Chap13: Équations différentielles

# Chap13: Équations différentielles ## Présentation et vocabulaire ### Introduction Les équations différentielles sont un outil fondamental en mathématiques et dans de nombreuses sciences (physique, biologie, économie). Elles permettent de modéliser l'évolution de phénomènes dans le temps ou dans l'espace en décrivant la relation entre une quantité et son taux de changement. Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce qu'est une équation différentielle, le vocabulaire associé et comment aborder leur résolution. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, une ou plusieurs de ses dérivées, et des variables indépendantes. Par exemple, si \( y \) est une fonction de \( x \) (souvent \( y(x) \)), une équation différentielle peut impliquer \( y \), \( y' \) (sa première dérivée), \( y'' \) (sa deuxième dérivée), etc. * **Notation :** La fonction inconnue est souvent notée \( y \) ou \( f \), et sa dérivée par rapport à \( x \) ou \( t \) est notée \( y' \), \( \frac{dy}{dx} \) ou \( \dot{y} \). #### Ordre d'une équation différentielle L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui apparaît dans l'équation. * **Exemples :** * \( y' = 2x + 3 \) est une équation différentielle d'ordre 1. * \( y'' + 4y = 0 \) est une équation différentielle d'ordre 2. * \( y''' - y' + y = x \) est une équation différentielle d'ordre 3. #### Solution d'une équation différentielle Une **solution** d'une équation différentielle est une fonction qui, lorsqu'elle est substituée dans l'équation avec ses dérivées, rend l'équation vraie. * **Solution générale :** Il s'agit de l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation. Elle contient généralement une ou plusieurs constantes arbitraires (par exemple, \( C \) ou \( K \)), dont le nombre correspond à l'ordre de l'équation. * **Solution particulière :** C'est une solution spécifique obtenue en déterminant les valeurs des constantes arbitraires à l'aide de conditions supplémentaires, appelées conditions initiales. #### Conditions initiales Les conditions initiales sont des informations supplémentaires qui permettent de trouver une solution unique (une solution particulière) parmi toutes les solutions générales d'une équation différentielle. * Pour une équation d'ordre 1, une condition initiale typique est la valeur de la fonction en un point donné, par exemple \( y(x_0) = y_0 \). * Pour une équation d'ordre 2, il faut deux conditions initiales, par exemple \( y(x_0) = y_0 \) et \( y'(x_0) = y'_0 \). ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées. * **Ordre d'une équation différentielle :** L'ordre de la dérivée la plus élevée présente dans l'équation. * **Solution générale :** L'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation différentielle, contenant des constantes arbitraires. * **Solution particulière :** Une solution spécifique obtenue en déterminant les constantes arbitraires à l'aide de conditions initiales. * **Condition initiale :** Une contrainte imposée à la fonction ou à ses dérivées en un point donné, permettant de déterminer une solution particulière. * **Intégration :** L'opération mathématique inverse de la dérivation, souvent utilisée pour résoudre des équations différentielles simples. ### Exemples #### Exemple 1 : Équation différentielle d'ordre 1 Considérons l'équation différentielle \[ y' = 2y \] * **Vérification d'une solution :** La fonction \( y(x) = C e^{2x} \) est une solution générale. Vérifions : Si \( y(x) = C e^{2x} \), alors sa dérivée est \( y'(x) = 2C e^{2x} \). En substituant dans l'équation : \( 2C e^{2x} = 2(C e^{2x}) \), ce qui est vrai pour toute constante \( C \). * **Détermination d'une solution particulière :** Supposons la condition initiale \( y(0) = 5 \). En utilisant la solution générale : \( y(0) = C e^{2 imes 0} = C e^0 = C \). Donc, \( C = 5 \). La solution particulière est alors \( y(x) = 5 e^{2x} \). #### Exemple 2 : Équation différentielle simple à résoudre par intégration Considérons l'équation différentielle \[ y' = 3x^2 \] * Pour trouver \( y(x) \), nous devons intégrer \( 3x^2 \) par rapport à \( x \). \[ y(x) = \int 3x^2 dx = x^3 + C \] La solution générale est \( y(x) = x^3 + C \). * **Détermination d'une solution particulière :** Si la condition initiale est \( y(1) = 4 \). En utilisant la solution générale : \( y(1) = 1^3 + C = 1 + C \). Puisque \( y(1) = 4 \), nous avons \( 1 + C = 4 \), ce qui donne \( C = 3 \). La solution particulière est \( y(x) = x^3 + 3 \). ### Exercices 1. **Identifier l'ordre des équations différentielles suivantes :** a) \( y' - 5y = x^2 \) b) \( y'' + y' - 2y = 0 \) c) \( \frac{d^3y}{dx^3} + \frac{dy}{dx} = \cos(x) \) 2. **Vérifier si la fonction donnée est une solution de l'équation différentielle correspondante :** a) Équation : \( y' + 2y = 0 \). Fonction proposée : \( y(x) = 3e^{-2x} \). b) Équation : \( y' = 4x^3 \). Fonction proposée : \( y(x) = x^4 + 7 \). 3. **Trouver la solution particulière pour l'équation et la condition initiale données :** Équation : \( y' = 2x \). Condition initiale : \( y(0) = 5 \). ### Devoirs 1. **Pour l'équation différentielle \( y' = -y \) :** a) Montrer que \( y(x) = C e^{-x} \) est une solution générale, où \( C \) est une constante réelle. b) Déterminer la solution particulière qui satisfait la condition initiale \( y(ln(2)) = 1 \). 2. **Un circuit RC (résistance-condensateur) est décrit par l'équation différentielle \( R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = E \), où \( q(t) \) est la charge du condensateur, \( R \) est la résistance, \( C \) la capacité et \( E \) une tension constante. C'est une équation d'ordre 1.** a) Si \( R=1 \), \( C=1 \) et \( E=10 \), l'équation devient \( \frac{dq}{dt} + q = 10 \). Vérifier que \( q(t) = 10 + K e^{-t} \) est une solution générale (où \( K \) est une constante). b) Si le condensateur est initialement déchargé (c'est-à-dire \( q(0) = 0 \)), trouver la solution particulière pour \( q(t) \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons introduit les équations différentielles, qui sont essentielles pour modéliser des phénomènes dynamiques. Nous avons appris que : * Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. * L'**ordre** d'une équation est déterminé par la dérivée la plus élevée qu'elle contient. * Une **solution** est une fonction qui satisfait l'équation. * La **solution générale** inclut des constantes arbitraires, tandis qu'une **solution particulière** est obtenue en utilisant des **conditions initiales** pour spécifier ces constantes. Ces concepts sont la base pour comprendre et résoudre des problèmes plus complexes impliquant des équations différentielles. ## Équations f'=af ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les équations différentielles ! Ces équations sont des outils mathématiques puissants qui nous permettent de décrire et de modéliser des phénomènes où le taux de changement d'une quantité dépend de la quantité elle-même. Vous les rencontrerez dans de nombreux domaines comme la physique, la biologie, l'économie et l'ingénierie. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur un type fondamental d'équations différentielles : les équations de la forme \( y' = ay \). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? Une **équation différentielle** est une équation qui met en relation une fonction inconnue, sa ou ses variables et ses dérivées. Par exemple, \( y' = 2x \) est une équation différentielle. Dans notre cas, nous nous intéresserons spécifiquement aux équations où la dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction elle-même. #### L'équation différentielle \( y' = ay \) C'est la forme la plus simple d'équation différentielle linéaire d'ordre 1. Elle s'écrit: \[ y' = ay \] où: * \( y \) est une fonction inconnue de \( x \) (souvent notée \( f(x) \)). * \( y' \) est la dérivée de cette fonction par rapport à \( x \) (souvent notée \( f'(x) \)). * \( a \) est une constante réelle donnée. \( a \) peut être n'importe quel nombre réel (positif, négatif ou nul). Cette équation signifie que la vitesse de variation de \( y \) est proportionnelle à la valeur de \( y \) elle-même. C'est un modèle courant pour la croissance (si \( a > 0 \)) ou la décroissance (si \( a < 0 \)). #### Solutions de l'équation \( y' = ay \) **Théorème :** Les solutions de l'équation différentielle \( y' = ay \) sont toutes les fonctions de la forme: \[ y(x) = Ce^{ax} \] où \( C \) est une constante réelle arbitraire appelée **constante d'intégration**. * **Vérification :** Pour nous en assurer, dérivons la fonction \( y(x) = Ce^{ax} \) : * \( y'(x) = C imes (ae^{ax}) = a(Ce^{ax}) = ay(x) \). * La fonction satisfait bien l'équation différentielle. L'ensemble de toutes ces fonctions \( y(x) = Ce^{ax} \) constitue la **solution générale** de l'équation différentielle. #### Détermination d'une solution particulière La constante \( C \) peut être déterminée si l'on connaît une **condition initiale**. Une condition initiale est une information supplémentaire qui donne la valeur de la fonction \( y \) pour une valeur spécifique de \( x \). Par exemple, si l'on sait que \( y(x_0) = y_0 \), alors on peut trouver la valeur de \( C \) : 1. On utilise la solution générale : \( y(x) = Ce^{ax} \). 2. On substitue \( x \) par \( x_0 \) et \( y(x_0) \) par \( y_0 \) : \[ y_0 = Ce^{ax_0} \] 3. On résout pour \( C \) : \[ C = rac{y_0}{e^{ax_0}} = y_0 e^{-ax_0} \] Une fois \( C \) déterminé, on obtient une **solution particulière** unique qui satisfait à la fois l'équation différentielle et la condition initiale. #### Rappel sur la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \( ext{exp}(x) \) ou \( e^x \), est une fonction fondamentale en mathématiques. Ses propriétés sont cruciales pour comprendre les solutions des équations \( y' = ay \). * **Définition :** C'est l'unique fonction \( f \) telle que \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \). * **Propriétés importantes :** * \( e^{x+y} = e^x e^y \) * \( e^{x-y} = e^x / e^y \) * \( (e^x)^n = e^{nx} \) pour tout \( n otin \mathbb{Z} \) * \( e^0 = 1 \) * \( e^x > 0 \) pour tout \( x otin \mathbb{R} \) * **Dérivée :** La dérivée de \( e^{u(x)} \) est \( u'(x)e^{u(x)} \). ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Une équation qui relie une fonction, sa variable et ses dérivées. * **Solution générale :** L'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation différentielle. Elle contient une constante arbitraire \( C \). * **Solution particulière :** Une solution unique obtenue à partir de la solution générale en utilisant une condition initiale, permettant de déterminer la valeur de la constante \( C \). * **Condition initiale :** Une valeur spécifique de la fonction à un point donné, utilisée pour déterminer la constante d'intégration. * **Constante d'intégration :** La constante \( C \) qui apparaît dans la solution générale d'une équation différentielle. * **Fonction exponentielle :** La fonction \( x \mapsto e^x \) dont la dérivée est égale à elle-même. ### Exemples #### Exemple 1: Résolution de base Résoudre l'équation différentielle : \( y' = 3y \) **Solution :** Ici, \( a = 3 \). D'après le théorème, les solutions sont de la forme \( y(x) = Ce^{3x} \), où \( C \) est une constante réelle. #### Exemple 2: Avec condition initiale Résoudre l'équation différentielle : \( y' = -2y \) avec la condition initiale \( y(0) = 5 \) **Solution :** 1. L'équation est de la forme \( y' = ay \) avec \( a = -2 \). 2. La solution générale est \( y(x) = Ce^{-2x} \). 3. Utilisons la condition initiale \( y(0) = 5 \) pour trouver \( C \) : \( 5 = Ce^{-2 imes 0} \) \( 5 = Ce^0 \) \( 5 = C imes 1 \) \( C = 5 \) 4. La solution particulière est donc \( y(x) = 5e^{-2x} \). #### Exemple 3: Application (croissance bactérienne) La population d'une colonie de bactéries croît à un taux proportionnel à sa taille. Si la population initiale est de 1000 bactéries et qu'elle double toutes les heures, quelle est la fonction qui décrit la population au cours du temps \( t \) (en heures) ? **Solution :** 1. Soit \( P(t) \) la population de bactéries au temps \( t \). Le problème indique que le taux de croissance est proportionnel à la taille de la population. Cela se traduit par l'équation différentielle : \[ P'(t) = kP(t) \] où \( k \) est la constante de proportionnalité (le taux de croissance). 2. La solution générale est \( P(t) = Ce^{kt} \). 3. Condition initiale : la population initiale est de 1000 bactéries, donc \( P(0) = 1000 \). \( 1000 = Ce^{k imes 0} \) \( 1000 = C \) Donc, \( P(t) = 1000e^{kt} \). 4. Informations supplémentaires : la population double toutes les heures. Cela signifie que \( P(1) = 2 imes P(0) = 2 imes 1000 = 2000 \). Utilisons cette information pour trouver \( k \) : \( 2000 = 1000e^{k imes 1} \) \( 2 = e^k \) Pour trouver \( k \), nous prenons le logarithme naturel des deux côtés : \( k = ext{ln}(2) \) 5. La fonction qui décrit la population est donc : \( P(t) = 1000e^{t ext{ln}(2)} \) On peut simplifier cette expression en utilisant la propriété \( e^{a ext{ln}(b)} = b^a \) (ici \( e^{t ext{ln}(2)} = (e^{ ext{ln}(2)})^t = 2^t \)) : \[ P(t) = 1000 imes 2^t \] ### Exercices Résolvez les équations différentielles suivantes, en trouvant la solution générale, puis la solution particulière si une condition initiale est donnée. 1. \( y' = 5y \) 2. \( f'(x) = -f(x) \) 3. \( y' = rac{1}{2}y \) avec \( y(0) = 4 \) 4. \( y' = -rac{1}{3}y \) avec \( y(3) = e^{-1} \) ### Devoirs 1. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle : \( y' = 0.8y \) 2. Trouvez la solution particulière de l'équation différentielle : \( y' = -0.5y \) avec \( y(0) = 10 \) 3. Trouvez la solution particulière de l'équation différentielle : \( y' + 2y = 0 \) avec \( y(1) = 3 \) (Attention : commencez par la réécrire sous la forme \( y' = ay \) ). 4. **Application (refroidissement d'un corps) :** Un corps chaud se refroidit dans une pièce. La vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la pièce. Si la température de la pièce est constante à \( 20^ ext{o}C \) et que la température du corps \( T(t) \) (en \( ^ ext{o}C \)) suit la loi : \[ T'(t) = -k(T(t) - 20) \] où \( k \) est une constante positive. * a) Montrez que la fonction \( heta(t) = T(t) - 20 \) est solution d'une équation différentielle de type \( heta'(t) = a heta(t) \). Donnez la valeur de \( a \). * b) Si la température initiale du corps est de \( 100^ ext{o}C \) et qu'après 10 minutes, elle est de \( 60^ ext{o}C \), déterminez l'expression de \( T(t) \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les équations différentielles du type \( y' = ay \). Nous avons appris que: * Ce type d'équation modélise des phénomènes où le taux de variation d'une quantité est proportionnel à la quantité elle-même. * La **solution générale** de \( y' = ay \) est toujours de la forme \( y(x) = Ce^{ax} \), où \( C \) est une constante arbitraire. * Pour trouver une **solution particulière**, nous avons besoin d'une **condition initiale** qui nous permet de déterminer la valeur de \( C \). * La fonction exponentielle \( e^x \) joue un rôle central dans la résolution de ces équations. Ces concepts sont fondamentaux et seront la base de vos études futures en mathématiques appliquées. ## Equations af''+bf'+cf=0 où a, b et c sont des réels ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les équations différentielles ! Les équations différentielles sont des outils fondamentaux en mathématiques, en physique, en ingénierie et dans de nombreux autres domaines pour modéliser des phénomènes dont l'évolution dépend de leur état actuel. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur un type particulier d'équations différentielles : les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants de la forme \( ay''+by'+cy=0 \), où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, et \( a e 0 \). Ces équations décrivent par exemple le mouvement d'un oscillateur harmonique amorti (comme un système masse-ressort) ou le comportement de circuits électriques RLC. Comprendre comment les résoudre est une compétence clé. ### Concepts Clés #### Forme Générale de l'Équation Différentielle Une équation différentielle de ce type s'écrit sous la forme : \[ ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0 \] où : * \( y \) est une fonction inconnue de \( x \). * \( y' \) est la première dérivée de \( y \) par rapport à \( x \). * \( y'' \) est la seconde dérivée de \( y \) par rapport à \( x \). * \( a, b, c \) sont des constantes réelles avec \( a \ne 0 \). Cette équation est dite **linéaire** (car \( y, y', y'' \) apparaissent à la puissance 1), **homogène** (car le second membre est nul) et **à coefficients constants**. #### L'Équation Caractéristique La méthode de résolution de ce type d'équations repose sur la recherche de solutions particulières de la forme \( y(x) = e^{rx} \), où \( r \) est une constante réelle ou complexe. Si l'on dérive \( y(x) = e^{rx} \) : * \( y'(x) = re^{rx} \) * \( y''(x) = r^2e^{rx} \) En substituant ces expressions dans l'équation différentielle, on obtient : \[ a(r^2e^{rx}) + b(re^{rx}) + c(e^{rx}) = 0 \] En factorisant par \( e^{rx} \) (qui n'est jamais nul) : \[ e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0 \] Cela nous mène à l'**équation caractéristique** : \[ ar^2 + br + c = 0 \] Cette équation est une équation du second degré en \( r \) que nous savons résoudre en utilisant le discriminant \( ext{Delta} = b^2 - 4ac \). #### Résolution de l'Équation Caractéristique et Solutions Générales La forme de la solution générale de l'équation différentielle \( ay''+by'+cy=0 \) dépend des racines de l'équation caractéristique \( ar^2+br+c=0 \). ##### Cas 1: Le discriminant est strictement positif (\( ext{Delta} > 0 \)) Dans ce cas, l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \( r_1 \) et \( r_2 \) : \[ r_1 = rac{-b - ext{sqrt}( ext{Delta})}{2a} \] \[ r_2 = rac{-b + ext{sqrt}( ext{Delta})}{2a} \] La solution générale de l'équation différentielle est alors : \[ y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x} \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. ##### Cas 2: Le discriminant est nul (\( ext{Delta} = 0 \)) Dans ce cas, l'équation caractéristique a une unique racine réelle double \( r_0 \) : \[ r_0 = rac{-b}{2a} \] La solution générale de l'équation différentielle est alors : \[ y(x) = (Ax+B)e^{r_0x} \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. ##### Cas 3: Le discriminant est strictement négatif (\( ext{Delta} < 0 \)) Dans ce cas, l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées. Nous pouvons écrire \( ext{Delta} = - (4ac - b^2) = - (2eta)^2 \) où \( eta = rac{ ext{sqrt}(4ac - b^2)}{2a} \). Les racines sont de la forme : \[ r_1 = rac{-b - i ext{sqrt}(- ext{Delta})}{2a} = rac{-b}{2a} - irac{ ext{sqrt}(- ext{Delta})}{2a} = ext{alpha} - i ext{beta} \] \[ r_2 = rac{-b + i ext{sqrt}(- ext{Delta})}{2a} = rac{-b}{2a} + irac{ ext{sqrt}(- ext{Delta})}{2a} = ext{alpha} + i ext{beta} \] où \( ext{alpha} = rac{-b}{2a} \) et \( ext{beta} = rac{ ext{sqrt}(- ext{Delta})}{2a} \). La solution générale de l'équation différentielle est alors : \[ y(x) = e^{ ext{alpha} x}(A ext{cos}( ext{beta} x) + B ext{sin}( ext{beta} x)) \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. #### Détermination des Constantes avec des Conditions Initiales Pour trouver les valeurs spécifiques des constantes \( A \) et \( B \), nous avons besoin de conditions initiales. Typiquement, deux conditions sont nécessaires pour une équation du second ordre : * La valeur de la fonction en un point : \( y(x_0) = y_0 \). * La valeur de sa dérivée en ce point : \( y'(x_0) = y'_0 \). Ces conditions forment un système de deux équations à deux inconnues (A et B) que l'on peut résoudre. ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées. * **Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :** Équation de la forme \( ay''+by'+cy=0 \). * **Homogène :** Se dit d'une équation différentielle dont le second membre est nul. * **Équation caractéristique :** Équation du second degré \( ar^2+br+c=0 \) associée à l'équation différentielle linéaire homogène. * **Discriminant (\( ext{Delta} \)) :** Terme \( b^2-4ac \) utilisé pour déterminer la nature des racines d'une équation du second degré. * **Racine réelle :** Solution d'une équation qui est un nombre réel. * **Racine complexe conjuguée :** Paire de solutions complexes de la forme \( ext{alpha} ext{+-} i ext{beta} \). * **Solution générale :** Famille de toutes les fonctions qui satisfont l'équation différentielle, contenant des constantes arbitraires. * **Conditions initiales :** Valeurs de la fonction et de sa dérivée en un point donné, utilisées pour déterminer les constantes arbitraires de la solution générale et trouver une solution particulière. ### Exemples #### Exemple 1: \( ext{Delta} > 0 \) Résolvons l'équation différentielle : \( y'' - 3y' + 2y = 0 \). 1. **Équation caractéristique :** \( r^2 - 3r + 2 = 0 \). 2. **Calcul du discriminant :** \( ext{Delta} = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). 3. **Racines :** \( ext{Delta} > 0 \), donc deux racines réelles distinctes : \( r_1 = rac{3 - ext{sqrt}(1)}{2} = rac{2}{2} = 1 \) \( r_2 = rac{3 + ext{sqrt}(1)}{2} = rac{4}{2} = 2 \) 4. **Solution générale :** \( y(x) = Ae^{1x} + Be^{2x} = Ae^x + Be^{2x} \). #### Exemple 2: \( ext{Delta} = 0 \) Résolvons l'équation différentielle : \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). 1. **Équation caractéristique :** \( r^2 + 4r + 4 = 0 \). 2. **Calcul du discriminant :** \( ext{Delta} = (4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \). 3. **Racine :** \( ext{Delta} = 0 \), donc une racine réelle double : \( r_0 = rac{-4}{2(1)} = -2 \) 4. **Solution générale :** \( y(x) = (Ax+B)e^{-2x} \). #### Exemple 3: \( ext{Delta} < 0 \) Résolvons l'équation différentielle : \( y'' + y' + y = 0 \). 1. **Équation caractéristique :** \( r^2 + r + 1 = 0 \). 2. **Calcul du discriminant :** \( ext{Delta} = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \). 3. **Racines :** \( ext{Delta} < 0 \), donc deux racines complexes conjuguées : \( ext{alpha} = rac{-1}{2(1)} = -rac{1}{2} \) \( ext{beta} = rac{ ext{sqrt}(-(-3))}{2(1)} = rac{ ext{sqrt}(3)}{2} \) Les racines sont \( r_1 = -rac{1}{2} - irac{ ext{sqrt}(3)}{2} \) et \( r_2 = -rac{1}{2} + irac{ ext{sqrt}(3)}{2} \). 4. **Solution générale :** \( y(x) = e^{-x/2}(A ext{cos}(rac{ ext{sqrt}(3)}{2}x) + B ext{sin}(rac{ ext{sqrt}(3)}{2}x)) \). #### Exemple 4: Avec conditions initiales Trouver la solution particulière de \( y'' - y = 0 \) avec \( y(0)=2 \) et \( y'(0)=0 \). 1. **Équation caractéristique :** \( r^2 - 1 = 0 \). 2. **Calcul du discriminant :** \( ext{Delta} = 0^2 - 4(1)(-1) = 4 \). 3. **Racines :** \( r_1 = rac{0 - ext{sqrt}(4)}{2} = -1 \), \( r_2 = rac{0 + ext{sqrt}(4)}{2} = 1 \). 4. **Solution générale :** \( y(x) = Ae^{-x} + Be^x \). 5. **Dérivée de la solution générale :** \( y'(x) = -Ae^{-x} + Be^x \). 6. **Application des conditions initiales :** * \( y(0)=2 \) : \( A e^0 + B e^0 = 2 ext{Rightarrow} A + B = 2 \) (Équation 1) * \( y'(0)=0 \) : \( -A e^0 + B e^0 = 0 ext{Rightarrow} -A + B = 0 \) (Équation 2) 7. **Résolution du système :** * En additionnant (Équation 1) et (Équation 2) : \( (A+B) + (-A+B) = 2+0 ext{Rightarrow} 2B = 2 ext{Rightarrow} B = 1 \). * En substituant \( B=1 \) dans (Équation 1) : \( A+1=2 ext{Rightarrow} A=1 \). 8. **Solution particulière :** \( y(x) = e^{-x} + e^x \). ### Exercices Résolvez les équations différentielles suivantes : 1. \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 2. \( y'' + 6y' + 9y = 0 \) 3. \( y'' + 2y' + 5y = 0 \) 4. \( 2y'' - y' = 0 \) (Attention : \( c=0 \)) 5. Trouvez la solution particulière de \( y'' + y = 0 \) avec \( y(0)=1 \) et \( y'(rac{ ext{pi}}{2})=0 \). ### Devoir 1. Résolvez l'équation différentielle \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) avec les conditions initiales \( y(0)=0 \) et \( y'(0)=4 \). 2. Résolvez l'équation différentielle \( 4y'' - 4y' + y = 0 \). 3. Résolvez l'équation différentielle \( y'' - 4y' + 13y = 0 \). 4. Un système masse-ressort est modélisé par l'équation différentielle \( y'' + ext{omega}^2 y = 0 \), où \( ext{omega} \) est une constante positive. Trouvez la solution générale et interprétez-la. 5. On considère l'équation différentielle \( y'' - y' - 2y = 0 \). Déterminez les valeurs de \( k \) telles que \( y(x) = e^{kx} \) soit une solution de cette équation. ### Résumé Nous avons exploré la résolution des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants de la forme \( ay''+by'+cy=0 \). La méthode clé consiste à former et à résoudre l'**équation caractéristique** \( ar^2+br+c=0 \). La nature de la solution générale dépend du discriminant \( ext{Delta} = b^2 - 4ac \) : * Si \( ext{Delta} > 0 \) : Deux racines réelles distinctes \( r_1, r_2 \). Solution : \( y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x} \). * Si \( ext{Delta} = 0 \) : Une racine réelle double \( r_0 \). Solution : \( y(x) = (Ax+B)e^{r_0x} \). * Si \( ext{Delta} < 0 \) : Deux racines complexes conjuguées \( ext{alpha} ext{+-} i ext{beta} \). Solution : \( y(x) = e^{ ext{alpha} x}(A ext{cos}( ext{beta} x) + B ext{sin}( ext{beta} x)) \). Les constantes \( A \) et \( B \) sont déterminées à l'aide de conditions initiales sur \( y(x_0) \) et \( y'(x_0) \). La maîtrise de ces techniques est essentielle pour aborder des problèmes plus complexes en mathématiques et en physique. ## Equations af''+bf'+cf=d où d est une constante ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations différentielles ! Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées. Elles sont fondamentales en mathématiques, mais aussi en physique, en ingénierie et dans de nombreuses autres sciences pour modéliser des phénomènes tels que les circuits électriques, les oscillations mécaniques ou la croissance des populations. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur un type spécifique d'équations différentielles : les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants avec un second membre constant. Ces équations prennent la forme générale \[ ay'' + by' + cy = d \], où \( a, b, c \) sont des constantes réelles (avec \( a \neq 0 \)), \( d \) est une constante réelle, et \( y \) est une fonction de \( x \) que nous cherchons, tandis que \( y' \) et \( y'' \) sont ses dérivées première et seconde par rapport à \( x \). L'objectif est de trouver toutes les fonctions \( y(x) \) qui satisfont cette équation. ### Concepts Clés #### Forme générale des équations différentielles étudiées Nous nous intéressons aux équations de la forme : \[ ay'' + by' + cy = d \] où : * \( a, b, c \) sont des constantes réelles, avec \( a \neq 0 \). * \( d \) est une constante réelle. * \( y \) est une fonction de la variable \( x \). * \( y' \) est la dérivée première de \( y \). * \( y'' \) est la dérivée seconde de \( y \). #### Structure de la solution générale La solution générale \( y(x) \) d'une équation différentielle linéaire du second ordre avec un second membre est la somme de deux parties : 1. La solution de l'équation homogène associée (sans second membre), notée \( y_h(x) \). 2. Une solution particulière de l'équation complète, notée \( y_p(x) \). Autrement dit : \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \] #### 1. Résolution de l'équation homogène (sans second membre) L'équation homogène associée à \[ ay'' + by' + cy = d \] est : \[ ay'' + by' + cy = 0 \] Pour la résoudre, nous utilisons son **équation caractéristique** : \[ ar^2 + br + c = 0 \] Les racines de cette équation du second degré \( r \) déterminent la forme de \( y_h(x) \). * **Cas 1 : Le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est strictement positif (\( \Delta > 0 \))** * L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, \( r_1 \) et \( r_2 \). * La solution de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x} \] * **Cas 2 : Le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est nul (\( \Delta = 0 \))** * L'équation caractéristique admet une racine réelle double, \( r_0 = -b/(2a) \). * La solution de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = (Ax + B)e^{r_0 x} \] * **Cas 3 : Le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est strictement négatif (\( \Delta < 0 \))** * L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, \( r_1 = \alpha + i\beta \) et \( r_2 = \alpha - i\beta \), où \( \alpha = -b/(2a) \) et \( \beta = \sqrt{-\Delta}/(2a) \). * La solution de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) \] Dans tous les cas, \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles qui seront déterminées par les conditions initiales (s'il y en a). #### 2. Recherche d'une solution particulière \( y_p(x) \) Puisque le second membre \( d \) est une constante, on peut chercher une solution particulière \( y_p(x) \) qui soit elle-même une constante. Soit \( y_p(x) = K \), où \( K \) est une constante réelle. Calculons ses dérivées : * \( y_p'(x) = 0 \) * \( y_p''(x) = 0 \) Substituons ces valeurs dans l'équation différentielle originale \[ ay'' + by' + cy = d \] : \( a(0) + b(0) + cK = d \) \( cK = d \) * **Si \( c \neq 0 \)** : Nous pouvons trouver \( K \) directement : \[ K = \frac{d}{c} \] Donc, la solution particulière est : \[ y_p(x) = \frac{d}{c} \] * **Si \( c = 0 \)** (et \( b \neq 0 \)) : L'équation devient \( ay'' + by' = d \). Dans ce cas, une solution particulière de la forme \( K \) ne fonctionne pas. On chercherait alors une solution de la forme \( y_p(x) = Kx \). En dérivant, on aurait \( y_p'(x) = K \) et \( y_p''(x) = 0 \). En substituant : \( a(0) + bK = d \), d'où \( K = d/b \). Donc \( y_p(x) = (d/b)x \). * **Si \( c = 0 \) et \( b = 0 \)** : L'équation devient \( ay'' = d \). On chercherait alors \( y_p(x) = Kx^2 \). En dérivant, on aurait \( y_p'(x) = 2Kx \) et \( y_p''(x) = 2K \). En substituant : \( a(2K) = d \), d'où \( K = d/(2a) \). Donc \( y_p(x) = (d/(2a))x^2 \). **Dans le cadre de ce cours de Terminale, nous nous concentrerons principalement sur le cas où \( c \neq 0 \), où la solution particulière est une simple constante.** #### 3. La solution générale Une fois que vous avez trouvé \( y_h(x) \) et \( y_p(x) \), la solution générale de l'équation différentielle est simplement leur somme : \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \] #### 4. Détermination des constantes \( A \) et \( B \) La solution générale contient deux constantes indéterminées \( A \) et \( B \). Pour les trouver, nous avons besoin de deux **conditions initiales**. Celles-ci sont généralement données sous la forme de la valeur de la fonction \( y \) et de sa dérivée \( y' \) à un point spécifique \( x_0 \) : * \( y(x_0) = y_0 \) * \( y'(x_0) = y_1 \) En substituant ces conditions dans la solution générale \( y(x) \) et sa dérivée \( y'(x) \), on obtient un système de deux équations à deux inconnues (A et B) que l'on peut résoudre. ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Une équation qui relie une fonction à une ou plusieurs de ses dérivées. * **Équation homogène :** L'équation différentielle sans le second membre (c'est-à-dire avec le second membre égal à zéro). * **Second membre :** Le terme constant ou fonction de \( x \) à droite de l'égalité dans l'équation différentielle, ici \( d \). * **Équation caractéristique :** Une équation algébrique (souvent polynomiale) utilisée pour trouver la solution de l'équation homogène. * **Solution générale :** L'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation différentielle, contenant des constantes arbitraires (\( A \) et \( B \)). * **Solution particulière :** Une solution spécifique de l'équation différentielle, sans constantes arbitraires, qui satisfait les conditions initiales si elles sont données. * **Conditions initiales :** Des valeurs données de la fonction et/ou de ses dérivées à un point spécifique, utilisées pour déterminer les constantes de la solution générale. * **Coefficients constants :** Les coefficients \( a, b, c \) devant \( y'' \), \( y' \) et \( y \) sont des nombres constants et non des fonctions de \( x \). ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre \( y'' - 3y' + 2y = 4 \) 1. **Équation homogène associée :** \( y'' - 3y' + 2y = 0 \) * Équation caractéristique : \( r^2 - 3r + 2 = 0 \). * Calcul du discriminant : \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). * Les racines sont \( r_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) et \( r_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). * La solution homogène est : \[ y_h(x) = Ae^{x} + Be^{2x} \] 2. **Solution particulière :** Le second membre est \( d=4 \). Puisque \( c=2 \neq 0 \), nous cherchons une solution constante \( y_p(x) = K \). * \( y_p'(x) = 0 \) et \( y_p''(x) = 0 \). * Substitution dans l'équation complète : \( (0) - 3(0) + 2K = 4 \). * \( 2K = 4 \Rightarrow K = 2 \). * La solution particulière est : \[ y_p(x) = 2 \] 3. **Solution générale :** \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ae^{x} + Be^{2x} + 2 \] #### Exemple 2 : Résoudre \( y'' + 2y' + y = 3 \) avec les conditions initiales \( y(0)=1 \) et \( y'(0)=-1 \) 1. **Équation homogène associée :** \( y'' + 2y' + y = 0 \) * Équation caractéristique : \( r^2 + 2r + 1 = 0 \). * C'est une identité remarquable : \( (r+1)^2 = 0 \). * La racine est \( r_0 = -1 \) (racine réelle double). * La solution homogène est : \[ y_h(x) = (Ax + B)e^{-x} \] 2. **Solution particulière :** Le second membre est \( d=3 \). Puisque \( c=1 \neq 0 \), nous cherchons une solution constante \( y_p(x) = K \). * \( y_p'(x) = 0 \) et \( y_p''(x) = 0 \). * Substitution : \( (0) + 2(0) + K = 3 \Rightarrow K = 3 \). * La solution particulière est : \[ y_p(x) = 3 \] 3. **Solution générale :** \[ y(x) = (Ax + B)e^{-x} + 3 \] 4. **Détermination des constantes A et B avec les conditions initiales :** * Nous avons \( y(0)=1 \) et \( y'(0)=-1 \). * Calculons d'abord \( y'(x) \) : \( y'(x) = A e^{-x} + (Ax+B)(-e^{-x}) \) \( y'(x) = (A - Ax - B)e^{-x} \) * Appliquons la première condition \( y(0)=1 \) : \( y(0) = (A(0) + B)e^{-0} + 3 = 1 \) \( B \cdot 1 + 3 = 1 \Rightarrow B = -2 \) * Appliquons la seconde condition \( y'(0)=-1 \) : \( y'(0) = (A - A(0) - B)e^{-0} = -1 \) \( A - B = -1 \) * En substituant \( B=-2 \) dans la deuxième équation : \( A - (-2) = -1 \Rightarrow A + 2 = -1 \Rightarrow A = -3 \) 5. **Solution particulière finale :** \[ y(x) = (-3x - 2)e^{-x} + 3 \] ### Exercices Résolvez les équations différentielles suivantes, en trouvant la solution générale, puis la solution particulière si des conditions initiales sont données : 1. \( y'' - 4y' + 3y = 6 \) 2. \( y'' + 4y' + 4y = -8 \) 3. \( y'' + y = 5 \) avec \( y(0)=0 \) et \( y'(0)=2 \) ### Devoir à la maison Résolvez les équations différentielles suivantes. Pour chaque équation, donnez la solution générale. Si des conditions initiales sont fournies, déterminez également la solution particulière correspondante. 1. \( 2y'' - 5y' - 3y = 9 \) 2. \( y'' - 6y' + 9y = 18 \) avec \( y(0)=2 \) et \( y'(0)=4 \) 3. \( y'' + 2y' + 5y = 10 \) ### Résumé Pour résoudre une équation différentielle du type \[ ay'' + by' + cy = d \] (où \( d \) est une constante et \( c \neq 0 \)), suivez ces étapes clés : 1. **Résoudre l'équation homogène** \( ay'' + by' + cy = 0 \) en utilisant son équation caractéristique \( ar^2 + br + c = 0 \). La forme de \( y_h(x) \) dépend du discriminant \( \Delta \) de l'équation caractéristique. 2. **Chercher une solution particulière** \( y_p(x) \). Puisque le second membre \( d \) est une constante, on suppose que \( y_p(x) = K \). En substituant dans l'équation originale, on trouve \( K = d/c \). 3. **Former la solution générale** en additionnant la solution homogène et la solution particulière : \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \). 4. **Utiliser les conditions initiales** (si elles sont données) pour déterminer les valeurs des constantes \( A \) et \( B \) présentes dans \( y_h(x) \). Cela implique de dériver \( y(x) \) et de résoudre un système de deux équations.