de surface et par unité de longueur d’onde d’un corps est égale à la puissance absorbée par le même corps sous les mêmes conditions. En conséquence, le rapport entre l’émissivité $\varepsilon(\lambda,T)$ et l’absorptivité $\alpha(\lambda,T)$ est indépendant de la nature du corps et vaut l’émissivité d’un corps noir : $$ \frac{\varepsilon(\lambda,T)}{\alpha(\lambda,T)} = \varepsilon_{\text{noir}}(\lambda,T) = 1 $$ Ainsi, un bon absorbeur est aussi un bon émetteur à la même longueur d’onde. > **À retenir** : La loi de Kirchhoff explique pourquoi les mêmes raies apparaissent en émission chez une source chaude et en absorption lorsqu’on place ce même gaz devant une source continue. ### D. Exemples résolus #### Exemple 1 – Calcul de la longueur d’onde d’une raie d’émission de l’hydrogène Un atome d’hydrogène effectue une transition du niveau $n=3$ vers $n=2$. L’énergie des niveaux de l’hydrogène est donnée par la formule de Bohr : $$ E_n = -\frac{R_H}{n^2},\qquad R_H = 2,18\times10^{-18}\ \text{J} $$ **Étape 1** : Énergies des niveaux $$ E_3 = -\frac{R_H}{3^2}= -\frac{2,18\times10^{-18}}{9}= -2,42\times10^{-19}\ \text{J} $$ $$ E_2 = -\frac{R_H}{2^2}= -\frac{2,18\times10^{-18}}{4}= -5,45\times10^{-19}\ \text{J} $$ **Étape 2** : Énergie du photon $$ \Delta E = E_3 - E_2 = (-2,42\times10^{-19}) - (-5,45\times10^{-19}) = 3,03\times10^{-19}\ \text{J} $$ **Étape 3** : Fréquence $$ \nu = \frac{\Delta E}{h}= \frac{3,03\times10^{-19}}{6,626\times10^{-34}} = 4,57\times10^{14}\ \text{Hz} $$ **Étape 4** : Longueur d’onde $$ \lambda = \frac{c}{\nu}= \frac{2,998\times10^{8}}{4,57\times10^{14}} = 6,56\times10^{-7}\ \text{m}= 656\ \text{nm} $$ > **Résultat** : La raie correspond à la raie rouge de la série Balmer (H‑α). #### Exemple 2 – Détermination de la température d’un corps noir à partir de son pic d’émission Un corps noir présente un pic d’émission à $\lambda_{\max}= 500\ \text{nm}$. En utilisant la loi de Wien du déplacement : $$ \lambda_{\max} T = b,\qquad b = 2,898\times10^{-3}\ \text{m·K} $$ **Étape** : $$ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2,898\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5,796\times10^{3}\ \text{K}\approx 5,8\times10^{3}\ \text{K} $$ > **Résultat** : La température du corps noir est d’environ 5800 K, proche de celle de la surface du Soleil. --- ## II. Spectre de la lumière blanche ### A. Définition de la lumière blanche > **Définition** : La lumière blanche est une superposition de radiations électromagnétiques couvrant de façon quasi‑continue tout le domaine visible (environ 380 nm à 750 nm) avec des intensités relativement uniformes. Elle peut être produite par : - Une source thermique à haute température (filament d’ampoule, flamme). - Une source de décharge gazeuse mélangée (lampe à vapeur de mercure avec phosphore). - Une source laser blanche (combinaison de plusieurs lasers). ### B. Décomposition par un prisme Lorsque un faisceau de lumière blanche pénètre dans un prisme à indice de réfraction variable avec la longueur d’onde (dispersion), chaque composante subit une déviation différente selon la loi de Snell : > $$ \sin\theta_i = n(\lambda)\sin\theta_r $$ Comme $n(\lambda)$ diminue avec $\lambda$ dans la plupart des verres (dispersion normale), les longueurs d’onde plus courtes (violet) sont déviées davantage que les longues (rouge). > **À retenir** : Le spectre obtenu après le prisme est continu ; aucune raie n’apparaît si la source est réellement blanche et si le prisme est idéal (pas d’absorption sélective). ### C. Décomposition par un réseau de diffraction Un réseau de diffraction comporte $N$ fentes séparées par une période $d$. La condition d’interférence constructive pour l’ordre $m$ est : $$ d(\sin\theta_m - \sin\theta_i) = m\lambda $$ Pour une incidence normale ($\theta_i=0$) : $$ \sin\theta_m = \frac{m\lambda}{d} $$ En variant $\lambda$, on obtient une répartition angulaire des couleurs ; le zéro ordre ($m=0$) donne la lumière blanche non déviée, tandis que les ordres supérieurs produisent des spectres répétés. > **À retenir** : Le réseau permet une résolution spectrale bien supérieure à celle d’un prisme, car l’angulation dépend linéairement de $\lambda$ et l’on peut augmenter $m$ pour séparer davantage les longueurs d’onde proches. ### D. Spectre continu vs spectre en raies - **Spectre continu** : distribution d’intensité sans interruption ; typique d’un corps noir ou d’une lumière blanche après dispersion. - **Spectre en raies** : présence de raies d’émission ou d’absorption séparées par des intervalles où l’intensité est nulle (ou très faible). > **À retenir** : L’observation d’un spectre en raies indique que la matière interagissant avec la lumière possède des niveaux d’énergie discrets (atomes, ions, molécules). ### E. Exemples résolus #### Exemple 3 – Angle de déviation d’un prisme pour la lumière violette Un prisme en verre à indice $n(\lambda)$ donné par la relation de Cauchy approximative : $$ n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2},\qquad A=1,50,\; B=4,0\times10^{-3}\ \mu\text{m}^2 $$ On considère une longueur d’onde violette $\lambda_V = 400\ \text{nm}=0,400\ \mu\text{m}$ et un angle d’incidence $\theta_i = 30^\circ$. **Étape 1** : Calcul de l’indice $$ n_V = 1,50 + \frac{4,0\times10^{-3}}{(0,400)^2}=1,50 + \frac{4,0\times10^{-3}}{0,16}=1,50 + 0,025 = 1,525 $$ **Étape 2** : Loi de Snell pour la première face $$ n_V \sin\theta_r = \sin\theta_i \;\Rightarrow\; \sin\theta_r = \frac{\sin30^\circ}{1,525}= \frac{0,5}{1,525}=0,328 $$ $$ \theta_r = \arcsin(0,328)=19,2^\circ $$ **Étape 3** : Déviation totale (prisme à angle apical $A=60^\circ$) La déviation $\delta$ vaut : $$ \delta = \theta_i + \theta_e - A $$ où $\theta_e$ est l’angle de sortie, obtenu par symétrie : $\theta_e = \theta_r$ pour un prisme à faces planes et incidence symétrique. Donc $$ \delta = 30^\circ + 19,2^\circ - 60^\circ = -10,8^\circ $$ Le signe négatif indique que le rayon est dévié vers la base du prisme ; la valeur absolue de la déviation est $10,8^\circ$. > **Résultat** : La composante violette est déviée d’environ $11^\circ$ par rapport au sens incident. #### Exemple 4 – Résolution d’un réseau de diffraction Un réseau possède 5000 traits par cm ($d = 1/(5000\ \text{cm}^{-1}) = 2,0\times10^{-6}\ \text{m}$). On veut séparer deux raies proches : $\lambda_1 = 589,0\ \text{nm}$ (raie D du sodium) et $\lambda_2 = 589,6\ \text{nm}$. On travaille en premier ordre ($m=1$) et incidence normale. **Étape 1** : Angles de diffraction $$ \sin\theta_1 = \frac{m\lambda_1}{d}= \frac{1\times 589,0\times10^{-9}}{2,0\times10^{-6}} = 0,2945 \Rightarrow \theta_1 = \arcsin(0,2945)=17,13^\circ $$ $$ \sin\theta_2 = \frac{589,6\times10^{-9}}{2,0\times10^{-6}} = 0,2948 \Rightarrow \theta_2 = \arcsin(0,2948)=17,15^\circ $$ **Étape 2** : Séparation angulaire $$ \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 \approx 0,02^\circ $$ **Étape 3** : Résolution du réseau La résolution $R$ d’un réseau est donnée par $R = mN$, où $N$ est le nombre total de traits éclairés. Si le faisceau éclaire $10\ \text{mm}$ du réseau, alors $N = 5000\ \text{traits/cm}\times 1,0\ \text{cm}=5000$. $$ R = 1\times 5000 = 5000 $$ La résolution spectrale $\lambda/\Delta\lambda$ doit être supérieure à $R$ pour distinguer les deux raies : $$ \frac{\lambda}{\Delta\lambda}= \frac{589,3\ \text{nm}}{0,6\ \text{nm}} \approx 982 < 5000 $$ Donc le réseau est largement suffisant. > **Résultat** : Les deux composantes du doublet de sodium sont clairement séparées en premier ordre. --- ## III. Domaine des ondes électromagnétiques et loi de Wien ### A. Le spectre électromagnétique > **Définition** : Le spectre électromagnétique est l’ensemble des fréquences (ou longueurs d’onde) des ondes électromagnétiques, classé du rayonnement gamma (très haute fréquence) aux ondes radio (très basse fréquence). Le domaine visible occupe une petite bande : $$ \lambda \in [380\ \text{nm}, 750\ \text{nm}] \quad\Longleftrightarrow\quad \nu \in [4,0\times10^{14}\ \text{Hz}, 7,9\times10^{14}\ \text{Hz}] $$ Les autres régions sont : | Région | Longueur d’onde | Fréquence | |--------|----------------|-----------| | Gamma | $<10^{-12}\ \text{m}$ | $>3\times10^{20}\ \text{Hz}$ | | X | $10^{-12}$–$10^{-8}\ \text{m}$ | $3\times10^{16}$–$3\times10^{20}\ \text{Hz}$ | | UV | $10^{-8}$–$4\times10^{-7}\ \text{m}$ | $7,5\times10^{14}$–$3\times10^{16}\ \text{Hz}$ | | Visible| $4\times10^{-7}$–$7,5\times10^{-7}\ \text{m}$ | $4,0\times10^{14}$–$7,5\times10^{14}\ \text{Hz}$ | | IR | $7,5\times10^{-7}$–$10^{-3}\ \text{m}$ | $3\times10^{11}$–$4,0\times10^{14}\ \text{Hz}$ | | Micro-ondes| $10^{-3}$–$10^{-1}\ \text{m}$ | $3\times10^{9}$–$3\times10^{11}\ \text{Hz}$ | | Radio | $>10^{-1}\ \text{m}$ | $<3\times10^{9}\ \text{Hz}$ | > **À retenir** : La vitesse de la lumière dans le vide $c$ relie longueur d’onde et fréquence : $c=\lambda \nu$. Cette relation vaut dans tout le spectre électromagnétique. ### B. Relation $c=\lambda \nu$ – Dérivation Une onde sinusoïdale se propage selon $y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)$ où $k=2\pi/\lambda$ et $\omega=2\pi\nu$. La vitesse de phase est $v=\omega/k$. En remplaçant : $$ v = \frac{2\pi\nu}{2\pi/\lambda}= \lambda \nu $$ Dans le vide, $v=c$. > **À retenir** : Cette équation permet de passer facilement d’une représentation en longueur d’onde à une représentation en fréquence, selon la commodité du problème. ### C. Loi de Wien du déplacement > **Loi de Wien** : Pour un corps noir à température absolue $T$, la longueur d’onde $\lambda_{\max}$ à laquelle l’émission spectrale est maximale vérifie $$ \lambda_{\max} T = b,\qquad b = 2,898\times10^{-3}\ \text{m·K} $$ **Dérivation (esquisse)** : En dérivant la loi de Planck $B_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)}-1}$ par rapport à $\lambda$ et en posant $\frac{dB_\lambda}{d\lambda}=0$, on obtient l’équation transcendente $x=5(1-e^{-x})$ avec $x=\frac{hc}{\lambda k_B T}$. Sa solution numérique donne $x\approx 4,965$, d’où $\lambda_{\max}= \frac{hc}{x k_B T}= \frac{b}{T}$. > **À retenir** : Plus la température est élevée, plus le pic se déplace vers les longueurs d’onde courtes (vers le bleu/UV). ### D. Exemple d’application de la loi de Wien #### Exemple 5 – Température d’une étoile à partir de sa couleur Une étoile apparaît bleu‑blanche ; on estime que son pic d’émission se situe autour de $\lambda_{\max}= 420\ \text{nm}$. $$ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2,898\times10^{-3}}{420\times10^{-9}} = 6,90\times10^{3}\ \text{K} $$ > **Résultat** : La température de surface de l’étoile est d’environ 6900 K, typique d’une étoile de type spectral A. #### Exemple 6 – Vérification de la loi de Wien avec une lampe à incandescence Une lampe à filament de tungstène fonctionne à environ $T= 2500\ \text{K}$. $$ \lambda_{\max}= \frac{b}{T}= \frac{2,898\times10^{-3}}{2500}=1,159\times10^{-6}\ \text{m}=1159\ \text{nm} $$ Ce pic se situe dans l’infrarouge proche, ce qui explique pourquoi la majorité de l’énergie émise par une lampe à incandescence est perdue sous forme de chaleur plutôt que de lumière visible. > **À retenir** : La loi de Wien permet d’estimer rapidement la température d’un corps rayonnant à partir de la couleur observée ou inversement de prédire la couleur dominante d’un corps à température connue. ### E. Relation avec la loi de Stefan‑Boltzmann (rappel) Bien que non au programme détaillé, il est utile de rappeler que l’énergie totale émise par unité de surface d’un corps noir varie comme $T^4$ : $$ j^\star = \sigma T^4,\qquad \sigma = 5,670\times10^{-8}\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4} $$ Cette loi complète la description du rayonnement thermique : la loi de Wien donne la répartition spectrale, la loi de Stefan‑Boltzmann donne l’intégrale sur toutes les longueurs d’onde. > **À retenir** : Les deux lois sont complémentaires pour étudier le rayonnement des corps chauds. --- ## Synthèse du chapitre - **Spectre d’émission** : ensemble des longueurs d’onde émises par un corps excité ; peut être continu (corps noir) ou en raies (gaz dilué). - **Spectre d’absorption** : ensemble des longueurs d’onde absorbées par un corps placé devant une source continue ; complémentaire du spectre d’émission (loi de Kirchhoff). - **Loi de Kirchhoff** : à l’équilibre thermique, émissivité = absorptivité pour chaque longueur d’onde. - **Lumière blanche** : superposition quasi‑continue de toutes les longueurs d’onde visibles ; se décompose en spectre continu par prisme ou réseau de diffraction. - **Prisme** : déviation dépendant de l’indice $n(\lambda)$ ; dispersion normale → violet dévié davantage que rouge. - **Réseau de diffraction** : condition $d\sin\theta=m\lambda$ ; permet une résolution spectrale $R=mN$. - **Spectre électromagnétique** : classement des ondes EM par fréquence/longueur d’onde ; le visible est une petite bande. - **Relation $c=\lambda\nu$** : lie longueur d’onde, fréquence et vitesse de la lumière. - **Loi de Wien du déplacement** : $\lambda_{\max}T=b$ avec $b=2,898\times10^{-3}\ \text{m·K}$ ; permet de déterminer la température d’un corps noir à partir de la couleur dominante ou inversement. - **Exemples** : calcul de raies d’émission (hydrogène), détermination de température à partir de $\lambda_{\max}$, angle de déviation par prisme, résolution d’un réseau, application à une étoile et à une lampe à incandescence. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Spectre d’émission** | Ensemble des longueurs d’onde auxquelles un corps émet de la lumière lorsqu’il est excité. | | **Spectre d’absorption** | Ensemble des longueurs d’onde auxquelles un corps absorbe de la lumière lorsqu’il est placé devant une source continue. | | **Corps noir** | Idéalisation d’un corps qui absorbe toute radiation incidente et émet un rayonnement dépendant uniquement de sa température. | | **Loi de Kirchhoff** | À l’équilibre thermique, l’émissivité d’un corps égale son absorptivité pour chaque longueur d’onde. | | **Dispersion** | Dépendance de l’indice de réfraction d’un milieu par rapport à la longueur d’onde, provoquant la séparation des couleurs. | | **Prisme** | Élément optique à faces planes qui dévie la lumière par réfraction et en profite de la dispersion pour produire un spectre. | | **Réseau de diffraction** | Dispositif périodique de fentes qui crée des interférences constructives selon $d\sin\theta=m\lambda$. | | **Longueur d’onde ($\lambda$)** | Distance entre deux points de même phase d’une onde périodique. | | **Fréquence ($\nu$)** | Nombre de périodes d’une onda qui se produisent par seconde. | | **Vitesse de la lumière ($c$)** | Constante physique $2,998\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ dans le vide. | | **Loi de Wien du déplacement** | Relation $\lambda_{\max}T=b$ qui lie la longueur d’onde d’émission maximale d’un corps noir à sa température. | | **Constante de Wien ($b$)** | $2,898\times10^{-3}\ \text{m·K}$. | | **Constante de Planck ($h$)** | $6,626\times10^{-34}\ \text{J·s}$. | | **Constante de Boltzmann ($k_B$)** | $1,381\times10^{-23}\ \text{J·K}^{-1}$. | | **Résolution spectrale d’un réseau** | $R=mN$, où $m$ est l’ordre de diffraction et $N$ le nombre de traits éclairés. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Raie d’émission de l’hélium Un atome d’hélium passe du niveau $n=4$ au niveau $n=3$. En utilisant la formule des niveaux d’énergie de l’hydrogène adaptée à l’hélium ionisé (He⁺) : $E_n = -\dfrac{Z^2 R_H}{n^2}$ avec $Z=2$. 1. Calculer l’énergie du photon émis. 2. Déterminer sa longueur d’onde. 3. Indiquer à quelle couleur cette raie correspond-elle approximativement. **Corrigé** **Étape 1** : Énergies $$ E_4 = -\frac{(2)^2 R_H}{4^2}= -\frac{4R_H}{16}= -\frac{R_H}{4}= -\frac{2,18\times10^{-18}}{4}= -5,45\times10^{-19}\ \text{J} $$ $$ E_3 = -\frac{4R_H}{3^2}= -\frac{4\times2,18\times10^{-18}}{9}= -9,69\times10^{-19}\ \text{J} $$ **Étape 2** : Énergie du photon $$ \Delta E = E_4 - E_3 = (-5,45\times10^{-19}) - (-9,69\times10^{-19}) = 4,24\times10^{-19}\ \text{J} $$ **Étape 3** : Fréquence $$ \nu = \frac{\Delta E}{h}= \frac{4,24\times10^{-19}}{6,626\times10^{-34}} = 6,40\times10^{14}\ \text{Hz} $$ **Étape 4** : Longueur d’onde $$ \lambda = \frac{c}{\nu}= \frac{2,998\times10^{8}}{6,40\times10^{14}} = 4,68\times10^{-7}\ \text{m}= 468\ \text{nm} $$ **Étape 5** : Couleur 468 nm se situe dans la région bleue‑verte du spectre visible (bleu cyan). > **Réponse** : $E=4,24\times10^{-19}\ \text{J}$, $\lambda=468\ \text{nm}$, couleur bleu‑cyan. --- ### Exercice 2 – Température d’une lampe à incandescence Une lampe à filament de tungstène émet un pic d’émission à $\lambda_{\max}= 1100\ \text{nm}$. 1. Calculer la température du filament. 2. Comparer cette température à celle d’une ampoule halogène typique (~3000 K). **Corrigé** $$ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2,898\times10^{-3}}{1100\times10^{-9}} = 2,635\times10^{3}\ \text{K}\approx 2,6\times10^{3}\ \text{K} $$ La température obtenue (~2600 K) est inférieure à celle d’une ampoule halogène (~3000 K), ce qui explique pourquoi la lampe à incandescence ordinaire est moins efficace (plus d’énergie dans l’infrarouge). --- ### Exercice 3 – Déviation d’un prisme pour le jaune Un prisme d’angle apical $A=50^\circ$ est constitué d’un verre dont l’indice varie selon $n(\lambda)=1,48+\dfrac{1,0\times10^{-3}}{\lambda^2}$ avec $\lambda$ en µm. On envoie un faisceau jaune ($\lambda=580\ \text{nm}=0,580\ \mu\text{m}$) avec un angle d’incidence $\theta_i=20^\circ$. Déterminer l’angle de déviation $\delta$. **Corrigé** **Indice** : $$ n = 1,48 + \frac{1,0\times10^{-3}}{(0,580)^2}=1,48 + \frac{1,0\times10^{-3}}{0,3364}=1,48 + 0,00297 = 1,48297\approx1,483 $$ **Première réfraction** : $$ \sin\theta_r = \frac{\sin\theta_i}{n}= \frac{\sin20^\circ}{1,483}= \frac{0,342}{1,483}=0,2306 \Rightarrow \theta_r = \arcsin(0,2306)=13,33^\circ $$ **Angle à l’intérieur du prisme** : la rayée parcourt le prisme ; l’angle d’incidence sur la seconde face est $\theta'_i = A - \theta_r = 50^\circ - 13,33^\circ = 36,67^\circ$. **Seconde réfraction (sortie)** : $$ \sin\theta_e = n \sin\theta'_i = 1,483 \times \sin36,67^\circ = 1,483 \times 0,597 = 0,886 \Rightarrow \theta_e = \arcsin(0,886)=62,5^\circ $$ **Déviation totale** : $$ \delta = \theta_i + \theta_e - A = 20^\circ + 62,5^\circ - 50^\circ = 32,5^\circ $$ > **Réponse** : Le rayon jaune est dévié de $32,5^\circ$ par rapport à sa direction incidente. --- ### Exercice 4 – Résolution d’un réseau de diffraction Un réseau possède 6000 traits par cm. On veut séparer deux raies du mercure situées à $\lambda_1= 404,7\ \text{nm}$ et $\lambda_2= 407,8\ \text{nm}$ en deuxième ordre ($m=2$). L’incidence est normale. 1. Calculer l’écartement $d$ du réseau. 2. Déterminer les angles de diffraction $\theta_1$ et $\theta_2$. 3. Vérifier si le réseau permet de séparer les deux raies (condition $\Delta\theta > 0,01^\circ$ considérée comme résoluble à l’œil nu). **Corrigé** **Écartement** : $$ d = \frac{1}{6000\ \text{traits/cm}} = \frac{1}{6000}\ \text{cm}=1,6667\times10^{-4}\ \text{cm}=1,6667\times10^{-6}\ \text{m} $$ **Angles** : $$ \sin\theta_1 = \frac{m\lambda_1}{d}= \frac{2\times 404,7\times10^{-9}}{1,6667\times10^{-6}}= \frac{809,4\times10^{-9}}{1,6667\times10^{-6}}=0,4856 \Rightarrow \theta_1 = \arcsin(0,4856)=29,03^\circ $$ $$ \sin\theta_2 = \frac{2\times 407,8\times10^{-9}}{1,6667\times10^{-6}}= \frac{815,6\times10^{-9}}{1,6667\times10^{-6}}=0,4894 \Rightarrow \theta_2 = \arcsin(0,4894)=29,30^\circ $$ **Écart angulaire** : $$ \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 = 29,30^\circ - 29,03^\circ = 0,27^\circ $$ Puisque $0,27^\circ > 0,01^\circ$, le réseau résout clairement les deux raies. > **Réponse** : $d=1,67\ \mu\text{m}$; $\theta_1=29,03^\circ$, $\theta_2=29,30^\circ$; séparation $0,27^\circ$ → résoluble. --- ### Exercice 5 – Loi de Wien et couleur d’une étoile Une étoile observée présente un pic d’émission à $\lambda_{\max}= 350\ \text{nm}$ (dans le proche ultraviolet). 1. Calculer sa température de surface. 2. En déduire la couleur dominante que l’œil humain percevra (en tenant compte de la réponse de l’œil). **Corrigé** **Température** : $$ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2,898\times10^{-3}}{350\times10^{-9}} = 8,28\times10^{3}\ \text{K} $$ **Couleur perçue** : Bien que le pic soit dans l’UV, l’émission dans le visible reste importante. À $T\approx 8300$ K, le spectre visible est fortement bleu‑violet ; l’œil, moins sensible aux UV, perçoit une couleur bleu‑blanche. > **Réponse** : $T\approx 8,3\times10^{3}\ \text{K}$; couleur perçue bleu‑blanche (type spectral B). --- ### Exercice 6 – Énergie d’un photon dans l’infrarouge Un détecteur infrarouge est sensible aux photons de longueur d’onde $\lambda= 10\ \mu\text{m}$. 1. Calculer l’énergie d’un tel photon. 2. Comparer cette énergie à celle d’un photon de lumière verte ($\lambda=550\ \text{nm}$). **Corrigé** **Photon IR** : $$ E_{IR}= \frac{hc}{\lambda}= \frac{6,626\times10^{-34}\times 2,998\times10^{8}}{10\times10^{-6}}= \frac{1,986\times10^{-25}}{1,0\times10^{-5}}=1,986\times10^{-20}\ \text{J} $$ **Photon vert** : $$ E_{V}= \frac{hc}{550\times10^{-9}}= \frac{1,986\times10^{-25}}{5,50\times10^{-7}}=3,61\times10^{-19}\ \text{J} $$ **Rapport** : $$ \frac{E_{V}}{E_{IR}} \approx \frac{3,61\times10^{-19}}{1,99\times10^{-20}} \approx 18,1 $$ Un photon vert possède environ 18 fois plus d’énergie qu’un photon infrarouge de 10 µm. > **Réponse** : $E_{IR}=2,0\times10^{-20}\ \text{J}$; $E_{V}=3,6\times10^{-19}\ \text{J}$; le photon vert est ~18 fois plus énergétique. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | **Confondre spectre d’émission et spectre d’absorption** | L’élève pense que les raies noires d’un spectre d’absorption sont des raies d’émission manquantes. | Rappeler la loi de Kirchhoff : les raies d’absorption apparaissent exactement aux mêmes longueurs d’onde que les raies d’émission du même matériau lorsqu’il est à la même température. | | **Utiliser la mauvaise unité pour la longueur d’onde dans la loi de Wien** | On oublie de convertir les nanomètres en mètres avant de diviser par $b$. | Toujours convertir $\lambda$ en mètres (ou utiliser $b$ exprimé en nm·K : $b=2,898\times10^{6}\ \text{nm·K}$). | | **Appliquer $n\sin\theta_i = \sin\theta_r$ avec l’indice du milieu sortant au lieu de celui du milieu entrant** | Inversion des milieux lors de la première réfraction dans un prisme. | Identifier clairement le milieu d’incident (air, $n\approx1$) et le milieu du prisme; écrire $n_{\text{prisme}}\sin\theta_r = n_{\text{air}}\sin\theta_i$. | | **Oublier le facteur d’ordre $m$ dans la condition du réseau de diffraction** | On écrit $d\sin\theta = \lambda$ alors que l’on travaille en ordre supérieur. | Toujours rappeler la formule générale $d(\sin\theta_m-\sin\theta_i)=m\lambda$ et vérifier l’ordre demandé dans l’énoncé. | | **Confondre fréquence et longueur d’onde lorsqu’on utilise $E=h\nu$** | On substitue $\lambda$ directement dans $E=h\lambda$ au lieu de $E=hc/\lambda$. | Rappeler que l’énergie d’un photon s’obtient soit par $E=h\nu$ soit par $E=hc/\lambda$; vérifier la dimension (J). | | **Negliger la dépendance de l’indice de réfraction avec $\lambda$ lorsqu’on calcule la déviation d’un prisme** | On utilise une valeur constante de $n$ (ex. $n=1,5$) pour toutes les couleurs. | Préciser que la dispersion doit être prise en compte ; si aucune donnée n’est fournie, indiquer que le résultat est une approximation. | > **À retenir** : La plupart des erreurs proviennent d’une mauvaise gestion des unités ou d’une confusion entre les grandeurs liées à l’émission et à l’absorption. Une vérification systématique des dimensions et un rappel des lois de base (Kirchhoff, Snell, réseau, Wien) permettent de les éviter. --- *Fin du cours de référence « Spectre lumineux » pour la préparation du Probatoire (série C, D, E, TI) selon le programme officiel MINESEC/IGE.*