FONCTIONS DE GESTION (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette leçon, l’élève sera capable de : - expliquer le principe du réseau PERT et son intérêt dans la gestion de projets forestiers ; - identifier les activités, leurs dépendances et estimer leurs durées optimiste, pessimiste et la plus probable ; - construire le diagramme PERT (nodes et flèches) à partir d’une liste d’activités ; - calculer les dates au plus tôt (TE), au plus tard (TL), les marges totales et libres ; - déterminer le chemin critique et en déduire la durée minimale du projet ; - utiliser le réseau PERT pour suivre l’avancement d’un chantier de reboisement ou d’exploitation forestière au Cameroun. **Prérequis** : notions de base en gestion de projet (objectifs, planning, ressources), lecture de tableaux simples, capacité à effectuer des opérations arithmétiques (addition, soustraction, moyenne pondérée). --- ### Introduction contextualisée Dans le secteur forestier camerounais, les projets de reboisement, d’aménagement de concessions ou de construction de routes d’accès sont souvent soumis à des délais serrés liés aux saisons des pluies, aux contraintes budgétaires de l’État ou aux exigences des partenaires internationaux. Un retard peut entraîner des pertes de jeunes plants, des dépassements de coûts ou des sanctions administratives. Le réseau PERT (Program Evaluation and Review Technique) permet de visualiser les interdépendances des tâches, d’estimer les durées avec une prise en compte de l’incertitude et de repérer le chemin critique, c’est‑à‑dire la séquence d’activités dont tout retard se répercute directement sur la date de fin du projet. Cette leçon présente, étape par étape, la méthode PERT adaptée aux réalités des entreprises forestières du Cameroun (ex. : société de reboisement du Littoral, exploitation de bois d’œuvre dans la région du Sud‑Ouest). --- ## I. Etablissement du réseau PERT d’une entreprise ### 1. Principes du PERT Le PERT représente un projet sous forme d’un graphe orienté où les **nodes** (ou sommets) symbolisent les événements (début ou fin d’une activité) et les **flèches** représentent les activités elles‑mêmes. Chaque activité est caractérisée par trois estimations de durée : - **tₒ** : durée optimiste (scenario le plus favorable) ; - **tₚ** : durée pessimiste (scenario le plus défavorable) ; - **tₘ** : durée la plus probable. La durée attendue (te) d’une activité se calcule par la formule pondérée : \[ te = \frac{tₒ + 4tₘ + tₚ}{6} \] > La formule de Pondération PERT donne plus de poids à la durée la plus probable (coefficient 4). La variance (σ²) d’une activité, utile pour l’analyse de risque, s’obtient par : \[ \sigma^2 = \left(\frac{tₚ - tₒ}{6}\right)^2 \] > Une variance élevée indique une grande incertitude sur la durée de l’activité. ### 2. Identification des activités et des dépendances Avant de dessiner le réseau, il faut lister toutes les tâches du projet, déterminer leurs prédécesseurs (activités qui doivent être terminées avant de pouvoir commencer) et leurs successeurs. Exemple de projet de reboisement de 5 ha dans la région du Centre : | Code | Activité | Prédécesseurs | tₒ (jours) | tₘ (jours) | tₚ (jours) | |------|----------|---------------|------------|------------|------------| | A | Étude de faisabilité | – | 5 | 7 | 10 | | B | Préparation du sol (débroussaillage) | A | 8 | 12 | 18 | | C | Acquisition des plants | A | 4 | 6 | 9 | | D | Plantation | B, C | 10 | 15 | 22 | | E | Entretien première année (désherbage) | D | 20 | 30 | 45 | | F | Surveillance phytosanitaire | D | 10 | 15 | 25 | | G | Rapport final et clôture | E, F | 3 | 5 | 8 | > Chaque activité doit avoir au moins un prédécesseur (sauf les premières) et un successeur (sauf les dernières) pour garantir la cohérence du graphe. ### 3. Construction du diagramme PERT On représente chaque événement par un cercle numéroté (1, 2, 3 …). L’activité part du nœud de début vers le nœud de fin. - Événement 1 : début du projet (avant A). - Après A → événement 2. - B et C partent tous deux de l’événement 2 et convergent vers l’événement 3 (fin de B et C). - D part de l’événement 3 vers l’événement 4. - E et F partent de l’événement 4 vers l’événement 5. - G part de l’événement 5 vers l’événement 6 (fin du projet). > Le diagramme obtenu est un graphe acyclique orienté ; aucune boucle ne doit apparaître. ### 4. Calcul des dates et détermination du chemin critique #### 4.1. Durée attendue (te) et variance pour chaque activité | Activité | te (jours) = (tₒ+4tₘ+tₚ)/6 | σ² = ((tₚ‑tₒ)/6)² | |----------|----------------------------|-------------------| | A | (5+4·7+10)/6 = 7,17 | ((10‑5)/6)² = 0,69 | | B | (8+4·12+18)/6 = 12,33 | ((18‑8)/6)² = 2,78 | | C | (4+4·6+9)/6 = 6,17 | ((9‑4)/6)² = 0,69 | | D | (10+4·15+22)/6 = 15,33 | ((22‑10)/6)² = 4,00 | | E | (20+4·30+45)/6 = 30,83 | ((45‑20)/6)² = 17,36 | | F | (10+4·15+25)/6 = 15,83 | ((25‑10)/6)² = 6,25 | | G | (3+4·5+8)/6 = 5,17 | ((8‑3)/6)² = 0,69 | #### 4.2. Dates au plus tôt (TE) – passage en avant On commence à l’événement 1 avec TE = 0. - TE(2) = TE(1) + te(A) = 0 + 7,17 = **7,17** - TE(3) = max[ TE(2)+te(B) , TE(2)+te(C) ] = max[7,17+12,33 , 7,17+6,17] = **19,50** - TE(4) = TE(3) + te(D) = 19,50 + 15,33 = **34,83** - TE(5) = max[ TE(4)+te(E) , TE(4)+te(F) ] = max[34,83+30,83 , 34,83+15,83] = **65,66** - TE(6) = TE(5) + te(G) = 65,66 + 5,17 = **70,83** La durée minimale du projet (TE du dernier événement) est donc **70,83 jours**. #### 4.3. Dates au plus tard (TL) – passage en arrière On fixe TL du dernier événement égal à son TE : TL(6) = 70,83. - TL(5) = TL(6) – te(G) = 70,83 – 5,17 = **65,66** - TL(4) = min[ TL(5)‑te(E) , TL(5)‑te(F) ] = min[65,66‑30,83 , 65,66‑15,83] = **34,83** - TL(3) = TL(4) – te(D) = 34,83 – 15,33 = **19,50** - TL(2) = min[ TL(3)‑te(B) , TL(3)‑te(C) ] = min[19,50‑12,33 , 19,50‑6,17] = **7,17** - TL(1) = TL(2) – te(A) = 7,17 – 7,17 = **0,00** #### 4.4. Marges totales et libres Marge totale d’une activité = TL(node fin) – TE(node début) – te. Marge libre = TE(node début successeur) – TE(node fin) – te (si plusieurs successeurs, on prend le plus petit TE du successeur). | Activité | TE début | TE fin | TL début | TL fin | Marge totale | Marge libre | |----------|----------|--------|----------|--------|--------------|-------------| | A | 0,00 | 7,17 | 0,00 | 7,17 | 0,00 | 0,00 | | B | 7,17 | 19,50 | 7,17 | 19,50 | 0,00 | 0,00 | | C | 7,17 | 13,34 | 7,17 | 19,50 | 6,16 | 6,16 | | D | 19,50 | 34,83 | 19,50 | 34,83 | 0,00 | 0,00 | | E | 34,83 | 65,66 | 34,83 | 65,66 | 0,00 | 0,00 | | F | 34,83 | 50,66 | 34,83 | 65,66 | 15,00 | 15,00 | | G | 65,66 | 70,83 | 65,66 | 70,83 | 0,00 | 0,00 | > Les activités dont la marge totale est nulle (ou très proche de zéro) constituent le **chemin critique** : A → B → D → E → G. Les activités C et F possèdent une marge totale positive (resp. 6,16 jours et 15,00 jours) et ne sont pas critiques. #### 4.5. Interprétation Le chemin critique indique la séquence d’activités dont tout retard allonge directement la durée du projet. Dans notre cas, le projet ne peut être achevé en moins de **70,83 jours**. Toute amélioration doit porter sur les activités du chemin critique (par exemple, réduire la durée de l’entretien E en augmentant la main‑d’œuvre ou en utilisant des herbicides plus efficaces). > La gestion du risque consiste à surveiller les activités à marge nulle et à prévoir des marges de sécurité (buffers) pour les tâches à forte variance (ici, E avec σ² = 17,36). ### 5. Utilisation pratique en entreprise forestière camerounaise - **Réunion de lancement** : le responsable planning présente le diagramme PERT imprimé ou affiché sur un tableau blanc ; chaque chef d’équipe signe son engagement sur les durées estimées. - **Suivi hebdomadaire** : on compare la TE réelle (date atteinte) avec la TE théorique ; les écarts sont reportés dans un tableau de bord. - **Réajustement** : si une activité du chemin critique dépasse sa te, on active le plan de contingence (ex. : recours à des équipes journalières supplémentaires, location de matériel). - **Clôture** : le rapport final indique la durée réelle, les écarts par rapport au PERT et les leçons apprises pour les prochains projets. > Au Cameroun, les normes de sécurité (port du casque, gants, bottes de sécurité) doivent être respectées durant toutes les activités du réseau, notamment lors du débroussaillage (B) et de la plantation (D). --- ## Synthèse du chapitre - Le PERT représente un projet sous forme de graphe orienté (nodes = événements, flèches = activités). - Chaque activité possède trois estimations de durée (optimiste, pessimiste, la plus probable) ; la durée attendue se calcule par \((tₒ+4tₘ+tₚ)/6\). - La variance d’une activité est \(\left(\frac{tₚ-tₒ}{6}\right)^2\). - La construction du réseau nécessite l’identification des prédécesseurs et successeurs de chaque tâche. - Le passage en avant donne les dates au plus tôt (TE) ; le passage en arrière donne les dates au plus tard (TL). - La marge totale = TL fin – TE début – te ; une marge nulle indique une activité sur le chemin critique. - Le chemin critique détermine la durée minimale du projet ; toute réduction de durée doit porter sur ces activités. - En entreprise forestière camerounaise, le PERT sert à planifier, suivre et maîtriser les projets de reboisement, d’aménagement ou d’exploitation tout en respectant les normes de sécurité. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | PERT | Programme Evaluation and Review Technique, méthode de planification de projet basée sur des estimations probabilistes de durée. | | Node (sommet) | Point du graphe représentant un événement (début ou fin d’une activité). | | Flèche | Représentation d’une activité reliant deux nodes. | | tₒ | Durée optimiste d’une activité (scenario le plus favorable). | | tₘ | Durée la plus probable d’une activité. | | tₚ | Durée pessimiste d’une activité (scenario le plus défavorable). | | te | Durée attendue d’une activité, calculée par la formule de pondération PERT. | | σ² | Variance d’une activité, mesure de l’incertitude sur sa durée. | | TE | Date au plus tôt qu’un événement peut être atteint, calculée en passage en avant. | | TL | Date au plus tard qu’un événement doit être atteint sans retarder le projet, calculée en passage en arrière. | | Marge totale | Quantité de temps dont une activité peut être retardée sans affecter la date de fin du projet. | | Marge libre | Quantité de temps dont une activité peut être retardée sans affecter le démarrage de ses successeurs immédiats. | | Chemin critique | Suite d’activités dont la marge totale est nulle ; détermine la durée minimale du projet. | | Buffer (marge de sécurité) | Temps supplémentaire ajouté volontairement pour absorber les incertitudes sur les activités à forte variance. | | Activité prédécesseur | Tâche qui doit être terminée avant qu’une autre puisse commencer. | | Activité successeur | Tâche qui ne peut commencer qu’après la fin de sa prédécesseure. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Une entreprise de reboisement prévoit les activités suivantes pour un chantier de 3 ha : | Code | Activité | Prédécesseurs | tₒ (j) | tₘ (j) | tₚ (j) | |------|----------|---------------|--------|--------|--------| | A | Repérage des parcelles | – | 2 | 3 | 5 | | B | Traitement du sol (chaux) | A | 4 | 6 | 10 | | C | Fourniture des plants | A | 3 | 4 | 6 | | D | Mise en place des plants | B, C | 5 | 8 | 12 | | E | Arrosage première semaine | D | 2 | 3 | 5 | | F | Surveillance des ravageurs | D | 1 | 2 | 4 | | G | Bilan et clôture | E, F | 1 | 2 | 3 | 1. Calculer la durée attendue (te) et la variance (σ²) de chaque activité. 2. Construire le diagramme PERT (indiquer les numéros des events). 3. Déterminer TE, TL, les marges totales et identifier le chemin critique. 4. Quelle est la durée minimale du projet ? **Corrigé** 1. **Durées attendues** | Activité | te = (tₒ+4tₘ+tₚ)/6 | σ² = ((tₚ‑tₒ)/6)² | |----------|-------------------|-------------------| | A | (2+4·3+5)/6 = 3,17 | ((5‑2)/6)² = 0,25 | | B | (2+4·6+10)/6 = 6,33 | ((10‑2)/6)² = 1,00 | | C | (2+4·4+6)/6 = 4,17 | ((6‑2)/6)² = 0,25 | | D | (5+4·8+12)/6 = 8,17 | ((12‑5)/6)² = 1,36 | | E | (2+4·3+5)/6 = 3,17 | ((5‑2)/6)² = 0,25 | | F | (1+4·2+4)/6 = 2,17 | ((4‑1)/6)² = 0,25 | | G | (1+4·2+3)/6 = 2,00 | ((3‑1)/6)² = 0,11 | 2. **Numérotation des events** (exemple) - Event 1 : début (avant A) - Après A → Event 2 - B et C partent de 2 → convergent vers Event 3 - D part de 3 → Event 4 - E et F partent de 4 → convergent vers Event 5 - G part de 5 → Event 6 (fin) 3. **Passage en avant (TE)** - TE₁ = 0,00 - TE₂ = TE₁ + te(A) = 0,00 + 3,17 = **3,17** - TE₃ = max[TE₂+te(B), TE₂+te(C)] = max[3,17+6,33 , 3,17+4,17] = **9,50** - TE₄ = TE₃ + te(D) = 9,50 + 8,17 = **17,67** - TE₅ = max[TE₄+te(E), TE₄+te(F)] = max[17,67+3,17 , 17,67+2,17] = **20,84** - TE₆ = TE₅ + te(G) = 20,84 + 2,00 = **22,84** **Passage en arrière (TL)** - TL₆ = TE₆ = **22,84** - TL₅ = TL₆ – te(G) = 22,84 – 2,00 = **20,84** - TL₄ = min[TL₅‑te(E), TL₅‑te(F)] = min[20,84‑3,17 , 20,84‑2,17] = **17,67** - TL₃ = TL₄ – te(D) = 17,67 – 8,17 = **9,50** - TL₂ = min[TL₃‑te(B), TL₃‑te(C)] = min[9,50‑6,33 , 9,50‑4,17] = **3,17** - TL₁ = TL₂ – te(A) = 3,17 – 3,17 = **0,00** **Marges totales** | Activité | TE début | TE fin | TL début | TL fin | Marge totale | |----------|----------|--------|----------|--------|--------------| | A | 0,00 | 3,17 | 0,00 | 3,17 | 0,00 | | B | 3,17 | 9,50 | 3,17 | 9,50 | 0,00 | | C | 3,17 | 7,34 | 3,17 | 9,50 | 2,16 | | D | 9,50 | 17,67 | 9,50 | 17,67 | 0,00 | | E | 17,67 | 20,84 | 17,67 | 20,84 | 0,00 | | F | 17,67 | 19,84 | 17,67 | 20,84 | 1,00 | | G | 20,84 | 22,84 | 20,84 | 22,84 | 0,00 | Le **chemin critique** est constitué des activités dont la marge totale est nulle : **A → B → D → E → G**. 4. **Durée minimale du projet** = TE du dernier event = **22,84 jours**. --- ### Exercice 2 Dans une exploitation de bois d’œuvre, le responsable doit planifier la construction d’une piste d’accès de 2 km. Les activités sont : | Code | Activité | Prédécesseurs | tₒ (j) | tₘ (j) | tₚ (j) | |------|----------|---------------|--------|--------|--------| | A | Étude topographique | – | 3 | 5 | 8 | | B | Délimitation du tracé | A | 2 | 3 | 5 | | C | Déblaiement (végétation) | B | 4 | 6 | 10 | | D | Pose du géotextile | C | 3 | 4 | 6 | | E | Mise en place du revêtement (laterite) | D | 5 | 7 | 10 | | F | Compactage | E | 2 | 3 | 5 | | G | Signalisation et finition | F | 1 | 2 | 4 | 1. Calculer te et σ² pour chaque activité. 2. Déterminer le chemin critique et la durée totale du projet. 3. Si l’entreprise dispose d’une marge de sécurité de 2 jours à ajouter sur chaque activité du chemin critique, quelle devient la nouvelle durée prévue ? **Corrigé** 1. **Durées attendues** | Activité | te | σ² | |----------|----|----| | A | (3+4·5+8)/6 = 5,17 | ((8‑3)/6)² = 0,69 | | B | (2+4·3+5)/6 = 3,17 | ((5‑2)/6)² = 0,25 | | C | (4+4·6+10)/6 = 6,33 | ((10‑4)/6)² = 1,00 | | D | (3+4·4+6)/6 = 4,17 | ((6‑3)/6)² = 0,25 | | E | (5+4·7+10)/6 = 7,17 | ((10‑5)/6)² = 0,69 | | F | (2+4·3+5)/6 = 3,17 | ((5‑2)/6)² = 0,25 | | G | (1+4·2+4)/6 = 2,17 | ((4‑1)/6)² = 0,25 | 2. **Passage en avant (TE)** - TE₁ = 0,00 - TE₂ = TE₁ + te(A) = 0,00 + 5,17 = **5,17** - TE₃ = TE₂ + te(B) = 5,17 + 3,17 = **8,34** - TE₄ = TE₃ + te(C) = 8,34 + 6,33 = **14,67** - TE₅ = TE₄ + te(D) = 14,67 + 4,17 = **18,84** - TE₆ = TE₅ + te(E) = 18,84 + 7,17 = **26,01** - TE₇ = TE₆ + te(F) = 26,01 + 3,17 = **29,18** - TE₈ = TE₇ + te(G) = 29,18 + 2,17 = **31,35** **Passage en arrière (TL)** (TL₈ = TE₈) - TL₇ = TL₈ – te(G) = 31,35 – 2,17 = 29,18 - TL₆ = TL₇ – te(F) = 29,18 – 3,17 = 26,01 - TL₅ = TL₆ – te(E) = 26,01 – 7,17 = 18,84 - TL₄ = TL₅ – te(D) = 18,84 – 4,17 = 14,67 - TL₃ = TL₄ – te(C) = 14,67 – 6,33 = 8,34 - TL₂ = TL₃ – te(B) = 8,34 – 3,17 = 5,17 - TL₁ = TL₂ – te(A) = 5,17 – 5,17 = 0,00 **Marges totales** (TL fin – TE début – te) sont toutes nulles (ou très proches de zéro) ; donc **le chemin critique comprend toutes les activités** : A → B → C → D → E → F → G. **Durée totale du projet** = **31,35 jours**. 3. **Ajout d’une marge de sécurité de 2 jours sur chaque activité du chemin critique** Nouvelle durée = durée initiale + (nombre d’activités du chemin critique × 2) = 31,35 + (7 × 2) = 31,35 + 14 = **45,35 jours**. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |------------------|-------------|--------------------------------------| | **Oublier de préciser les prédécesseurs** lors de la liste d’activités. | Le graphe devient incohérent (activités flottantes) → calcul de TE/TL faux. | Toujours vérifier que chaque activité (sauf les premières) a au moins un prédécesseur et chaque activité (sauf les dernières) a au moins un successeur. | | **Utiliser une seule estimation de durée** (ex. : seulement la durée la plus probable) au lieu des trois estimations PERT. | Sous‑évaluation de l’incertitude, marges de sécurité absentes, risque de dépassement de délai. | Appliquer systématiquement la formule te = (tₒ+4tₘ+tₚ)/6 et calculer la variance pour chaque tâche. | | **Ne pas mettre à jour le TE réel** lors du suivi hebdomadaire. | Le tableau de bord ne reflète pas l’avancement réel → décisions tardives. | À chaque point de contrôle, reporter la date réelle atteinte et comparer avec TE théorique ; ré‑estimer les te des activités restantes si nécessaire. | | **Négliger le port des EPI** (casque, gants, bottes) durant les activités de déblaiement ou de pose de géotextile. | Risque de blessures (coupures, chocs, écrasements). | Imposer le port obligatoire des équipements de protection individuelle définis par la réglementation du travail forestier camerounais (arrêté n° 2005/02 du MINTP). | | **Sous‑estimer la variance d’une activité à forte incertitude** (ex. : arrosage ou traitement phytosanitaire). | Le chemin critique peut être mal identifié ; les buffers sont insuffisants. | Utiliser la variance σ² pour classer les activités par niveau de risque et prévoir des buffers proportionnels (ex. : ajouter 1,5 × σ en jours). | | **Confondre marge totale et marge libre** lors de l’analyse des délais. | Décision erronée sur lesquelles activités peuvent être retardées sans impacter le projet. | Rappeler que la marge totale concerne la date de fin du projet, tandis que la marge libre concerne le démarrage des successeurs immédiats ; vérifier les deux avant de prendre une décision de report. | --- *Fin du cours.*