TRADUCTION GRAPHIQUE DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - représenter graphiquement les forces appliquées à un solide en équilibre statique ; - déterminer le résultant ou les réactions d’appui à l’aide du polygone de forces ou du triangle des forces ; - appliquer la méthode graphique aux cas de forces concourantes, parallèles et à plus de trois forces ; - interpréter les résultats dans des situations professionnelles (chantier, atelier, bureau d’études) en respectant les normes de sécurité et d’hygiène du travail au Cameroun. **Prérequis** : notions de vecteur, de somme vectorielle, de moment d’une force par rapport à un point, d’équilibre d’un solide (somme des forces nulles et somme des moments nulle), maîtrise du repère cartésien et de l’échelle graphique. --- ## Introduction contextualisée En mécanique appliquée, la résolution graphique des problèmes de statique permet de visualiser l’équilibre d’un solide sans recourir immédiatement au calcul analytique. Cette approche est particulièrement utile en milieu professionnel camerounais où les techniciens doivent rapidement vérifier la stabilité d’une structure de chantier (échafaudage, grue, ponton) ou d’un équipement d’atelier (presse, convoyeur) avant de passer à la phase de dimensionnement numérique. Le principe fondamental de la statique affirme qu’un solide est en équilibre si et seulement si la somme vectorielle des forces extérieures est nulle et que la somme des moments de ces forces par rapport à tout point est également nulle. La traduction graphique consiste à représenter ces forces à l’échelle et à vérifier que leur polygone (ou leur triangle) se ferme, ce qui garantit la nullité de la somme vectorielle, puis, si nécessaire, à vérifier la fermeture du polygone des moments pour assurer l’équilibre rotatoire. Dans les leçons qui suivent, nous étudierons trois cas de plus en plus généraux : trois forces concourantes, trois forces parallèles, puis plus de trois forces quelconques. Chaque cas sera illustré par un exemple tiré de la pratique professionnelle au Cameroun, avec les étapes détaillées, les précautions de sécurité et les règles de métier à respecter. --- ## I. Leçon 16 – Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l’action de 3 forces concourantes ### Définitions et principes > **Forces concourantes** : ensemble de forces dont les droites d’action se rencontrent en un même point appelé point de concourance. > **Triangle des forces** : représentation graphique où chaque force est reportée bout à bout selon une échelle choisie ; si le triangle se ferme, la somme vectorielle est nulle. Lorsque trois forces sont concourantes, leur résultant est nul si et seulement si le triangle des forces se ferme. Le point d’application du résultant coïncide avec le point de concourance, donc aucun moment supplémentaire n’apparaît autour de ce point. ### Méthode du triangle des forces 1. Choisir une échelle (ex. : 1 cm = 50 N). 2. Reporter la première force **F₁** à partir d’un point origine O, en respectant son sens et son intensité. 3. À l’extrémité de **F₁**, reporter la deuxième force **F₂** toujours selon l’échelle et l’angle donné. 4. À l’extrémité de **F₂**, reporter la troisième force **F₃**. 5. Si le point final coïncide avec O, le triangle est fermé → équilibre. 6. Dans le cas contraire, le vecteur qui relie l’extrémité de **F₃** à O représente le résultant **R** ; son opposé donne la force manquante pour atteindre l’équilibre. ### Étapes de résolution (procédé pas à pas) | Étape | Action | Résultat attendu | |-------|--------|------------------| | 1 | Identifier le point de concourance et noter les valeurs et directions des trois forces. | Données d’entrée claires. | | 2 | Déterminer l’échelle graphique adaptée à la plage de forces. | Éscale lisible sur le papier millimétré. | | 3 | Tracer **F₁**, puis **F₂**, puis **F₃** en enchaînement. | Polygone de trois côtés. | | 4 | Vérifier la fermeture du triangle. | Si fermé → équilibre ; sinon mesurer le vecteur de fermeture. | | 5 | Calculer l’intensité et la direction du résultant (ou de la force manquante) à l’aide de l’échelle. | Valeur numérique de **R**. | | 6 | Vérifier le moment autour du point de concourance (doit être nul automatiquement). | Confirmation d’équilibre complet. | ### Exemple professionnel **Situation** : Une grue mobile sur un chantier de Douala soulève une charge de 2 000 N à l’aide de deux câbles formant un angle de 60° entre eux. Le point d’ancrage de la grue est le point de concourance O. On veut vérifier si les tensions dans les câbles (T₁ et T₂) et le poids de la charge (P) assurent l’équilibre. **Données** : - P = 2 000 N dirigé verticalement vers le bas. - T₁ = T₂ = T (symétrie). - Chaque câble forme un angle de 30° avec la verticale (30° à gauche pour T₁, 30° à droite pour T₂). **Échelle** : 1 cm = 200 N. **Calcul de T** : Équilibre vertical : 2 T cos 30° = P → T = P / (2 cos 30°) = 2000 / (2 × 0,8660) ≈ 1155 N. **Construction** : 1. Depuis O, tracer **P** : 2000 N / 200 N·cm⁻¹ = 10 cm vers le bas. 2. À l’extrémité de **P**, tracer **T₁** : 1155 N / 200 N·cm⁻¹ = 5,775 cm faisant 30° à gauche de la verticale (soit 120° par rapport à l’horizontale). 3. À l’extrémité de **T₁**, tracer **T₂** : 5,775 cm faisant 30° à droite de la verticale (soit 60° par rapport à l’horizontale). 4. Le point final coïncide avec O → triangle fermé. **Conclusion** : Les deux câbles de 1155 N chacun équilibrent exactement la charge de 2000 N ; la grue est en équilibre statique. > **Règle de sécurité** : Avant toute opération de levage, vérifier graphiquement l’équilibre des forces pour éviter le basculement ou la rupture de câble. ### Tableau récapitulatif – Leçon 16 | Élément | Description | Formule graphique | |---------|-------------|-------------------| | Point de concourance | O | – | | Échelle | 1 cm = *k* N | longueur (cm) = intensité (N) / *k* | | Triangle des forces | Enchaînement **F₁ → F₂ → F₃** | Fermeture ⇔ Σ**F** = 0 | | Résultant manquant | Vecteur de fermeture | **R** = – (somme vectorielle des forces tracées) | | Moment autour de O | Σ**M₀** = 0 (automatique pour forces concourantes) | – | --- ## II. Leçon 17 – Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l’action de 3 forces parallèles ### Définitions et principes > **Forces parallèles** : ensemble de forces dont les droites d’action sont parallèles (même sens ou sens opposé). > **Résultant de forces parallèles** : force unique ayant la même direction, dont l’intensité égale la somme algébrique des forces et dont le point d’application est déterminé par le principe des moments. Lorsque trois forces sont parallèles, leur somme vectorielle se réduit à une force parallèle à elles. L’équilibre translationnel exige que cette somme soit nulle. L’équilibre rotationnel impose que la somme des moments par rapport à un point quelconque soit également nulle, ce qui permet de localiser le point d’application du résultant (ou de la force manquante). ### Méthode des droites de réaction (polygone des forces parallèles) 1. Choisir une échelle de forces (ex. : 1 cm = 100 N). 2. Reporter les forces sur une même ligne verticale (ou horizontale) en respectant leurs signes (+ pour vers le haut, – pour vers le bas). 3. La somme algébrique donne l’intensité du résultant **R** (longueur du segment obtenu). 4. Pour déterminer le point d’application de **R**, construire un polygone des moments : - Choisir un point de référence A (ex. : extrémité gauche de la poutre). - Reporter chaque force sous forme de segment perpendiculaire à la ligne d’action, dont la longueur représente le moment **M = F × d** (d = distance de A à la ligne d’action, mise à l’échelle). - Enchaîner ces segments ; le vecteur de fermeture donne le moment résultant **M_R**. - La distance **d_R** du point d’application de **R** à A se obtient par **d_R = M_R / R** (en utilisant la même échelle). ### Étapes de résolution (procédé pas à pas) | Étape | Action | Résultat attendu | |-------|--------|------------------| | 1 | Lister les trois forces parallèles avec leurs signes et leurs distances par rapport à un point de référence A. | Données d’entrée. | | 2 | Choisir une échelle de forces et une échelle de distances (ex. : 1 cm = 50 N, 1 cm = 0,1 m). | Échelles définies. | | 3 | Tracer la somme algébrique des forces sur une droite → obtenir **R**. | Intensité et sens du résultant. | | 4 | Construire le polygone des moments : pour chaque force, tracer un segment perpendiculaire égal à **F × d** à l’échelle des moments. | Polygone des moments. | | 5 | Mesurer le vecteur de fermeture → obtenir **M_R**. | Moment résultant. | | 6 | Calculer **d_R = M_R / R** (en utilisant les mêmes échelles). | Position du point d’application de **R**. | | 7 | Vérifier que **ΣF = 0** et **ΣM_A = 0** pour confirmer l’équilibre. | Conclusion. | ### Exemple professionnel **Situation** : Une poutre en acier de 4 m de long, posée sur deux appuis simples A (à gauche) et B (à droite), supporte trois charges verticales : une charge de 3 000 N à 1 m de A, une charge de 2 000 N à 2,5 m de A, et la réaction de l’appui B inconnue. On veut déterminer la réaction en B et vérifier l’équilibre. **Données** : - F₁ = 3 000 N (vers le bas) à x₁ = 1 m de A. - F₂ = 2 000 N (vers le bas) à x₂ = 2,5 m de A. - Réaction en A = R_A (vers le haut, inconnue). - Réaction en B = R_B (vers le haut, inconnue). - Équilibre translationnel : ΣF_y = 0 → R_A + R_B – F₁ – F₂ = 0. - Équilibre rotationnel autour de A : ΣM_A = 0 → R_B·4 m – F₁·1 m – F₂·2,5 m = 0. **Échelle de forces** : 1 cm = 500 N. **Échelle de distances** : 1 cm = 0,5 m. **Construction** : 1. Somme des forces connues : –3 000 N –2 000 N = –5 000 N → sur l’échelle, 10 cm vers le bas. 2. Pour obtenir ΣF = 0, le résultant des réactions doit être +5 000 N vers le haut → 10 cm vers le haut. 3. Polygone des moments autour de A (échelle des moments : 1 cm = 250 N·m) : - Moment de F₁ : 3 000 N × 1 m = 3 000 N·m → 12 cm (dans le sens horaire). - Moment de F₂ : 2 000 N × 2,5 m = 5 000 N·m → 20 cm (sens horaire). - Somme des moments connus = 32 cm horaire. - Pour fermer le polygone, le moment de R_B doit être –32 cm (antihoraire). - Donc R_B·4 m = 32 cm × 250 N·m·cm⁻¹ = 8 000 N·m → R_B = 8 000 N·m / 4 m = 2 000 N. - Sur l’échelle des forces, 2 000 N = 4 cm vers le haut. 4. Alors R_A = 5 000 N – 2 000 N = 3 000 N → 6 cm vers le haut. **Vérification** : ΣF = 3 000 + 2 000 – 3 000 – 2 000 = 0 N. ΣM_A = 2 000·4 – 3 000·1 – 2 000·2,5 = 8 000 – 3 000 – 5 000 = 0 N·m. Équilibre confirmé. > **Règle de métier** : Sur un chantier, toujours représenter les réactions d’appui comme des forces inconnues et résoudre graphiquement avant de procéder au soudage ou au boulonnage des connexions. ### Tableau récapitulatif – Leçon 17 | Élément | Description | Formule graphique | |---------|-------------|-------------------| | Forces parallèles | F₁, F₂, F₃ (sens identique ou opposé) | – | | Résultant translationnel | R = ΣF (algébrique) | longueur = (ΣF) / échelle | | Polygone des moments | Segments ⟂ aux forces, longueur = F·d / échelle_moment | Fermeture ⇔ ΣM = 0 | | Distance d’application | d_R = M_R / R (mêmes échelles) | – | | Point d’application | A + d_R (le long de la ligne d’action) | – | --- ## III. Leçon 18 – Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l’action de plus de 3 forces ### Définitions et principes > **Système de forces quelconques** : ensemble de forces pouvant avoir des directions, des sens et des points d’application différents. > **Polygone de forces** : représentation où chaque force est tracée bout à bout ; la fermeture du polygone indique Σ**F** = 0. > **Polygone des moments** : représentation des moments (F × d) autour d’un point choisi ; sa fermeture indique Σ**M** = 0. Lorsque le nombre de forces dépasse trois, on ne peut plus se contenter d’un triangle ; il faut vérifier la fermeture du polygone de forces (équilibre translationnel) et, indépendamment, la fermeture du polygone des moments (équilibre rotationnel). Si les deux polygones se ferment, le solide est en équilibre statique. ### Méthode générale (polygone de forces + polygone des moments) 1. **Choisir une échelle de forces** (ex. : 1 cm = 100 N) et une échelle de distances (ex. : 1 cm = 0,2 m). 2. **Polygone de forces** : - Partir d’un point O. - Reporter chaque force **F_i** successivement, en respectant son angle et son intensité à l’échelle des forces. - Si le point final coïncide avec O → Σ**F** = 0 ; sinon, le vecteur de fermeture représente le résultant **R** manquant. 3. **Polygone des moments** (pris autour d’un même point de référence A) : - Pour chaque force **F_i**, calculer le moment **M_i = F_i × d_i**, où d_i est la distance perpendiculaire de A à la ligne d’action de **F_i**. - Reporter chaque **M_i** sous forme de segment perpendiculaire à une ligne de référence, en utilisant l’échelle des moments (ex. : 1 cm = 50 N·m). - Enchaîner les segments ; la fermeture indique Σ**M_A** = 0. - Si le polygone ne se ferme pas, le vecteur de fermeture donne le moment résultant **M_R** ; on peut alors déterminer la distance d’application d’une force équilibrante par **d_eq = M_R / R** (si un résultant translationnel existe). ### Étapes de résolution (procédé pas à pas) | Étape | Action | Résultat attendu | |-------|--------|------------------| | 1 | Lister toutes les forces avec leurs intensités, angles et points d’application. | Données complètes. | | 2 | Déterminer les échelles de forces, de distances et de moments. | Échelles clairement définies. | | 3 | Construire le polygone de forces en enchaînant les vecteurs. | Vérifier la fermeture → Σ**F** = 0 ou mesurer **R**. | | 4 | Choisir un point de référence A (souvent un appui ou un point d’intérêt). | Point de calcul des moments. | | 5 | Pour chaque force, calculer le moment **M_i = F_i × d_i** et le tracer à l’échelle des moments. | Polygone des moments. | | 6 | Vérifier la fermeture du polygone des moments → Σ**M_A** = 0 ou mesurer **M_R**. | Équilibre rotationnel ou moment manquant. | | 7 | Si nécessaire, déterminer une force d’équilibrage **F_eq** et son point d’application en combinant **R** et **M_R** (F_eq = –R, d_eq = M_R / R). | Solution complète. | | 8 | Valider les deux conditions d’équilibre. | Conclusion. | ### Exemple professionnel **Situation** : Une charpente métallique de toit d’un bâtiment scolaire à Yaoundé supporte quatre charges verticales : - F₁ = 1 800 N à 0,5 m du poteau gauche A (vers le bas). - F₂ = 2 200 N à 1,8 m de A (vers le bas). - F₃ = 1 500 N à 3,2 m de A (vers le bas). - La réaction du poteau droit B est inconnue. On veut vérifier l’équilibre et déterminer la réaction en B. **Données supplémentaires** : portée entre les poteaux = 4,0 m. **Échelle de forces** : 1 cm = 200 N. **Échelle de distances** : 1 cm = 0,25 m. **Échelle des moments** : 1 cm = 100 N·m (puisque moment = force × distance). **Polygone de forces** : - Depuis O, tracer **F₁** : 9 cm vers le bas. - À son extrémité, tracer **F₂** : 11 cm vers le bas. - Puis **F₃** : 7,5 cm vers le bas. - Le point actuel se trouve à 27,5 cm sous O. - Pour fermer le polygone, il faut tracer une force vers le haut de 27,5 cm → 5 500 N. Cette force vers le haut représente la somme des réactions d’appui (R_A + R_B). **Polygone des moments autour de A** : - Moment de F₁ : 1 800 N × 0,5 m = 900 N·m → 9 cm (sens horaire). - Moment de F₂ : 2 200 N × 1,8 m = 3 960 N·m → 39,6 cm (horaire). - Moment de F₃ : 1 500 N × 3,2 m = 4 800 N·m → 48 cm (horaire). - Somme des moments connus = 9 + 39,6 + 48 = 96,6 cm horaire. - La réaction en A produit un moment nul (puisque sa ligne d’action passe par A). - Donc le moment de la réaction en B doit être –96,6 cm (antihoraire) pour fermer le polygone. - Moment de B = R_B × 4,0 m. - En échelle des moments, 96,6 cm correspond à 9 660 N·m. - Ainsi R_B = 9 660 N·m / 4,0 m = 2 415 N (vers le haut). - Sur l’échelle des forces, 2 415 N = 12,075 cm vers le haut. **Réaction en A** : - R_A + R_B = 5 500 N (du polygone de forces). - R_A = 5 500 N – 2 415 N = 3 085 N (vers le haut). - Sur l’échelle, 3 085 N = 15,425 cm vers le haut. **Vérification** : - ΣF_y = 3 085 + 2 415 – 1 800 – 2 200 – 1 500 = 0 N. - ΣM_A = 2 415·4 – 1 800·0,5 – 2 200·1,8 – 1 500·3,2 = 9 660 – 900 – 3 960 – 4 800 = 0 N·m. Équilibre confirmé. > **Règle de sécurité** : Avant de fixer les éléments de charpente, vérifier graphiquement l’équilibre des charges et des réactions afin d’éviter les déformations excessives ou le renversement pendant la mise en place. ### Tableau récapitulatif – Leçon 18 | Élément | Description | Formule graphique | |---------|-------------|-------------------| | Polygone de forces | Enchaînement de tous les vecteurs **F_i** à l’échelle des forces | Fermeture ⇔ Σ**F** = 0 | | Résultant manquant | Vecteur de fermeture du polygone de forces | **R** = – Σ**F_i** | | Polygone des moments | Enchaînement des segments **M_i = F_i × d_i** à l’échelle des moments | Fermeture ⇔ Σ**M_A** = 0 | | Moment résultant | Vecteur de fermeture du polygone des moments | **M_R** = – Σ**M_i** | | Distance d’application d’une force d’équilibrage | d_eq = |M_R| / |R| (mêmes échelles) | – | | Force d’équilibrage | **F_eq** = –**R** (si nécessaire) | – | --- ## Synthèse du chapitre - **Principe fondamental de la statique** : Σ**F** = 0 et Σ**M** = 0. - **3 forces concourantes** → triangle des forces ; fermeture ⇔ équilibre. - **3 forces parallèles** → somme algébrique des forces pour le résultant translationnel ; polygone des moments pour déterminer son point d’application. - **>3 forces quelconques** → polygone de forces généralisé (vérification de Σ**F** = 0) + polygone des moments (vérification de Σ**M** = 0). - **Échelle graphique** : choisir des échelles adaptées pour forces, distances et moments afin de garantir lisibilité et précision. - **Étapes de résolution** : lister les données, choisir les échelles, construire le polygone de forces, vérifier la fermeture, construire le polygone des moments, vérifier la fermeture, en déduire les réactions ou forces manquantes. - **Applications professionnelles** : vérification d’équilibre de grues, poutres, charpentes, échafaudages, équipements d’atelier ; utilisation en phase de pré‑contrôle avant soudage, boulonnage ou levage. - **Sécurité** : toujours contrôler graphiquement l’équilibre avant toute manipulation de charges lourdes ; respecter les consignes de port d’EPI et de zone de travail dégagée. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Force concourante | Forces dont les droites d’action se rencontrent en un même point. | | Force parallèle | Forces ayant des droites d’action parallèles (même sens ou opposé). | | Résultant | Force unique qui remplace un système de forces tout en produisant le même effet extérieur. | | Polygon de forces | Construction graphique où chaque force est reportée bout à bout ; la fermeture indique Σ**F** = 0. | | Polygon des moments | Construction graphique des moments (F×d) autour d’un point choisi ; la fermeture indique Σ**M** = 0. | | Point de concourance | Point commun d’intersection des droites d’action de forces concourantes. | | Échelle graphique | Rapport entre une longueur sur le dessin et la grandeur physique qu’elle représente (ex. : 1 cm = 100 N). | | Moment d’une force | Produit de l’intensité de la force par la distance perpendiculaire au point considéré (M = F·d). | | Équilibre statique | État d’un solide où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. | | Réaction d’appui | Force exercée par un appui sur un solide pour maintenir l’équilibre. | | Charge extérieure | Force appliquée sur un solide provenant de l’environnement (poids, poussée, traction, etc.). | | Point de référence | Point choisi pour le calcul des moments (souvent un appui ou un coin de la pièce). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Grue de chantier (3 forces concourantes) **Énoncé** : Sur un chantier de Bafoussam, une grue lève une charge de 2 500 N à l’aide de deux câbles. Le câble gauche forme un angle de 40° avec la verticale vers la gauche, le câble droit forme un angle de 35° avec la verticale vers la droite. Déterminer graphiquement les tensions dans chaque câble sachant que la grue est en équilibre. **Corrigé** : 1. Choisir échelle : 1 cm = 250 N. 2. Tracer le poids **P** : 2 500 N / 250 N·cm⁻¹ = 10 cm vers le bas. 3. À l’extrémité de **P**, tracer **T₁** (câble gauche) : longueur inconnue, angle 40° à gauche de la verticale (soit 130° par rapport à l’horizontale). 4. À l’extrémité de **T₁**, tracer **T₂** (câble droit) : angle 35° à droite de la verticale (soit 55° par rapport à l’horizontale). 5. Ajuster les longueurs de **T₁** et **T₂** jusqu’à ce que le point final coïncide avec le point de départ O (fermeture du triangle). 6. Résolution analytique pour vérifier : - Équilibre horizontal : T₁ sin 40° = T₂ sin 35° → T₂ = T₁ · (sin 40°/sin 35°). - Équilibre vertical : T₁ cos 40° + T₂ cos 35° = 2 500 N. - En remplaçant T₂, on obtient T₁ ≈ 1 487 N et T₂ ≈ 1 664 N. 7. Conversion graphique : - T₁ → 1 487 N / 250 N·cm⁻¹ ≈ 5,95 cm. - T₂ → 1 664 N / 250 N·cm⁻¹ ≈ 6,66 cm. 8. Vérification graphique : le triangle se ferme, confirmant l’équilibre. **Réponse** : Tension câble gauche ≈ 1 490 N ; tension câble droit ≈ 1 660 N. > **À retenir** : Dans un système de trois forces concourantes, le triangle des forces doit se fermer ; chaque côté représente une force à l’échelle choisie. ### Exercice 2 – Poutre simplement appuyée (3 forces parallèles) **Énoncé** : Une poutre de 5 m de long, appuyée en A (à gauche) et en B (à droite), supporte deux charges verticales : 3 000 N à 1,5 m de A et 4 000 N à 4,0 m de A. Déterminer graphiquement les réactions en A et B. **Corrigé** : 1. Échelle forces : 1 cm = 500 N. 2. Échelle distances : 1 cm = 0,5 m. 3. Tracer les deux charges vers le bas : - F₁ = 3 000 N → 6 cm à 3 cm de A (puisque 1,5 m /0,5 = 3 cm). - F₂ = 4 000 N → 8 cm à 8 cm de A (4,0 m /0,5 = 8 cm). 4. Somme algébrique des charges = –7 000 N → 14 cm vers le bas. 5. Pour obtenir ΣF = 0, le résultant des réactions doit être +14 cm vers le haut (7 000 N). 6. Polygone des moments autour de A (échelle moments : 1 cm = 250 N·m) : - M₁ = 3 000 N × 1,5 m = 4 500 N·m → 18 cm (horaire). - M₂ = 4 000 N × 4,0 m = 16 000 N·m → 64 cm (horaire). - Somme = 82 cm horaire. - Le moment de R_B doit être –82 cm (antihoraire). - Donc R_B × 5,0 m = 82 cm × 250 N·m·cm⁻¹ = 20 500 N·m → R_B = 20 500 N·m / 5,0 m = 4 100 N. - Sur l’échelle forces, 4 100 N = 8,2 cm vers le haut. 7. Alors R_A = 7 000 N – 4 100 N = 2 900 N → 5,8 cm vers le haut. **Vérification** : ΣF = 2 900 + 4 100 – 3 000 – 4 000 = 0 N. ΣM_A = 4 100·5 – 3 000·1,5 – 4 000·4 = 20 500 – 4 500 – 16 000 = 0 N·m. Équilibre confirmé. **Réponse** : R_A ≈ 2 900 N ; R_B ≈ 4 100 N. > **À retenir** : Pour des forces parallèles, le polygone des moments permet de localiser le point d’application du résultant (ou des réactions). ### Exercice 3 – Charpente avec 4 forces (plus de 3 forces) **Énoncé** : Un portique métallique supporte quatre charges verticales : - F₁ = 1 200 N à 0,8 m du poteau gauche A. - F₂ = 1 600 N à 2,2 m de A. - F₃ = 1 000 N à 3,5 m de A. - La réaction du poteau droit B est inconnue. La portée entre les poteaux est de 4,2 m. Déterminer graphiquement R_A et R_B. **Corrigé** : 1. Échelle forces : 1 cm = 200 N. 2. Échelle distances : 1 cm = 0,2 m. 3. Échelle moments : 1 cm = 40 N·m (puisque moment = force × distance). 4. **Polygone de forces** : - F₁ : 6 cm vers le bas. - F₂ : 8 cm vers le bas. - F₃ : 5 cm vers le bas. - Total connu = 19 cm vers le bas → 3 800 N. - Pour fermer, il faut une force vers le haut de 19 cm → 3 800 N (R_A + R_B). 5. **Polygone des moments autour de A** : - M₁ = 1 200 N × 0,8 m = 960 N·m → 24 cm (horaire). - M₂ = 1 600 N × 2,2 m = 3 520 N·m → 88 cm (horaire). - M₃ = 1 000 N × 3,5 m = 3 500 N·m → 87,5 cm (horaire). - Somme = 199,5 cm horaire. - Le moment de R_B doit être –199,5 cm (antihoraire). - Donc R_B × 4,2 m = 199,5 cm × 40 N·m·cm⁻¹ = 7 980 N·m. - R_B = 7 980 N·m / 4,2 m ≈ 1 900 N. - Sur l’échelle forces, 1 900 N = 9,5 cm vers le haut. 6. Alors R_A = 3 800 N – 1 900 N = 1 900 N → 9,5 cm vers le haut. **Vérification** : ΣF = 1 900 + 1 900 – 1 200 – 1 600 – 1 000 = 0 N. ΣM_A = 1 900·4,2 – 1 200·0,8 – 1 600·2,2 – 1 000·3,5 = 7 980 – 960 – 3 520 – 3 500 = 0 N·m. Équilibre confirmé. **Réponse** : R_A ≈ 1 900 N ; R_B ≈ 1 900 N. > **À retenir** : Lorsque le nombre de forces dépasse trois, il faut vérifier séparément la fermeture du polygone de forces (équilibre translationnel) et celle du polygone des moments (équilibre rotationnel). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |------------------|-------------|--------------------------------------| | **Mauvaise échelle** (utiliser la même échelle pour forces et distances) | Distorsion du polygone, résultat faux. | Définir clairement deux échelles distinctes : une pour les forces (ex. : 1 cm = 100 N) et une pour les distances/moments (ex. : 1 cm = 0,1 m ou 1 cm = 50 N·m). | | **Oublier le signe d’une force** (traiter une force vers le haut comme négative) | Somme algébrique erronée, équilibre apparent faux. | Toujours attribuer un signe (+ pour sens choisi comme positif, – pour le opposé) avant de tracer ; vérifier la cohérence avec le schéma de forces. | | **Ne pas fermer le polygone des moments** en pensant que la fermeture du polygone de forces suffit | Équilibre translationnel satisfait mais rotation non nulle → basculement ou renversement. | Après le polygone de forces, construire systématiquement le polygone des moments autour d’un point de référence (souvent un appui) et vérifier sa fermeture. | | **Confondre point d’application du résultant avec point de concourance** dans le cas de forces parallèles | Placement incorrect de la réaction d’appui, sous‑ ou sur‑dimensionnement. | Rappeler que pour des forces parallèles, le résultant est parallèle aux forces ; son point d’application se trouve grâce au polygone des moments, pas au point de concourance (qui n’existe pas ici). | | **Tracer les forces à l’œil sans respecter l’échelle** | Erreurs de lecture importantes, surtout pour les faibles forces. | Utiliser une règle graduée et un rapporteur ; reporter chaque longueur à l’aide de l’échelle choisie avant de dessiner le vecteur. | | **Ne pas vérifier les unités** (mélanger newtons et kilogrammes‑force) | Résultat incohérent avec les normes de conception. | Travailler exclusivement en newtons (N) pour les forces ; convertir les masses en poids (g ≈ 9,81 m/s²) si nécessaire avant le tracé. | > **Règle de sécurité globale** : Avant toute manipulation de charges lourdes sur un chantier ou en atelier, réaliser une vérification graphique de l’équilibre statique selon la méthode appropriée (triangle, polygone de forces ou polygone des moments). Cette étape permet de détecter les sous‑dimensionnements ou les mauvais placements d’appuis qui pourraient entraîner un accident. Toujours porter les équipements de protection individuelle (casque, gants, chaussures de sécurité) et délimiter la zone de travail. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « TRADUCTION GRAPHIQUE DU PRINCIPAL FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (partie 2/2) ».*