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# TD ## Activités d'intégration ### Introduction Bienvenue à cette séance de Travaux Dirigés (TD) axée sur les activités d'intégration en schémas électriques. L'objectif de cette séance est de vous aider à combiner et à appliquer les différentes notions que vous avez apprises jusqu'à présent. Il ne s'agit plus de résoudre des problèmes isolés, mais d'utiliser l'ensemble de vos connaissances pour analyser et résoudre des circuits électriques plus complexes. Nous allons revoir les concepts clés, les méthodes d'analyse et les théorèmes fondamentaux pour les appliquer de manière cohérente et efficace. ### Concepts Clés #### Rappel des Lois Fondamentales Pour analyser n'importe quel circuit, il est crucial de maîtriser les bases : * **Loi d'Ohm :** Relie la tension (U), le courant (I) et la résistance (R) dans un dipôle ohmique : \( U = R \cdot I \). * **Lois de Kirchhoff :** * **Loi des Nœuds (ou Loi des Courants de Kirchhoff, LCK) :** La somme algébrique des courants entrant et sortant d'un nœud est nulle. \( \sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}} \). * **Loi des Mailles (ou Loi des Tensions de Kirchhoff, LTK) :** La somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle. \( \sum U_{\text{maille}} = 0 \). #### Méthodes d'Analyse des Circuits Quand les circuits deviennent plus complexes, des méthodes systématiques sont nécessaires : * **Analyse par mailles :** Consiste à écrire les équations de tension pour chaque maille indépendante du circuit en utilisant les lois de Kirchhoff. Cela conduit à un système d'équations dont les inconnues sont les courants de mailles. * **Analyse par nœuds :** Consiste à écrire les équations de courant pour chaque nœud indépendant du circuit en utilisant la loi des nœuds. Cela conduit à un système d'équations dont les inconnues sont les tensions nodales. #### Théorèmes Fondamentaux Ces théorèmes simplifient l'analyse des circuits : * **Théorème de Thévenin :** Tout circuit linéaire vu entre deux bornes peut être remplacé par un générateur de tension équivalent (tension de Thévenin, \( U_{Th} \)) en série avec une résistance équivalente (résistance de Thévenin, \( R_{Th} \)). * \( U_{Th} \) est la tension à vide aux bornes (circuit ouvert). * \( R_{Th} \) est la résistance équivalente vue des bornes lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (sources de tension remplacées par des courts-circuits, sources de courant par des circuits ouverts). * **Théorème de Norton :** Tout circuit linéaire vu entre deux bornes peut être remplacé par un générateur de courant équivalent (courant de Norton, \( I_{N} \)) en parallèle avec une résistance équivalente (résistance de Norton, \( R_{N} \)). * \( I_{N} \) est le courant de court-circuit entre les bornes. * \( R_{N} = R_{Th} \). * **Théorème de Superposition :** Dans un circuit linéaire contenant plusieurs sources indépendantes, la réponse (tension ou courant) en tout point du circuit est la somme algébrique des réponses produites par chaque source agissant seule, les autres sources étant éteintes. #### Composants Passifs et Actifs * **Composants Passifs :** Résistances, condensateurs, inductances. * **Composants Actifs :** Sources de tension, sources de courant, amplificateurs opérationnels, transistors (nous nous concentrerons principalement sur les sources pour cette séance d'intégration). ### Vocabulaire * **Intégration :** Action de combiner des concepts ou des éléments différents pour former un tout cohérent et fonctionnel. * **Nœud :** Point de connexion où au moins trois conducteurs se rejoignent dans un circuit électrique. * **Maille :** Chemin fermé dans un circuit électrique, formé par une séquence de branches. * **Branche :** Segment d'un circuit contenant un ou plusieurs éléments et qui connecte deux nœuds. * **Dipôle :** Composant électrique possédant deux bornes de connexion. * **Source Indépendante :** Source de tension ou de courant dont la valeur ne dépend pas d'autres tensions ou courants dans le circuit. * **Tension à Vide :** Tension mesurée aux bornes d'un dipôle lorsque rien n'y est connecté (circuit ouvert). * **Courant de Court-Circuit :** Courant qui circule à travers un court-circuit placé entre les bornes d'un dipôle. ### Exemples #### Exemple 1 : Analyse par Mailles d'un Circuit Complexe Considérons un circuit avec deux mailles. Une source de tension \( U_1 = 10 \text{ V} \), une résistance \( R_1 = 5 \Omega \), une résistance \( R_2 = 10 \Omega \), et une autre source de tension \( U_2 = 5 \text{ V} \). Les deux mailles partagent la résistance \( R_2 \). **Circuit :** ``` U1 ----- R1 --- | | | | R2 --- | | | ---------- U2 --- ``` (Imaginez U1 en série avec R1, puis R1 connecté à un côté de R2, l'autre côté de R2 est connecté à U2, et l'autre côté de U2 est connecté au point de départ de U1, formant une boucle. Une deuxième boucle partagerait R2.) **Application :** 1. Identifier les mailles et les courants de mailles (\( I_1 \) et \( I_2 \)). 2. Écrire les équations de mailles en appliquant la LTK pour chaque maille : * Maille 1 : \( U_1 - R_1 I_1 - R_2 (I_1 - I_2) = 0 \) * Maille 2 : \( -R_2 (I_2 - I_1) - U_2 = 0 \) 3. Résoudre le système d'équations pour trouver \( I_1 \) et \( I_2 \). #### Exemple 2 : Application du Théorème de Thévenin Soit un circuit composé d'une source de tension \( V_s = 12 \text{ V} \) en série avec \( R_1 = 4 \Omega \) et \( R_2 = 6 \Omega \). Nous voulons trouver le circuit équivalent de Thévenin vu des bornes de \( R_2 \) (si \( R_2 \) était notre charge). **Application :** 1. **Calcul de \( U_{Th} \) :** Retirer \( R_2 \). La tension aux bornes de l'ouverture est la tension aux bornes de \( R_1 \) si \( R_1 \) était en parallèle avec quelque chose, ou simplement la tension de la source si rien d'autre n'est en série. Dans ce cas, si \( R_2 \) est la charge, nous cherchons le Thévenin de la source avec \( R_1 \). \( U_{Th} \) est la tension à vide aux bornes où \( R_2 \) était connectée. Si \( R_1 \) est en série avec \( V_s \) et on prend les bornes après \( R_1 \), \( U_{Th} \) serait \( V_s \). Si \( R_1 \) et \( R_2 \) sont dans un diviseur de tension, alors \( U_{Th} = V_s \frac{R_2}{R_1 + R_2} \). Supposons \( V_s \) et \( R_1 \) et on cherche l'équivalent Thévenin aux bornes de la source et \( R_1 \). * Si le circuit est simplement \( V_s \) en série avec \( R_1 \), et nous cherchons l'équivalent Thévenin aux bornes de \( V_s \) et \( R_1 \), alors \( U_{Th} = V_s \) si la charge est connectée après \( R_1 \). * Calculons pour un diviseur de tension : \( U_{Th} = V_s \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \text{ V} \frac{6 \Omega}{4 \Omega + 6 \Omega} = 12 \text{ V} \frac{6}{10} = 7.2 \text{ V} \). 2. **Calcul de \( R_{Th} \) :** Éteindre la source de tension (court-circuiter \( V_s \)). La résistance équivalente vue des bornes est \( R_1 \) en parallèle avec \( R_2 \) si on cherche entre deux branches, ou \( R_1 \) simplement si la charge est après \( R_1 \). * Pour le diviseur de tension, \( R_{Th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \cdot 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4 \Omega \). ### Exercices #### Exercice 1 : Analyse Complète d'un Circuit Considérez le circuit suivant : Une source de tension \( U = 20 \text{ V} \) est connectée à une résistance \( R_1 = 2 \Omega \). En parallèle avec \( R_1 \) se trouve une branche contenant \( R_2 = 4 \Omega \) en série avec \( R_3 = 6 \Omega \). Une source de courant \( I_s = 2 \text{ A} \) est connectée en parallèle avec \( R_3 \). 1. Dessinez le schéma du circuit. 2. Utilisez la méthode d'analyse par nœuds pour déterminer toutes les tensions aux nœuds principaux. 3. Calculez le courant traversant chaque résistance. #### Exercice 2 : Simplification avec Thévenin/Norton Soit un circuit avec une source de tension \( V_s = 15 \text{ V} \) en série avec \( R_1 = 3 \Omega \). Cette combinaison est en parallèle avec \( R_2 = 6 \Omega \). Nous souhaitons connecter une charge \( R_L = 9 \Omega \) aux bornes de \( R_2 \). 1. Déterminez l'équivalent de Thévenin du circuit vu par la charge \( R_L \). 2. Déterminez l'équivalent de Norton du circuit vu par la charge \( R_L \). 3. Calculez le courant circulant dans \( R_L \) en utilisant le circuit équivalent de Thévenin. ### Devoirs #### Devoir 1 : Conception de Diviseur de Tension Vous devez concevoir un diviseur de tension pour obtenir une tension de sortie de \( 5 \text{ V} \) à partir d'une source de \( 12 \text{ V} \). Le courant total consommé par le diviseur ne doit pas dépasser \( 100 \text{ mA} \). 1. Proposez une combinaison de deux résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) qui répondent à ces critères. 2. Si une charge de \( 1 \text{ k\Omega} \) est connectée en parallèle à la sortie, quelle sera la nouvelle tension de sortie ? 3. Comment pourriez-vous modifier votre conception pour que la tension de sortie reste proche de \( 5 \text{ V} \) même avec la charge ? #### Devoir 2 : Analyse d'un Pont de Wheatstone Déséquilibré Un pont de Wheatstone est composé de quatre résistances : \( R_1 = 10 \Omega \), \( R_2 = 20 \Omega \), \( R_3 = 30 \Omega \) et \( R_4 = 40 \Omega \). Une source de tension de \( 10 \text{ V} \) est connectée aux bornes du pont. Calculez la tension aux bornes du galvanomètre (supposé de résistance infinie, donc circuit ouvert) si le pont est déséquilibré. 1. Dessinez le schéma du pont. 2. Utilisez l'analyse par nœuds ou la superposition pour trouver la tension entre les deux points de mesure. ### Résumé Lors de cette séance, nous avons mis l'accent sur l'importance de l'intégration des connaissances en schémas électriques. Nous avons révisé les lois fondamentales d'Ohm et de Kirchhoff, les méthodes d'analyse par mailles et par nœuds, ainsi que les théorèmes de Thévenin, de Norton et de superposition. La capacité à combiner ces outils est essentielle pour résoudre des problèmes complexes et analyser des circuits de manière efficace. La pratique régulière de ces techniques vous permettra de développer une solide compréhension et une grande aisance dans l'ingénierie électrique.