Rappel

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - rappeler et appliquer les notions de cinématique, dynamique, travail, énergie et moment cinétique vues en première ; - analyser l’équilibre d’un système rigide soumis à plusieurs forces, en tenant compte du frottement et des transmissions de mouvement ; - réaliser des calculs de dimensionnement simples (travail, puissance, rapport de réduction) en utilisant les unités du Système international ; - mettre en œuvre les règles de sécurité et d’hygiène propres aux ateliers de mécanique appliquée au Cameroun. **Prérequis** : Maîtrise des vecteurs (addition, produit scalaire, produit vectoriel), des notions de base de la mécanique du point (vitesse, accélération, force), et des unités du Système international (m, kg, s, N, J, W). --- ### Introduction contextualisée En mécanique appliquée, les concepts étudiés en première constituent le socle sur lequel repose l’analyse des systèmes réels rencontrés en atelier, sur chantier ou en bureau d’études au Cameroun. Que ce soit pour dimensionner un convoyeur à bande dans une usine de transformation du cacao, vérifier l’équilibre d’une charpente métallique d’un bâtiment public à Yaoundé, ou choisir un réducteur de vitesse pour une machine à coudre industrielle, l’ingénieur technique doit pouvoir mobiliser rapidement les lois de Newton, les théorèmes du travail et de l’énergie, ainsi que les conditions d’équilibre statique. Ce chapitre de rappel permet donc de réactiver ces connaissances, de les mettre en pratique à travers des exemples professionnels camerounais, et de préparer l’élève aux épreuves du baccalauréat technique séries F4, où la rigueur de raisonnement et l’exactitude numérique sont fortement valorisées. --- ## I. Leçon 1 – Notions vues en première 1 ### 1.1. Cinématique du point matériel Le mouvement d’un point matériel est décrit par son vecteur position **r**(t) par rapport à un référentiel galiléen. La vitesse instantanée **v** = d**r**/dt et l’accélération **a** = d**v**/dt sont les dérivées premières et secondes du vecteur position. > La vitesse moyenne sur un intervalle Δt est **v̄** = Δ**r**/Δt ; la vitesse instantanée est la limite de **v̄** quand Δt → 0. Dans un mouvement rectiligne uniforme, **a** = **0** et **v** = const. Dans un mouvement uniformément accéléré, les équations horaires sont : \[ \begin{aligned} \mathbf{v}(t) &= \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}\,t \\ \mathbf{r}(t) &= \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac12 \mathbf{a} t^{2} \end{aligned} \] où **v₀** et **r₀** sont la vitesse et la position à l’instant t = 0. **Exemple professionnel** : Un chariot de manutention dans un entrepôt de Douala transporte des sacs de café sur une voie horizontale. Il part du repos (**v₀** = 0) et atteint une vitesse de 2 m·s⁻¹ après 4 s avec une accélération constante. Calculer l’accélération et la distance parcourue. - a = (v – v₀)/t = (2 m·s⁻¹ – 0)/4 s = 0,5 m·s⁻². - x = v₀ t + ½ a t² = 0 + ½·0,5·4² = 4 m. Le chariot parcourt donc 4 m durant cette phase d’accélération. ### 1.2. Dynamique fondamentale La deuxième loi de Newton relie la somme des forces extérieures **ΣF** appliquées à un point de masse m à son accélération : \[ \sum \mathbf{F} = m \mathbf{a} \] Le principe d’inertie (première loi) affirme qu’un corps demeure au repos ou en mouvement rectiligne uniforme tant que la résultante des forces est nulle. > En régime statique, Σ**F** = **0** ; en régime dynamique, Σ**F** = m**a**. **Exemple d’atelier** : Une presse hydraulique exerce une force verticale de 15 kN sur une pièce métallique de masse 120 kg posée sur un chariot à roulettes (coefficient de frottement négligeable). Quelle est l’accélération de la pièce pendant l’impulsion ? ΣF = 15 000 N (vers le haut) – poids = 120 kg·9,81 m·s⁻² = 1 177,2 N (vers le bas) = 13 822,8 N net vers le haut. a = ΣF / m = 13 822,8 N / 120 kg ≈ 115,2 m·s⁻² vers le haut. Cette valeur élevée montre que l’impulsion est très brève ; en pratique, la durée d’application de la force est limitée à quelques dixièmes de seconde pour éviter d’endommager la pièce. ### 1.3. Travail et énergie Le travail élémentaire d’une force **F** le long d’un déplacement élémentaire d**r** est δW = **F**·d**r** (produit scalaire). Le travail fini d’une force constante **F** le long d’un déplacement linéaire Δ**r** est : \[ W = \mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}=F\,\Delta r\,\cos\theta \] où θ est l’angle entre **F** et Δ**r**. Le théorème de l’énergie cinétique stipule que le travail des forces extérieures égalise la variation de l’énergie cinétique : \[ W_{\text{ext}} = \Delta E_c = \tfrac12 m(v_f^{2}-v_i^{2}) \] > Puissance instantanée : P = **F**·**v** ; puissance moyenne sur Δt : P̄ = W/Δt. **Exemple de chantier** : Un treuil électrique soulève une charge de 500 kg à une vitesse constante de 0,8 m·s⁻¹ le long d’un câble vertical. Déterminer la puissance utile du treuil. Force nécessaire pour équilibrer le poids : F = m·g = 500·9,81 = 4 905 N (vers le haut). Comme le mouvement est vertical et la force est alignée, θ = 0°, cosθ = 1. Puissance utile : P = F·v = 4 905 N·0,8 m·s⁻¹ = 3 924 W ≈ 3,9 kW. Si le rendement du moteur est de 85 %, la puissance électrique absorbée est Pₑ = P/0,85 ≈ 4,6 kW. ### 1.4. Moment cinétique et théorème du moment cinétique Le moment cinétique d’un point de masse m par rapport à un origine O est **L** = **r** × m**v** (produit vectoriel). Le théorème du moment cinétique affirme que le moment résultant des forces extérieures **ΣM₀** égale la dérivée temporelle du moment cinétique : \[ \sum \mathbf{M}_O = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \] Si le système est isolé (Σ**M₀** = **0**), le moment cinétique est conservé. > Pour un corps rigide tournant autour d’un axe fixe, **L** = I ω, où I est le moment d’inertie et ω la vitesse angulaire. **Exemple d’atelier** : Un volant d’inertie de masse 20 kg et de rayon 0,25 m (disque plein) tourne à 150 tr/min. Calculer son moment cinétique. Moment d’inertie d’un disque plein : I = ½ m R² = 0,5·20·(0,25)² = 0,625 kg·m². Vitesse angulaire : ω = 150 tr/min × (2π rad / 60 s) = 15,71 rad·s⁻¹. Moment cinétique : L = I·ω = 0,625·15,71 ≈ 9,82 kg·m²·s⁻¹. --- ## II. Leçon 2 – Notions vues en première 2 ### 2.1. Statique des systèmes rigides Un corps rigide est en équilibre lorsqu’il satisfait simultanément deux conditions : 1. La somme vectorielle des forces extérieures est nulle : Σ**F** = **0**. 2. La somme des moments des forces extérieures par rapport à tout point O est nulle : Σ**M₀** = **0**. Ces équations permettent de déterminer les réactions d’appui et les efforts internes. > En statique, on travaille souvent avec un schéma libre‑corps (free‑body diagram) où toutes les forces extérieures sont représentées. ### 2.2. Équilibre d’un corps soumis à plusieurs forces Lorsqu’un corps est soumis à n forces concourantes, l’équation Σ**F** = **0** se décompose en deux équations scalaires (plan XY) : \[ \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0 \] Pour un système non concourant, on ajoute l’équation du moment : \[ \sum M_O = 0 \] **Exemple professionnel** : Une poutre simplement appuyée de longueur L = 4 m supporte une charge ponctuelle P = 3 kN à son milieu et une charge répartie q = 0,5 kN·m⁻¹ sur toute sa portée. Déterminer les réactions aux appuis A (gauche) et B (droite). - Charge résultante de la répartition : Q = q·L = 0,5·4 = 2 kN, agissant au milieu de la portée (à 2 m de chaque appui). - Somme des forces verticales : R_A + R_B – P – Q = 0 → R_A + R_B = 5 kN. - Somme des moments par rapport à A : –P·(L/2) – Q·(L/2) + R_B·L = 0. –P·2 m – Q·2 m + R_B·4 m = 0 → –3·2 – 2·2 + 4R_B = 0 → –6 –4 + 4R_B = 0 → 4R_B = 10 → R_B = 2,5 kN. - Alors R_A = 5 – 2,5 = 2,5 kN. Les deux appuis réagissent chacun avec 2,5 kN vers le haut. ### 2.3. Frottement (lois de Coulomb) Le frottement sec entre deux surfaces en contact obéit à : \[ F_f \le \mu N \] où N est la réaction normale, μ le coefficient de frottement statique (μₛ) ou dynamique (μ_d selon le cas). Le mouvement commence quand la force tangente appliquée dépasse μₛ N ; ensuite, la force de frottement vaut μ_d N et s’oppose au mouvement. > Sur un plan incliné de angle α, la condition de glissement est : tan α > μₛ. **Exemple d’atelier** : Une caisse de 150 kg repose sur un sol de béton (μₛ = 0,45). Quelle force horizontale minimale F doit-on appliquer pour la faire glisser ? N = mg = 150·9,81 = 1 471,5 N. F_min = μₛ N = 0,45·1 471,5 ≈ 662,2 N. Si on applique une force de 800 N, la caisse accélère selon la deuxième loi : F_net = F – μ_d N (en supposant μ_d = 0,35) = 800 – 0,35·1 471,5 = 800 – 515,0 = 285 N. a = F_net / m = 285 / 150 ≈ 1,90 m·s⁻². ### 2.4. Transmission de mouvement (poulies et engrenages) Dans une transmission idéale (sans pertes), le produit du couple C par la vitesse angulaire ω reste constant : \[ C_1 \, \omega_1 = C_2 \, \omega_2 \] Le rapport de réduction i est défini comme : \[ i = \frac{\omega_{entrée}}{\omega_{sortie}} = \frac{C_{sortie}}{C_{entrée}} \] Pour une paire d’engrenages droits, i = N₂/N₁ où N₁ et N₂ sont les nombres de dents. > Rendement η = (Puissance utile)/(Puissance absorbée) ; η < 1 à cause des frottements et des déformations. **Exemple de chaîne de transmission** : Un moteur électrique développe un couple de 12 N·m à 1500 tr/min. Il entraîne un réducteur à deux étages d’engrenages : premier étage i₁ = 3 (entrée 20 dents, sortie 60 dents), deuxième étage i₂ = 4 (entrée 15 dents, sortie 60 dents). Calculer le couple et la vitesse de sortie du réducteur, en supposant un rendement global η = 0,85. Rapport total : i = i₁·i₂ = 3·4 = 12. Vitesse de sortie : ω_sortie = ω_entrée / i = (1500 tr/min)/12 = 125 tr/min. Couple idéal à la sortie : C_sortie_idéal = C_entrée·i = 12·12 = 144 N·m. Couple réel (avec pertes) : C_sortie réel = η·C_sortie_idéal = 0,85·144 = 122,4 N·m. Puissance utile à la sortie : P = C_sortie réel·ω_sortie (en rad/s). ω_sortie rad/s = 125·2π/60 ≈ 13,09 rad·s⁻¹. P = 122,4·13,09 ≈ 1 603 W ≈ 1,6 kW. --- ## Synthèse du chapitre - **Cinématique** : **v** = d**r**/dt, **a** = d**v**/dt ; équations horaires du mouvement uniformément accéléré. - **Dynamique** : Σ**F** = m**a** ; principe d’inertie (Σ**F** = **0** au repos ou mouvement rectiligne uniforme). - **Travail & énergie** : W = **F**·Δ**r**·cosθ ; théorème de l’énergie cinétique W = ΔE_c ; puissance P = **F**·**v**. - **Moment cinétique** : **L** = **r** × m**v** ; Σ**M₀** = d**L**/dt ; pour un corps rigide **L** = Iω. - **Statique** : Σ**F** = **0**, Σ**M₀** = **0** ; schéma libre‑corps indispensable. - **Frottement** : F_f ≤ μN ; glissement quand tanα > μₛ sur plan incliné. - **Transmission** : C₁ω₁ = C₂ω₂ ; rapport i = ωₑₙₜᵣée/ωₛₒᵣₜᵢₑ = Cₛₒᵣₜᵢₑ/Cₑₙₜᵣée ; rendement η < 1. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Vecteur position **r** | Vecteur allant de l’origine du référentiel au point considéré. | | Vitesse instantanée **v** | Dérivée temporelle du vecteur position. | | Accélération **a** | Dérivée temporelle de la vitesse. | | Deuxième loi de Newton | Σ**F** = m**a** ; relie la résultante des forces à l’accélération. | | Travail d’une force | W = **F**·Δ**r**·cosθ ; produit scalaire de la force et du déplacement. | | Énergie cinétique | E_c = ½ m v² ; énergie associée au mouvement d’une masse. | | Moment cinétique **L** | **L** = **r** × m**v** ; quantité de mouvement angulaire. | | Moment d’inertie I | Mesure de la résistance d’un corps à l’accélération rotationnelle ; dépend de la répartition de la masse. | | Coefficient de frottement μ | Rapport entre la force de frottement maximale et la réaction normale. | | Rendement η | Rapport puissance utile / puissance absorbée ; exprime les pertes d’une machine. | | Réaction normale N | Force exercée par une surface sur un corps, perpendiculaire à ladite surface. | | Schéma libre‑corps | Diagramme isolant un corps et représentant toutes les forces extérieures agissant sur lui. | | Poulie simple | Roue à gorge tournant autour d’un axe fixe, permettant de changer la direction d’une force appliquée via une corde (dans le cas idéal, la magnitude de la force reste inchangée). | | Rapport de réduction i | Rapport entre la vitesse d’entrée et la vitesse de sortie d’une transmission. | | Produit vectoriel **a**×**b** | Vecteur orthogonal à **a** et **b**, norme = |a||b|sinθ. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Travail et puissance d’un convoyeur à bande Un convoyeur transporte des sacs de cacao de masse totale 800 kg sur une longueur horizontale de 20 m avec une vitesse constante de 0,6 m·s⁻¹. Le moteur entraîne la bande via un réducteur de rendement 0,8. Déterminer : a) La force de traction nécessaire pour vaincre le frottement (coefficient de frottement μ = 0,02 entre la bande et le support). b) La puissance utile du moteur. c) La puissance électrique absorbée. **Corrigé** a) La force de frottement : F_f = μ·N, où N = poids = mg = 800·9,81 = 7 848 N. F_f = 0,02·7 848 = 156,96 N ≈ 157 N. Cette force s’oppose au mouvement, donc la traction doit être au moins égale à 157 N. b) Puissance utile : P_utile = F·v = 157 N·0,6 m·s⁻¹ = 94,2 W. c) Puissance absorbée : P_abs = P_utile / η = 94,2 W / 0,8 = 117,75 W ≈ 118 W. ### Exercice 2 – Équilibre d’une grue de chantier Une grue à flèche droite de longueur L = 5 m est articulée au sol en A et supporte une charge P = 4 kN à son extrémité B. Un câble de maintien, fixé au point C situé à 2 m de A le long de la flèche, forme un angle de 30° avec la flèche et tension T. Déterminer la tension T dans le câble et la réaction verticale R_A en A. **Corrigé** On considère le corps libre de la flèche. - Somme des moments par rapport à A : Moment de P : –P·L (dans le sens horaire) = –4 kN·5 m = –20 kN·m. Moment de T : la composante perpendiculaire de T à la flèche est T·sin30° = T·0,5 ; son bras de levier est AC = 2 m. Moment = + (T·0,5)·2 m = T·1 m (sens antihoraire). ΣM_A = 0 → –20 + T = 0 → T = 20 kN. - Somme des forces verticales : R_A + T·sin30° – P = 0 (les forces vers le haut sont positives). T·sin30° = 20 kN·0,5 = 10 kN. R_A + 10 – 4 = 0 → R_A = –6 kN. Le signe négatif indique que la réaction supposée vers le haut est en fait dirigée vers le bas ; en réalité, l’appui A exerce une force verticale de 6 kN dirigée vers le bas (c’est‑à‑dire une réaction vers le bas du sol sur la flèche). En valeur absolue, la magnitude de la réaction est 6 kN. Ainsi, T = 20 kN (tension dans le câble) et R_A = 6 kN dirigé vers le bas. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / sécurité | |----|------------------|-------------|--------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. tr/min en rad/s) avant d’utiliser une formule de puissance ou de moment cinétique. | Résultat erroné de plusieurs ordres de grandeur. | Toujours convertir les grandeurs angulaires en rad·s⁻¹ avant d’appliquer P = C·ω ou L = I·ω. | | 2 | Négliger la composante normale dans le calcul du frottement sur un plan incliné (utiliser P au lieu de N = mg·cosα). | Sous‑estimation de la force de frottement, leading to mauvais dimensionnement de freins ou de câbles. | Rappeler que N = mg·cosα sur un plan incliné de angle α ; vérifier avec un schéma libre‑corps. | | 3 | Confondre le sens du moment (horaire/antihoraire) lors de l’écriture de ΣM₀ = 0. | Équation de moment incorrecte, leading to reactions d’appui fausses. | Adopter une convention (ex. antihoraire positif) et la respecter systématiquement ; vérifier le signe de chaque terme. | | 4 | Utiliser le coefficient de frottement statique μₛ alors que le corps est déjà en mouvement. | Surestimation de la résistance au mouvement, conduisant à une puissance moteur inutilement élevée. | Identifier clairement le régime (statique ou dynamique) ; utiliser μ_d pour le mouvement établi. | | 5 | Ne pas porter de lunettes de protection lors du démontage d’un système sous tension (ressorts, câbles). | Risque de projection de particules ou de rupture brutale pouvant causer des lésions oculaires. | Règle de sécurité obligatoire : porter des lunettes de protection anti‑impact et des gants adaptés avant toute intervention sur des éléments sous charge. | | 6 | Serrer excessivement un boulon de fixation sans respecter le couple de serrage recommandé. | Déformation du filetage, risque de rupture sous charge ou glissement prématuré. | Utiliser une clé dynamométrique et appliquer le couple spécifié par le constructeur (ex. 25 N·m pour un boulon M10 de classe 8.8). | --- *Fin du cours de référence.*