Chap4 : Statique des solides

# Chap4 : Statique des solides ## Equilibre d'un solide soumis à deux forces: Application à la poussée d’Archimède ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des forces et de leur impact sur l'équilibre des objets. Nous commencerons par rappeler les notions fondamentales des forces, puis nous étudierons en détail les conditions nécessaires pour qu'un solide reste en équilibre lorsqu'il est soumis à seulement deux forces. Enfin, nous appliquerons ces concepts à un phénomène très courant et important en physique : la poussée d'Archimède, qui explique pourquoi certains objets flottent et d'autres coulent. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Forces Une force est une action mécanique capable de déformer un corps, de modifier son mouvement ou de le maintenir en équilibre. Une force est une grandeur vectorielle et est caractérisée par : * **Son point d'application :** L'endroit où la force est appliquée. * **Sa direction :** La droite selon laquelle la force agit. * **Son sens :** L'orientation sur cette droite (par exemple, vers le haut, vers le bas, à droite, à gauche). * **Son intensité :** La valeur de la force, mesurée en Newtons (N) à l'aide d'un dynamomètre. On la note \( F \) ou \( ||\vec{F}|| \). Une force est représentée par un vecteur \( \vec{F} \). #### Equilibre d'un solide soumis à deux forces Lorsqu'un solide est soumis à deux forces \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \), il est en équilibre si et seulement si ces deux forces respectent les conditions suivantes : * **Elles ont la même droite d'action :** Les deux forces sont colinéaires (agissent sur la même ligne ou sur des lignes parallèles confondues). * **Elles ont des sens opposés :** Si l'une tire vers le haut, l'autre pousse vers le bas. * **Elles ont la même intensité :** \( ||\vec{F_1}|| = ||\vec{F_2}|| \). Ces trois conditions peuvent être résumées par la **relation vectorielle** : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \] Cela signifie que les deux forces s'annulent mutuellement. #### La Poussée d'Archimède La poussée d'Archimède est la force que subit un corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide (liquide ou gaz) de la part de ce fluide. C'est elle qui explique pourquoi les objets semblent plus légers dans l'eau ou pourquoi les bateaux flottent. ##### Caractéristiques de la poussée d'Archimède (\( \vec{F_A} \) ou \( \vec{P_A} \)) * **Point d'application :** Le centre de gravité du volume de fluide déplacé par le corps (appelé le centre de poussée). * **Direction :** Verticale. * **Sens :** Toujours vers le haut. * **Intensité :** L'intensité de la poussée d'Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet. C'est le **principe d'Archimède**. ##### Formule de la poussée d'Archimède L'intensité de la poussée d'Archimède est donnée par la formule : \[ F_A = \rho_{fluide} \times V_{immergé} \times g \] Où : * \( F_A \) est l'intensité de la poussée d'Archimède (en Newtons, N). * \( \rho_{fluide} \) est la masse volumique du fluide (en kilogrammes par mètre cube, \( kg/m^3 \)). Pour l'eau, \( \rho_{eau} \approx 1000 \, kg/m^3 \). * \( V_{immergé} \) est le volume du corps immergé dans le fluide (en mètres cubes, \( m^3 \)). * \( g \) est l'intensité de la pesanteur (environ \( 9.81 \, N/kg \) ou \( 10 \, N/kg \) pour simplifier les calculs). ##### Conditions de flottaison ou de submersion Le comportement d'un objet dans un fluide dépend de la comparaison entre son poids \( P \) et la poussée d'Archimède \( F_A \) qu'il subit : * Si \( P < F_A \) : L'objet monte à la surface et flotte (il ne s'enfonce que partiellement). * Si \( P = F_A \) : L'objet est en équilibre dans le fluide, il flotte entre deux eaux. * Si \( P > F_A \) : L'objet coule. ### Vocabulaire * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou l'état d'équilibre d'un corps. * **Point d'application :** Point précis où une force agit sur un objet. * **Direction :** Ligne le long de laquelle une force agit. * **Sens :** Orientation de la force le long de sa direction. * **Intensité :** Grandeur mesurable de la force (en Newtons). * **Equilibre :** Etat d'un corps où la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. * **Colinéaire :** Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction. * **Poussée d'Archimède :** Force verticale ascendante exercée par un fluide sur un corps immergé. * **Fluide :** Substance (liquide ou gaz) qui peut s'écouler et prendre la forme de son contenant. * **Masse volumique (\( \rho \)) :** Rapport de la masse d'une substance à son volume (\( \rho = m/V \)). * **Volume immergé :** Partie du volume d'un corps qui est plongée dans un fluide. * **Poids apparent :** Poids d'un objet mesuré lorsqu'il est immergé dans un fluide. C'est \( P_{apparent} = P_{réel} - F_A \). ### Exemples #### Exemple 1 : Equilibre d'un livre sur une table Un livre posé sur une table est en équilibre. Il est soumis à deux forces : 1. **Son poids (\( \vec{P} \)) :** Appliqué au centre de gravité du livre, direction verticale, sens vers le bas. 2. **La réaction de la table (\( \vec{R} \)) :** Appliquée à la surface de contact, direction verticale, sens vers le haut. Pour que le livre soit en équilibre, \( \vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \). Cela signifie que \( P \) et \( R \) ont la même droite d'action, des sens opposés et la même intensité (\( P = R \)). #### Exemple 2 : Flottaison d'un cube dans l'eau Un cube de bois de volume \( V_{bois} = 0.001 \, m^3 \) et de masse \( m_{bois} = 0.8 \, kg \) est placé dans l'eau (\( \rho_{eau} = 1000 \, kg/m^3 \)). On prend \( g = 10 \, N/kg \). 1. **Calcul du poids du cube :** \( P = m_{bois} \times g = 0.8 \, kg \times 10 \, N/kg = 8 \, N \). 2. **Calcul du volume immergé :** Le cube flotte, donc il n'est que partiellement immergé. Puisqu'il est en équilibre (flotte), la poussée d'Archimède est égale à son poids : \( F_A = P = 8 \, N \). 3. **Calcul du volume immergé :** On utilise la formule \( F_A = \rho_{eau} \times V_{immergé} \times g \). Donc \( V_{immergé} = \frac{F_A}{\rho_{eau} \times g} = \frac{8 \, N}{1000 \, kg/m^3 \times 10 \, N/kg} = \frac{8}{10000} \, m^3 = 0.0008 \, m^3 \). Le cube ne s'enfonce que de 80% de son volume (\( 0.0008/0.001 = 0.8 \)). ### Exercices 1. **Conditions d'équilibre :** Un objet est suspendu à un ressort. Il est soumis à son poids et à la tension du ressort. Décrivez les caractéristiques de ces deux forces pour que l'objet soit en équilibre. 2. **Calcul de poussée d'Archimède :** Un bloc de fer de volume total \( V = 0.002 \, m^3 \) est complètement immergé dans de l'huile (\( \rho_{huile} = 900 \, kg/m^3 \)). Calculez l'intensité de la poussée d'Archimède qu'il subit. (Prenez \( g = 10 \, N/kg \)). 3. **Flottaison :** Le bloc de fer de l'exercice précédent a une masse de \( 15 \, kg \). Est-ce qu'il va couler ou flotter dans l'huile ? Justifiez votre réponse par un calcul. ### Devoirs 1. **Problème de flottaison :** Un iceberg a un volume total de \( 1000 \, m^3 \). La masse volumique de la glace est \( \rho_{glace} = 917 \, kg/m^3 \) et celle de l'eau de mer est \( \rho_{eau \, mer} = 1025 \, kg/m^3 \). Quel pourcentage du volume de l'iceberg est immergé ? (Prenez \( g = 9.81 \, N/kg \)) 2. **Applications :** Recherchez et décrivez brièvement deux applications pratiques de la poussée d'Archimède dans la vie quotidienne ou dans l'industrie (par exemple, les sous-marins, les ballons dirigeables, les densimètres, etc.). ### Résumé Pour qu'un solide soit en équilibre sous l'action de deux forces, celles-ci doivent être **colinéaires**, de **sens opposés** et de **même intensité** (\( \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \)). La poussée d'Archimède est une force verticale dirigée vers le haut exercée par un fluide sur un corps qui y est plongé. Son intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet, et se calcule par la formule \[ F_A = \rho_{fluide} \times V_{immergé} \times g \]. La comparaison entre le poids de l'objet et la poussée d'Archimède détermine si l'objet flotte, coule, ou reste en équilibre entre deux eaux. ## Equilibre d'un solide soumis à trois forces coplanaires ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la statique des solides ! Aujourd'hui, nous allons découvrir comment un solide peut rester immobile (en équilibre) lorsqu'il est soumis à l'action de trois forces qui agissent dans le même plan. Comprendre cela est essentiel pour expliquer de nombreux phénomènes autour de nous, comme un objet posé sur une table ou une balançoire à l'arrêt. ### Concepts Clés #### Rappel sur les forces * **Définition:** Une force est une action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. * **Caractéristiques:** * **Point d'application:** Où la force agit sur le solide. * **Direction:** La ligne le long de laquelle la force agit. * **Sens:** Le long de la direction (par exemple, vers le haut, vers le bas, à gauche, à droite). * **Intensité (ou norme):** Sa valeur, mesurée en Newtons (N) à l'aide d'un dynamomètre. On la représente par une flèche dont la longueur est proportionnelle à l'intensité. #### Qu'est-ce que l'équilibre ? Un solide est en équilibre si sa vitesse est nulle (il est immobile) ou constante (il est en mouvement rectiligne uniforme). Dans ce chapitre, nous nous intéressons principalement à l'immobilité. #### Conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces coplanaires Pour qu'un solide soit en équilibre sous l'action de trois forces \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \) qui sont dans le même plan (coplanaires), deux conditions doivent être remplies : ##### Première condition : Les directions des forces sont concourantes ou parallèles * **Forces concourantes:** Les lignes d'action des trois forces doivent se couper en un seul et même point. C'est le cas le plus fréquent pour l'équilibre à trois forces. * **Forces parallèles:** Dans des cas très spécifiques, les lignes d'action des trois forces peuvent être parallèles entre elles. ##### Deuxième condition : La somme vectorielle des forces est nulle * La somme vectorielle des trois forces doit être égale au vecteur nul. \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] * **Interprétation graphique (Polygone des forces):** * Si on représente les vecteurs force bout à bout (en plaçant l'origine de chaque vecteur à l'extrémité du précédent), le polygone formé par ces vecteurs doit être fermé. Cela signifie que le point d'arrivée du dernier vecteur coïncide avec le point de départ du premier vecteur. * Pour trois forces, le polygone des forces est un triangle. Si les trois forces sont en équilibre, elles doivent former un triangle fermé. ### Vocabulaire * **Force:** Action capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. * **Solide:** Corps indéformable (dans le cadre de la statique). * **Équilibre:** État d'un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. * **Coplanaires:** Se dit de forces dont les lignes d'action se trouvent dans un même plan. * **Concourantes:** Se dit de forces dont les lignes d'action se coupent en un même point. * **Polygone des forces:** Représentation graphique des forces sous forme de vecteurs mis bout à bout. Il doit être fermé pour que le solide soit en équilibre. * **Intensité (d'une force):** Valeur numérique d'une force, mesurée en Newtons (N). ### Exemples #### Exemple 1 : Un tableau suspendu Un tableau est suspendu au mur par deux câbles. Le poids du tableau (force \( \vec{P} \)) agit verticalement vers le bas. Les tensions dans les deux câbles (forces \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \)) agissent le long des câbles. * Les trois forces (poids et deux tensions) sont coplanaires (elles sont dans le plan du tableau). * Les directions de ces trois forces se rencontrent en un point (le centre de gravité du tableau si les câbles sont attachés en un point, ou le point d'attache de chaque câble). * Le polygone des forces formé par \( \vec{P} \), \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \) doit être fermé, formant un triangle. #### Exemple 2 : Un bloc sur un plan incliné Un bloc est posé sur un plan incliné et retenu par un fil parallèle au plan. * **Poids du bloc (\( \vec{P} \)):** Vertical vers le bas. * **Réaction normale du plan (\( \vec{N} \)):** Perpendiculaire au plan incliné, vers le haut. * **Tension du fil (\( \vec{T} \)):** Parallèle au plan incliné, vers le haut le long du fil. * Ces trois forces sont coplanaires et concourantes (elles se coupent au centre de masse du bloc). * Le triangle des forces \( \vec{P} \), \( \vec{N} \), \( \vec{T} \) est fermé. ### Exercices 1. **Question 1:** Un solide est en équilibre sous l'action de trois forces \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \). Quelles sont les deux conditions nécessaires pour cet équilibre ? 2. **Question 2:** Si les intensités de deux forces sont \( F_1 = 3 \text{ N} \) et \( F_2 = 4 \text{ N} \), et que ces deux forces sont perpendiculaires, quelle est l'intensité de la troisième force \( F_3 \) pour que le solide soit en équilibre ? (Indice : utilise le théorème de Pythagore pour le triangle des forces). 3. **Question 3:** Dessinez le polygone des forces pour un objet en équilibre soumis à trois forces. Que remarquez-vous ? ### Devoirs 1. Dessinez un schéma d'un pendule (une masse suspendue à un fil) et identifiez les forces qui agissent sur la masse lorsqu'elle est au repos (en équilibre). Sont-elles coplanaires et concourantes ? Justifiez. 2. Un solide de masse 500 g est suspendu par deux fils qui forment des angles de 30° et 60° avec l'horizontale. Calculez les tensions dans chaque fil. (Prenez \( g = 10 \text{ N/kg} \)). Aide : dessinez le triangle des forces et utilisez les règles de trigonométrie. 3. Recherchez un exemple concret d'équilibre d'un solide soumis à trois forces coplanaires dans votre vie quotidienne et décrivez-le. ### Résumé En résumé, l'équilibre d'un solide soumis à trois forces coplanaires est régi par deux principes fondamentaux : * Les directions des forces doivent être soit concourantes (se coupant en un point unique), soit parallèles. * La somme vectorielle des trois forces doit être nulle (\( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \)), ce qui se traduit graphiquement par un polygone (triangle) des forces fermé. Ces conditions nous permettent de comprendre et d'analyser de nombreuses situations d'équilibre autour de nous.