UA5 : Utiliser les systèmes de numération

# UA5 : Utiliser les systèmes de numération ## Notions de base sur les systèmes de numération ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les systèmes de numération! En informatique, les ordinateurs ne "parlent" pas comme nous. Ils utilisent une façon spéciale de compter. Comprendre comment les nombres sont représentés est fondamental pour comprendre comment les ordinateurs fonctionnent. Aujourd'hui, nous allons découvrir ce qu'est un système de numération et explorer les plus importants en informatique. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Système de Numération ? Un système de numération est une méthode pour représenter les nombres. Le plus important à retenir est la **base**. * **La Base:** C'est le nombre total de symboles (ou chiffres) uniques que nous utilisons pour compter. Par exemple, notre système habituel utilise 10 symboles. * **Valeur de position (ou poids):** La valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Chaque position a un "poids" qui est une puissance de la base. #### Le Système Décimal (Base 10) C'est le système que nous utilisons tous les jours. * **Chiffres:** Il utilise 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. * **Comment ça marche?** La valeur de chaque chiffre est multipliée par une puissance de 10, selon sa position. * Exemple: Le nombre \(245_{10}\) signifie: \[ 2 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0 \] \[ 2 \times 100 + 4 \times 10 + 5 \times 1 \] \(200 + 40 + 5 = 245\) #### Le Système Binaire (Base 2) C'est le langage des ordinateurs! * **Chiffres:** Il utilise seulement 2 chiffres: 0 et 1. Ces chiffres sont appelés des **bits** (pour "binary digit"). * **Pourquoi les ordinateurs l'utilisent-ils?** Parce qu'il est facile pour une machine de représenter deux états: éteint/allumé, faux/vrai, pas de courant/courant. (0 = éteint, 1 = allumé). * **Comment ça marche?** La valeur de chaque chiffre est multipliée par une puissance de 2, selon sa position. * Exemple: Le nombre \(101_2\) (on met un petit 2 en bas pour dire que c'est en base 2) signifie: \[ 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \] \[ 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 \] \(4 + 0 + 1 = 5_{10}\) #### Le Système Hexadécimal (Base 16) Ce système est très utilisé en informatique pour simplifier l'écriture des grands nombres binaires. * **Chiffres:** Il utilise 16 symboles: les chiffres 0 à 9, et les lettres A, B, C, D, E, F. * A représente 10 * B représente 11 * C représente 12 * D représente 13 * E représente 14 * F représente 15 * **Pourquoi est-il utile?** Un chiffre hexadécimal peut représenter exactement quatre chiffres binaires (par exemple, F en hexadécimal est \(1111_2\) en binaire, qui est \(15_{10}\) en décimal). Cela rend les grands nombres binaires beaucoup plus courts et plus faciles à lire pour les humains. * **Comment ça marche?** La valeur de chaque chiffre est multipliée par une puissance de 16, selon sa position. * Exemple: Le nombre \(1A_{16}\) signifie: \[ 1 \times 16^1 + A \times 16^0 \] (Puisque A = 10 en décimal) \[ 1 \times 16 + 10 \times 1 \] \(16 + 10 = 26_{10}\) ### Vocabulaire * **Système de numération:** Une manière organisée de représenter les nombres. * **Base:** Le nombre total de symboles uniques utilisés dans un système de numération (ex: 10 pour le décimal, 2 pour le binaire). * **Chiffre:** Un symbole unique utilisé pour former des nombres dans un système de numération (ex: 0, 1, 5, A, F). * **Poids (ou Valeur de position):** La valeur qu'un chiffre représente en fonction de sa place dans le nombre. * **Binaire:** Système de numération de base 2, n'utilisant que les chiffres 0 et 1. * **Décimal:** Système de numération de base 10, le système que nous utilisons quotidiennement. * **Hexadécimal:** Système de numération de base 16, utilisant les chiffres 0-9 et les lettres A-F. * **Bit:** Contraction de "binary digit" (chiffre binaire). C'est la plus petite unité d'information en informatique, un 0 ou un 1. * **Octet:** Un groupe de 8 bits. C'est une unité de mesure de la quantité d'information. ### Exemples #### Compter en Binaire Voici comment compter de 0 à 5 en binaire: * \(0_{10} = 0_2\) * \(1_{10} = 1_2\) * \(2_{10} = 10_2\) * \(3_{10} = 11_2\) * \(4_{10} = 100_2\) * \(5_{10} = 101_2\) #### Conversions Simples * **Décimal vers Binaire:** Pour convertir \(3_{10}\) en binaire, on peut penser aux puissances de 2: * \(2^1 = 2\), \(2^0 = 1\) * \(3 = 1 imes 2^1 + 1 imes 2^0 = 11_2\) * **Binaire vers Décimal:** Pour convertir \(110_2\) en décimal: * \(1 imes 2^2 + 1 imes 2^1 + 0 \times 2^0 = 1 imes 4 + 1 \times 2 + 0 \times 1 = 4 + 2 + 0 = 6_{10}\) * **Décimal vers Hexadécimal:** Pour convertir \(12_{10}\) en hexadécimal: * \(12_{10}\) est représenté par la lettre C en hexadécimal. Donc \(C_{16}\). * **Hexadécimal vers Décimal:** Pour convertir \(F_{16}\) en décimal: * \(F_{16}\) représente \(15_{10}\). ### Exercices Répondez aux questions suivantes pour vérifier votre compréhension: 1. Qu'est-ce que la **base** d'un système de numération? 2. Quels sont les deux seuls chiffres utilisés dans le système **binaire**? 3. Comment s'appelle un seul chiffre binaire (un 0 ou un 1)? 4. Convertissez les nombres suivants: * \(2_{10}\) en binaire. * \(11_2\) en décimal. * \(101_2\) en décimal. * \(A_{16}\) en décimal. ### Devoirs Pour vous entraîner à la maison: 1. Convertissez les nombres décimaux suivants en binaire: * \(6_{10}\) * \(9_{10}\) 2. Convertissez les nombres binaires suivants en décimal: * \(100_2\) * \(1110_2\) 3. Convertissez les nombres hexadécimaux suivants en décimal: * \(8_{16}\) * \(E_{16}\) 4. Faites une petite recherche: À quoi sert un **octet** en informatique? Donnez un exemple concret. ### Résumé Pour conclure, rappelons les points essentiels de cette leçon: * Les systèmes de numération sont des façons différentes de compter, chacune définie par sa **base**. * Le système **décimal** (base 10) est notre système habituel avec 10 chiffres. * Le système **binaire** (base 2) est fondamental pour les ordinateurs, utilisant seulement 0 et 1 (les **bits**). * Le système **hexadécimal** (base 16) est un raccourci pratique pour représenter de longs nombres binaires, utilisant 0-9 et A-F. * Comprendre ces systèmes est une étape clé pour comprendre le monde de l'informatique! ## Conversion d’une base à une autre ### Introduction Dans le monde de l'informatique, les ordinateurs "parlent" un langage différent de celui que nous utilisons tous les jours. Nous comptons en base 10 (système décimal), avec les chiffres de 0 à 9. Les ordinateurs, eux, utilisent principalement la base 2 (système binaire) avec seulement deux chiffres : 0 et 1. Il est également très courant de rencontrer la base 16 (système hexadécimal). Pour comprendre comment les ordinateurs fonctionnent et manipuler certaines de leurs données, il est essentiel de savoir convertir les nombres d'une base à une autre. ### Concepts Clés #### Les systèmes de numération Un système de numération est une manière de représenter les nombres. Chaque système a une **base**, qui est le nombre de symboles (chiffres) uniques qu'il utilise. * **Système Décimal (Base 10):** * Utilise 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. * Chaque position dans un nombre représente une puissance de 10. * Exemple: \( 253_{10} = 2 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \) * **Système Binaire (Base 2):** * Utilise 2 chiffres: 0, 1. * C'est le langage des ordinateurs (un 0 ou un 1 est appelé un **bit**). * Chaque position représente une puissance de 2. * Exemple: \( 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \) * **Système Hexadécimal (Base 16):** * Utilise 16 symboles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. * Les lettres A à F représentent les valeurs 10 à 15. * Très utilisé en informatique pour représenter de grands nombres binaires de manière plus compacte (par exemple, les adresses mémoire, les codes couleurs). * Chaque position représente une puissance de 16. * Exemple: \( 1A_{16} = 1 \times 16^1 + A \times 16^0 = 1 \times 16 + 10 \times 1 = 26_{10} \) #### Conversion de la Base 10 vers une Autre Base (par Divisions Successives) Pour convertir un nombre décimal vers une autre base (comme la base 2 ou la base 16), on utilise la méthode des divisions successives. 1. Divise le nombre décimal par la base souhaitée. 2. Note le reste de la division. 3. Continue de diviser le quotient obtenu par la base souhaitée. 4. Répète jusqu'à ce que le quotient soit 0. 5. Le nombre dans la nouvelle base s'obtient en lisant les restes de bas en haut. #### Conversion d'une Autre Base vers la Base 10 (par Somme des Puissances) Pour convertir un nombre d'une base quelconque (comme la base 2 ou la base 16) vers la base 10, on utilise la méthode de la somme des puissances. 1. Assigne à chaque chiffre du nombre sa position (en commençant par 0 pour le chiffre le plus à droite). 2. Multiplie chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position. 3. Additionne tous les résultats pour obtenir le nombre en base 10. #### Conversion entre Binaire et Hexadécimal Ces deux bases sont très liées. Un chiffre hexadécimal peut être représenté par exactement 4 chiffres binaires (bits). * **Binaire vers Hexadécimal:** Regroupe les bits par paquets de 4 à partir de la droite. Convertis chaque paquet de 4 bits en son équivalent hexadécimal. * **Hexadécimal vers Binaire:** Convertis chaque chiffre hexadécimal en son équivalent binaire sur 4 bits. ### Vocabulaire * **Système de numération:** Une méthode pour représenter les nombres. * **Base:** Le nombre de symboles (chiffres) uniques utilisés dans un système de numération. * **Chiffre:** Un symbole unique utilisé dans un système de numération (par exemple, 0, 1, A, etc.). * **Binaire:** Système de numération de base 2, utilisant 0 et 1. * **Décimal:** Système de numération de base 10, que nous utilisons tous les jours. * **Hexadécimal:** Système de numération de base 16, utilisant 0-9 et A-F. * **Bit:** Contraction de _binary digit_, le plus petit élément d'information en informatique, valant 0 ou 1. * **Octet:** Un groupe de 8 bits. Un octet peut représenter 256 valeurs différentes (de 0 à 255). ### Exemples #### Exemple 1: Convertir \( 25_{10} \) en binaire ``` 25 / 2 = 12 reste 1 12 / 2 = 6 reste 0 6 / 2 = 3 reste 0 3 / 2 = 1 reste 1 1 / 2 = 0 reste 1 ``` En lisant les restes de bas en haut : \( 25_{10} = 11001_2 \) #### Exemple 2: Convertir \( 1101_2 \) en décimal \[ 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \] \[ = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 \] \[ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10} \] #### Exemple 3: Convertir \( 47_{10} \) en hexadécimal ``` 47 / 16 = 2 reste 15 (F) 2 / 16 = 0 reste 2 ``` En lisant les restes de bas en haut : \( 47_{10} = 2F_{16} \) #### Exemple 4: Convertir \( 1A_{16} \) en décimal Sachant que A = 10 en décimal : \[ 1A_{16} = 1 \times 16^1 + 10 \times 16^0 \] \[ = 1 \times 16 + 10 \times 1 \] \[ = 16 + 10 = 26_{10} \] #### Exemple 5: Convertir \( 11010110_2 \) en hexadécimal Regroupons par 4 bits à partir de la droite : \( 1101 \) et \( 0110 \) * \( 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10} \) (qui est D en hexa) * \( 0110_2 = 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 0 + 4 + 2 + 0 = 6_{10} \) Donc, \( 11010110_2 = D6_{16} \) ### Exercices 1. Convertir \( 42_{10} \) en binaire. 2. Convertir \( 10110_2 \) en décimal. 3. Convertir \( 75_{10} \) en hexadécimal. 4. Convertir \( F3_{16} \) en décimal. 5. Convertir \( 10011011_2 \) en hexadécimal. ### Devoirs 1. Convertir \( 100_{10} \) en binaire et en hexadécimal. 2. Convertir \( 111001_2 \) en décimal. 3. Convertir \( 5B_{16} \) en décimal et en binaire. 4. Expliquez pourquoi la base 2 est si importante pour les ordinateurs. 5. Trouvez une situation dans la vie réelle où l'on utilise la base 16 (hexadécimal). ### Résumé La capacité de convertir des nombres entre différentes bases (décimal, binaire, hexadécimal) est une compétence fondamentale en informatique. Nous avons appris que la conversion de la base 10 vers une autre base se fait par divisions successives, tandis que la conversion d'une autre base vers la base 10 se fait par la somme des puissances. La conversion entre le binaire et l'hexadécimal est simplifiée grâce au regroupement par 4 bits. Maîtriser ces conversions vous aidera à mieux comprendre le fonctionnement interne des systèmes numériques et des ordinateurs. ## Opérations arithmétiques en base 2 ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les opérations arithmétiques en base 2 ! En informatique, les ordinateurs ne comprennent que deux chiffres : le 0 et le 1. C'est ce qu'on appelle le système binaire ou la base 2. Pour que les ordinateurs puissent faire des calculs, ils doivent être capables de faire des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions avec ces 0 et ces 1. Dans cette leçon, nous allons découvrir comment faire ces opérations, un peu comme tu le fais en base 10 (notre système de comptage habituel), mais avec des règles adaptées au binaire. ### Concepts Clés #### L'Addition en Base 2 L'addition binaire est similaire à l'addition décimale, mais avec seulement deux chiffres. Voici les règles de base : * \( 0_2 + 0_2 = 0_2 \) * \( 0_2 + 1_2 = 1_2 \) * \( 1_2 + 0_2 = 1_2 \) * \( 1_2 + 1_2 = 10_2 \) (ce qui signifie \( 0 \) avec une retenue de \( 1 \) au rang suivant) Quand tu as une retenue, tu la reportes à la colonne de gauche, exactement comme en base 10. #### La Soustraction en Base 2 La soustraction binaire suit également des règles similaires à la soustraction décimale. Voici les règles de base : * \( 0_2 - 0_2 = 0_2 \) * \( 1_2 - 0_2 = 1_2 \) * \( 1_2 - 1_2 = 0_2 \) * \( 0_2 - 1_2 = 1_2 \) (avec un emprunt de \( 1 \) au rang suivant, ce qui transforme le \( 0 \) en \( 10_2 \) ou \( 2_{10} \)) Quand tu dois emprunter, tu prends un \( 1 \) à la colonne de gauche, ce qui rend le chiffre de cette colonne \( 0 \) et le \( 0 \) de ta colonne devient \( 10_2 \). #### La Multiplication en Base 2 La multiplication binaire est très simple, car on ne multiplie que par \( 0 \) ou par \( 1 \). C'est comme la multiplication décimale, mais avec des additions binaires pour les produits partiels. * \( 0_2 \times 0_2 = 0_2 \) * \( 0_2 \times 1_2 = 0_2 \) * \( 1_2 \times 0_2 = 0_2 \) * \( 1_2 \times 1_2 = 1_2 \) #### La Division en Base 2 La division binaire est aussi similaire à la division longue que tu connais en base 10. Tu essaies de soustraire le diviseur du dividende. Le quotient sera toujours \( 0 \) ou \( 1 \). ### Vocabulaire * **Binaire :** Un système de numération qui utilise seulement deux symboles (0 et 1). * **Bit :** L'unité d'information la plus petite en informatique, représentant soit un 0, soit un 1. * **Base 2 :** Un autre nom pour le système binaire. * **Retenue :** Le chiffre que l'on reporte à la colonne suivante lors d'une addition quand la somme est supérieure à \( 1 \). * **Emprunt :** Le fait de prendre un \( 1 \) à la colonne suivante lors d'une soustraction quand le chiffre d'en haut est plus petit que celui d'en bas. * **Opération arithmétique :** Les calculs comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. ### Exemples #### Exemple d'Addition Calculons \( 101_2 + 11_2 \). \[ \begin{array}{r} 101_2 \\ + \quad 11_2 \\ \hline 1000_2 \end{array} \] **Explication :** 1. Colonne la plus à droite (unités) : \( 1_2 + 1_2 = 10_2 \). On écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \). 2. Colonne suivante : \( 0_2 + 1_2 + \text{retenue } 1_2 = 10_2 \). On écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \). 3. Colonne suivante : \( 1_2 + \text{retenue } 1_2 = 10_2 \). On écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \). 4. On reporte la dernière retenue \( 1 \) pour obtenir \( 1000_2 \). #### Exemple de Soustraction Calculons \( 110_2 - 11_2 \). \[ \begin{array}{r} 110_2 \\ - \quad 11_2 \\ \hline 011_2 \end{array} \] **Explication :** 1. Colonne la plus à droite : \( 0_2 - 1_2 \). On ne peut pas, alors on emprunte au chiffre suivant. Le \( 1 \) de la colonne du milieu devient \( 0 \) et notre \( 0 \) devient \( 10_2 \). Donc \( 10_2 - 1_2 = 1_2 \). On écrit \( 1 \). 2. Colonne du milieu : Nous avons maintenant \( 0_2 - 1_2 \) (puisque le \( 1 \) a été emprunté). On emprunte au chiffre suivant. Le \( 1 \) de la colonne de gauche devient \( 0 \) et notre \( 0 \) devient \( 10_2 \). Donc \( 10_2 - 1_2 = 1_2 \). On écrit \( 1 \). 3. Colonne de gauche : Nous avons maintenant \( 0_2 - 0_2 = 0_2 \). On écrit \( 0 \). Le résultat est \( 011_2 \), ou simplement \( 11_2 \). #### Exemple de Multiplication Calculons \( 101_2 \times 10_2 \). \[ \begin{array}{r} 101_2 \\ \times \quad 10_2 \\ \hline 000 \quad \text{ (} 101_2 \times 0_2 \text{)}\\ + 1010 \quad \text{ (} 101_2 \times 1_2 \text{, décalé)}\\ \hline 1010_2 \end{array} \] **Explication :** 1. On multiplie \( 101_2 \) par le chiffre de droite du \( 10_2 \) (qui est \( 0 \)) : \( 101_2 \times 0_2 = 000_2 \). 2. On multiplie \( 101_2 \) par le chiffre de gauche du \( 10_2 \) (qui est \( 1 \)), en décalant d'une position vers la gauche : \( 101_2 \times 1_2 = 101_2 \). Le résultat est \( 1010_2 \) (avec le décalage). 3. On additionne les produits partiels : \( 000_2 + 1010_2 = 1010_2 \). #### Exemple de Division Calculons \( 110_2 \div 10_2 \). \[ \begin{array}{r} 11_2 \\ 10_2\overline{)110_2} \\ -10_2 \quad \downarrow \\ \hline 010_2 \\ -10_2 \\ \hline 000_2 \end{array} \] **Explication :** 1. Combien de fois \( 10_2 \) rentre-t-il dans \( 1_2 \) ? \( 0 \) fois. On prend \( 11_2 \). 2. Combien de fois \( 10_2 \) rentre-t-il dans \( 11_2 \) ? \( 1 \) fois. On écrit \( 1 \) dans le quotient. 3. On soustrait \( 1 \times 10_2 = 10_2 \) de \( 11_2 \) : \( 11_2 - 10_2 = 1_2 \). 4. On abaisse le \( 0 \) suivant, ce qui donne \( 10_2 \). 5. Combien de fois \( 10_2 \) rentre-t-il dans \( 10_2 \) ? \( 1 \) fois. On écrit \( 1 \) dans le quotient. 6. On soustrait \( 1 \times 10_2 = 10_2 \) de \( 10_2 \) : \( 10_2 - 10_2 = 0_2 \). Le reste est \( 0_2 \). Le résultat est \( 11_2 \). ### Exercices Essaie de résoudre ces problèmes en binaire. Montre ton travail ! 1. Additionne : \( 111_2 + 10_2 \) 2. Soustrait : \( 1011_2 - 101_2 \) 3. Multiplie : \( 11_2 \times 11_2 \) 4. Divise : \( 100_2 \div 10_2 \) ### Devoirs Continue de t'entraîner à la maison ! 1. Calcule : \( 1010_2 + 111_2 \) 2. Calcule : \( 1101_2 - 10_2 \) 3. Calcule : \( 101_2 \times 101_2 \) 4. Calcule : \( 111_2 \div 11_2 \) ### Résumé Nous avons appris comment les ordinateurs effectuent des calculs en utilisant uniquement des 0 et des 1. Tu sais maintenant comment faire : * **L'addition binaire** avec les règles de retenue. * **La soustraction binaire** avec les règles d'emprunt. * **La multiplication binaire** en multipliant par 0 ou 1 et en additionnant les produits partiels. * **La division binaire** qui est une version simplifiée de la division longue. Ces compétences sont fondamentales pour comprendre comment les ordinateurs fonctionnent et traitent l'information. Continue de t'exercer, et bientôt tu seras un expert en opérations binaires !