THEME 1: RAPPORTS PROPORTIONS (REVISION)

# THEME 1: RAPPORTS PROPORTIONS (REVISION) ## Prise de contact ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Aujourd'hui, nous allons réviser deux concepts fondamentaux en mathématiques commerciales : les rapports et les proportions. Ces notions sont essentielles pour comprendre de nombreux aspects du commerce, de la finance et de la gestion. Elles nous permettent de comparer des quantités, de résoudre des problèmes de partage et de calculer des grandeurs inconnues. Cette leçon est une révision pour solidifier vos bases. ### Rapports #### Définition d'un rapport Un **rapport** est une comparaison entre deux quantités de même nature. Il indique combien de fois une quantité contient l'autre ou quelle fraction d'une quantité l'autre représente. Un rapport est souvent exprimé sous forme de fraction ou avec le symbole de division. * **Notation**: * \( a \text{ à } b \) * \( a:b \) * \( \frac{a}{b} \) #### Propriétés des rapports * **Simplification**: Un rapport peut être simplifié comme une fraction en divisant l'antécédent (numérateur) et le conséquent (dénominateur) par leur plus grand commun diviseur. * **Unité**: Si les deux quantités ont des unités différentes, le rapport aura une unité composée (ex: kilomètres par heure). ### Proportions #### Définition d'une proportion Une **proportion** est une égalité entre deux rapports. Elle exprime que deux rapports sont équivalents. * **Notation**: * \( a:b = c:d \) * \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) #### Terminologie des proportions Dans la proportion \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \): * \( a \) et \( d \) sont appelés les **extrêmes**. * \( b \) et \( c \) sont appelés les **moyens**. #### Propriété fondamentale des proportions La propriété la plus importante des proportions est la suivante : Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \[ ad = bc \] Cette propriété est cruciale pour résoudre les problèmes où une valeur est inconnue dans une proportion. #### Autres propriétés des proportions À partir de la propriété fondamentale, nous pouvons déduire d'autres propriétés utiles : * **Permutation des moyens**: Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \). * **Permutation des extrêmes**: Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \). * **Inversion**: Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \). * **Composition (addition/soustraction)**: Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \) et \( \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} \). * **Série de rapports égaux**: Si plusieurs rapports sont égaux, par exemple \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \), alors la somme des antécédents divisée par la somme des conséquents est égale à la valeur de chaque rapport : \[ \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a}{b} \] ### Vocabulaire * **Rapport**: Comparaison entre deux quantités. * **Proportion**: Égalité entre deux rapports. * **Extrêmes**: Les termes extérieurs d'une proportion (\( a \) et \( d \) dans \( a:b = c:d \)). * **Moyens**: Les termes intérieurs d'une proportion (\( b \) et \( c \) dans \( a:b = c:d \)). * **Antécédent**: Le premier terme d'un rapport (le numérateur d'une fraction). * **Conséquent**: Le second terme d'un rapport (le dénominateur d'une fraction). ### Exemples #### Exemple 1: Simplification de rapport Le rapport du nombre de filles au nombre de garçons dans une classe est de \( 15 \text{ à } 20 \). Simplifiez ce rapport. * Rapport: \( 15:20 \) ou \( \frac{15}{20} \) * Diviser par le PGCD de \( 15 \) et \( 20 \), qui est \( 5 \). * Rapport simplifié: \( \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \) ou \( 3:4 \). #### Exemple 2: Résolution de proportion Si 4 stylos coûtent 12 euros, combien coûteront 7 stylos du même type ? * Posons la proportion : \( \frac{\text{coût}}{\text{nombre de stylos}} \). Soit \( x \) le coût de 7 stylos. \[ \frac{12}{4} = \frac{x}{7} \] * En utilisant la propriété fondamentale (produit des extrêmes = produit des moyens) : \[ 12 \times 7 = 4 \times x \] \[ 84 = 4x \] * Pour trouver \( x \) : \[ x = \frac{84}{4} \] \[ x = 21 \] * Donc, 7 stylos coûteront 21 euros. #### Exemple 3: Proportion avec des quantités différentes Un mélange de béton nécessite du ciment, du sable et du gravier dans un rapport de \( 1:2:4 \). Si vous utilisez 10 kg de ciment, de combien de sable et de gravier avez-vous besoin ? * Rapport ciment : sable = \( 1:2 \) \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{x_{\text{sable}}} \] \( 1 \times x_{\text{sable}} = 2 \times 10 \) \( x_{\text{sable}} = 20 \) kg de sable. * Rapport ciment : gravier = \( 1:4 \) \[ \frac{1}{4} = \frac{10}{x_{\text{gravier}}} \] \( 1 \times x_{\text{gravier}} = 4 \times 10 \) \( x_{\text{gravier}} = 40 \) kg de gravier. ### Exercices 1. **Simplifiez les rapports suivants :** * a) \( 18 \text{ à } 24 \) * b) \( 45:75 \) * c) \( \frac{36}{12} \) 2. **Déterminez si les paires de rapports forment une proportion :** * a) \( \frac{3}{5} \) et \( \frac{9}{15} \) * b) \( 6:8 \) et \( 15:20 \) * c) \( \frac{7}{10} \) et \( \frac{14}{18} \) 3. **Résolvez les proportions suivantes pour trouver la valeur de l'inconnue \( x \) :** * a) \( \frac{x}{6} = \frac{5}{30} \) * b) \( 4:x = 10:25 \) * c) \( \frac{2.5}{10} = \frac{x}{12} \) ### Devoirs 1. Un magasin vend des pommes à raison de 3 kg pour 4,50 euros. Combien coûteraient 5 kg de pommes ? 2. Pour préparer une boisson, on mélange du sirop et de l'eau dans un rapport de \( 2:7 \). Si vous utilisez 140 ml d'eau, combien de sirop devez-vous ajouter ? 3. Le prix d'un article a été réduit de \( 20\% \). Le nouveau prix est de 48 euros. Quel était le prix original de l'article ? (Indice : le prix actuel représente \( 80\% \) du prix original). 4. Une recette de gâteau demande 2 œufs pour 250 g de farine. Si vous voulez préparer un gâteau avec 3 œufs, de quelle quantité de farine aurez-vous besoin ? ### Résumé Nous avons revu aujourd'hui les concepts de rapports et de proportions. Un rapport compare deux quantités, tandis qu'une proportion est l'égalité de deux rapports. La propriété fondamentale des proportions (le produit des extrêmes est égal au produit des moyens) est un outil puissant pour résoudre des problèmes de la vie quotidienne et commerciale. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour les calculs de prix, de quantités, de pourcentages et d'autres applications en mathématiques commerciales. ## Lecon 9: Suite de nombres inversement proportionnelles ### Introduction Bienvenue à cette neuvième leçon! Jusqu'à présent, nous avons exploré les rapports et les proportions, y compris les suites de nombres directement proportionnelles. Vous vous souvenez peut-être que dans une proportion directe, lorsque l'une des quantités augmente, l'autre augmente également dans la même proportion. Aujourd'hui, nous allons découvrir un autre type de relation tout aussi important : les suites de nombres inversement proportionnelles. Ici, c'est le contraire qui se produit : quand une quantité augmente, l'autre diminue. Préparez-vous à comprendre comment ces relations fonctionnent et comment les utiliser pour résoudre des problèmes concrets en mathématiques commerciales. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la proportionnalité inverse? Deux grandeurs sont dites *inversement proportionnelles* si le produit de leurs valeurs correspondantes est constant. Cela signifie que si l'une des grandeurs augmente, l'autre doit diminuer de manière à ce que leur produit reste inchangé. Si \( x \) et \( y \) sont deux grandeurs inversement proportionnelles, alors leur relation peut s'écrire sous la forme : \[ x \cdot y = k \] où \( k \) est une constante, appelée la *constante de proportionnalité inverse*. On peut aussi exprimer cette relation comme : \[ y = \frac{k}{x} \] ou \[ x = \frac{k}{y} \] #### Comparaison avec la proportionnalité directe Il est crucial de bien distinguer la proportionnalité directe de la proportionnalité inverse : * **Proportionnalité directe :** Le quotient de \( y \) par \( x \) est constant. C'est-à-dire \( \frac{y}{x} = k \) ou \( y = kx \). * **Proportionnalité inverse :** Le produit de \( x \) par \( y \) est constant. C'est-à-dire \( x \cdot y = k \). #### Identification d'une relation inversement proportionnelle Pour vérifier si deux suites de nombres sont inversement proportionnelles, vous devez calculer le produit des valeurs correspondantes. Si tous les produits sont égaux à une même constante, alors la relation est inversement proportionnelle. Par exemple, si vous avez les paires \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \), la relation est inversement proportionnelle si : \[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \] #### Résolution de problèmes de proportionnalité inverse Il existe deux méthodes principales pour résoudre des problèmes de proportionnalité inverse : 1. **Utilisation de la constante de proportionnalité (\( k \)) :** * Trouvez la constante \( k \) en multipliant une paire de valeurs connues \( x \) et \( y \) (c'est-à-dire \( k = x \cdot y \)). * Utilisez cette constante pour trouver la valeur inconnue. Si vous cherchez \( y \), utilisez \( y = \frac{k}{x} \). Si vous cherchez \( x \), utilisez \( x = \frac{k}{y} \). 2. **Utilisation des ratios (Règle de trois inverse) :** Si \( x_1 \) correspond à \( y_1 \) et \( x_2 \) correspond à \( y_2 \), alors puisque le produit est constant : \[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \] On peut en déduire que : \[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} \] Notez l'inversion des termes \( y_1 \) et \( y_2 \) par rapport à la proportionnalité directe. Pour trouver une valeur inconnue, par exemple \( y_2 \), on peut écrire : \[ y_2 = \frac{x_1 \cdot y_1}{x_2} \] ### Vocabulaire * **Proportionnalité inverse :** Relation entre deux grandeurs où l'augmentation de l'une entraîne la diminution de l'autre, de sorte que leur produit reste constant. * **Constante de proportionnalité inverse (\( k \)) :** La valeur constante obtenue en multipliant les valeurs correspondantes de deux grandeurs inversement proportionnelles. * **Tableau de proportionnalité inverse :** Un tableau qui représente des paires de valeurs de grandeurs inversement proportionnelles. Pour chaque colonne du tableau, le produit des deux nombres est égal à la constante de proportionnalité inverse. ### Exemples #### Exemple 1: Travaux de construction Une équipe de 3 ouvriers peut construire un mur en 8 jours. Combien de jours faudrait-il à 6 ouvriers pour construire le même mur, en supposant qu'ils travaillent tous au même rythme ? * **Analyse :** Plus il y a d'ouvriers, moins il faudra de jours pour terminer le travail. C'est une relation inversement proportionnelle. * **Données :** * \( x_1 = 3 \) ouvriers, \( y_1 = 8 \) jours * \( x_2 = 6 \) ouvriers, \( y_2 = ? \) jours * **Méthode 1: Utilisation de la constante \( k \)** 1. Calculez la constante \( k \) : \( k = x_1 \cdot y_1 = 3 \text{ ouvriers} \cdot 8 \text{ jours} = 24 \). 2. Utilisez \( k \) pour trouver \( y_2 \) : \( y_2 = \frac{k}{x_2} = \frac{24}{6 \text{ ouvriers}} = 4 \text{ jours} \). * **Méthode 2: Utilisation des ratios** \[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \] \[ 3 \cdot 8 = 6 \cdot y_2 \] \[ 24 = 6 \cdot y_2 \] \[ y_2 = \frac{24}{6} \] \[ y_2 = 4 \text{ jours} \] Donc, 6 ouvriers mettraient 4 jours pour construire le mur. #### Exemple 2: Vitesse et temps de trajet Un automobiliste roule à une vitesse moyenne de 60 km/h et met 2 heures pour atteindre sa destination. Combien de temps mettrait-il s'il roulait à 80 km/h pour la même distance ? * **Analyse :** Plus la vitesse est élevée, moins le temps de trajet est long. C'est une relation inversement proportionnelle (la distance est constante, et \( \text{distance} = \text{vitesse} \cdot \text{temps} \)). * **Données :** * \( x_1 = 60 \text{ km/h} \), \( y_1 = 2 \text{ h} \) * \( x_2 = 80 \text{ km/h} \), \( y_2 = ? \) h * **Résolution :** 1. Calculez la constante (la distance) : \( k = 60 \cdot 2 = 120 \text{ km} \). 2. Trouvez \( y_2 \) : \( y_2 = \frac{k}{x_2} = \frac{120 \text{ km}}{80 \text{ km/h}} = 1.5 \text{ h} \). L'automobiliste mettrait 1,5 heure (ou 1 heure et 30 minutes) s'il roulait à 80 km/h. ### Exercices 1. **Identification :** Indiquez si les tableaux suivants représentent une relation de proportionnalité directe, inverse, ou aucune des deux. Justifiez votre réponse. a) Tableau A: | x | y | |---|---| | 2 | 10 | | 4 | 5 | | 5 | 4 | | 10 | 2 | b) Tableau B: | x | y | |---|---| | 3 | 9 | | 5 | 15 | | 7 | 21 | | 10 | 30 | 2. **Problème de remplissage :** Un robinet remplit un bassin en 12 heures. Combien de temps faudrait-il pour remplir le même bassin avec 3 robinets identiques fonctionnant simultanément ? 3. **Partage d'argent :** Une somme de 1200 FCFA doit être partagée entre trois personnes (A, B, C) inversement proportionnellement à leur âge, qui sont respectivement 2, 3 et 5 ans. Combien chaque personne recevra-t-elle ? ### Devoirs 1. **Vitesse de téléchargement :** Un fichier de 10 Go est téléchargé en 20 minutes avec une connexion Internet de 50 Mbps. Combien de temps faudrait-il pour télécharger le même fichier avec une connexion de 25 Mbps ? (Remarque : Le débit et le temps sont inversement proportionnels si la taille du fichier est constante). 2. **Préparation de repas :** 4 cuisiniers peuvent préparer un banquet pour 200 personnes en 5 heures. Combien de cuisiniers supplémentaires faudrait-il pour préparer le même banquet en 2 heures ? 3. **Tableau incomplet :** Complétez le tableau suivant sachant que \( x \) et \( y \) sont inversement proportionnels. | x | y | |---|---| | 6 | 8 | | 4 | ? | | ? | 12 | | 16 | ? | ### Résumé Félicitations pour avoir complété cette leçon sur les suites de nombres inversement proportionnelles! Voici les points clés à retenir : * Deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant : \( x \cdot y = k \). * La constante \( k \) est appelée la constante de proportionnalité inverse. * Pour identifier une relation inversement proportionnelle, vérifiez si le produit des valeurs correspondantes est le même pour toutes les paires. * Pour résoudre des problèmes, vous pouvez utiliser la constante de proportionnalité (\( y = \frac{k}{x} \)) ou la règle de trois inverse (\( x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \)). * Les proportions inverses sont courantes dans de nombreuses situations réelles, comme le temps de travail et le nombre de travailleurs, ou la vitesse et le temps de trajet. Continuez à pratiquer ces concepts, car ils sont fondamentaux pour de nombreuses applications en mathématiques commerciales et dans la vie quotidienne! ## Lecon 1: Géneralités sur les fractions # Leçon 1: Généralités sur les fractions\n\n## Introduction\n\nBienvenue à cette première leçon de Mathématiques Commerciales! Aujourd'hui, nous allons réviser les bases des fractions. Les fractions sont partout dans le commerce et dans la vie de tous les jours, que ce soit pour partager un gâteau, calculer des réductions ou comprendre des parts de marché. Une bonne maîtrise des fractions est essentielle pour les concepts plus avancés que nous étudierons plus tard.\n\n## Concepts Clés\n\n### Qu'est-ce qu'une fraction?\n\nUne fraction est un nombre qui représente une ou plusieurs parties égales d'un tout. Elle s'écrit généralement sous la forme \\( \frac{a}{b} \\), où \\( a \\) et \\( b \\) sont des nombres entiers et \\( b \\) n'est jamais zéro.\n\n### Les composantes d'une fraction\n\nChaque fraction est composée de trois éléments principaux:\n* **Numérateur**: C'est le nombre du haut (\\( a \\)). Il indique combien de parties du tout nous considérons.\n* **Dénominateur**: C'est le nombre du bas (\\( b \\)). Il indique en combien de parties égales le tout a été divisé. Le dénominateur ne peut jamais être zéro.\n* **Barre de fraction**: C'est la ligne horizontale qui sépare le numérateur et le dénominateur. Elle signifie aussi "divisé par".\n\nExemple: Dans la fraction \\( \frac{3}{4} \\), le numérateur est 3 et le dénominateur est 4. Cela signifie que nous avons 3 parties sur un total de 4 parties égales.\n\n### Types de fractions\n\nIl existe plusieurs types de fractions:\n* **Fraction propre**: Le numérateur est plus petit que le dénominateur. Sa valeur est toujours inférieure à 1.\n * Exemple: \\( \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{7}{10} \\)\n* **Fraction impropre**: Le numérateur est égal ou plus grand que le dénominateur. Sa valeur est égale ou supérieure à 1.\n * Exemple: \\( \frac{5}{3}, \frac{7}{7}, \frac{11}{4} \\)\n* **Nombre fractionnaire (ou mixte)**: C'est une combinaison d'un nombre entier et d'une fraction propre. On l'utilise pour représenter des fractions impropres.\n * Exemple: \\( 1\frac{2}{3} \\) (équivalent à \\( \frac{5}{3} \\)), \\( 2\frac{3}{4} \\) (équivalent à \\( \frac{11}{4} \\))\n\n**Conversion entre fraction impropre et nombre fractionnaire:**\nPour convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire:\n1. Divisez le numérateur par le dénominateur. Le quotient est le nombre entier.\n2. Le reste devient le nouveau numérateur de la fraction propre, et le dénominateur reste le même.\n * Exemple: Convertir \\( \frac{11}{4} \\). \\( 11 \div 4 = 2 \\) avec un reste de \\( 3 \\). Donc \\( \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \\).\n\nPour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre:\n1. Multipliez le nombre entier par le dénominateur.\n2. Ajoutez le numérateur de la fraction propre au résultat.\n3. Le dénominateur reste le même.\n * Exemple: Convertir \\( 2\frac{3}{4} \\). \\( (2 \times 4) + 3 = 8 + 3 = 11 \\). Donc \\( 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4} \\).\n\n### Simplification des fractions (Fractions irréductibles)\n\nSimplifier une fraction signifie la réduire à sa forme la plus simple, où le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Cette forme est appelée **fraction irréductible**.\nPour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).\n\nExemple: Simplifier \\( \frac{12}{18} \\).\nLe PGCD de 12 et 18 est 6.\n\\( \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \\). La fraction irréductible est \\( \frac{2}{3} \\).\n\n### Comparaison de fractions\n\nPour comparer des fractions (savoir laquelle est la plus grande ou la plus petite):\n1. **Si les dénominateurs sont les mêmes**: Comparez simplement les numérateurs. La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.\n * Exemple: \\( \frac{3}{5} < \frac{4}{5} \\) car \\( 3 < 4 \\).\n2. **Si les dénominateurs sont différents**: Trouvez un dénominateur commun (le Plus Petit Commun Multiple - PPCM des dénominateurs). Convertissez les fractions pour qu'elles aient ce dénominateur commun, puis comparez les numérateurs.\n * Exemple: Comparer \\( \frac{2}{3} \\) et \\( \frac{3}{4} \\). Le PPCM de 3 et 4 est 12.\n * \\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \\)\n * \\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \\)\n * Puisque \\( 8 < 9 \\), alors \\( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \\), ce qui signifie \\( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \\).\n\n### Opérations sur les fractions\n\n#### Addition et Soustraction\n\n1. **Même dénominateur**: Additionnez ou soustrayez les numérateurs et gardez le même dénominateur. Simplifiez si possible.\n * Exemple: \\( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5} \\)\n * Exemple: \\( \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\)\n2. **Dénominateurs différents**: Trouvez un dénominateur commun (PPCM). Convertissez les fractions, puis additionnez ou soustrayez comme ci-dessus.\n * Exemple: \\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\). Le PPCM de 2 et 3 est 6.\n * \\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \\)\n * \\( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \\)\n * \\( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \\)\n\n#### Multiplication\n\nPour multiplier deux fractions, multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Simplifiez le résultat.\nFormule générale: \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]\nExemple: \\( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \\)\n\n#### Division\n\nPour diviser une fraction par une autre, multipliez la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction. L'inverse d'une fraction est obtenue en échangeant son numérateur et son dénominateur.\nFormule générale: \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \]\nExemple: \\( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2 \times 2}{3 \times 1} = \frac{4}{3} \\)\n\n## Vocabulaire\n\n* **Fraction**: Un nombre représentant une ou plusieurs parties égales d'un tout.\n* **Numérateur**: Le nombre du haut dans une fraction, indiquant le nombre de parties considérées.\n* **Dénominateur**: Le nombre du bas dans une fraction, indiquant le nombre total de parties égales du tout.\n* **Fraction propre**: Fraction où le numérateur est plus petit que le dénominateur.\n* **Fraction impropre**: Fraction où le numérateur est égal ou plus grand que le dénominateur.\n* **Nombre fractionnaire (ou mixte)**: Combinaison d'un nombre entier et d'une fraction propre.\n* **Simplification**: Processus de réduction d'une fraction à sa forme la plus simple.\n* **Fraction irréductible**: Fraction qui ne peut plus être simplifiée car le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1.\n* **Dénominateur commun**: Un même dénominateur utilisé pour comparer ou additionner/soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.\n* **Inverse**: Pour une fraction \\( \frac{c}{d} \\), son inverse est \\( \frac{d}{c} \\).\n\n## Exemples pratiques\n\n1. **Partage**: Un gâteau est coupé en 8 parts égales. Si vous mangez 3 parts, vous avez mangé \\( \frac{3}{8} \\) du gâteau.\n2. **Recette**: Une recette demande \\( \frac{3}{4} \\) de tasse de farine. Si vous voulez doubler la recette, vous aurez besoin de \\( \frac{3}{4} \times 2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \\) tasse de farine.\n3. **Remise**: Un article coûte 60 dollars et bénéficie d'une remise de \\( \frac{1}{3} \\) de son prix. La remise est de \\( 60 \times \frac{1}{3} = 20 \\) dollars. Le nouveau prix est \\( 60 - 20 = 40 \\) dollars.\n4. **Taux de croissance**: Si une entreprise augmente sa production de \\( \frac{1}{5} \\) par rapport à l'année dernière, et que l'année dernière elle produisait 1000 unités, cette année elle produira \\( 1000 + (1000 \times \frac{1}{5}) = 1000 + 200 = 1200 \\) unités.\n\n## Exercices\n\nRépondez aux questions suivantes.\n\n1. Pour la fraction \\( \frac{5}{9} \\):\n * Quel est le numérateur?\n * Quel est le dénominateur?\n2. Convertissez les fractions impropres en nombres fractionnaires et vice-versa:\n * \\( \frac{13}{5} \\)\n * \\( 3\frac{1}{4} \\)\n3. Simplifiez les fractions suivantes à leur forme irréductible:\n * \\( \frac{10}{25} \\)\n * \\( \frac{18}{24} \\)\n4. Effectuez les opérations suivantes et simplifiez les résultats:\n * \\( \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \\)\n * \\( \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \\)\n * \\( \frac{2}{7} \times \frac{3}{4} \\)\n * \\( \frac{5}{9} \div \frac{2}{3} \\)\n\n## Devoirs\n\n1. Un projet de construction nécessite \\( 2\frac{1}{2} \\) tonnes de sable et \\( 1\frac{3}{4} \\) tonnes de gravier. Quelle est la quantité totale de matériaux nécessaires (sable et gravier) en tonnes? Exprimez votre réponse sous forme de nombre fractionnaire et de fraction impropre simplifiée.\n2. Madame Dupont a 40 bonbons. Elle donne \\( \frac{2}{5} \\) des bonbons à ses élèves. Combien de bonbons donne-t-elle à ses élèves? Combien de bonbons lui reste-t-il?\n3. Comparez les paires de fractions suivantes en utilisant \\( < \\), \\( > \\), ou \\( = \\):\n * \\( \frac{5}{8} \\) et \\( \frac{3}{4} \\)\n * \\( \frac{7}{10} \\) et \\( \frac{14}{20} \\)\n * \\( 1\frac{1}{3} \\) et \\( \frac{4}{3} \\)\n4. Une recette de biscuit utilise \\( \frac{3}{4} \\) de tasse de sucre. Si vous souhaitez faire seulement \\( \frac{1}{2} \\) de la recette, quelle quantité de sucre devrez-vous utiliser?\n\n## Résumé\n\nAujourd'hui, nous avons révisé les fondamentaux des fractions. Nous avons appris à identifier leurs composantes, à distinguer les fractions propres, impropres et les nombres fractionnaires, et à les convertir entre elles. Nous avons également pratiqué la simplification des fractions, leur comparaison, ainsi que les quatre opérations de base: addition, soustraction, multiplication et division. Une solide compréhension de ces concepts est cruciale pour aborder les thèmes futurs en mathématiques commerciales. Continuez à pratiquer ces concepts pour les maîtriser parfaitement! ## Lecon 2: Opérarations sur les fractions ### Introduction Bienvenue à cette deuxième leçon de révision sur les rapports et proportions. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur les opérations fondamentales avec les fractions. Les fractions sont essentielles en mathématiques commerciales pour comprendre des concepts tels que les parts de marché, les réductions, les augmentations et les répartitions. Maîtriser l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des fractions est une compétence clé qui vous sera utile tout au long de votre parcours. ### Concepts Clés #### Rappel: Qu'est-ce qu'une fraction ? Une fraction représente une partie d'un tout ou un rapport entre deux nombres. Elle est écrite sous la forme \( \frac{a}{b} \), où: * \( a \) est le **numérateur** (le nombre de parties que vous avez). * \( b \) est le **dénominateur** (le nombre total de parties égales dans le tout). Le dénominateur \( b \) ne peut jamais être zéro. #### Addition et Soustraction de fractions ##### Fractions avec le même dénominateur Pour additionner ou soustraire des fractions ayant le même dénominateur, il suffit d'additionner ou de soustraire les numérateurs et de conserver le dénominateur commun. * **Addition:** \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \] * **Soustraction:** \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \] ##### Fractions avec des dénominateurs différents Lorsque les dénominateurs sont différents, vous devez d'abord trouver un **dénominateur commun** (généralement le Plus Petit Commun Multiple - PPCM des dénominateurs). Ensuite, convertissez chaque fraction en une fraction équivalente avec ce dénominateur commun avant d'additionner ou de soustraire. * **Exemple de transformation:** Pour transformer \( \frac{a}{b} \) en une fraction équivalente avec un dénominateur \( b \times k \), on a \( \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \). #### Multiplication de fractions Pour multiplier des fractions, multipliez simplement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \] La simplification peut être effectuée avant ou après la multiplication pour faciliter les calculs. #### Division de fractions Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier la première fraction par l'**inverse** de la deuxième fraction. * L'inverse d'une fraction \( \frac{c}{d} \) est \( \frac{d}{c} \). \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \] #### Simplification de fractions Simplifier une fraction signifie la réduire à sa forme la plus simple, appelée **fraction irréductible**. Pour ce faire, divisez le numérateur et le dénominateur par leur **Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)**. ### Vocabulaire * **Fraction:** Représentation d'une partie d'un tout, composée d'un numérateur et d'un dénominateur. * **Numérateur:** Le chiffre du haut d'une fraction, indiquant le nombre de parties considérées. * **Dénominateur:** Le chiffre du bas d'une fraction, indiquant le nombre total de parties égales dans le tout. * **Dénominateur commun:** Un multiple commun à plusieurs dénominateurs, utilisé pour additionner ou soustraire des fractions. * **Inverse d'une fraction:** La fraction obtenue en inversant le numérateur et le dénominateur (par exemple, l'inverse de \( \frac{2}{3} \) est \( \frac{3}{2} \)). * **Fraction irréductible:** Une fraction qui ne peut plus être simplifiée car le PGCD de son numérateur et de son dénominateur est 1. * **PPCM (Plus Petit Commun Multiple):** Le plus petit nombre qui est un multiple de deux ou plusieurs nombres entiers. Utilisé pour trouver un dénominateur commun. * **PGCD (Plus Grand Commun Diviseur):** Le plus grand nombre entier qui divise deux ou plusieurs nombres entiers sans laisser de reste. Utilisé pour simplifier les fractions. ### Exemples #### Exemple 1: Addition de fractions * **Même dénominateur:** \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \) * **Dénominateurs différents:** \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \) * PPCM de 3 et 2 est 6. * \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \) * \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \) * \( \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \) #### Exemple 2: Soustraction de fractions * **Même dénominateur:** \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (après simplification) * **Dénominateurs différents:** \( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \) * PPCM de 4 et 3 est 12. * \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \) * \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12} \) * \( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12} \) #### Exemple 3: Multiplication de fractions * \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \) #### Exemple 4: Division de fractions * \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (après simplification) #### Exemple 5: Simplification de fractions * Simplifier \( \frac{10}{15} \) * Le PGCD de 10 et 15 est 5. * Divisez le numérateur et le dénominateur par 5: \( \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3} \) ### Exercices Calculez et simplifiez si possible: 1. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} \) 2. \( \frac{5}{8} - \frac{1}{4} \) 3. \( \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \) 4. \( \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} \) 5. Simplifiez \( \frac{24}{36} \) ### Devoir 1. Un boulanger utilise \( \frac{2}{5} \) de son sac de farine le matin et \( \frac{1}{3} \) l'après-midi. Quelle fraction du sac de farine a-t-il utilisée au total ? 2. Une entreprise a réalisé un bénéfice de 120 000 FCFA. Elle décide de distribuer \( \frac{3}{8} \) de ce bénéfice aux actionnaires. Le reste est mis en réserve. Quelle fraction du bénéfice est mise en réserve ? Calculez le montant mis en réserve. 3. Calculez la valeur de l'expression suivante en simplifiant à chaque étape si possible: \[ (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \times \frac{6}{7} - \frac{1}{4} \] ### Résumé Dans cette leçon, nous avons révisé les opérations fondamentales sur les fractions : * Pour l'**addition et la soustraction**, assurez-vous d'avoir un dénominateur commun. Si ce n'est pas le cas, trouvez le PPCM et convertissez les fractions. * Pour la **multiplication**, multipliez simplement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. * Pour la **division**, multipliez la première fraction par l'inverse de la deuxième. * Toujours **simplifier** vos fractions à leur forme irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Ces compétences sont cruciales pour résoudre des problèmes commerciaux et financiers complexes. ## Lecon 3: Géneralités sur les rapports et proportions ### Introduction Bienvenue à cette troisième leçon sur les rapports et proportions! Dans le monde des affaires et des mathématiques commerciales, la compréhension des rapports et des proportions est fondamentale. Ces concepts nous permettent de comparer des quantités et de résoudre des problèmes liés à des distributions, des échelles, des taux et bien d'autres situations. Cette leçon est une révision pour s'assurer que vous maîtrisez bien ces outils essentiels. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Rapport? Un **rapport** est une comparaison entre deux quantités ou nombres. Il montre combien de fois une quantité contient l'autre, ou quelle fraction une quantité est de l'autre. Il est généralement exprimé sous forme de fraction, de division, ou en utilisant le symbole de deux-points. * **Notation d'un rapport** Un rapport entre deux nombres \( a \) et \( b \) peut être écrit de plusieurs façons: * Sous forme de fraction: \( \frac{a}{b} \) * En utilisant le symbole de deux-points: \( a:b \) * Sous forme verbale: "a à b" Dans tous les cas, \( b \) ne peut pas être zéro. * **Termes d'un rapport** Dans le rapport \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \): * \( a \) est appelé l'**antécédent**. * \( b \) est appelé le **conséquent**. * **Simplification d'un rapport** Comme une fraction, un rapport doit toujours être simplifié à sa forme la plus simple en divisant l'antécédent et le conséquent par leur plus grand commun diviseur (PGCD). #### Qu'est-ce qu'une Proportion? Une **proportion** est une égalité entre deux rapports. Si deux rapports sont égaux, ils forment une proportion. * **Notation d'une proportion** Si le rapport \( \frac{a}{b} \) est égal au rapport \( \frac{c}{d} \), nous écrivons la proportion comme: \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] Ou en utilisant le symbole de deux-points: \[ a:b = c:d \] Cela se lit "a est à b comme c est à d". * **Termes d'une proportion** Dans la proportion \( a:b = c:d \) ou \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \): * \( a \) et \( d \) sont appelés les **termes extrêmes**. * \( b \) et \( c \) sont appelés les **termes moyens**. * **Propriété fondamentale des proportions** La propriété la plus importante des proportions est que le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens. Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors: \[ ad = bc \] Cette propriété est très utile pour vérifier si deux rapports forment une proportion ou pour trouver une valeur inconnue dans une proportion. ### Vocabulaire * **Rapport:** Comparaison entre deux quantités. * **Proportion:** Égalité entre deux rapports. * **Antécédent:** Le premier terme d'un rapport (le numérateur dans une fraction). * **Conséquent:** Le deuxième terme d'un rapport (le dénominateur dans une fraction). * **Termes extrêmes:** Le premier et le dernier terme d'une proportion (\( a \) et \( d \) dans \( a:b = c:d \)). * **Termes moyens:** Les deux termes du milieu d'une proportion (\( b \) et \( c \) dans \( a:b = c:d \)). * **Simplification:** Réduire un rapport ou une fraction à sa forme la plus simple. ### Exemples #### Exemple 1: Écrire et simplifier un rapport Dans une classe, il y a 18 filles et 12 garçons. 1. **Quel est le rapport du nombre de filles au nombre de garçons?** Rapport filles:garçons = \( 18:12 \). Pour simplifier, divisez les deux nombres par leur PGCD, qui est 6. \( 18 \div 6 = 3 \) \( 12 \div 6 = 2 \) Le rapport simplifié est \( 3:2 \) ou \( \frac{3}{2} \). 2. **Quel est le rapport du nombre de garçons au nombre total d'élèves?** Nombre total d'élèves = \( 18 + 12 = 30 \). Rapport garçons:total = \( 12:30 \). Pour simplifier, divisez par 6. \( 12 \div 6 = 2 \) \( 30 \div 6 = 5 \) Le rapport simplifié est \( 2:5 \) ou \( \frac{2}{5} \). #### Exemple 2: Vérifier une proportion Les rapports \( \frac{2}{3} \) et \( \frac{8}{12} \) forment-ils une proportion? Utilisons la propriété fondamentale: \( ad = bc \). Ici, \( a=2, b=3, c=8, d=12 \). Produit des extrêmes: \( 2 \times 12 = 24 \). Produit des moyens: \( 3 \times 8 = 24 \). Étant donné que \( 24 = 24 \), les rapports forment bien une proportion. #### Exemple 3: Trouver une valeur inconnue dans une proportion Trouvez la valeur de \( x \) dans la proportion suivante: \[ \frac{x}{4} = \frac{15}{20} \] Utilisons la propriété fondamentale: \( ad = bc \). \( x \times 20 = 4 \times 15 \) \( 20x = 60 \) Pour trouver \( x \), divisez les deux côtés par 20: \( x = \frac{60}{20} \) \( x = 3 \) ### Exercices 1. **Écrire des rapports:** a. Dans une boîte de stylos, il y a 7 stylos bleus et 5 stylos rouges. Écrivez le rapport des stylos bleus aux stylos rouges. b. Une recette demande 2 tasses de farine pour 3 tasses de lait. Quel est le rapport de la farine au lait? 2. **Simplifier les rapports suivants:** a. \( 10:25 \) b. \( 14 \text{ heures} : 2 \text{ jours} \) (Rappel: un jour = 24 heures) c. \( \frac{48}{16} \) 3. **Vérifier les proportions:** Déterminez si les paires de rapports suivantes forment une proportion en utilisant la propriété fondamentale: a. \( \frac{3}{4} \) et \( \frac{9}{12} \) b. \( 6:8 \) et \( 15:20 \) c. \( \frac{5}{7} \) et \( \frac{10}{13} \) 4. **Résoudre pour l'inconnue:** Trouvez la valeur de \( y \) dans chaque proportion: a. \( \frac{y}{6} = \frac{20}{30} \) b. \( 7:y = 21:15 \) ### Devoir 1. **Problèmes de rapports:** a. Un agriculteur a 45 poulets et 30 canards. Quel est le rapport simplifié des poulets aux canards? Quel est le rapport des canards au nombre total de volailles? b. Les ventes d'un magasin étaient de 12000 FCFA lundi et de 18000 FCFA mardi. Quel est le rapport simplifié des ventes de lundi à celles de mardi? 2. **Problèmes de proportions:** a. Si 3 livres coûtent 3600 FCFA, combien coûteraient 7 livres au même taux? b. Un véhicule consomme 8 litres d'essence pour parcourir 100 km. Combien de litres d'essence aura-t-il besoin pour parcourir 350 km? 3. **Calcul d'inconnues:** Résolvez pour la variable inconnue dans les proportions suivantes: a. \( \frac{12}{x} = \frac{4}{5} \) b. \( 2.5:10 = z:24 \) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revisité les concepts fondamentaux des rapports et des proportions. Un **rapport** est une comparaison de deux quantités, souvent exprimée comme \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \). Une **proportion** est une égalité entre deux rapports, comme \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \). Nous avons appris que la **propriété fondamentale des proportions** stipule que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens (\( ad = bc \)). Ces outils sont essentiels en mathématiques commerciales pour résoudre une variété de problèmes liés aux comparaisons et aux relations entre différentes quantités. Une bonne maîtrise de ces concepts vous sera très utile dans vos futures leçons. ## Lecon 4: Permutation des extremêmes et des moyens ### Introduction Bienvenue à cette quatrième leçon de notre thème sur les rapports et proportions. Aujourd'hui, nous allons explorer une propriété très utile des proportions : la permutation des extrêmes et des moyens. Comprendre cette propriété vous permettra de manipuler les proportions de différentes manières, ce qui est essentiel pour résoudre des problèmes en mathématiques commerciales et dans la vie quotidienne. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Proportions Une proportion est une égalité entre deux rapports. Si nous avons deux rapports égaux, par exemple \( \frac{a}{b} \) et \( \frac{c}{d} \), alors nous pouvons écrire une proportion comme ceci : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] La propriété fondamentale des proportions stipule que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Dans la proportion ci-dessus : * \( a \) et \( d \) sont les **extrêmes**. * \( b \) et \( c \) sont les **moyens**. Donc, la propriété fondamentale s'écrit : \[ ad = bc \] #### Permutation des Extrêmes La permutation des extrêmes consiste à échanger la position des extrêmes dans une proportion. Si nous commençons avec : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] En échangeant les extrêmes \( a \) et \( d \), nous obtenons une nouvelle proportion : \[ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \] Pour vérifier que cette nouvelle proportion est toujours valide, nous pouvons appliquer la propriété fondamentale : le produit des extrêmes est \( da \) et le produit des moyens est \( bc \). Comme nous savons que \( ad = bc \) (ou \( da = bc \)), l'égalité est maintenue. #### Permutation des Moyens La permutation des moyens consiste à échanger la position des moyens dans une proportion. Si nous commençons avec : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] En échangeant les moyens \( b \) et \( c \), nous obtenons une nouvelle proportion : \[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \] De même, nous vérifions avec la propriété fondamentale : le produit des extrêmes est \( ad \) et le produit des moyens est \( cb \). Puisque \( ad = bc \) (ou \( ad = cb \)), l'égalité est toujours vraie. #### Permutation des Extrêmes ET des Moyens (ou Inversion des Rapports) Il est également possible d'échanger simultanément les extrêmes et les moyens, ce qui revient à inverser les deux rapports de la proportion. Si nous commençons avec : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] En échangeant \( a \) avec \( d \) ET \( b \) avec \( c \), nous obtenons : \[ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} \] La vérification par la propriété fondamentale donne \( da = cb \), ce qui confirme que l'égalité est toujours valide. ### Vocabulaire * **Proportion:** Une égalité entre deux rapports (ex: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)). * **Rapport:** Une comparaison de deux quantités par division (ex: \( 3:6 \) ou \( \frac{3}{6} \)). * **Extrêmes:** Les termes extérieurs d'une proportion. Dans \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), \( a \) et \( d \) sont les extrêmes. * **Moyens:** Les termes intérieurs d'une proportion. Dans \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), \( b \) et \( c \) sont les moyens. * **Permutation:** L'action d'échanger la position de deux éléments. ### Exemples #### Exemple 1: Permutation des Extrêmes Soit la proportion : \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \] Ici, les extrêmes sont 2 et 6. Les moyens sont 3 et 4. Le produit des extrêmes est \( 2 imes 6 = 12 \). Le produit des moyens est \( 3 imes 4 = 12 \). Permutons les extrêmes (2 et 6) : \[ \frac{6}{3} = \frac{4}{2} \] Vérifions : \( 6 imes 2 = 12 \) et \( 3 imes 4 = 12 \). L'égalité est maintenue. #### Exemple 2: Permutation des Moyens Reprenons la proportion originale : \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \] Permutons les moyens (3 et 4) : \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \] Vérifions : \( 2 imes 6 = 12 \) et \( 4 imes 3 = 12 \). L'égalité est maintenue. #### Exemple 3: Application en mathématiques commerciales Une recette de gâteau demande 2 tasses de farine pour 3 œufs. Si vous avez 9 œufs, combien de tasses de farine vous faut-il ? Nous pouvons écrire la proportion : \[ \frac{\text{farine}}{\text{œufs}} \implies \frac{2}{3} = \frac{x}{9} \] En utilisant la propriété fondamentale : \( 2 imes 9 = 3 imes x \implies 18 = 3x \implies x = 6 \) tasses de farine. Nous pourrions aussi permuter les moyens pour isoler \( x \) plus simplement : \[ \frac{2}{x} = \frac{3}{9} \] Maintenant, \( 2 imes 9 = x imes 3 \implies 18 = 3x \implies x = 6 \). Le résultat est le même ! ### Exercices 1. Identifiez les extrêmes et les moyens dans la proportion suivante : \[ \frac{5}{10} = \frac{7}{14} \] 2. Étant donnée la proportion \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \) : a. Appliquez la permutation des extrêmes et écrivez la nouvelle proportion. b. Vérifiez que la nouvelle proportion est valide en utilisant le produit en croix. 3. Étant donnée la proportion \( \frac{15}{5} = \frac{9}{3} \) : a. Appliquez la permutation des moyens et écrivez la nouvelle proportion. b. Vérifiez que la nouvelle proportion est valide. 4. Étant donnée la proportion \( \frac{8}{4} = \frac{10}{5} \) : a. Appliquez la permutation des extrêmes ET des moyens. b. Vérifiez que la nouvelle proportion est valide. ### Devoir 1. Soit la proportion \( \frac{a}{7} = \frac{b}{14} \). a. Écrivez la proportion après avoir permuté les extrêmes. b. Écrivez la proportion après avoir permuté les moyens. c. Écrivez la proportion après avoir inversé les rapports (permutation des extrêmes et des moyens). 2. Si \( \frac{x}{5} = \frac{12}{20} \), trouvez la valeur de \( x \) : a. En utilisant la propriété fondamentale directement. b. En permutant d'abord les moyens pour isoler \( x \) d'une autre manière, puis en résolvant. 3. Un plan de maison est dessiné à l'échelle de 1:50. Si une pièce mesure 6 cm sur le plan, quelle est sa longueur réelle en mètres ? Si vous utilisez une proportion pour résoudre, montrez comment une permutation pourrait être utilisée. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu les bases des proportions et appris à permuter les extrêmes et les moyens. Nous avons vu que si une proportion \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) est vraie, alors les proportions obtenues par permutation des extrêmes \( \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \) et par permutation des moyens \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \) sont également vraies. Cette propriété est une conséquence directe de la propriété fondamentale des proportions, \( ad = bc \), et est un outil puissant pour manipuler et résoudre des problèmes impliquant des rapports équivalents. La maîtrise de ces techniques vous sera très utile dans vos études futures et dans la résolution de problèmes pratiques. ## Lecon 5: Suite de rapports égaux ### Introduction Bienvenue à cette cinquième leçon de révision sur les rapports et proportions. Aujourd'hui, nous allons approfondir notre compréhension en explorant les **suites de rapports égaux**. Cette notion est fondamentale en mathématiques commerciales car elle permet de résoudre des problèmes de partage, de distribution proportionnelle et de mise à l'échelle de manière efficace. Préparez-vous à découvrir comment plusieurs rapports peuvent être liés et comment exploiter cette relation pour des calculs pratiques. ### Concepts Clés #### Rappels sur les rapports et proportions Avant de plonger dans les suites de rapports égaux, rafraîchissons notre mémoire sur les bases : * **Rapport :** C'est une comparaison entre deux quantités. Il peut être écrit sous la forme \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \), où \( a \) est l'antécédent et \( b \) est le conséquent. * **Proportion :** C'est une égalité entre deux rapports. Par exemple, \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) est une proportion. La propriété fondamentale d'une proportion est que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens : \( a \times d = b \times c \). #### Qu'est-ce qu'une suite de rapports égaux ? Une suite de rapports égaux est lorsque trois rapports ou plus sont égaux entre eux. Elle s'écrit généralement sous la forme : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \] Où \( k \) est la constante de proportionnalité commune à tous les rapports. #### Propriété fondamentale des suites de rapports égaux La propriété la plus importante d'une suite de rapports égaux est la suivante : **Dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédents divisée par la somme des conséquents est égale à la constante de proportionnalité commune.** Autrement dit, si nous avons : \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \] Alors, nous avons également : \[ \frac{a+c+e}{b+d+f} = k \] **Explication :** Si \( \frac{a}{b} = k \), alors \( a = bk \). Si \( \frac{c}{d} = k \), alors \( c = dk \). Si \( \frac{e}{f} = k \), alors \( e = fk \). En additionnant les antécédents : \( a+c+e = bk + dk + fk = k(b+d+f) \). Donc, en divisant par la somme des conséquents (si \( b+d+f \neq 0 \)) : \[ \frac{a+c+e}{b+d+f} = k \] Cette propriété est extrêmement utile pour résoudre des problèmes où la somme des antécédents (ou des conséquents) est connue, et on cherche les valeurs individuelles. #### Applications en Mathématiques Commerciales Les suites de rapports égaux sont fréquemment utilisées pour : * **La distribution proportionnelle :** Partager des profits, des coûts, des primes ou d'autres ressources entre plusieurs entités (personnes, départements, villes) en fonction de certains critères (investissement, performance, population, etc.). * **Le calcul de quantités nécessaires :** Adapter une recette ou une formule pour un nombre différent de parts ou une échelle différente. ### Vocabulaire * **Rapport :** Comparaison de deux grandeurs. (e.g., \( \frac{a}{b} \)) * **Proportion :** Égalité entre deux rapports. (e.g., \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)) * **Suite de rapports égaux :** Trois rapports ou plus qui sont égaux entre eux. (e.g., \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \)) * **Antécédent :** Le premier terme d'un rapport (le numérateur). * **Conséquent :** Le second terme d'un rapport (le dénominateur). * **Constante de proportionnalité (k) :** La valeur commune à tous les rapports dans une suite de rapports égaux. * **Distribution proportionnelle :** Répartition d'une quantité en fonction de rapports spécifiques. ### Exemples #### Exemple 1: Partage de dépenses Trois amis (Ali, Ben et Chloé) ont dépensé un total de 120 F pour un repas. Ils décident de partager la note en fonction de leur consommation individuelle, qui est dans le rapport \( 3:4:5 \). Combien chacun doit-il payer ? **Solution :** Soit \( A \), \( B \) et \( C \) les montants que Ali, Ben et Chloé doivent payer respectivement. Nous avons la suite de rapports égaux : \[ \frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5} = k \] Nous savons que la somme totale est de 120 F, donc \( A+B+C = 120 \). En utilisant la propriété des suites de rapports égaux : \[ k = \frac{A+B+C}{3+4+5} = \frac{120}{12} = 10 \] Maintenant, nous pouvons trouver le montant pour chacun : * Ali : \( \frac{A}{3} = 10 \Rightarrow A = 3 \times 10 = 30 \) F * Ben : \( \frac{B}{4} = 10 \Rightarrow B = 4 \times 10 = 40 \) F * Chloé : \( \frac{C}{5} = 10 \Rightarrow C = 5 \times 10 = 50 \) F **Vérification :** \( 30 + 40 + 50 = 120 \) F. #### Exemple 2: Partage de profits commerciaux Une entreprise réalise un bénéfice de 350 000 F. Ce bénéfice doit être partagé entre trois associés (X, Y, Z) proportionnellement à leurs parts d'investissement, qui sont 2, 3 et 5 respectivement. Calculez la part de bénéfice de chaque associé. **Solution :** Soit \( P_X \), \( P_Y \) et \( P_Z \) les parts de bénéfice des associés X, Y et Z. La suite de rapports égaux est : \[ \frac{P_X}{2} = \frac{P_Y}{3} = \frac{P_Z}{5} = k \] La somme totale des bénéfices est de 350 000 F, donc \( P_X+P_Y+P_Z = 350000 \). Appliquons la propriété des suites de rapports égaux : \[ k = \frac{P_X+P_Y+P_Z}{2+3+5} = \frac{350000}{10} = 35000 \] Maintenant, calculons la part de chaque associé : * Part de X : \( \frac{P_X}{2} = 35000 \Rightarrow P_X = 2 \times 35000 = 70000 \) F * Part de Y : \( \frac{P_Y}{3} = 35000 \Rightarrow P_Y = 3 \times 35000 = 105000 \) F * Part de Z : \( \frac{P_Z}{5} = 35000 \Rightarrow P_Z = 5 \times 35000 = 175000 \) F **Vérification :** \( 70000 + 105000 + 175000 = 350000 \) F. ### Exercices Répondez aux questions suivantes pour tester votre compréhension. 1. Si \( \frac{a}{6} = \frac{b}{9} = \frac{c}{15} \) et \( a+b+c = 60 \), trouvez les valeurs de \( a \), \( b \) et \( c \). 2. Trois villes (A, B, C) se partagent un fonds de développement de 180 000 F proportionnellement à leur population. La population de la ville A est de 20 000 habitants, celle de la ville B est de 30 000 habitants et celle de la ville C est de 40 000 habitants. Quel montant chaque ville reçoit-elle ? 3. Un mélange de peinture est composé de trois couleurs (bleu, jaune, blanc) dans le rapport \( 2:3:5 \). Si l'on souhaite préparer 20 litres de ce mélange, quelle quantité de chaque couleur faut-il utiliser ? ### Devoir Continuez à pratiquer avec ces exercices à faire à la maison. 1. Étant donné la suite de rapports égaux \( \frac{x}{4} = \frac{y}{7} = \frac{z}{10} \) et sachant que \( x+y-z = -5 \), déterminez les valeurs de \( x \), \( y \) et \( z \). 2. Deux partenaires commerciaux ont investi respectivement 400 000 F et 600 000 F dans une affaire. Ils décident de distribuer les pertes (car oui, on distribue aussi les pertes !) de 250 000 F proportionnellement à leurs investissements. Quelle est la part de perte pour chaque partenaire ? 3. Une prime de performance de 240 000 F doit être distribuée entre trois employés (Emma, David, Sarah) en fonction de leurs années de service. Emma a 6 ans de service, David en a 9 et Sarah en a 15. Calculez la prime reçue par chaque employé. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu le concept de rapports et proportions et avons introduit les **suites de rapports égaux**. Nous avons appris que la propriété fondamentale de ces suites est que **la somme des antécédents divisée par la somme des conséquents est égale à la constante de proportionnalité commune** (\( k \)). Cette propriété est un outil puissant pour résoudre des problèmes de distribution proportionnelle et de partage dans divers contextes, notamment en mathématiques commerciales. Maîtriser cette notion vous aidera à aborder des situations réelles de manière structurée et logique. ## Lecon 6: Nombres proportionnels ### Introduction Bienvenue à cette révision sur les nombres proportionnels ! La proportionnalité est un concept fondamental en mathématiques commerciales et dans la vie de tous les jours. Comprendre comment les quantités varient les unes par rapport aux autres vous aidera à résoudre de nombreux problèmes, que ce soit pour calculer des prix, des recettes ou des pourcentages. Dans cette leçon, nous allons revoir les bases des nombres proportionnels et comment les utiliser efficacement. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la proportionnalité ? Deux grandeurs sont dites **proportionnelles** si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) par un même nombre. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**. * **Exemple simple :** Si vous achetez des pommes à 2 € le kilogramme, le prix total est proportionnel à la quantité de pommes achetées. Si vous achetez 3 kg, vous paierez 6 € (3 kg \( \times \) 2 €/kg = 6 €). #### Le Coefficient de Proportionnalité Le coefficient de proportionnalité est la valeur constante qui relie deux grandeurs proportionnelles. Pour le trouver, il suffit de diviser une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur. * **Formule :** \[ \text{Coefficient} = \frac{\text{Grandeur 2}}{\text{Grandeur 1}} \] * **Dans notre exemple des pommes :** \[ \text{Coefficient} = \frac{\text{Prix}}{\text{Quantité}} = \frac{6 \text{ €}}{3 \text{ kg}} = 2 \text{ €/kg} \] #### Tableau de Proportionnalité Un tableau de proportionnalité est un outil pratique pour représenter et résoudre des situations de proportionnalité. Dans un tel tableau, les nombres d'une ligne sont obtenus en multipliant les nombres de l'autre ligne par le coefficient de proportionnalité (ou en divisant). | Quantité (kg) | Prix (€) | | :------------ | :------- | | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | * **Produit en croix :** Pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité, on utilise souvent le **produit en croix**. Si vous avez une proportion comme \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \], alors \[ ad = bc \]. Cela permet de trouver n'importe quelle valeur manquante si les trois autres sont connues. * **Exemple :** Si 2 kg de pommes coûtent 4 €, combien coûtent 5 kg ? | Quantité (kg) | Prix (€) | | :------------ | :------- | | 2 | 4 | | 5 | ? | On pose : \[ \frac{2}{5} = \frac{4}{x} \] Par le produit en croix : \( 2 \times x = 5 \times 4 \) \( 2x = 20 \) \( x = \frac{20}{2} = 10 \) Donc, 5 kg de pommes coûtent 10 €. #### Situations de proportionnalité et de non-proportionnalité Il est important de distinguer les situations qui relèvent de la proportionnalité de celles qui n'en relèvent pas. * **Exemples de proportionnalité :** * Le prix payé en fonction de la quantité achetée (si le prix unitaire est constant). * La distance parcourue en fonction du temps à une vitesse constante. * Les ingrédients d'une recette en fonction du nombre de personnes. * **Exemples de non-proportionnalité :** * L'âge et la taille d'une personne (à 2 ans, on ne mesure pas le double de sa taille à 1 an). * Le temps mis pour faire un travail et le nombre d'ouvriers (si les ouvriers s'entraident ou se gênent, ce n'est pas toujours direct). * Le prix d'un article et le montant de sa réduction (souvent un pourcentage, mais l'âge et la taille ne sont pas proportionnels dans le sens linéaire simple). ### Vocabulaire * **Nombres proportionnels :** Deux ensembles de nombres où les rapports correspondants sont égaux. * **Proportionnalité :** Relation entre deux grandeurs qui varient dans le même rapport. * **Coefficient de proportionnalité :** Le facteur constant par lequel une grandeur est multipliée pour obtenir l'autre. * **Tableau de proportionnalité :** Un tableau utilisé pour organiser des données proportionnelles. * **Produit en croix :** Méthode pour trouver une valeur manquante dans une proportion en multipliant en diagonale. * **Rapport :** La relation entre deux nombres ou grandeurs, souvent exprimée comme une fraction ou une division. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul du prix total Un commerçant vend des stylos à 1,50 € l'unité. Quel est le prix pour 7 stylos ? * **Solution :** Le prix est proportionnel au nombre de stylos. Le coefficient de proportionnalité est 1,50 €/stylo. Prix total = Nombre de stylos \( \times \) Prix par stylo Prix total = \( 7 \times 1,50 \text{ €} = 10,50 \text{ €} \) #### Exemple 2: Trouver une quantité manquante Si 3 ouvriers peuvent construire un mur en 8 heures, combien d'heures faudra-t-il à 6 ouvriers pour construire le même mur (en supposant la même efficacité et que le travail est parfaitement divisible) ? * **Remarque :** Attention, ici c'est une proportionnalité inverse ! Si le nombre d'ouvriers double, le temps est divisé par deux. Pour la proportionnalité inverse, le produit des grandeurs est constant : \( \text{Ouvriers} \times \text{Temps} = \text{Constant} \). \( 3 \times 8 = 24 \) Pour 6 ouvriers : \( 6 \times x = 24 \) \( x = \frac{24}{6} = 4 \) Il faudra 4 heures à 6 ouvriers. #### Exemple 3: Recette de cuisine Une recette pour 4 personnes nécessite 250g de farine. Combien de farine faut-il pour 6 personnes ? * **Solution :** | Personnes | Farine (g) | | :-------- | :--------- | | 4 | 250 | | 6 | ? | Utilisons le produit en croix : \[ \frac{4}{6} = \frac{250}{x} \] \( 4 \times x = 6 \times 250 \) \( 4x = 1500 \) \( x = \frac{1500}{4} = 375 \) Il faut 375g de farine pour 6 personnes. ### Exercices 1. Un paquet de 500g de café coûte 7,50 €. Combien coûte 1 kg de ce café ? (Indice : 1 kg = 1000g) 2. Une voiture consomme 8 litres d'essence pour parcourir 100 km. Combien de litres consommera-t-elle pour 250 km ? 3. Indiquez si les situations suivantes sont proportionnelles ou non : a. Le nombre de pages lues et le temps passé à lire. b. Le poids d'un bébé et son âge. c. Le prix d'achat d'un tissu et sa longueur. ### Devoirs 1. Un magasin propose une promotion : 3 cahiers pour 4,80 €. Quel serait le prix de 5 cahiers au même tarif ? 2. Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des filles. Si la proportion de filles reste la même dans une autre classe de 25 élèves, combien y aurait-il de filles ? 3. Voici un tableau incomplet. Sachant qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité, complétez les valeurs manquantes : | Quantité (unités) | Coût (€) | | :---------------- | :------- | | 3 | 12 | | 5 | a | | b | 28 | 4. Une recette de gâteau pour 8 personnes demande 4 œufs. Vous voulez préparer le gâteau pour 12 personnes. Combien d'œufs vous faut-il ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons révisé le concept des nombres proportionnels. Nous avons appris que deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant, ce rapport étant le coefficient de proportionnalité. Nous avons également vu comment utiliser les tableaux de proportionnalité et le produit en croix pour résoudre des problèmes, et comment distinguer les situations de proportionnalité des situations qui ne le sont pas. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour réussir en mathématiques commerciales et pour prendre des décisions éclairées dans la vie quotidienne. ## Lecon 7: Grandeurs directement proportionnelles ### Introduction Bienvenue à cette révision des grandeurs directement proportionnelles ! C'est un concept fondamental que vous avez déjà rencontré et qui est essentiel en mathématiques commerciales. Comprendre comment deux grandeurs évoluent ensemble de manière proportionnelle vous permettra de résoudre de nombreux problèmes pratiques, comme calculer des prix, des remises, ou encore des conversions de devises. Dans cette leçon, nous allons revoir la définition, les propriétés et les applications des grandeurs directement proportionnelles, afin de consolider vos connaissances et de les appliquer efficacement dans des contextes commerciaux. ### Concepts Clés #### 1. Définition des Grandeurs Directement Proportionnelles Deux grandeurs sont dites directement proportionnelles si le rapport de leurs mesures correspondantes est constant. Autrement dit, si l'une des grandeurs est multipliée ou divisée par un nombre, l'autre grandeur est multipliée ou divisée par le même nombre. * Si \( x \) et \( y \) sont deux grandeurs, elles sont directement proportionnelles si \( y = kx \), où \( k \) est une constante. * Le rapport \( \frac{y}{x} \) (quand \( x \neq 0 \)) est toujours égal à cette constante \( k \). #### 2. Le Coefficient de Proportionnalité La constante \( k \) est appelée le **coefficient de proportionnalité**. Elle représente le facteur par lequel vous devez multiplier une grandeur pour obtenir l'autre. * Formule: \[ k = \frac{y}{x} \] * Exemple: Si 1 kg de pommes coûte 2 €, alors 2 € est le coefficient de proportionnalité (prix par kg). #### 3. Représentation Graphique La représentation graphique de deux grandeurs directement proportionnelles est une **droite qui passe par l'origine** du repère (le point \( (0,0) \)). * L'axe des abscisses (horizontal) représente la première grandeur (\( x \)). * L'axe des ordonnées (vertical) représente la deuxième grandeur (\( y \)). * Le fait qu'elle passe par l'origine signifie que si l'une des grandeurs est nulle, l'autre l'est aussi (par exemple, 0 kg de pommes coûtent 0 €). #### 4. Propriétés des Grandeurs Directement Proportionnelles * **Rapport Constant**: Le rapport \( \frac{y}{x} \) est toujours le même pour toutes les paires de valeurs correspondantes. * **Linéarité**: Si \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) sont des paires de valeurs proportionnelles, alors: \[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \] * **Produit en Croix**: De la propriété précédente, on peut déduire le produit en croix: \[ y_1 \cdot x_2 = y_2 \cdot x_1 \] * **Addition et Soustraction**: La somme ou la différence de deux paires de grandeurs proportionnelles donne aussi une paire proportionnelle. Par exemple, si \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) sont proportionnelles, alors \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \) est aussi proportionnelle avec le même coefficient. #### 5. Application en Mathématiques Commerciales La proportionnalité directe est omniprésente dans le commerce : * **Prix unitaires**: Calcul du prix total en fonction de la quantité achetée. * **Pourcentages**: Calcul de remises, de taxes, d'intérêts simples (le montant de l'intérêt est proportionnel au capital et au temps). * **Conversions**: Monnaies, unités de mesure. * **Échelles et plans**: Réduction ou agrandissement proportionnel. ### Vocabulaire * **Grandeur**: Toute chose que l'on peut mesurer (quantité, prix, temps, distance, etc.). * **Proportionnel(le)**: Qui varie en fonction d'une autre grandeur par un rapport constant. * **Coefficient de proportionnalité**: Le nombre constant par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre dans une relation de proportionnalité directe. * **Ratio / Rapport**: Le quotient de deux nombres ou de deux grandeurs de même nature. * **Tableau de proportionnalité**: Un tableau qui permet d'organiser des paires de grandeurs proportionnelles. ### Exemples #### Exemple 1: Achat de Bananes Un supermarché vend des bananes à 1,50 € le kilogramme. * **Question**: Quel sera le coût de 3 kg de bananes ? Et de 5 kg ? * **Solution**: * Ici, la grandeur 1 est la quantité (kg) et la grandeur 2 est le coût (€). * Le coefficient de proportionnalité \( k = 1,50 \) €/kg. * Pour 3 kg : Coût = \( 3 \times 1,50 \) € = 4,50 €. * Pour 5 kg : Coût = \( 5 \times 1,50 \) € = 7,50 €. #### Exemple 2: Conversion de Devises Si 1 euro (€) vaut 1,10 dollar américain (USD). * **Question**: Combien de dollars valent 50 € ? * **Solution**: * Le coefficient de proportionnalité est de 1,10 USD/€. * Montant en USD = \( 50 \times 1,10 \) USD = 55 USD. #### Exemple 3: Calcul de Remise Un article coûte initialement 80 €. Il bénéficie d'une remise de 20 %. * **Question**: Quel est le montant de la remise ? * **Solution**: * Le montant de la remise est directement proportionnel au prix initial. * Le coefficient de proportionnalité est 20 % ou \( \frac{20}{100} = 0,20 \). * Montant de la remise = \( 80 \times 0,20 \) € = 16 €. ### Exercices 1. **Tableau de Proportionnalité**: Complétez le tableau suivant sachant que le prix est directement proportionnel à la quantité. | Quantité (unités) | Prix (€) | | :---------------- | :------- | | 2 | 10 | | 5 | ? | | ? | 35 | | 12 | ? | 2. **Vrai ou Faux**: Indiquez si les affirmations suivantes sont Vraies ou Fausses. * a) Si le nombre d'heures travaillées augmente, le salaire perçu (à taux horaire fixe) est directement proportionnel. (Vrai/Faux) * b) L'âge d'une personne et sa taille sont des grandeurs directement proportionnelles. (Vrai/Faux) * c) Le périmètre d'un carré est directement proportionnel à la longueur de son côté. (Vrai/Faux) 3. **Problème**: Un magasin offre 15 % de réduction sur tous les articles. Si vous achetez une veste à 60 €, quel est le montant de la réduction ? ### Devoirs 1. **Production de Pains**: Une boulangerie produit 250 pains en 5 heures. * a) Quelle est la production horaire moyenne (coefficient de proportionnalité) ? * b) Combien de pains peuvent être produits en 8 heures ? * c) Combien de temps faut-il pour produire 1 000 pains ? 2. **Taux de Change**: Si 1 livre sterling (£) vaut 1,17 euro (€). * a) Combien d'euros recevriez-vous pour 200 £ ? * b) Combien de livres sterling vous faudrait-il pour obtenir 585 € ? 3. **Graphique**: Tracez un graphique représentant la relation entre la quantité d'essence (en litres) et le coût total (en euros), sachant qu'un litre d'essence coûte 1,80 €. * Utilisez des quantités de 0, 5, 10, 15, 20 litres. * Assurez-vous que votre graphique est une droite passant par l'origine. ### Résumé Pour récapituler, les grandeurs directement proportionnelles sont deux grandeurs dont le rapport est constant. Cette constante est appelée le coefficient de proportionnalité \( k \), et la relation peut être exprimée par \( y = kx \). Leur représentation graphique est une droite qui passe toujours par l'origine. Ce concept est fondamental en mathématiques commerciales pour calculer des prix, des remises, des conversions et bien d'autres opérations. Une bonne maîtrise de la proportionnalité vous sera très utile dans votre parcours en finance et commerce. ## Lecon 8: Grandeurs inversement proportionnelles ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer un type de relation entre deux grandeurs où l'augmentation de l'une entraîne la diminution de l'autre, et vice-versa. C'est l'opposé de la proportionnalité directe que vous avez révisée précédemment. Comprendre les grandeurs inversement proportionnelles est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes pratiques en commerce et dans la vie quotidienne. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une grandeur inversement proportionnelle ? Deux grandeurs sont dites inversement proportionnelles si le produit de leurs valeurs correspondantes est constant. Cela signifie que si l'une des grandeurs augmente, l'autre diminue de manière à ce que leur produit reste le même. * **Exemple :** Si vous doublez la vitesse pour parcourir une distance fixe, le temps nécessaire sera divisé par deux. #### Formule de la proportionnalité inverse Si deux grandeurs \( x \) et \( y \) sont inversement proportionnelles, leur relation peut être exprimée par la formule : \[ xy = k \] où \( k \) est une constante non nulle appelée **constante de proportionnalité inverse**. On peut aussi écrire : \[ y = \frac{k}{x} \] ou \[ x = \frac{k}{y} \] #### Représentation graphique La représentation graphique de deux grandeurs inversement proportionnelles est une **hyperbole**. Contrairement à la proportionnalité directe (qui est une ligne droite passant par l'origine), l'hyperbole ne passe pas par l'origine et s'approche des axes sans jamais les toucher. La courbe descend à mesure que \( x \) augmente. #### Comment reconnaître des grandeurs inversement proportionnelles ? Pour déterminer si deux grandeurs sont inversement proportionnelles, vous devez vérifier si le produit de leurs valeurs correspondantes reste constant. * **Méthode :** Calculez le produit de chaque paire de valeurs. Si tous les produits sont identiques, alors les grandeurs sont inversement proportionnelles. ### Vocabulaire * **Grandeur :** Une quantité mesurable (ex: vitesse, temps, nombre d'ouvriers). * **Proportionnalité inverse :** Une relation entre deux grandeurs où l'augmentation de l'une entraîne la diminution de l'autre de manière proportionnelle, leur produit restant constant. * **Constante de proportionnalité inverse (k) :** La valeur constante obtenue en multipliant les valeurs correspondantes de deux grandeurs inversement proportionnelles. * **Hyperbole :** La courbe graphique qui représente une relation de proportionnalité inverse. ### Exemples #### Exemple 1: Vitesse et Temps de parcours Un automobiliste doit parcourir une distance de 120 km. Voici le temps qu'il met en fonction de sa vitesse moyenne : | Vitesse (km/h) \( V \) | Temps (heures) \( T \) | Produit \( V \times T \) | | :--------------------: | :--------------------: | :-----------------------: | | 40 | 3 | 120 | | 60 | 2 | 120 | | 80 | 1.5 | 120 | | 120 | 1 | 120 | Le produit \( V \times T \) est toujours égal à 120. La vitesse et le temps sont donc des grandeurs inversement proportionnelles, et la constante \( k = 120 \) (qui représente la distance). #### Exemple 2: Nombre d'ouvriers et Temps pour un travail 2 ouvriers mettent 6 jours pour construire un mur. Combien de temps faudra-t-il à 3 ouvriers pour construire le même mur, en supposant qu'ils travaillent tous au même rythme ? 1. **Identifier la relation :** Le nombre d'ouvriers et le temps nécessaire pour accomplir un travail sont inversement proportionnels. Plus il y a d'ouvriers, moins il faut de temps. 2. **Trouver la constante \( k \) :** \( \text{Nombre d'ouvriers} \times \text{Temps} = k \) Avec les données initiales : \( 2 \text{ ouvriers} \times 6 \text{ jours} = 12 \). Donc, la constante \( k = 12 \). 3. **Calculer le temps pour 3 ouvriers :** \( 3 \text{ ouvriers} \times \text{Temps} = 12 \) \( \text{Temps} = \frac{12}{3} = 4 \text{ jours} \) Il faudra 4 jours à 3 ouvriers pour construire le même mur. ### Exercices 1. **Identification :** Indiquez si les paires de grandeurs suivantes sont inversement proportionnelles : a. Le nombre de robinets qui remplissent une piscine et le temps nécessaire pour la remplir. b. L'âge d'une personne et sa taille. c. La pression exercée sur un gaz et son volume (à température constante). d. Le prix d'un article et le nombre d'articles que l'on peut acheter avec une somme d'argent fixe. 2. **Tableau à compléter :** Complétez le tableau suivant sachant que \( x \) et \( y \) sont inversement proportionnels : | \( x \) | \( y \) | | :-----: | :-----: | | 3 | 8 | | 4 | ? | | ? | 6 | | 12 | ? | 3. **Problème :** Un groupe de 5 amis prévoit de partager équitablement le coût d'un cadeau qui coûte 150 €. Si 3 autres amis se joignent au groupe, combien chaque ami devra-t-il payer si le coût du cadeau reste le même et qu'ils partagent toujours équitablement ? ### Devoirs 1. **Calcul de constante :** La durée d'un voyage en avion est inversement proportionnelle à la vitesse moyenne de l'avion. Si un avion vole à 600 km/h et met 2,5 heures pour atteindre sa destination, quelle est la constante de proportionnalité ? Quelle distance parcourt l'avion ? 2. **Application :** Un imprimeur dispose de 10 machines identiques qui peuvent imprimer un lot de dépliants en 6 heures. Combien de temps lui faudrait-il s'il n'avait que 8 machines en état de marche ? 3. **Analyse graphique :** Sans tracer le graphique, décrivez la forme que prendrait la représentation graphique d'une relation entre le nombre de pages d'un livre et le nombre de mots par page si le nombre total de mots dans le livre est constant. ### Résumé