Chap4 : Trigonométrie

# Chap4 : Trigonométrie ## Formules de transformation Leçon 14: Équations et inéquations ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les équations et inéquations trigonométriques. Après avoir étudié les fonctions trigonométriques et leurs formules de transformation, nous allons maintenant apprendre à résoudre des problèmes où ces fonctions sont impliquées dans des équations ou des inéquations. C'est une compétence essentielle en mathématiques, particulièrement utile en physique et en ingénierie, où les phénomènes périodiques sont monnaie courante. ### Concepts Clés #### Équations trigonométriques fondamentales Une équation trigonométrique est une équation dont l'inconnue se trouve dans l'argument d'une fonction trigonométrique (sinus, cosinus, tangente). ##### Équation du type \( \cos(x) = k \) Pour que cette équation admette des solutions, il faut que \( -1 \le k \le 1 \). Si \( k \) est hors de cet intervalle, il n'y a pas de solution. Si \( \alpha \) est une solution particulière (généralement dans \( [0, \pi] \)) telle que \( \cos(\alpha) = k \), alors les solutions générales sont données par : \[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \] où \( k \) est un entier relatif.\ Exemple: Résoudre \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). On sait que \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \). Donc, \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Les solutions sont \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) et \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). ##### Équation du type \( \sin(x) = k \) Pour que cette équation admette des solutions, il faut que \( -1 \le k \le 1 \). Si \( k \) est hors de cet intervalle, il n'y a pas de solution. Si \( \alpha \) est une solution particulière (généralement dans \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)) telle que \( \sin(\alpha) = k \), alors les solutions générales sont données par : \[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \] où \( k \) est un entier relatif.\ Exemple: Résoudre \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). On sait que \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Donc, \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Les solutions sont \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) et \( x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). ##### Équation du type \( \tan(x) = k \) Cette équation admet toujours des solutions pour tout \( k \in \mathbb{R} \). Si \( \alpha \) est une solution particulière (généralement dans \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \)) telle que \( \tan(\alpha) = k \), alors les solutions générales sont données par : \[ x = \alpha + k\pi \] où \( k \) est un entier relatif.\ Exemple: Résoudre \( \tan(x) = 1 \). On sait que \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \). Donc, \( \alpha = \frac{\pi}{4} \). Les solutions sont \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). #### Équations trigonométriques plus complexes Pour résoudre des équations plus complexes, on peut utiliser : * Les formules de transformation (addition, duplication, linéarisation, etc.) pour ramener l'équation à une forme fondamentale. * Un changement de variable pour transformer l'équation en une équation algébrique (souvent quadratique). Exemple: Résoudre \( 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0 \). Posons \( Y = \cos(x) \). L'équation devient \( 2Y^2 - Y - 1 = 0 \). Calculons le discriminant: \( \Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \). Les solutions pour Y sont \( Y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 \pm 3}{4} \). D'où \( Y_1 = \frac{1+3}{4} = 1 \) et \( Y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} \). On revient à \( \cos(x) \) : 1. \( \cos(x) = 1 \implies x = 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). 2. \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) ou \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). #### Inéquations trigonométriques La résolution d'une inéquation trigonométrique se fait généralement en trois étapes : 1. **Résoudre l'équation associée** : Trouver les valeurs où la fonction trigonométrique est égale à la valeur donnée. 2. **Placer les solutions sur le cercle trigonométrique** : Cela permet de visualiser les intervalles où l'inéquation est satisfaite. 3. **Étudier le signe** : Tester des points dans les intervalles ou utiliser le cercle pour déterminer les intervalles de solutions. Exemple: Résoudre \( \cos(x) > \frac{1}{2} \) sur l'intervalle \( [0, 2\pi[ \). 1. Équation associée: \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). Les solutions sur \( [0, 2\pi[ \) sont \( x = \frac{\pi}{3} \) et \( x = \frac{5\pi}{3} \). 2. Sur le cercle trigonométrique, les points dont le cosinus est supérieur à \( \frac{1}{2} \) sont situés dans l'arc entre \( -\frac{\pi}{3} \) et \( \frac{\pi}{3} \). 3. Sur l'intervalle \( [0, 2\pi[ \), cela correspond à l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{3}[ \) et \( ]\frac{5\pi}{3}, 2\pi[ \). Donc, l'ensemble des solutions est \( S = [0, \frac{\pi}{3}[ \cup ]\frac{5\pi}{3}, 2\pi[ \). ### Vocabulaire * **Équation trigonométrique** : Une équation où l'inconnue est l'argument d'une fonction trigonométrique (ex: \( \cos(x) = 0.5 \)). * **Inéquation trigonométrique** : Une inéquation où l'inconnue est l'argument d'une fonction trigonométrique (ex: \( \sin(x) > 0.5 \)). * **Solution générale** : L'ensemble de toutes les solutions d'une équation, exprimées avec un paramètre entier \( k \). * **Cercle trigonométrique** : Un cercle de rayon 1 centré à l'origine, utilisé pour visualiser les valeurs des fonctions trigonométriques et les angles. * **Intervalle de résolution** : L'ensemble des valeurs pour lesquelles on cherche les solutions de l'équation ou de l'inéquation (ex: \( [0, 2\pi[ \)). ### Exemples #### Exemple 1: Résolution d'une équation avec des arguments différents Résoudre \( \sin(2x) = \cos(x) \) sur \( \mathbb{R} \). 1. Utiliser la formule de duplication: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). L'équation devient \( 2\sin(x)\cos(x) = \cos(x) \). 2. Ramener tous les termes d'un côté et factoriser: \( 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \) \( \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 \) 3. Deux cas possibles : * Cas 1: \( \cos(x) = 0 \) \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). * Cas 2: \( 2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \) \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). Les solutions générales sont \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \), \( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). #### Exemple 2: Résolution d'une inéquation avec changement de variable Résoudre \( 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 \ge 0 \) sur l'intervalle \( [0, 2\pi[ \). 1. Poser \( Y = \sin(x) \). L'inéquation devient \( 2Y^2 + Y - 1 \ge 0 \). 2. Résoudre l'équation associée \( 2Y^2 + Y - 1 = 0 \). \( \Delta = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \). \( Y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \). \( Y_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} \) et \( Y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1 \). 3. La parabole \( 2Y^2 + Y - 1 \) est tournée vers le haut (coefficient de \( Y^2 \) positif), donc \( 2Y^2 + Y - 1 \ge 0 \) quand \( Y \le -1 \) ou \( Y \ge \frac{1}{2} \). 4. Revenons à \( \sin(x) \) : * Cas 1: \( \sin(x) \le -1 \). Puisque \( \sin(x) \) ne peut pas être inférieur à -1, cette condition est seulement satisfaite quand \( \sin(x) = -1 \). Sur \( [0, 2\pi[ \), c'est pour \( x = \frac{3\pi}{2} \). * Cas 2: \( \sin(x) \ge \frac{1}{2} \). Sur le cercle trigonométrique, \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) pour \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \). L'inéquation \( \sin(x) \ge \frac{1}{2} \) est satisfaite pour les angles entre \( \frac{\pi}{6} \) et \( \frac{5\pi}{6} \). Donc \( x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \). 5. Combiner les solutions: \( S = [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup \{ \frac{3\pi}{2} \} \). ### Exercices 1. Résoudre les équations suivantes sur \( \mathbb{R} \) : a. \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) b. \( \tan(x) = -\sqrt{3} \) c. \( 2\cos(3x) = 1 \) 2. Résoudre l'inéquation \( \sin(x) < \frac{1}{2} \) sur \( [0, 2\pi[ \). ### Devoirs 1. Résoudre l'équation \( \cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0 \) sur \( [0, 2\pi[ \). (Indice: Utiliser la formule \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) pour ramener à une équation du second degré en \( \sin(x) \)). 2. Résoudre l'inéquation \( \tan^2(x) - 1 \ge 0 \) sur \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques. Nous avons appris à résoudre les équations fondamentales pour le cosinus, le sinus et la tangente, en tenant compte de la périodicité. Pour les équations plus complexes, les stratégies incluent l'utilisation des formules de transformation et le changement de variable. La résolution des inéquations trigonométriques nécessite une approche graphique à l'aide du cercle trigonométrique, après avoir résolu l'équation associée. La maîtrise de ces techniques est fondamentale pour aborder des problèmes plus avancés en sciences et en ingénierie.