Généralités sur les fonctions numériques (suite)

# Généralités sur les fonctions numériques (suite) ## Parité; éléments de symétrie; périodicité Leçon 21: Courbe d'une fonction Leçon 22: Fonctions associées à une fonction donnée ### Leçon 21: Courbe d'une fonction #### Leçon 22: Fonctions associées à une fonction donnée #### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions numériques en explorant des propriétés essentielles telles que la parité, les éléments de symétrie et la périodicité. Ces concepts nous aident non seulement à analyser le comportement d'une fonction, mais aussi à esquisser et à comprendre sa courbe représentative plus efficacement. Nous verrons également comment de simples transformations peuvent modifier la courbe d'une fonction donnée, nous permettant de déduire les propriétés de fonctions "associées" à partir d'une fonction de base. #### Concepts Clés ##### 1. Parité d'une fonction La parité d'une fonction est une propriété qui décrit une forme de symétrie de sa courbe représentative. * **Domaine de définition symétrique** Pour pouvoir parler de parité, le domaine de définition `D_f` de la fonction `f` doit être symétrique par rapport à l'origine. Cela signifie que si `x \in D_f`, alors `\(-x \in D_f\)`. * **Fonction paire** Une fonction `f` est dite **paire** si pour tout `x` de son domaine de définition `D_f`, \[ f(-x) = f(x) \] Graphiquement, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe \(y\)). * **Fonction impaire** Une fonction `f` est dite **impaire** si pour tout `x` de son domaine de définition `D_f`, \[ f(-x) = -f(x) \] Graphiquement, la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère \((0,0)\). * **Fonction ni paire ni impaire** Si une fonction ne satisfait ni la condition de parité ni la condition d'imparité, elle est dite ni paire ni impaire. ##### 2. Éléments de symétrie de la courbe d'une fonction Au-delà de la parité, la courbe d'une fonction peut posséder d'autres éléments de symétrie. * **Axe de symétrie (droite verticale)** La droite d'équation `x = a` est un axe de symétrie pour la courbe de `f` si pour tout `h` tel que `a+h` et `a-h` appartiennent au domaine de `f`, on a \[ f(a+h) = f(a-h) \] Le domaine de définition doit être symétrique par rapport à `a`. * **Centre de symétrie (point)** Le point `\(C(a, b)\)` est un centre de symétrie pour la courbe de `f` si pour tout `h` tel que `a+h` et `a-h` appartiennent au domaine de `f`, on a \[ f(a+h) + f(a-h) = 2b \] Le domaine de définition doit être symétrique par rapport à `a`. ##### 3. Périodicité * **Définition** Une fonction `f` est dite **périodique** s'il existe un nombre réel `\(T > 0\)` tel que pour tout `x` de son domaine de définition `D_f`, `\(x+T\)` et `\(x-T\)` appartiennent aussi à `D_f`, et \[ f(x+T) = f(x) \] Le plus petit nombre `T > 0` vérifiant cette propriété est appelé la **période** ou la **période fondamentale** de la fonction. * **Interprétation graphique** La courbe d'une fonction périodique se reproduit identique à elle-même sur des intervalles de longueur `T`. Il suffit de tracer la courbe sur un intervalle de longueur `T` (par exemple `[0, T]` ou `\([-T/2, T/2]\)`) pour en déduire toute la courbe par translation. ##### 4. Courbe d'une fonction * **Rappel** La courbe représentative d'une fonction `f`, notée `\(C_f\)`, est l'ensemble de tous les points `\(M(x, y)\)` du plan tels que `\(y = f(x)\)` et `x` appartient au domaine de définition de `f`. * **Méthodes de tracé** Pour tracer une courbe, on peut: * Calculer et placer un certain nombre de points `\((x, f(x))\)`. * Utiliser les propriétés de la fonction (parité, périodicité, sens de variation, asymptotes, etc.) pour guider le tracé. * Utiliser des logiciels de traçage de courbes. ##### 5. Fonctions associées à une fonction donnée Partant de la courbe `\(C_f\)` d'une fonction `f`, on peut déduire les courbes de fonctions associées par des transformations géométriques simples. * **Translation verticale:** `\(g(x) = f(x) + k\)` La courbe de `g` est obtenue en translatant `\(C_f\)` verticalement de `k` unités. (vers le haut si `\(k > 0\)`, vers le bas si `\(k < 0\)`). * **Translation horizontale:** `\(g(x) = f(x + k)\)` La courbe de `g` est obtenue en translatant `\(C_f\)` horizontalement de `\(-k\)` unités. (vers la gauche si `\(k > 0\)`, vers la droite si `\(k < 0\)`). * **Symétrie par rapport à l'axe des abscisses:** `\(g(x) = -f(x)\)` La courbe de `g` est l'image de `\(C_f\)` par la symétrie axiale d'axe des abscisses. * **Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées:** `\(g(x) = f(-x)\)` La courbe de `g` est l'image de `\(C_f\)` par la symétrie axiale d'axe des ordonnées. * **Dilatation/Compression verticale:** `\(g(x) = k imes f(x)\)` (avec `\(k > 0\)`) La courbe de `g` est obtenue en étirant (si `\(k > 1\)`) ou en compressant (si `\(0 < k < 1\)`) `\(C_f\)` verticalement, avec un facteur `k` par rapport à l'axe des abscisses. * **Dilatation/Compression horizontale:** `\(g(x) = f(k imes x)\)` (avec `\(k > 0\)`) La courbe de `g` est obtenue en compressant (si `\(k > 1\)`) ou en étirant (si `\(0 < k < 1\)`) `\(C_f\)` horizontalement, avec un facteur `\(1/k\)` par rapport à l'axe des ordonnées. * **Valeur absolue:** `\(g(x) = |f(x)|\)` Pour les parties de `\(C_f\)` où `\(f(x) eq 0\)`, la courbe est conservée si `\(f(x) > 0\)`. Si `\(f(x) < 0\)`, la partie de la courbe est rendue symétrique par rapport à l'axe des abscisses. #### Vocabulaire * **Fonction paire:** Fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. `\(f(-x) = f(x)\)`. * **Fonction impaire:** Fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'origine. `\(f(-x) = -f(x)\)`. * **Axe de symétrie:** Droite par rapport à laquelle une figure est symétrique. Pour une fonction, souvent une droite verticale `\(x = a\)`. * **Centre de symétrie:** Point par rapport auquel une figure est symétrique. Pour une fonction, un point `\((a, b)\)`. * **Fonction périodique:** Fonction dont les valeurs se répètent à intervalles réguliers. * **Période (ou période fondamentale):** Le plus petit nombre réel strictement positif `\(T\)` pour lequel `\(f(x+T) = f(x)\)`. C'est la longueur de l'intervalle sur lequel le motif de la fonction se répète. * **Courbe représentative:** Ensemble des points `\((x, f(x))\)` dans un plan cartésien. * **Translation:** Déplacement d'une figure sans la faire pivoter ni la déformer. * **Symétrie axiale:** Transformation géométrique qui reflète une figure par rapport à une droite (un axe). * **Symétrie centrale:** Transformation géométrique qui reflète une figure par rapport à un point (un centre). #### Exemples 1. **Parité:** * `\(f(x) = x^2\)`: `\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)`. `f` est une fonction paire. Sa courbe (une parabole) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. * `\(g(x) = x^3\)`: `\(g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)\)`. `g` est une fonction impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. * `\(h(x) = x^2 + x\)`: `\(h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)`. `\(h(-x) eq h(x)\)` et `\(h(-x) eq -h(x)\)`. `h` n'est ni paire ni impaire. 2. **Axe de symétrie:** * Considérons `\(f(x) = (x-2)^2\)`. Pour vérifier si la droite `\(x = 2\)` est un axe de symétrie, on calcule `\(f(2+h)\)` et `\(f(2-h)\)`: `\(f(2+h) = ((2+h)-2)^2 = h^2\)` `\(f(2-h) = ((2-h)-2)^2 = (-h)^2 = h^2\)` Comme `\(f(2+h) = f(2-h)\)`, la droite `\(x=2\)` est bien un axe de symétrie pour la parabole. 3. **Centre de symétrie:** * Considérons `\(f(x) = rac{1}{x-1} + 3\)`. Cherchons un centre de symétrie au point `\(C(1, 3)\)`. Nous devons vérifier si `\(f(1+h) + f(1-h) = 2 imes 3 = 6\)`. `\(f(1+h) = rac{1}{(1+h)-1} + 3 = rac{1}{h} + 3\)` `\(f(1-h) = rac{1}{(1-h)-1} + 3 = rac{1}{-h} + 3 = -rac{1}{h} + 3\)` `\(f(1+h) + f(1-h) = (rac{1}{h} + 3) + (-rac{1}{h} + 3) = 6\)`. Le point `\((1,3)\)` est un centre de symétrie pour la courbe de `f`. 4. **Périodicité:** * La fonction sinus, `\(f(x) = ext{sin}(x)\)`, a une période `\(T = 2 pi\)`. En effet, `\( ext{sin}(x+2 pi) = ext{sin}(x)\)`. Sa courbe se répète tous les `\(2 pi\)` radians. 5. **Fonctions associées:** * Soit `\(C_f\)` la courbe de `\(f(x) = x^2\)`. * La courbe de `\(g(x) = x^2 + 3\)` est obtenue en translatant `\(C_f\)` de 3 unités vers le haut. * La courbe de `\(h(x) = (x+1)^2\)` est obtenue en translatant `\(C_f\)` de 1 unité vers la gauche. * La courbe de `\(k(x) = -x^2\)` est obtenue par symétrie de `\(C_f\)` par rapport à l'axe des abscisses. #### Exercices 1. **Déterminer la parité des fonctions suivantes:** * a) `\(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\)` * b) `\(g(x) = rac{x}{x^2 + 1}\)` * c) `\(h(x) = rac{1}{x-1}\)` * d) `\(k(x) = ext{cos}(x) + ext{sin}(x)\)` 2. **Éléments de symétrie:** * a) Démontrez que la courbe de `\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)` admet la droite `\(x = 2\)` comme axe de symétrie. * b) Démontrez que la courbe de `\(g(x) = rac{2x+1}{x-1}\)` admet le point `\((1, 2)\)` comme centre de symétrie. 3. **Périodicité:** * a) Quelle est la période de la fonction `\(f(x) = ext{cos}(3x)\)` ? * b) Tracez la courbe de `\(f(x) = E(x) - x\)` sur `\([-2, 2]\)`, où `\(E(x)\)` est la fonction partie entière. Est-elle périodique ? Si oui, quelle est sa période ? 4. **Transformations graphiques:** * Soit `\(C_f\)` la courbe de `\(f(x) = ext{sqrt}(x)\)`. Décrivez les transformations géométriques qui permettent d'obtenir les courbes des fonctions suivantes à partir de `\(C_f\)` : * a) `\(g(x) = ext{sqrt}(x-3) + 1\)` * b) `\(h(x) = - ext{sqrt}(x)\)` * c) `\(k(x) = ext{sqrt}(-x)\)` #### Devoirs 1. **Parité et Domaine de définition:** Soit `\(f(x) = rac{x^3 - x}{x^2 - 4}\)`. Déterminez son domaine de définition et étudiez sa parité. 2. **Recherche d'éléments de symétrie:** Soit `\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x\)`. Montrez que le point `\((1, 1)\)` est un centre de symétrie pour la courbe de `f`. 3. **Périodicité avancée:** La fonction `\(f(x) = ext{sin}^2(x)\)` est-elle périodique ? Si oui, déterminez sa période fondamentale. Indice : utilisez la formule `\( ext{cos}(2x) = 1 - 2 ext{sin}^2(x)\)`. 4. **Combiner les transformations:** Décrivez les étapes de transformations pour obtenir la courbe de `\(g(x) = -2(x+1)^2 + 3\)` à partir de la courbe de `\(f(x) = x^2\)`. #### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré des propriétés fondamentales des fonctions numériques. La **parité** (paire ou impaire) nous informe sur les symétries de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées ou à l'origine. Nous avons également vu comment identifier des **axes de symétrie** (`\(x = a\)`) ou des **centres de symétrie** (`\((a, b)\)`) plus généraux. La **périodicité** caractérise les fonctions dont le motif se répète, avec une **période** `\(T\)` qui est la longueur de ce motif. Enfin, nous avons appris à déduire graphiquement la courbe de **fonctions associées** à une fonction donnée par des translations, des symétries ou des dilatations. Ces outils sont essentiels pour l'analyse et la représentation graphique des fonctions.